Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e

Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e
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Annexe 3
Leçon : Fonction exponentielle

Annexe de niveau 13.

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IntroductionModifier

Le nombre e est appelé nombre de Neper. C'est la valeur en 1 de la fonction exponentielle : e = exp 1.

On cherche à démontrer que   et plus généralement, que pour tout réel  ,

 ,

en utilisant que

Cette démonstration peut se faire avec des outils mathématiques du niveau de Terminale scientifique.

DémonstrationModifier

On se place dans le cas  , pour alléger l'écriture mais englober le cas particulier   (la preuve dans le cas   serait analogue).

Rappelons tout d’abord que par convention,   et pour tout réel  ,  .

On pose, pour tout réel   et tout entier naturel   :

  (donc   et  )

puis

 .

Alors,   et pour tout entier  ,

 

donc

 

Or (par un théorème de comparaison)

 

donc

 ,

ce qu’il fallait démontrer.

Corollaire : irrationalité de eModifier

Début d'un lemme
Fin du lemme

Remarquons que   est entier, donc le lemme signifie que :

  • cet entier n'est autre que la partie entière de   ;
  • le réel   n'est pas entier.

On peut même démontrer de façon élémentaire que   n'est pas algébrique de degré ≤ 2 : Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?.

En fait,   est même transcendant, mais cela ne sera démontré qu'au niveau 16 : Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Démonstration de la transcendance de e et pi.