Fonction génératrice/Définition
Une fonction génératrice est une fonction que l’on associe entre autres à une variable aléatoire. Cette fonction permet alors de calculer simplement les moments de la variable aléatoire à laquelle elle est associée, notamment, comme nous le verrons, son espérance et sa variance.
Définition de la fonction génératrice associée à une variable aléatoire
modifierSoit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω. Nous appellerons fonction génératrice associée à X la fonction GX définie par :
pour tout réel tel que cette série converge.
Ce n’est que lorsque GX(t) s’exprime simplement en fonction de t que la fonction génératrice rend service. (Voir le chapitre sur les calculs des fonctions génératrices des variables aléatoires classiques.)
Autres fonctions génératrices
modifierSur un modèle similaire à la fonction génératrice associée à une variable aléatoire, nous considérerons la fonction génératrice associée à un couple de variables aléatoires.
Nous définirons aussi la fonction génératrice associée à une suite numérique ainsi que la fonction génératrice associée à une famille de polynômes.