Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact

Dans ce problème, $H$ est un espace de Hilbert séparable de dimension infinie sur $\mathbb {R}$. On rappelle que :

• les valeurs propres d'un opérateur autoadjoint sont réelles ;
• $\|T\|=\sup _{\|u\|=\|v\|=1}\left|\langle Tu,v\rangle \right|$ :
• si $T$ est auto-adjoint on a aussi $\|T\|=\sup _{\|u\|=1}\left|\langle Tu,u\rangle \right|$.

Partie I. Soit $T$ un opérateur autoadjoint compact sur $H$.

1) a) Montrer que si un sous-espace de $H$ est stable par $T$ alors son orthogonal l'est aussi.

b) Montrer que deux espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

2) a) Soit $(u_{n})$ une suite orthonormée. Montrer qu'on ne peut en extraire aucune sous-suite de Cauchy, donc aucune sous-suite convergente.

b) Désormais, $(u_{n})$ est une suite orthonormée de vecteurs propres associés à des valeurs propres non nulles (non nécessairement distinctes) $\lambda _{n}$. Déduire de la question précédente que $\lambda _{n}\to 0$ (on raisonnera par l'absurde, en remarquant que $u_{n}=Tv_{n}$ avec $v_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}u_{n}$).

c) En déduire que tous les sous-espaces propres de $T$ sont de dimension finie à l'exception de $\ker T$.

3) Montrer que $\|T\|$ ou $-\|T\|$ est une valeur propre. (On pensera à la caractérisation de $\|T\|$ rappelée au début.)

4) a) En déduire que les valeurs propres non nulles forment une suite telle que $|\lambda _{0}|\geq |\lambda _{1}|\geq \dots \geq |\lambda _{n}|\geq \dots$, que les espaces propres associés $F_{k}$ sont deux à deux orthogonaux, et que $\left(\oplus _{k}F_{k}\right)^{\bot }=\ker T$.

b) Montrer que $T$ est la limite (au sens de la norme des opérateurs) des $T_{n}:=T\Pi _{n}$ où $\Pi _{n}$ désigne la projection orthogonale sur $\oplus _{0\leq k\leq n}F_{k}$.

Partie II. Dans cette partie, $H=\mathrm {L} ^{2}([0,1],\mathrm {d} x)$. Pour $t,x\in [0,1]$, on pose :

$K(t,x)=\min(t,x)\left(1-\max(t,x)\right)$, puis $Tf(x)=\int _{0}^{1}K(t,x)f(t)\,\mathrm {d} t$.

1) Montrer que $T$ est un opérateur autoadjoint compact sur $H$ et que son image est incluse dans le sous-espace des fonctions continues sur $[0,1]$.

2) a) Soit $f$ un vecteur propre associé à une valeur propre $\lambda \neq 0$. Montrer que $\lambda f''=-f$ et $f(0)=f(1)=0$.

b) En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de $T$ sont données par $\lambda _{n}={\frac {1}{(n\pi )^{2}}}$ et qu'une suite orthonormée $(e_{n})$ de vecteurs propres associés est donnée par $e_{n}(x)={\sqrt {2}}\sin(n\pi x)$. Le réel $0$ est-il valeur propre ? En déduire que les $(e_{n})$ forment une base hilbertienne de $H$.

c) Que vaut $\|T\|$ ?

3) Montrer que $K(t,x)={\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\pi x)\sin(n\pi t)}{n^{2}}}$, au sens $\mathrm {L} ^{2}$ (on pourra remarquer ou admettre que les $h_{n,k}(t,x):=e_{n}(t)e_{k}(x)$ pour $k,n\in \mathbb {N}$ forment une base hilbertienne de $H\times H$)

Montrer qu'en fait cette égalité est vraie pour tout $(t,x)$.

4) En calculant $\|K\|_{2}^{2}$ de deux manières, en déduire que $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}$.

Solution

Partie I. 1) a) Soient $F$ un sous-espace de $H$ stable par $T$ et $u\in F^{\bot }$. Pour tout $v\in F$, on a $w:=Tv\in F$ donc $\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle =\langle u,w\rangle =0$.

b) Si $Tu=\lambda u$ et $Tv=\mu v$ avec $\lambda \neq \mu$, alors $\lambda \langle u,v\rangle =\langle Tu,v\rangle =\langle u,Tv\rangle =\mu \langle u,v\rangle$ donc $\langle u,v\rangle =0$.

2) a) Pour tous $p,q$ distincts, $\|u_{p}-u_{q}\|={\sqrt {2}}$.

b) Supposons que la suite $(\lambda _{n})$ ne tend pas vers $0$. Alors, la suite positive $(1/|\lambda _{n}|)$ ne tend pas vers +\infty donc admet une sous-suite $(1/|\lambda _{n_{k}}|)$ bornée. La suite $(u_{n_{k}})$ est alors l'image par $T$ d'une suite bornée de vecteurs, si bien que (comme $T$ est compact) $(u_{n_{k}})$ admet une sous-suite convergente. Ceci contredit le résultat de la question précédente donc l'hypothèse était absurde : la suite $(\lambda _{n})$ tend bien vers $0$.

c) Immédiat.

