Continuité et variations/Annexe/Sujet de bac S

Sujet de bac S
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Annexe 1
Leçon : Continuité et variations

Annexe de niveau 13.

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Pondichéry avril 2004Modifier

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire.

Soit   la fonction définie sur   par  

1.a) Déterminer les limites de   en   et  .

b) Étudier le sens de variation de  , puis dresser son tableau de variations, sur  .

2. Démontrer que l'équation   admet deux solutions dans  , dont l'une dans l'intervalle  , qui sera notée  .

3. En déduire le signe de   sur   et le présenter dans un tableau.

La Réunion juin 2004Modifier

Soit   la fonction définie sur   par :  

1. Démontrer que   est continue sur  .

2. On admet que le tableau de variations de   est le suivant :

x
     
f(x)
   
   
 

  est un nombre réel donné. Déterminer en fonction de   le nombre de solutions

dans l'intervalle   de l'équation  .

3.   étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n

pour lesquelles l'équation   admet deux solutions distinctes.

Version guidéeModifier

Soit   la fonction définie sur   par :  

1. Démontrer que   est continue sur  .

a) Préciser les fonctions g, h, ket i telles que  

b) Justifier de la continuité de g, h, ket i , sur un intervalle bien choisi pour chacune.

c) Conclure quant à la continuité de f sur  .


2. On admet que le tableau de variations de   est le suivant :

x
     
f(x)
   
   
 


a) Démontrer en utilisant les variations de   que

pour tout x de  ,  

b) Démontrer en utilisant les variations de   que

pour tout x de  ,  

c) Démontrer que si   est un nombre réel de l'intervalle  

l'équation   admet exactement 1 solution sur  

d) En admettant de plus que pour tout x de  ,  ,

démontrer que si   est un nombre réel de l'intervalle  

l'équation   admet exactement 1 solution sur  

e) Soit k un nombre réel quelconque, discuter en fonction de k et

en utilisant a), b), c), d) le nombre de solutions

dans l'intervalle   de l'équation  .

f) Démontrer le résultat admis en d).

3.   étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n

pour lesquelles l'équation   admet deux solutions distinctes.