Géométrie différentielle/Espace tangent

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Introduction

La définition d'une variété $C^{k}$ a été donnée dans le chapitre précédent, mais elle ne répond pas à notre principale question : comment dériver des fonctions ? Pour cela, il faut introduire un nouvel espace : l'espace tangent.

Soient $M$ et $N$ deux variétés $C^{k}$, et soit $f:M\longrightarrow N$. Comment parler de la différentielle de $f$ ? Pour cela, il faut se placer dans des cartes.

Soit $x\in M$. Soit $(U,\phi _{U})$ une carte de $M$ et $(V,\phi _{V})$ une carte de $N$ tel que $x\in U$ et $f(x)\in V$. Il est alors naturel de considérer l’application $\varphi _{V}\circ f\circ \varphi _{U}^{-1}$, qui va d'un espace vectoriel dans un autre. On peut alors étudier la différentiabilité de cette fonction.

La question est : que se passe-t-il quand on change de carte ? L'espace tangent est là pour répondre à cette question.

Espace tangent

Notation

Soit $(U,\phi _{U})$ une carte. On note $E_{U}$ l'espace vectoriel d'arrivée dans lequel $U$ est inclus.

Relation d'équivalence

Soient $(U,\varphi _{U})$ et $(V,\varphi _{V})$ deux cartes de M. Soient $u\in E_{U}$ et $v\in E_{V}$. Soit $x\in U,y\in V$.

Alors $(u,\varphi _{U},x){\sim }(v,\varphi _{V},y)$ si $x=y$, et $v=d(\varphi _{V}\circ \varphi _{U}^{-1})(\varphi _{U}(x))(u)$.

Proposition :

La relation définie ci-dessus est bien une relation d'équivalence.

Définition : Espace tangent

On appelle espace tangent à $M$ l’ensemble des classes d'équivalences pour la relation précédemment définie.
On le note $TM$.

Définition : Espace tangent en x

Soit $x\in M$. On appelle espace tangent en $x$ l’ensemble des classes d'équivalences dont le troisième membre est égal à $x$.
On le note $T_{x}M$.

Différentielle

Reprenons notre fonction $f$ définie dans l'introduction. Grâce à l'espace tangent, nous allons pouvoir écrire sa différentielle.

Définition : différentielle d'une fonction

On définit $df:TM\longrightarrow TN$ de la manière suivante :
Soit $x\in M$, $(U,\varphi _{U})$ une carte de $M$ telle que $x\in U$ et $(V,\varphi _{V})$ une carte de $N$ telle que $f(x)\in V$. On définit alors $df({\overline {(u,\varphi _{U},x)}})={\overline {(d(\varphi _{V}\circ f\circ \varphi _{U}^{-1})(\varphi _{U}(x))(u),\varphi _{V},f(x))}}$.
Il est fondamental de noter que cette définition de dépend pas des cartes (preuve à écrire).

Propriété :

On note que l’on peut définir $df(x):T_{x}M\longrightarrow T_{f(x)}N$ à partir de cette définition. À CHANGER.