Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact

Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact
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Devoir no1
Leçon : Espaces de Banach

Devoir de niveau 16.

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Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact
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Wikipédia possède un article à propos de « Opérateur autoadjoint ».
Wikipédia possède un article à propos de « Opérateur compact ».

Dans ce problème, est un espace de Hilbert séparable de dimension infinie sur . On rappelle que :

  • les valeurs propres d'un opérateur autoadjoint sont réelles ;
  •  :
  • si est auto-adjoint on a aussi .

Partie I. Soit un opérateur autoadjoint compact sur .

1) a) Montrer que si un sous-espace de est stable par alors son orthogonal l'est aussi.

b) Montrer que deux espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

2) a) Soit une suite orthonormée. Montrer qu'on ne peut en extraire aucune sous-suite de Cauchy, donc aucune sous-suite convergente.

b) Désormais, est une suite orthonormée de vecteurs propres associés à des valeurs propres non nulles (non nécessairement distinctes) . Déduire de la question précédente que (on raisonnera par l'absurde, en remarquant que avec ).
c) En déduire que tous les sous-espaces propres de sont de dimension finie à l'exception de .

3) Montrer que ou est une valeur propre. (On pensera à la caractérisation de rappelée au début.)

4) a) En déduire que les valeurs propres non nulles forment une suite telle que , que les espaces propres associés sont deux à deux orthogonaux, et que .

b) Montrer que est la limite (au sens de la norme des opérateurs) des désigne la projection orthogonale sur .

Partie II. Dans cette partie, . Pour , on pose :

, puis .

1) Montrer que est un opérateur autoadjoint compact sur et que son image est incluse dans le sous-espace des fonctions continues sur .

2) a) Soit un vecteur propre associé à une valeur propre . Montrer que et .

b) En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de sont données par et qu'une suite orthonormée de vecteurs propres associés est donnée par . Le réel est-il valeur propre ? En déduire que les forment une base hilbertienne de .
c) Que vaut  ?

3) Montrer que , au sens (on pourra remarquer ou admettre que les pour forment une base hilbertienne de )

Montrer qu'en fait cette égalité est vraie pour tout .

4) En calculant de deux manières, en déduire que .