Géométrie différentielle/Espace tangent

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Espace tangent
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Chapitre no 2
Leçon : Géométrie différentielle
Chap. préc. :Définitions élémentaires
Chap. suiv. :Fibré et Fibré tangent
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Géométrie différentielle/Espace tangent
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IntroductionModifier

La définition d'une variété   a été donnée dans le chapitre précédent, mais elle ne répond pas à notre principale question : comment dériver des fonctions ? Pour cela, il faut introduire un nouvel espace : l'espace tangent.

Soient   et   deux variétés  , et soit  . Comment parler de la différentielle de   ? Pour cela, il faut se placer dans des cartes.


Soit  . Soit   une carte de   et   une carte de   tel que   et  . Il est alors naturel de considérer l’application  , qui va d'un espace vectoriel dans un autre. On peut alors étudier la différentiabilité de cette fonction.


La question est : que se passe-t-il quand on change de carte ? L'espace tangent est là pour répondre à cette question.

Espace tangentModifier






DifférentielleModifier

Reprenons notre fonction   définie dans l'introduction. Grâce à l'espace tangent, nous allons pouvoir écrire sa différentielle.