English: Perspective of a regular octahedron by orthographic projection onto a plane.
T and
V are the centers of the two opposite faces
ABC and
HLU. The sight has the direction of (
VT ), the sense from
T to
V. The midpoint
S of [
VT ] is the center of the solid. The notations and some colors are the same in the top view
of this image. Two planes not passing through
S intersect the solid, both cross sections have a common side in
CHL, dashed depicted. One section is perpendicular to (
CS ) and parallel to (
ABH ), it is a square with blue sides. The other one is an hexagon with ocher sides, its plane is perpendicular to (
TS ), parallel to (
ABC ) and (
UHL ). Whatever the sense of the rotation, one quarter turn around (
CS ) or one third of a turn around (
TS ) transforms the solid into itself, and also preserves a cross section perpendicular to the axis of rotation. Left unchanged by a rotation of 90° around (
CS ), the diagonal square
ABHL has blue sides. Its center
S and its four vertices are denoted by blue letters. The other blue square is a contraction of
ABHL by a homothety with center
C. Left unchanged by a rotation of 120° around (
TS ), the hexagonal cross section has a circumscribed circle. The set of the intersections of regular octahedra with planes parallel to a face is the set of convex hexagons, which have the vertices of two equilateral triangles with the same size and same center. That is the set of the hexagonal cross sections of cubes or platonic dodecahedra, by planes perpendicular to a straight line passing through a vertex and the center of the solid. For example,
BUVFMN in
this drawing is a member of this set of hexagons.
Français : Perspective d’un octaèdre régulier par projection orthogonale sur un plan.
T et
V sont les centres des deux faces opposées
ABC et
HLU. La vue a la direction de (
VT ), le sens de
T vers
V. Le milieu
S de [
VT ] est le centre du solide. Les notations et certaines couleurs sont les mêmes dans la vue de dessus
de cette image. Deux plans ne passant pas par
S coupent le solide, les deux sections ont un côté commun dans
CHL, représenté en pointillé. L’une des sections est perpendiculaire à (
CS ) et parallèle à (
ABH ), c’est un carré aux côtés bleus. L’autre section est un hexagone tracé en ocre, son plan est perpendiculaire à (
TS ), parallèle à (
ABC ) et (
UHL ). Quel que soit le sens de la rotation, un quart de tour autour de (
CS ) ou un tiers de tour autour de (
TS ) transforme le solide en lui-même, et conserve aussi une section plane du solide perpendiculaire à l’axe de rotation. Conservé par une rotation de 90° autour de (
CS ), le carré diagonal
ABHL a des côtés bleus. Son centre
S et ses quatre sommets sont désignés par des lettres bleues. L’autre carré bleu est une réduction de
ABHL par une homothétie de centre
C. Conservée par une rotation de 120° autour de (
TS ), la section hexagonale est inscriptible dans un cercle. L’ensemble des intersections d’octaèdres réguliers par des plans parallèles à une face est l’ensemble des hexagones convexes, qui ont les sommets de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. C’est l’ensemble des sections hexagonales des cubes ou des dodécaèdres de Platon, par des plans perpendiculaires à une droite passant par un sommet et par le centre du solide. Par exemple,
BUVFMN dans
ce dessin appartient à cet ensemble d’hexagones.