Géométrie symplectique/Variété symplectique

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Variété symplectique
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Chapitre no 3
Leçon : Géométrie symplectique
Chap. préc. :Groupe symplectique
Chap. suiv. :Dynamique hamiltonienne
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Forme symplectiqueModifier

Une variété symplectique est une variété différentielle M munie d'une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée ω. Une telle forme s’appelle une forme symplectique.

En un point x, on dispose donc d'une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur l'espace tangent  . Cela implique en particulier que la dimension de M soit paire (voir chapitre 1). De plus, la puissance n-ième   définit une forme volume, c'est-à-dire une forme de degré maximale de tout point non nulle. De fait, l’existence d'une forme symplectique implique que la variété soit orientable.

ExemplesModifier

  • Espace vectoriel symplectique (voir le chapitre 1)
  • Tore symplectique

Sous-variétésModifier

  • Sous-variétés lagrangiennes

Argument de MoserModifier

  • Forme volume
Soient deux formes volume   et   sur une même variété compacte M. Alors il existe un difféomorphisme de M, isotope à l'identité, transformant   en  .

Théorème de DarbouxModifier

Théorème de Darboux :
Pour toute variété symplectique   de dimension 2n, et point x de M, il existe un difféomorphisme symplectique d'un voisinage de x sur un ouvert de  .

Théorème de WeinsteinModifier