Discussion:Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable très difficile

Commentaires sur l'intégration de ${\frac {x}{\sin x}}$

Pour l'intégrale de cette fonction sur $[{\frac {\pi }{3}},{\frac {2\pi }{3}}]$ il y a moyen de procéder plus simplement (même si on ne coupe pas à un minimum d' "astuce") : après avoir vérifié que celle-ci est bien définie sur l'intervalle spécifié, commencer par la scinder en deux parties :

$I=\int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {x}{\sin x}}dx=\int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {\pi }{2}}+\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {2\pi }{3}}=I_{1}+I_{2}$

Ensuite, faire le changement de variable $u=\pi -x$ dans $I_{2}$ : tous calculs faits :

$\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {x}{\sin x}}dx=\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {\pi }{3}}{\frac {\pi -u}{\sin u}}(-du)=\int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\pi -u}{\sin u}}du$

Les bornes correspondent maintenant à celles de $I_{1}$, il vient donc (en écrivant $x$ à la place de $u$ qui est une variable muette ):

$I=\int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {x+\pi -x}{\sin x}}dx=\pi \int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dx}{\sin x}}$

On s'est débarrassé du $x$ gênant au numérateur, et on se retrouve avec une simple fonction rationnelle en $\sin x$ : on peut directement appliquer les règles de Bioche, qui conduisent à poser $v=\cos x$, etc.
Voilà je ne sais pas ce que vous en pensez mais ceci me semble tout de même plus "systématique". Si vous êtes d'accord je modifierai le texte. --Bidonibidona (discussion) 6 janvier 2015 à 12:30 (UTC)

Bonjour, il n'y a pas de problème, vous pouvez mettre votre solution. Mais je pense qu’il serait bien de laisser la solution qui est déjà en place, car elle offre une approche très différente. Vous pouvez mettre, par exemple : autre solution. Il n’est pas exclu de proposer plusieurs solutions à un même exercice. Sur la Wikiversité, il n'y a pas de limite de place. Cordialement. --Lydie Noria (discussion) 5 janvier 2015 à 20:51 (UTC)

Très bien, merci de votre réponse. Cordialement. --Bidonibidona (discussion) 6 janvier 2015 à 11:52 (UTC)

J’ai rajouté ma solution et je me suis permis de corriger une petite erreur : lorsque vous écrivez :

Nous en déduisons :

$\int _{\frac {1}{\sqrt {3}}}^{\sqrt {3}}{\frac {\ln {z}}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z=\int _{\frac {1}{\sqrt {3}}}^{\sqrt {3}}{\frac {\ln {t}}{t^{2}+1}}\,\mathrm {d} t=0$

Il me semble qu’il manque un signe moins (sinon l'égalité est triviale et n'apprend rien). J’ai aussi rajouté la précision "car le seul nombre qui soit égal à son opposé est zéro". --Bidonibidona (discussion) 6 janvier 2015 à 15:06 (UTC)

Concernant l'intégrale de ${\frac {x}{\cos x}}$

Ensuite il me semble que vous allez un peu vite en besogne sur $\int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {x}{\cos x}}dx$ : même si c’est une bonne habitude à prendre de vérifier l'intervalle de définition de l'intégrand, il ne faut pas donner à croire qu'une intégrale est forcément indéfinie sous prétexte que son intégrand possède des singularités. Je ne dis pas que votre résultat est faux mais l'explication n’est pas bonne. En l’occurrence, on montre que :

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\frac {\pi }{3}}^{{\frac {\pi }{2}}-\varepsilon }{\frac {x}{\cos x}}dx=\infty$

car $\,\,{\frac {x}{\cos x}}>{\frac {1}{{\frac {\pi }{2}}-x}}(>0)\,\,$ pour $x$ assez proche de, et inférieur à, ${\frac {\pi }{2}}$ (ce qu'on obtient en considérant que $\pi /2\simeq 1.58>1$ et que $\cos$ est concave sur $[0,{\frac {\pi }{2}}]$ donc inférieure à sa tangente en $\pi /2$). Ce minorant se comporte au voisinage de la singularité comme la fonction inverse, qui n’est pas intégrable. On montre de la même façon que l'autre moitié de l'intégrale diverge.

En revanche, il est intéressant de noter que lorsqu'on procède comme pour l'intégrale de $x/\sin x$, on peut parfaitement attribuer une valeur à cette intégrale ! La singularité étant en $\pi /2$, il est en effet naturel de voir cette intégrale comme la limite suivante :

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\frac {\pi }{3}}^{{\frac {\pi }{2}}-\varepsilon }{\frac {x}{\cos x}}dx+\int _{{\frac {\pi }{2}}+\varepsilon }^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {x}{\cos x}}dx=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}I_{1}(\varepsilon )+I_{2}(\varepsilon )$

En faisant à nouveau dans $I_{2}(\varepsilon )$ le changement de variable $u=\pi -x$, on aboutit à :

$I_{2}(\varepsilon )=\int _{\frac {\pi }{3}}^{{\frac {\pi }{2}}-\varepsilon }{\frac {u-\pi }{\cos u}}du$

D'où :

$I_{1}(\varepsilon )+I_{2}(\varepsilon )=\int _{\frac {\pi }{3}}^{{\frac {\pi }{2}}-\varepsilon }{\frac {2x-\pi }{\cos x}}dx$

Or, le développement à l’ordre 1 de $\cos$ en $\pi /2$ donne :

$\cos x={\frac {\pi }{2}}-x+o({\frac {\pi }{2}}-x)$

Ce qui fait que ${\frac {2x-\pi }{\cos x}}$ se prolonge par continuité en $\pi /2$ (par -2), donc la limite dont il est question existe et est finie (je n'ai en revanche aucune idée de la façon dont elle se calcule). --Bidonibidona (discussion) 6 janvier 2015 à 12:28 (UTC)

