Discussion:Théorie des groupes/Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés

Lemme 36

J'ai bien compris et je respecte ton parti pris de ne pas parler de l'algèbre d'un groupe. Du coup, la preuve du lemme 36 (et du théorème 37) est laborieuse (mais fidèle au style de Burnside) parce qu'on ne peut pas s'en tirer d'une pichenette, comme dans w:Algèbre d'un groupe fini#Entier algébrique. Mais est-ce qu'on ne pourrait pas « feinter » ? J'ai du mal à réfléchir ces temps-ci à cause de grosses migraines, donc peut-être que je dis des bêtises :

Soit T une C-représentation de G sur V.

• Le [groupe additif du] sous-anneau A de End(V) engendré par les T(g) est un Z-module de type fini (il est de plus sans torsion, donc libre, mais on peut s'en passer).
• Le sous-anneau B de A constitué des éléments de A qui sont des homothéties est donc aussi un Z-module de type fini (hélas, ce « donc » n'est pas actuellement dans ton cours, qui se concentre sur les groupes finis).
• L'anneau image de B par le morphisme qui à toute homothétie associe son rapport est donc aussi un Z-module de type fini.

Donc le rapport de toute homothétie appartenant à A est un entier algébrique. Anne, 18/3/2019

Je vais réfléchir à ça dès que j'aurai la tête libre. C'est vrai que j'ai évité de parler de l'algèbre du groupe parce qu'il me semblait que ça aurait demandé toute une préparation que je préférais éviter. Si je me souviens bien, la démonstration que j'ai donnée du lemme 36 est celle que donne M.P. Malliavin, Les groupes finis et leurs représentations complexes. Ces derniers temps, je travaillais à rédiger une démonstration de la classification des groupes d'ordre 16 et je me suis arrêté pour examiner la démonstration donnée par V.A. Lebesgue du théorème de Fermat-Wiles pour l'exposant 7 (vu une remarque de Cgolds (d · c · b · s) sur w:Discussion:Dernier théorème de Fermat selon laquelle Edwards considérerait comme insuffisante la démonstration de Lamé). Je ne sais donc plus trop où donner de la tête... Marvoir (discussion) 19 mars 2019 à 10:36 (UTC)

Aaah, mais si, tu as défini $\mathbb {C} [G]$ ! Théorie des groupes/Représentations complexes des groupes finis, 1#Exemples de représentations. Bon, je vais dormir. Anne, 21/3, 0 h 02

Comme promis, je réfléchirai à ça dès que j'aurai la tête libre. Peut-être que je m'étais exagéré la masse de préparation qui serait nécessaire pour utiliser ici l'algèbre du groupe, on verra. Peut-être aussi que l'âge commence à me jouer les mêmes tours qu'à supreme assis (si tu vois qui je veux dire) et que j'ai besoin de ménager mon cerveau. Marvoir (discussion) 21 mars 2019 à 11:03 (UTC)

Je ne te presse pas ! Je me sers juste de cete pdd comme bloc-note. En fait ma « pichenette » était fausse . Anne, 22/3, 13 h 24

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dans w:Algèbre d'un groupe fini. Merci d'en tenir compte en cas de renommage. Anne, 22/3/2019