3) Supposons $T\neq 0$ et montrons que le réel $\lambda :=\sup _{\|u\|=1}\langle Tu,u\rangle$ est une valeur propre de $T$. Soit $(u_{n})$ une suite de vecteurs unitaires telle que $\langle Tu_{n},u_{n}\rangle \to \lambda$. Alors, $\|Tu_{n}-\lambda u_{n}\|^{2}=\|Tu_{n}\|^{2}+\lambda ^{2}\|u_{n}\|^{2}-2\lambda \langle Tu_{n},u_{n}\rangle \leq 2\lambda ^{2}-2\lambda \langle Tu_{n},u_{n}\rangle \to 0$. On peut supposer de plus (par compacité de $T$, quitte à extraire une sous-suite) que $(Tu_{n})$ converge, vers un certain vecteur $v$. Alors, $v=\lim \lambda u_{n}\neq 0$. Par passage à la limite dans $T(\lambda u_{n})=\lambda T(u_{n})$, on en déduit : $T(v)=\lambda T(v)$, donc $\lambda$ est bien une valeur propre de $T$. De même, $\mu :=\inf _{\|u\|=1}\langle Tu,u\rangle$ est valeur propre. Or $\|T\|=\max(\lambda ,-\mu )$, donc $\|T\|$ ou $-\|T\|$ est une valeur propre.

4) a) Soient $\lambda _{0}$ (égale à $\pm \|T\|$) la valeur propre de plus grande valeur absolue et $F_{0}$ le sous-espace propre associé. Le sous-espace fermé $F_{0}^{\bot }$ est stable par $T$, et la restriction de $T$ à ce sous-espace est encore un opérateur autoadjoint compact, de norme $\leq |\lambda _{0}|$. En itérant, on construit ainsi deux suites $(\lambda _{k})$ et $(F_{k})$ (éventuellement infinies) vérifiant les propriétés voulues.

b) $\|T-T_{n}\|=|\lambda _{n+1}|$ (ou $0$ si les suites s'arrêtent au rang $n$).

Partie II.

1) $T$ est compact par restriction, et autoadjoint parce que $K$ est symétrique. Pour toute $f\in H$, $Tf$ est continue par uniforme continuité de $K$.

2) a) De $\lambda f(x)=\int _{0}^{x}t(1-x)f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{x}^{1}x(1-t)f(t)\,\mathrm {d} t$ on déduit $\lambda f'(x)=-\int _{0}^{x}tf(t)\,\mathrm {d} t+\int _{x}^{1}t(1-t)f(t)\,\mathrm {d} t$, puis $\lambda f''=-f$. Quant aux conditions $f(0)=f(1)=0$, elles résultent immédiatement de $K(t,0)=K(t,1)=0$.

b) En résolvant l'équation différentielle, on en déduit : $f(x)=C\sin(n\pi x)$ avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et $\lambda ={\frac {1}{(n\pi )^{2}}}$. Donc les valeurs propres non nulles de $T$ sont $\lambda _{n}={\frac {1}{(n\pi )^{2}}}$ et le sous-espace propre associé est la droite engendrée par le vecteur unitaire $e_{n}:x\mapsto {\sqrt {2}}\sin(n\pi x)$. Le réel $0$ n'est pas valeur propre car (par le même calcul que dans la question précédente)$0=Tf\Rightarrow 0=-f$. D'après la partie I, les $e_{n}$ forment donc une base hilbertienne de H.

c) $\|T\|=\lambda _{1}={\frac {1}{\pi ^{2}}}$.

3) $K(t,x)=\sum _{n,k\in \mathbb {N} ^{*}}\mu _{n,k}e_{n}(t)e_{k}(x)$, avec $\sum _{n,k\in \mathbb {N} ^{*}}\mu _{n,k}e_{k}(x)=\langle K(\cdot ,x),e_{n}\rangle =T(e_{n})(x)=\lambda _{n}e_{n}(x)$ donc $\mu _{n,n}=\lambda _{n}$ et les autres $\mu _{n,k}$ sont nuls. Par continuité des deux membres, cette égalité dans $\mathrm {L} ^{2}([0,1]^{2})$ est en fait une égalité point par point.

4) On en déduit : $\|K\|_{2}^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}^{2}={\frac {1}{\pi ^{4}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}$. Or par calcul direct, $\|K\|_{2}^{2}=2\int _{0}^{1}(1-x)^{2}\left(\int _{0}^{x}t^{2}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}\int _{0}^{1}(1-x)^{2}x^{3}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)={\frac {1}{90}}$.