Il me semble que vous abordez là un point théorique qui dépend de la façon dont on définit les intégrales. Il me semble, mais c’est loin pour moi, qu'au sens de Riemann, cette intégrale n’est pas définie. Mais effectivement, si l’on se place dans le cadre des intégrales généralisées, c'est-à-dire en faisant tendre les bornes vers la singularité, alors certaines intégrales, qui n'étaient pas définies au sens de Riemann, deviennent définies si la limite existe et ça semble être le cas ici (il me vient en tête le nom d'intégrale de Cauchy, je crois que c’est comme cela qu'on les appelle). Je vous dis cela de mémoire, il faudrait que je vérifie. Mais si vous êtes sûr de vous, vous pouvez modifier le texte en précisant éventuellement dans quel cadre on se place. Au fur et à mesure que j'écris, la mémoire me revient un peu et il me semble bien que cette intégrale n’est pas définie au sens de Riemann, mais est définie au sens de Cauchy car le fait que la limite :

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\frac {\pi }{3}}^{{\frac {\pi }{2}}-\varepsilon }{\frac {x}{\cos x}}dx+\int _{{\frac {\pi }{2}}+\varepsilon }^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {x}{\cos x}}dx=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}I_{1}(\varepsilon )+I_{2}(\varepsilon )$

existe est justement la condition par laquelle on définit une intégrale qui converge au sens de Cauchy. Dans le cas des intégrales généralisées, on aurait écrit :

$\lim _{\varepsilon _{1}\rightarrow 0}\int _{\frac {\pi }{3}}^{{\frac {\pi }{2}}-\varepsilon _{1}}{\frac {x}{\cos x}}dx+\lim _{\varepsilon _{2}\rightarrow 0}\int _{{\frac {\pi }{2}}+\varepsilon _{2}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {x}{\cos x}}dx=\lim _{\varepsilon _{1}\rightarrow 0}I_{1}(\varepsilon _{1})+\lim _{\varepsilon _{2}\rightarrow 0}I_{2}(\varepsilon _{2})$

qui n'a pas de sens car les epsilons sont différents et les deux intégrales divergent. Donc, dans le cadre des intégrales généralisées, notre intégrale n'est pas, non plus, définie. Elle ne serait définie qu'au sens de Cauchy (rien à voir avec l’article w:Intégrale de Cauchy). Cordialement. --Lydie Noria (discussion) 5 janvier 2015 à 20:51 (UTC)

Effectivement je me rends compte maintenant que ces considérations débordent du cadre du cours (de plus, vous avez entièrement raison sur le fait que le calcul de cette intégrale réside entièrement dans la façon dont on la définit... Mon calcul est celui d'une valeur principale de Cauchy il me semble...)
C'est un point délicat : les intégrales impropres n'ont pas été vues, et je suis conscient qu’il importe pour l'instant de donner à l'étudiant le réflexe de se questionner sur l’ensemble de définition de la fonction qu’il intègre. Néanmoins on ne peut pas dire pour autant que, puisque l'intégrand n’est pas défini, "l'intégrale n’est pas définie et ne peut donc pas être calculée" : si l'étudiant rencontre un jour l'intégrale $\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}$, il en conclura à tort que puisque ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ n’est pas définie en 0, l'intégrale n’est pas calculable.
Je propose donc de simplement préciser que "nous ne pouvons rien dire de cette intégrale dans le cadre de ce cours", mais que "certaines intégrales sont définies bien que la fonction qu'on intègre ne le soit pas sur tout l'intervalle d'intégration", et de simplement renvoyer le lecteur intéressé à un cours sur les intégrales impropres ? Voire d'introduire très rapidement ce concept sur l'exemple de $\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x}}$ versus $\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}$. Cordialement. --Bidonibidona (discussion) 6 janvier 2015 à 12:28 (UTC)

Oui, c’est cela : valeur principale de Cauchy, je savais bien qu’il y avait Cauchy dedans, d'où ma confusion avec les intégrales de Cauchy. Effectivement, on peut éventuellement faire la décomposition :

$\lim _{\varepsilon _{1}\rightarrow 0}\int _{\frac {\pi }{3}}^{{\frac {\pi }{2}}-\varepsilon _{1}}{\frac {x}{\cos x}}dx+\lim _{\varepsilon _{2}\rightarrow 0}\int _{{\frac {\pi }{2}}+\varepsilon _{2}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {x}{\cos x}}dx$

et montrer que les deux limites divergent, d'où l'impossibilité de calculer les deux intégrales et par conséquent notre intégrale dans le cadre de ce cours. Le problème est que nous n'avons pas encore de leçon sur les intégrales impropres (voir : Département:Cours de mathématiques par niveau).

Faites ce qui vous semble être le mieux. Je ne suis plus trop dans les intégrales en ce moment et je risque donc de dire des bêtises --Lydie Noria (discussion) 6 janvier 2015 à 14:03 (UTC)

Hé hé oui il est un peu moins présent qu'Euler mais il a quand même pas mal laissé de traces Bon c’est fait, j’ai modifié tout ça, n'hésitez pas à me corriger si vous le jugez nécessaire. --Bidonibidona (discussion) 6 janvier 2015 à 14:59 (UTC)

Merci pour votre intervention. Si vous voulez faire d'autres contributions, n'hésitez pas (leçon sur les intégrales impropres avec valeur principale de Cauchy par exemple ou autre). --Lydie Noria (discussion) 6 janvier 2015 à 17:38 (UTC)