Généralités sur les fonctions/Introduction

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Notion d'expression (ou formule)

Expression (formule) d'une fonction :

Une fonction mathématique écrite sous la forme d'une expression traduit visuellement l'égalité d'un ensemble contenant une variable et d'un nombre caractérisant l'image de cette expression.

La définition formelle et générale d'une fonction mathématique est la suivante (deux écritures) :

$y=f(x)$

$f:x\longrightarrow f(x)$

Vocabulaire d'une fonction mathématique et de son expression :

• Application d'une expression à une valeur particulière de la variable : Remplacement de la variable par la valeur particulière, à l'intérieur de l'expression (substitution de la valeur particulière à la variable).
• $f(x)$ : Image de la variable $x$ par la fonction $f$. Résultat de la fonction obtenu pour une valeur particulière de $x$.
• $x$ : Variable évoluant dans l'ensemble de définition de la fonction $f$. Antécédent de $y$ par la fonction $f$.

Début de l'exemple

Exemple

Soit l’expression $x^{2}+{\frac {1}{2}}$. Quand la valeur de $x$ est 1, l’expression vaut $1^{2}+{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}=1,5$

Fin de l'exemple

Application : Appliquer l’expression suivante aux valeurs de $x$ demandées :

Expression : $3x+5$

$x=1\Rightarrow$ Valeur de l’expression : .............................

$x=-3\Rightarrow$ Valeur de l’expression : .............................

$x={\frac {-7}{3}}\Rightarrow$ Valeur de l’expression : .............................

Solutions

Pour $x=1$, l’expression vaut $3\times 1+5=3+5=8$

Pour $x=-3$, l’expression vaut $3\times (-3)+5=-9+5=-4$

Pour $x={\frac {-7}{3}}$, l’expression vaut $3\times {\frac {-7}{3}}+5=-7+5=-2$

Égalité de deux expressions

Deux expressions algébriques (formules) sont égales si elles fournissent le même résultat lorsque des valeurs remplacent les variables qu'elles contiennent.

Définition

• Deux expressions $f(x)$ et $g(x)$ sont égales sur un ensemble $E$ si :

- $f(x)$ et $g(x)$ sont définies sur $E$ .

- et pour tout $x\in E$ : $f(x)=g(x)$.

Début de l'exemple

Exemple

Les expressions $a+a$ et $2a$ sont égales. En effet, quel que soit le nombre $a$ considéré, effectuer la somme $a+a$ ou multiplier $a$ par 2 fournit bien le même résultat. On peut donc écrire $a+a=2a$

Fin de l'exemple

Avertissement : Vérifier l'égalité sur quelques exemples de valeurs ne suffit pas pour pouvoir affirmer l'égalité de deux expressions. Il est nécessaire de fournir une démonstration générale basée sur les règles du calcul algébrique afin d'exprimer l'égalité de deux expressions.
Par contre, il suffit d'un seul exemple de valeurs où l'égalité n’est pas vérifiée pour pouvoir affirmer que les expressions ne sont pas égales. On dit dans ce cas qu'on a fourni un contre exemple.

Notion de fonction à une variable réelle

Fonction et image

Définition

Soit ${\mathcal {D}}$ une partie de l'ensemble des réels $\mathbb {R}$.

• Définir une fonction ƒ sur ${\mathcal {D}}$ consiste à associer à chaque nombre x appartenant à ${\mathcal {D}}$ un nombre réel unique $f(x)$.
• L'expression $f:x\mapsto f(x)$ est traduite littéralement par « ƒ est la fonction qui, à x, associe ƒ(x) ».
• On dit que « $f(x)$ est l'image de x par la fonction ƒ » ou que « x a pour image $f(x)$ ».
• ${\mathcal {D}}$ est l'ensemble (domaine) de définition de ƒ. La fonction ƒ est définie sur ${\mathcal {D}}$.

Début de l'exemple

Exemple

Soit la fonction ƒ définie sur ${\mathcal {D}}_{f}=[-2;2]$ par $f:x\mapsto x^{2}+x+3$.

L'image de $-1$ par ƒ est :

${\begin{aligned}f(-1)&=(-1)^{2}+(-1)+3\\&=1-1+3\\&=3\end{aligned}}$.

