Gestion de portefeuille/Exercices/Rentabilité et risque

Un investissement a une rentabilité espérée de 10 % par an avec un écart-type de 18%. Le coefficient d’aversion au risque $\theta$ est de 2,5 . Quel est le rendement sans risque minimum pour avoir la même satisfaction ( utilité ) pour l' investisseur ?

Exercice 1

Solution

La fonction d' utilité d' un investisseur représente l' arbitrage qu'il fait entre le risque et le rendement. L' investisseur est risquophobe avec un $\theta$ de 2,5 > 0 .
La fonction d' utilité moyenne-variance est :

$U=E(R)-{\frac {\theta }{2}}\sigma ^{2}=10\%-{\frac {2,5}{2}}.(18\%)^{2}=0,06=6\%$

Pour avoir la même utilité, l' investisseur devrait trouver un actif réputé sans risque avec un rendement sans risque de 6 % ( ce qui malheureusement est actuellement irréaliste ).

 

Exercice 2

Un investisseur dispose de 200 000 euros. Il achète des actions pour 150 000 euros avec un rendement espéré de 6 % par an et une volatilité estimée à 20%. Avec les 50 000 euros restant, il investit dans une obligation avec un taux actuariel de 0,3 % . Calculer le coefficient d'aversion au risque $\theta$.

Solution

Considérons la fonction d' utilité moyenne-variance :

$E(R_{p})-{\frac {\theta }{2}}\sigma _{p}^{2}$

où $E(R_{p})$ est la rentabilité espérée du portefeuille p pour l'actif risqué , $\sigma$ la volatilité, $\sigma ^{2}$ la variance , et $\theta$ le coefficient d'aversion au risque.

si $W_{o}$ est la richesse initiale , $W_{f}$ la richesse finale et $x$ le pourcentage de produits risqués, on aura:

$W_{f}=xW_{o}(1+R)+(1-x)W_{o}(1+r)$

où R est le rendement espéré, r le rendement du taux sans risque

d’où la rentabilité espérée

$E(R_{p})={\frac {W_{f}-W_{o}}{W_{o}}}=r+x(R-r)$

Comme l' investisseur veut optimiser son portefeuille (i.e. avoir le maximum de profit) on doit avoir :

$E(R_{p})-{\frac {\theta }{2}}\sigma _{p}^{2}\rightarrow max$

avec $\sigma _{p}=x.\sigma _{R}$

Pour avoir les extremums ( ou extréma ) d'une fonction, il faut annuler la dérivée première.

${\frac {d}{dx}}(r+x(R-r)-{\frac {\theta }{2}}.(x.\sigma _{R})^{2})=(R-r)-\theta .x.\sigma _{R}^{2}=0$

On a donc

$\theta ={\frac {R-r}{x.\sigma ^{2}}}={\frac {6\%-0,3\%}{75\%.(20\%)^{2}}}={\frac {0,06-0,003}{0,75.(0,2)^{2}}}=1,90$

le coefficient d'aversion au risque $\theta$ est égal à 1,90 > 0 .