Géométrie différentielle/Formes différentielles

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Ce cours est une ébauche à l'abandon depuis 2013.

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Produit extérieur

Soient $V$ et $W$ deux espaces vectoriels sur K.

Espace vectoriel libre

On appelle espace vectoriel libre l'espace $F(V\times W)=\left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{(v_{i},w_{i})}\ {\Bigg |}\ n\in \mathbb {N} ,\alpha _{i}\in K,(v_{i},w_{i})\in V\times W\right\}$.

Définition : produit tensoriel

On se place sur $F$ et on définit une relation d'équivalence comme étant la relation d'équivalence minimale $\sim$ vérifiant les propriétés suivantes :

${\begin{aligned}e_{(v_{1}+v_{2},w)}&\sim e_{(v_{1},w)}+e_{(v_{2},w)}\\e_{(v,w_{1}+w_{2})}&\sim e_{(v,w_{1})}+e_{(v,w_{2})}\\ce_{(v,w)}&\sim e_{(cv,w)}\sim e_{(v,cw)}\end{aligned}}$

On appelle produit tensoriel de V et de W l’ensemble des classes d'équivalence de F. On le note $V\otimes W$.

Propriété

$V\otimes W$ est un espace vectoriel de dimension dim(V)*dim(W). Si $(v_{i})_{i\in [|1,n|]}$ et $(w_{i})_{i\in [|1,k|]}$ forment des bases de $V$ et $W$ respectivement, alors $(e_{(v_{i},w_{j})})_{(i,j)\in [|1,n|]\times [|1,k|]}$ est une base de $V\otimes W$.

Produit tensoriel n-fois

Définition : produit extérieur

Soit $E$ un espace vectoriel. On définit une relation d'équivalence sur $E\otimes E$ par $e_{(u,v)}\sim -e_{(v,u)}$ et on appelle l’ensemble des classes d'équivalences $E\wedge E$, qui peut être muni d'une structure « naturelle » d'espace vectoriel.

Définition : puissance extérieure

Propriété : $\Lambda ^{p}(E^{*})\cong (\Lambda ^{p}E)^{*}$

On pose $\phi :\left\{{\begin{aligned}\Lambda ^{p}(E^{*})&\longrightarrow (\Lambda ^{p}E)^{*}\\e_{1}^{*}\wedge ...\wedge e_{p}^{*}&\mapsto \left((u_{1}\wedge ...\wedge u_{p})\mapsto \sum _{\sigma \in \Sigma _{p}}\pi (\sigma )e_{1}^{*}(u_{\sigma (1)})....e_{p}^{*}(u_{\sigma (p)})\right)\end{aligned}}\right.$ ;

$\phi$ est un isomorphisme, et on peut donc identifier $\Lambda ^{p}(E^{*})$ à $(\Lambda ^{p}E)^{*}$.

Définition : produit extérieur d'un fibré

Soit $E$ un fibré vectoriel de base $M$. On définit $E\wedge E=\bigcup _{x\in M}E_{x}\wedge E_{x}$.

Propriété :

Le produit extérieur d'un fibré est encore un fibré.

Forme différentielle

Définition : forme différentielle de degré p

Soit $M$ une variété de degré n. L'ensemble des formes différentielles de degré p est $\Lambda ^{p}(T^{*}M)$.

Soit $\sigma \in \Lambda ^{p}(T^{*}M)$, on a alors pour $x\in M,\sigma (x)\in \Lambda ^{p}(T_{x}^{*}M)$. De plus, on identifie $\Lambda ^{p}T_{x}^{*}M$ à $(\Lambda ^{p}T_{x}M)^{*}$.

Notation : $\varphi ^{*}$, pull-back

Soient $M$ et $N$ deux variétés de dimensions m et n. Si $f:M\rightarrow N$ est une application de classe $C^{1}$, et si $\alpha$ est une forme différentielle de degré $k$ sur $N$, on définit $f^{*}\alpha$ comme une forme différentielle de degré $k$ sur $M$ par :

$(f^{*}\alpha )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=\alpha _{f(x)}(\mathrm {d} f_{x}(v_{1}),\dots ,\mathrm {d} f_{x}(v_{k}))$.

Si k = 0, on pose $f^{*}\alpha =\alpha \circ f$

Début d’un théorème

Existence et unicité de la dérivée extérieure

Soit $M$ une variété de dimension n. Alors il existe une unique dérivée extérieure.

Fin du théorème

Intégration

Définition : forme de volume

On appelle forme de volume une forme différentielle $\sigma$ de degré n telle que $\forall x\in M,\sigma (x)\neq 0$.

Définition : formes de volume équivalentes

Deux formes de volume $\sigma$ et $\rho$ sont dites équivalentes s'il existe $f:M\to \mathbb {R} \in C^{\infty }(M)$ vérifiant $\forall x\in M,f(x)>0$ telle que $\sigma =f\rho$, c'est-à-dire, $\forall x\in M,\sigma (x)=f(x)\rho (x)$.

Définition : orientation d'une variété

Soit $M$ une variété de dimension n. $M$ est dite orientable s'il existe une forme de volume sur $M$. Une orientation sur $M$ est une classe d'équivalence de forme de volume.

Définition : orientation d'une carte

Soit $M$ une variété orientée de dimension n, et soit $(U,\varphi )$ une carte de $M$. On dit que $(U,\varphi )$ est orientée positivement si $\varphi ^{*}($

Propriété :

L'intégration « locale » ne dépend pas de la carte, elle est intrinsèque.