Généralités sur les fonctions/Sens de variation

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Fonctions croissantes, fonctions décroissantes

Définitions

Définition d'une fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b appartenant à I :

$f(a)\leq f(b)$ quels que soient $a<b$

Remarques :

• si les inégalités sont strictes, la fonction f est strictement croissante sur I.
• Une fonction croissante conserve l'ordre.
• Visuellement, la courbe représentative de la fonction f monte lorsqu'on se déplace de la gauche vers la droite du plan P.

Définition d'une fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b appartenant à I :

$f(a)\geq f(b)$ quels que soient $a<b$

Remarques :

• si les inégalités sont strictes, la fonction f est strictement décroissante sur I.
• Une fonction décroissante change l'ordre.
• Visuellement, la courbe représentative de la fonction f descend lorsqu'on se déplace de la gauche vers la droite du plan P.

Variations d'une fonction

Définition

• Étudier les variations d'une fonction consiste à déterminer sur quels intervalles la fonction est croissante et sur quels autres intervalles elle est décroissante.
• Les variations d'une fonction sont généralement présentées dans un "tableau de variations".

x	$-\infty$ $-{\frac {3}{2}}$ $+\infty$
f	$\searrow$ $\nearrow$ $-{\frac {5}{4}}$

Définition

Soit une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre réel $x_{0}$ appartenant à I.

• $f(x_{0})$ : maximum de f sur I si, pour tout x appartenant à I :
  • $f(x)\leq f(x_{0})$.
  • Le maximum $f(x_{0})$ est atteint en $x_{0}$.
  • $f(x_{0})$ est la plus grande valeur prise par f sur I.

• $f(x_{0})$ : minimum de f sur I si, pour tout x appartenant à I :
  • $f(x)\geq f(x_{0})$.
  • Le minimum $f(x_{0})$ est atteint en $x_{0}$.
  • $f(x_{0})$ est la plus petite valeur prise par f sur I.