Diagramme de Bode/Exercices/Filtres d'ordre 1

Pour chaque montage :

1. Calculer le gain et la phase

2. Tracer le diagramme de Bode

3. Décrire le comportement : passe-haut, passe-bas...

Montage 1

Solution (partielle)

Qualitativement, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert à basse fréquence (en courant continu par exemple). Le montage proposé ne laisse donc pas passer les basses fréquences. En revanche, à hautes fréquences, un condensateur se comportant comme un fil, le montage proposé n'atténue pas le signal. On attend donc du calcul de retrouver un montage passe-haut.

D'après la formule du pont diviseur de tension, $V_{out}=V_{in}{\frac {R}{R+{\frac {1}{jC\omega }}}}$

Donc ${\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {jRC\omega }{1+jRC\omega }}$.

On pose $x=\,RC\omega$ (x est bien sans dimension). La fonction de transfert devient finalement $H(x)={\frac {jx}{1+jx}}$

Le gain vaut $G=|H|={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$, soit, en décibels : ${\begin{aligned}G_{\mathrm {dB} }&=20\log(|H|)\\&=20\log \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\&=20\log(x)-20\log({\sqrt {1+x^{2}}})\\&=20\log(x)-10\log(1+x^{2})\\\end{aligned}}$

Asymptotiquement :

• $\lim _{x\rightarrow 0}G=0$
• $G_{\mathrm {dB} }{\underset {x\rightarrow 0}{\rightarrow }}-\infty$
• $\lim _{x\rightarrow +\infty }G=1$
• $G_{\mathrm {dB} }{\underset {x\rightarrow +\infty }{\sim }}{\dfrac {-10}{x^{2}}}{\underset {x\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$

Le comportement général de ce filtre est bien celui d'un passe haut : les signaux à basse fréquence ne passent pas (le condensateur se comporte alors comme un circuit ouvert), tandis que les signaux à haute fréquence se propagent sans atténuation (le condensateur se comporte alors comme un fil).

À suivre...

 

Montage 2

Solution (partielle)

1 - Calcul de la transmittance : L'amplificateur est considéré parfait, ce qui signifie : $i^{-}=i^{+}=0$

Et aussi : $\epsilon =0$ → $V^{-}=V^{+}$ En appliquant le théorème de Millman sur le point $V^{-}$ (puisque le courant iˉ=0, on peut aussi appliquer la loi du diviseur de tension):

On pose $Y={\frac {1}{Z}}$:

$Y=({\frac {1}{R_{2}}})+jC\omega$ = ${\frac {1+jR_{2}C\omega }{R_{2}}}$

Soit :

$V^{-}={\frac {{\frac {V_{in}}{R_{1}}}+{\frac {V_{out}}{Z}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{Z}}}}$

D'autre part :

$V^{+}=0$ (puisque le point $V^{+}$ est relié à la masse).

Et puisque :

$V^{+}=V^{-},$ On trouve :

${\frac {{\frac {V_{in}}{R_{1}}}+{\frac {V_{out}}{Z}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{Z}}}}=0$

D'où :

${\frac {V_{in}}{R_{1}}}+{\frac {V_{out}}{Z}}=0$

${\frac {V_{out}}{Z}}=-{\frac {V_{in}}{R_{1}}}$

Alors:

${\frac {V_{out}}{V_{in}}}=-{\frac {Z}{R_{1}}}$

Finalement :

${\frac {V_{out}}{V_{in}}}=-{\frac {\frac {R_{2}}{1+jR_{2}C\omega }}{R_{1}}}$

La transmittance complexe T :

$T=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\times {\frac {1}{1+jR_{2}C\omega }}$

À suivre...