Fonction inverse/Exercices/Inverse et inégalités

Prendre l'inverse dans une inégalité

1. Rappeler le tableau de variation de la fonction « inverse ». Traduire ce tableau par cinq phrases utilisant les mots : « décroissante », « asymptote » et « valeur interdite ».
2. Soit $x$ un nombre réel vérifiant $x\leq -2$.

   Peut-on alors affirmer que ${\frac {1}{x}}\geq -{\frac {1}{2}}$ ?

   Justifier par une des cinq phrases du 1° ou bien par un contre-exemple.

3. Soit $x$ un nombre réel vérifiant $x\geq -2$.

   a) Peut-on alors affirmer que ${\frac {1}{x}}\leq -{\frac {1}{2}}$ ?

   Justifier par une des cinq phrases du 1° ou bien par un contre-exemple.

   b) A quel ensemble (le plus petit possible) ${\frac {1}{x}}$ appartient-il ?

Solution

1. Revoir le cours.
2. $x\leq -2\Rightarrow {\frac {1}{x}}\geq -{\frac {1}{2}}$ car la fonction « inverse » est décroissante sur $\left]-\infty ,0\right[$.

3. a) Pour tout $x>0$ (par exemple $x=1$), on a bien $x\geq -2$ mais pas ${\frac {1}{x}}\leq -{\frac {1}{2}}$.

   b) Un réel non nul $x$ est supérieur ou égal à $-2$ si et seulement si ${\frac {1}{x}}\in \left]-\infty ,-{\frac {1}{2}}\right]\cup \left]0,+\infty \right[$.