Fonction génératrice/Fonction génératrice d'une famille de polynômes

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Définition de la fonction génératrice des polynômes.

On peut définir des fonctions génératrices pour les familles de polynômes.

Définition

Soit P_n une famille de polynômes. On appelle fonction génératrice associée à la famille P_n, la fonction F_P définie par :

$F_{p}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}(x)t^{k}$

ou :

$F_{p}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P_{k}(x)}{k!}}t^{k}$

Selon la famille étudiée, on choisira l’une ou l’autre des deux expressions selon la commodité des calculs.

Dans les paragraphes suivants, nous allons étudier quelques exemples.

Polynôme de Tchebytchev de première espèce.

Ils sont définis par :

${\begin{cases}T_{0}=1\\T_{1}=x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad T_{n+2}=2xT_{n+1}-T_{n}\end{cases}}$

On a alors :

$F_{T}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }T_{k}(x)t^{k}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}$

Polynôme de Tchebytchev de seconde espèce.

Ils sont définis par :

${\begin{cases}U_{0}=1\\U_{1}=2x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad U_{n+2}=2xU_{n+1}-U_{n}\end{cases}}$

On a alors :

$F_{U}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }U_{k}(x)t^{k}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}$

Polynôme de Laguerre.

Ils sont définis par :

${\begin{cases}L_{0}=1\\L_{1}=1-x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad L_{n+1}=(2n+1-x)L_{n}-n^{2}L_{n-1}\end{cases}}$

Ou plus simplement par :

$L_{n}(x)=e^{x}.\left(x^{n}e^{-x}\right)^{(n)}$

On a alors :

$F_{L}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}(x)}{k!}}t^{k}={\frac {e^{-{\frac {xt}{1-t}}}}{1-t}}$

Polynôme d’Hermite.

Ils sont définis par : ${\begin{cases}H_{0}=1\\H_{1}=2x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad H_{n+1}=2xH_{n}-2nH_{n-1}{\text{ ou }}H_{n}'(x)=2nH_{n-1}(x)\end{cases}}$

Ou plus simplement par :

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)}$

On a alors :

$F_{H}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {H_{k}(x)}{k!}}t^{k}=e^{2tx-t^{2}}$

Polynôme de Legendre.

Ils sont définis par :

${\begin{cases}P_{0}=1\\P_{1}=x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad (n+1)P_{n+1}=x(2n+1)P_{n}-nP_{n-1}\end{cases}}$

Ou plus simplement par :

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\left((x^{2}-1)^{n}\right)^{(n)}$

On a alors :

$F_{P}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}(x)t^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}$

Démonstration

D'après le théorème des résidus : $\int _{C}{\frac {(z^{2}-1)^{n}}{z-x}}\mathrm {d} z=2i\pi (x^{2}-1)^{n}$ où $C$ est un cercle de centre O et de rayon 1 avec |x|<1

$\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{2}-1)^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}(z^{2}-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(z-x)^{-1}\mathrm {d} z={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}(z^{2}-1)^{n}n!(z-x)^{-(n+1)}\mathrm {d} z$

donc : $P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{2}-1)^{n}={\frac {1}{2i\pi }}{\frac {1}{2^{n}}}\int _{C}{\frac {(z^{2}-1)^{n}}{(z-x)^{n+1}}}\mathrm {d} z$

Étudions maintenant les conditions de convergence de $F_{P}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}(x)t^{k}$

Soit un réel $t$ non nul. Étudions la convergence de $\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}{\frac {\mathrm {d} z}{z-x}}\sum _{n}\left({\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right)^{n}$

Comme $z\in C:\left|z-x\right|=\left|cos\theta -x+isin\theta \right|={\sqrt {1-2xcos\theta +x^{2}}}>{\sqrt {1-x^{2}}}=\left|1-x\right|>1-\left|x\right|$

et: $\left|1-z^{2}\right|=\left|1-e^{2i\theta }\right|=\left|1-cos2\theta -isin2\theta \right|={\sqrt {(1-cos2\theta )^{2}+sin^{2}2\theta }}=2\left|sin\theta \right|\leq 2\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left|1-z^{2}\right|\leq 1$

