Continuité et variations/Annexe/Sujet de bac S
Pondichéry avril 2004
modifierPartie A : Étude d'une fonction auxiliaire.
Soit la fonction définie sur par
1.a) Déterminer les limites de en et .
- b) Étudier le sens de variation de , puis dresser son tableau de variations, sur .
2. Démontrer que l'équation admet deux solutions dans , dont l'une dans l'intervalle , qui sera notée .
3. En déduire le signe de sur et le présenter dans un tableau.
La Réunion juin 2004
modifierSoit la fonction définie sur par :
1. Démontrer que est continue sur .
2. On admet que le tableau de variations de est le suivant :
x |
| |||||||||||||||
f(x) |
|
est un nombre réel donné. Déterminer en fonction de le nombre de solutions
dans l'intervalle de l'équation .
3. étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n
pour lesquelles l'équation admet deux solutions distinctes.
Version guidée
modifierSoit la fonction définie sur par :
1. Démontrer que est continue sur .
a) Préciser les fonctions g, h, ket i telles que
b) Justifier de la continuité de g, h, ket i , sur un intervalle bien choisi pour chacune.
c) Conclure quant à la continuité de f sur .
2. On admet que le tableau de variations de est le suivant :
x |
| |||||||||||||||
f(x) |
|
a) Démontrer en utilisant les variations de que
pour tout x de ,
b) Démontrer en utilisant les variations de que
pour tout x de ,
c) Démontrer que si est un nombre réel de l'intervalle
l'équation admet exactement 1 solution sur
d) En admettant de plus que pour tout x de , ,
démontrer que si est un nombre réel de l'intervalle
l'équation admet exactement 1 solution sur
e) Soit k un nombre réel quelconque, discuter en fonction de k et
en utilisant a), b), c), d) le nombre de solutions
dans l'intervalle de l'équation .
f) Démontrer le résultat admis en d).
3. étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n
pour lesquelles l'équation admet deux solutions distinctes.