On dit que x ∈ E {\displaystyle x\in E} et f ∈ E ∗ {\displaystyle f\in E^{*}} sont orthogonaux si < x , f >= 0 {\displaystyle <x,\,f>=0} .
Pour A {\displaystyle A} une partie de E {\displaystyle E} , on pose A ⊥ = { f ∈ E ∗ , ∀ a ∈ A , < a , f >= 0 } {\displaystyle A^{\perp }=\{f\in E^{*},\forall a\in A,<a,\,f>=0\}} .
Dans cette partie, on appelle A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} des parties de E {\displaystyle E} et F {\displaystyle F} et G {\displaystyle G} des sous-espaces vectoriels de E {\displaystyle E} .
{{{1}}}
Pour tout F {\displaystyle F} sous-espace vectoriel de E {\displaystyle E} ( E {\displaystyle E} de dimension finie), on a :
Pour F {\displaystyle F} et E {\displaystyle E} deux sous-espaces vectoriels de E {\displaystyle E} , il vient :
On a déjà F ⊥ + G ⊥ ⊂ ( F ∩ G ) ⊥ {\displaystyle F^{\perp }+G^{\perp }\subset (F\cap G)^{\perp }} . Par formule de Grassman, il vient :
Pour tout F ′ {\displaystyle F'} sous-espace vectoriel de E ∗ {\displaystyle E^{*}} , on a :
Pour F ′ {\displaystyle F'} et E ′ {\displaystyle E'} deux sous-espaces vectoriels de E ∗ {\displaystyle E^{*}} , il vient :