$\Rightarrow \left|{\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right|<\left|{\frac {t}{z-x}}\right|<\left|{\frac {t}{1-|x|}}\right|<1$ si $|t|<1-|x|$

Dans ces conditions, nous sommes en présence d'une série géométrique convergente :

$\sum _{n}\left({\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right)^{n}=\lim \limits _{n\to \infty }\left[{\frac {1-\left({\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}}}\right]={\frac {1}{1-{\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}}}={\frac {-2(z-x)}{tz^{2}-2z+2x+t}}$

$\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}{\frac {\mathrm {d} z}{z-x}}\sum _{n}\left({\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right)^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}\mathrm {d} z{\frac {1}{-z^{2}{\frac {t}{2}}+z-x+{\frac {t}{2}}}}$

Déterminons les racines en z du dénominateur :

$\Delta (x)=1-4\left(-{\frac {t}{2}}\right)\left(-x+{\frac {t}{2}}\right)=-2xt+1+t^{2}\Rightarrow \Delta '(x)=-2t$

Si $t<0\quad \Delta (x)$ est croissante : $\Delta (-1)=(1+t)^{2}>0\Rightarrow \Delta >0$

Si $t>0\quad \Delta (x)$ est décroissante : $\Delta (1)=(1-t)^{2}>0\Rightarrow \Delta >0$

${\sqrt {\Delta }}$ est donc toujours défini. Le dénominateur est alors :

$-z^{2}{\frac {t}{2}}+z-x+{\frac {t}{2}}=-{\frac {t}{2}}\left(z-{\frac {1}{t}}(1+{\sqrt {\Delta }})\right)\left(z-{\frac {1}{t}}(1-{\sqrt {\Delta }})\right)$

en notant: $a={\frac {1}{t}}\left(1+{\sqrt {\Delta (x)}}\right)$ et $b={\frac {1}{t}}\left(1-{\sqrt {\Delta (x)}}\right)$ sans oublier : $|t|\leq 1-|x|<1$

$\sum _{n}P_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}\mathrm {d} z{\frac {1}{-{\frac {t}{2}}(z-a)(z-b)}}$

Il faut maintenant déterminer si les pôles a et b sont situés à l'intérieur du cercle unité :

♦ Étudions: $a(x)={\frac {1}{t}}(1+{\sqrt {\Delta (x)}})\Rightarrow a'(x)={\frac {1}{\sqrt {-2xt+1+t^{2}}}}>0$

$a(x)$ est donc croissante ainsi que $\Delta (x)$:

$a(x)<a(1)=-1+{\frac {2}{t}}\quad \quad si\quad t<0\quad alors\quad a(x)<-1$

$a(x)>a(-1)=1+{\frac {2}{t}}\quad \quad si\quad t>0\quad alors\quad a(x)>1$

a(x) est donc en dehors du cercle unité.

♦ Étudions $b(x)={\frac {1}{t}}(1-{\sqrt {\Delta (x)}})\Rightarrow b'(x)={\frac {1}{\sqrt {-2xt+1+t^{2}}}}>0$

b(x) est donc croissante ainsi que $\Delta (x)$:

$b(x)>b(-1)=-1$

$b(x)<b(1)=1$

b(x) est donc à l'intérieur du cercle unité. D'après le théorème des résidus, il vient alors :

$\int _{C}\mathrm {d} z{\frac {1}{-{\frac {t}{2}}(z-a)(z-b)}}=2i\pi {\frac {1}{\sqrt {\Delta (x)}}}\Rightarrow F_{P}(t)=\sum _{n}P_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{\sqrt {\Delta (x)}}}={\frac {1}{\sqrt {t^{2}-2tx+1}}}$