Discussion:Champ électrostatique, potentiel/Calculs classiques

calcul direct du champ électrique

concernant le calcul direct du champ électrique produit par une boule de charge Q, pouvez-vous le faire en utilisant la formulation du théorème de Gauss avec la divergence ?— Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par 90.56.17.247 (d · c · b · s).

Le théorème de Gauss utilise de façon cachée la divergence. Il découle

• du théorème d'Ostrogradsky, qui dit que $\iiint _{V}\mathrm {div} ({\vec {E}})\mathrm {d} ^{3}\tau =\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc {\vec {E}}.{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}$
• d'une des 4 équations de Maxwell (équations fondamentales de l'électromagnétisme) qui dit que $\mathrm {div} ({\vec {E}})={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Le terme $\iiint _{V}\mathrm {div} ({\vec {E}})\mathrm {d} ^{3}\tau ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\iiint _{V}\rho \,\mathrm {d} ^{3}\tau$ permet alors de retomber sur le ${\frac {Q}{\epsilon _{0}}}$ présenté dans le cours ($\rho \,\mathrm {d} ^{3}\tau$ est bien homogène à une charge). L'expression explicite de la divergence a peu d'intérêt puisqu'on travaille au « niveau global ». Xzapro4 _discuter 28 septembre 2008 à 17:47 (UTC)

Sinon, si vous y tenez tout particulièrement, vous pouvez utiliser la divergence en coordonnées sphériques qui dans notre cas de symétrie se réduit à $\mathrm {div} ({\vec {E}})={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} (r^{2}E_{r})}{\mathrm {d} r}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Après quelques manipulations algébriques, on aboutit à $\int _{0}^{R_{\Sigma }}{\frac {\rho r^{2}}{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} r=\int _{r=0}^{r={R_{\Sigma }}}\mathrm {d} (r^{2}E_{r})$, où $R_{\Sigma }$ est le rayon de la surface de Gauss choisie, supposée inférieure au rayon de la boule.

Une intégration plus tard, on obtient ${\frac {\rho R_{\Sigma }^{3}}{3\epsilon _{0}}}=R_{\Sigma }^{2}E_{R_{\Sigma }}$, ce qui redonne bien ${\frac {\rho R_{\Sigma }}{3\epsilon _{0}}}=E_{R_{\Sigma }}$

Le raisonnement est analogue pour $R_{\Sigma }>R$ Xzapro4 _discuter 28 septembre 2008 à 18:06 (UTC)

disque infini chargé

je comprends la formule et la démonstration pour le disque uniformément chargé, mais cela est-ce différent pour le disque infini chargé? si oui merci de me préciser la différence, je ne la vois pas, je ne vois pas comment appliquer la formule au disque infini. — Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par 77.196.10.100 (d · c · b · s).

Pour un disque infini, il suffit de faire tendre R vers + ∞ dans le formule ${\vec {E}}(M)=\operatorname {sgn}(z)~{\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left(1-{\frac {z}{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}\right){\vec {u}}_{z}$, ce qui donne immédiatement ${\vec {E}}(M)=\operatorname {sgn}(z)~{\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}{\vec {u}}_{z}$

Ceci dit, c’est une étrange manière d’aborder ce calcul, étant donné qu'un « disque infini » n'est rien d’autre qu'un plan. Dans ce cas, un calcul plus général et bien plus simple est détaillé sur la page d'exercices. Xzapro4 _discuter 2 novembre 2009 à 09:10 (UTC)

Calcul +-basique

Pourquoi on fait sortir E(r) de l’intégral alors qu’il y a le "dr" à l'intérieur de cette intégral ?