Formule du crible/Rencontre du troisième type

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Dans ce chapitre, nous allons étudier les rencontres du troisième type que l’on peut modéliser de la façon suivante :

Rencontre du troisième type
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Chapitre no 7
Leçon : Formule du crible
Chap. préc. :Rencontre du second type
Chap. suiv. :Rencontre du p-ième type

Exercices :

sur les rencontres du troisième type
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Formule du crible/Rencontre du troisième type
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Soit une urne contenant 3n boules. Trois boules portent le numéro 1, trois autres portent le numéro 2, trois autres portent le numéro 3, et ainsi de suite.

À côté de l’urne se trouvent n boîtes numérotées de 1 à n.

On tire les boules sans remise en mettant les trois premières dans la première boîte, les trois suivantes dans la deuxième boîte, et ainsi de suite jusqu'à ce qu’il y ait trois boules par boîte.


On dira qu’il y a une rencontre dans la boîte numéro i si les trois boules de cette boîte portent le même numéro.

Soit Ai l’événement : Il y a une rencontre dans la boîte numéro i.

AiAj est alors l’événement : Il y a une rencontre dans la boîte i et une rencontre dans la boîte j.

AiAj est l’événement : Il y a une rencontre dans au moins une des deux boîtes i ou j.

Soit Xn la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre total de rencontres après les n tirages.

On a :

Calculons .

Une boule étant mise dans la boîte numéro i, la probabilité que les deux boules suivantes arrivant dans cette boîte aient le même numéro est :

.

D’après la formule des probabilités composées, on a :

Plus généralement, à l’aide de la formule des probabilités composées, on obtient :

En poursuivant alors le calcul de p(Xn ≥ 1), on obtient :

On en déduit :

Nous venons de calculer la probabilité qu’il n'y ait aucune rencontre.

Calculons maintenant p(Xn = r). Pour cela, il faut :

  • choisir les r boîtes où auront lieu les rencontres : possibilités ;
  • calculer la probabilité qu’il y ait rencontre dans ces r boîtes :
     ;
  • calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de rencontre dans les n – r autres boîtes : p(Xn–r = 0).

On aura donc :

Nous avons donc le théorème suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème