Géométrie symplectique/Variété symplectique

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Forme symplectique

Définition

Une variété symplectique est une variété différentielle M munie d'une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée ω. Une telle forme s’appelle une forme symplectique.

En un point x, on dispose donc d'une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur l'espace tangent $T_{x}M$. Cela implique en particulier que la dimension de M soit paire (voir chapitre 1). De plus, la puissance n-ième $\omega ^{n}$ définit une forme volume, c'est-à-dire une forme de degré maximale de tout point non nulle. De fait, l’existence d'une forme symplectique implique que la variété soit orientable.

Exemples

• Espace vectoriel symplectique (voir le chapitre 1)
• Tore symplectique

Sous-variétés

• Sous-variétés lagrangiennes

Argument de Moser

Début d’un théorème

Théorème

Soient deux formes volume $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ sur une même variété compacte M. Alors il existe un difféomorphisme de M, isotope à l'identité, transformant $\Omega _{1}$ en $\Omega _{2}$.

Fin du théorème

Théorème de Darboux

Début d’un théorème

Théorème

Pour toute variété symplectique $(M,\omega )$ de dimension 2n, et point x de M, il existe un difféomorphisme symplectique d'un voisinage de x sur un ouvert de $\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})$.

Fin du théorème