Généralités sur les fonctions/Exercices/Calcul d'image

Exercice 2-1

1) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par : $f(x)=-3x+2$.

1. Calculer l'image de $2$ par $f$.
2. Calculer $f(-3)$.
3. Calculer l'image de ${\frac {1}{6}}$ par $f$.
4. Exprimer en fonction de ${\sqrt {2}}$ le nombre $f\left({\sqrt {2}}\right)$.

Solution

1. $f(2)=-3\times 2+2=-4$.
2. $f(-3)=-3\times (-3)+2=11$.
3. $f\left({\frac {1}{6}}\right)=-3\times {\frac {1}{6}}+2={\frac {3}{2}}$.
4. $f\left({\sqrt {2}}\right)=-3{\sqrt {2}}+2$.

 

2) Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par : $f(x)=2x^{2}-3x+4$.

1. Calculer l'image de $2$ par $f$.
2. Calculer $f(-3)$.
3. Calculer l'image de ${\frac {1}{6}}$ par $f$.
4. Exprimer en fonction de ${\sqrt {2}}$ le nombre $f\left({\sqrt {2}}\right)$.

Solution

1. $f(2)=2\times 2^{2}-3\times 2+4=6$.
2. $f(-3)=2\times (-3)^{2}-3\times (-3)+4=31$.
3. $f\left({\frac {1}{6}}\right)=2\times \left({\frac {1}{6}}\right)^{2}-3\times {\frac {1}{6}}+4={\frac {32}{9}}$.
4. $f\left({\sqrt {2}}\right)=2\times \left({\sqrt {2}}\right)^{2}-3{\sqrt {2}}+4=8-3{\sqrt {2}}$.

 

3) Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R} \setminus \{2\}$ par : $f(x)={\frac {1}{x-2}}$.

1. Pourquoi ne peut-on pas calculer l'image de $2$ par $f$ ?
2. Calculer $f(-3)$
3. Calculer l'image de ${\frac {1}{6}}$ par $f$.
4. Exprimer en fonction de ${\sqrt {2}}$ le nombre $f\left({\sqrt {2}}\right)$.

Solution

1. $f$ n'est pas définie en 2.
2. $f(-3)=-{\frac {1}{5}}$
3. $f\left({\frac {1}{6}}\right)={\frac {1}{{\frac {1}{6}}-2}}={\frac {6}{1-2\times 6}}=-{\frac {6}{11}}$.
4. $f\left({\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{{\sqrt {2}}-2}}={\frac {-{\sqrt {2}}-2}{2}}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}-1$.

 

Exercice 2-2

Voici un tableau de valeurs d'une fonction f définie sur l'intervalle [–3, 4].

x	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
f(x)	10	5	2	1	2	5	10	17

1. Images et antécédents.
   1. Quelle est l'image de 2 par f ?
   2. Donner f(3).
   3. Donner le ou les antécédents de 2.
2. Représentation graphique et variations.
   1. En centrant judicieusement un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm, placer les points correspondant au tableau de valeurs.
   2. Proposer trois phrases aussi précises que possible décrivant le comportement supposé de f, utilisant respectivement les mots « décroissante », « croissante » et « minimum ».
   3. Proposer une expression algébrique qui pourrait définir la fonction f.

Solution

1. 1. f(2) = 5.
   2. f(3) = 10.
   3. f(–1) = f(1) = 2.
2. 1. Les points se situent sur une parabole de sommet (0, 1) et d'axe vertical.
   2. f est (apparemment) décroissante sur R_– et croissante sur R₊, avec un minimum en 0.
   3. f(x) = 1 + x².