Fin de l'exemple

Dans l'exemple précédent, la fonction f est l'entité mathématique qui associe à x la valeur de l'expression. On note :

$f:x\mapsto x^{2}+{\frac {1}{2}}$

Décrire en français l'action de f sur x :

$........................................................................................................$

Image d'un nombre par une fonction

L'image d'un nombre par une fonction est la valeur que la fonction lui associe, ainsi dans l'exemple précédent :

• l'image de $1$ par la fonction f est ..................
• l'image de $-3$ par la fonction f est ................
• l'image de ${\frac {-7}{3}}$ par la fonction f est ..................

Notation "f de x"

Une expression qui définit une fonction f est souvent notée $f(x)$ qui se lit "f de x" pour signifier la dépendance à la valeur de la variable.

Attention : Ce n’est pas une multiplication par x.

Ainsi dans la question précédente on avait l’expression

$f(x)=...............................$

Et on a calculé les valeurs : $f(...)=........$ , $f(...)=........$ et $f(...)=........$.

Différence entre la fonction et son expression

Une fonction n’est pas une expression, mais un être mathématique qui peut être défini par une expression.

On peut écrire :

f est la fonction $..............$ par $f(x)=.......................$

Remarque finale : Une fonction est un objet abstrait, qui ne se voit pas.

Une fonction, c’est une manière d'associer à un nombre son image.

Une expression est une façon de décrire le processus de manière visuelle, avec une formule.

Mais une fonction peut être définie par autre chose qu'une formule : un tableau de valeurs, un graphique, une construction géométrique, une quantité physique, etc.

Antécédent

Définition

Soit ƒ une fonction définie sur un ensemble ${\mathcal {D}}$.

Si le nombre réel x a pour image y par la fonction ƒ (c'est-à-dire $f(x)=y$), on dit que x est un antécédent de y par ƒ.

Remarques

• L'image d'un nombre par une fonction est unique.
• Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (voire une infinité) par une même fonction, ou un unique antécédent, ou aucun antécédent.

Début de l'exemple

Exemple

Soit la fonction $f$ définie sur ${\mathcal {D}}_{f}=[-2,2]$ par $f:x\mapsto x^{2}+x+3$.

On a $f(-1)=3$ et $f(0)=3$. Donc 3 possède au moins deux antécédents par $f$ : –1 et 0.

Fin de l'exemple

Valeurs interdites - Ensemble des valeurs interdites

Définition

Une valeur interdite pour une expression est une valeur pour laquelle l'expression n’est pas définie (pas « calculable »).

Lorsqu'une expression admet plusieurs valeurs interdites, elles sont regroupées dans un ensemble de valeurs interdites.

Voyons ce concept illustré sur quelques exemples :

• L'expression ${\frac {1}{x-1}}$ n’est pas « calculable » pour $x-1=0$ (division par zéro), donc elle ne l'est pas pour $x=1$.

Ainsi 1 est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x-1}}$.

• L'expression ${\frac {1}{(x-1)(x+4)}}$ n’est pas « calculable » pour $(x-1)(x+4)=0$ , c'est-à-dire

pour $x=1$ et $x=-4$.

Ainsi 1 et -4 sont des valeurs interdites pour l’expression ${\frac {1}{(x-1)(x+4)}}$.

• L'expression ${\sqrt {x+2}}$ n’est pas « calculable » pour $x+2<0$ (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif). Cette expression n'a donc pas de sens pour $x<-2$.

Ainsi les valeurs interdites de ${\sqrt {x+2}}$ sont toutes les valeurs de l’ensemble $]-\infty ;-2[$, c'est-à-dire que l’ensemble des valeurs interdites de l’expression ${\sqrt {x+2}}$ est $]-\infty ;-2[$.

• L'expression ${\frac {1}{\sqrt {x+2}}}$ n’est pas « calculable » pour $x+2\leq 0$ (on ne peut ni prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif, ni diviser par zéro). Cette expression n'a donc pas de sens pour $x\leq -2$.

Ainsi les valeurs interdites de ${\frac {1}{\sqrt {x+2}}}$ sont toutes les valeurs de l’ensemble $]-\infty ;-2]$, c'est-à-dire que l’ensemble des valeurs interdites de l’expression ${\frac {1}{\sqrt {x+2}}}$ est $]-\infty ;-2]$.