En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Initiation à la mécanique des milieux continus solides élastiques : Déformations Initiation à l'élasticité/Déformations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Déplacement: Seule quantité que l’on peut mesurer.
Remarque
On ne mesure pas les forces, les contraintes ni les déformations.
[[Déformation: à généraliser.]]
Après déformation la nouvelle longueur est
On pose en général
où
Or on suppose
Remarque : L et Lo sont mesurés dans la direction d'application des forces.
Soit un point de référence, par exemple l'origine du repère, et soit un point M de l'espace occupé par un volume élémentaire de référence P à l'instant t.
Au cours d'un déplacement un VER occupe une infinité de positions.
On considère seulement:
l'état initial
l'état final
Le mouvement est causé par l’application d'une force.
Un déplacement est la différence entre les positions finales et initiales des VER.
On peut définir le déplacement du VER au cours du mouvement par:
Remarque : On définit toujours la géométrie et on référence toujours les points du système dans sa position initiale.
3. Approximation de l'élasticité classiquemodifier
Il y a beaucoup d'approximations mécaniques.
On considère un système statique (accélération nulle)
On considère des petits déplacements HPP: Hypothèse des Petites Perturbations.
Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{matrix} »): {\displaystyle \begin{matrix} d = {{unité|10|cm}} \\ si L = {{unité|10|m}} \end{matrix} \, }
Cas de petites perturbations:
-Béton
-Bois
-Les métaux (sauf domaine plastique)
On tolère 1 cm maxi par mètre de poutre.
La variation de la distance entre 2 points de la poutre est de quelques micromètres.
Cas où l’on est pas dans l'hypothèse des petites perturbations:
matériaux concernés :
- plastiques (mais pas tous)
- liquides et fluides
- domaine plastique des métaux
On a une linéarité géométrique. Par exemple une section très fine qui fait de petits efforts entraine une grande déformation (cas de géométrie particulière)
Dans le cas des HPP:
le déplacement est le champ de déplacement infinitésimal à partir de l'état initial.
L'état final est infiniment proche de l'état initial.
L'intérêt est que l’on peut appliquer des règles de différenciation.
Soit une configuration de référence où le volume de matière considéré occupe le point M.
Ce même volume occupe le point M’ pour la configuration final.
On compare seulement la position finale et initiale, on n’a pas besoin du temps.
On considère que le système est statique tout le temps, pour la configuration initiale, pour la configuration finale mais aussi pour toutes les étapes intermédiaires. (Il est quasi statique pour les configurations intermédiaires)
- On applique ce que dit l’approximation des « petites déformations » qui devrait être appelée « petits déplacement » :
Mathématiquement, l’approximation des petits déplacements veut dire que est le champ de vecteur déplacement infinitésimale à partir de l’état initial ( )
=
Variation des déplacements autour d’un pointmodifier
Variation du déplacement autour d’un pointmodifier
Tenseur des déformations.
B est très proche de A
On suppose que est connu.
Peut-on déterminer connaissant ?
ou
On définit :
: tenseur des déformations
: tenseur rotation
On a :
Pourquoi correspond à une rotation de corps rigide ?
3 valeurs scalaires suffisent pour écrire .
→ un vecteur suffirait pour décrire une matrice antisym.
Quelles informations pratiques peut-on obtenir avec ?
→ Variation de longueur ?
→ Variation de volume ?
→ Variation d’angle ?
(→ Variation de surface ?)
Filière de matière :
de direction (vecteur unitaire)
A et B points infiniment proche l’un de l’autre.
en on peut définir une infinité de fibre de direction
Remarque :
→ surface dS contrainte
→ fibre
Résultats mathématiques :
Variation de longueur à partir de vecteur déformation et sa décomposition en allongement et glissementmodifier
D’autre part donne
avec toujours
donc
contient à la fois une déformation et un mouvement rigide
On donne par
On regarde le mouvement rigide et la déformation :
On pose :
: vecteur déformation ()
: le glissement
: l'allongement relatif
Remarque :
On peut ainsi obtenir en fonction de
Interprétation de
Si on cherche l’allongement (relatif) et le glissement dans une direction qui correspond au vecteur de base du repère.
Soit
Les termes diagonaux de correspondent aux allongements relatifs dans la direction des vecteurs de la base dans laquelle est exprimé .
Distorsion pour les directions des vecteurs de base à connu.
Soit et on veut
Pour et
Donc
Si
Les termes non diagonaux du tenseur des déformations donnent la variation d’angle des vecteurs de base du repère.
Conclusion analyse de (cf poly TD)
est symétrique donc il admet 3 déformations principales et des directions principales et invariants.
Avec on peut calculer la variation de longueur
Calculer une variation de volume
Calculer une variation d’angle
Calculer une variation d’aire
Soit S la surface de volume, certains points de S ont des déplacements connus (ou imposé) .
Surface
?
0
Exemple : un objet posé sur une table
Quel frottement ? = pas de frottement
Si on néglige strictement la gravité, pas de CL sur la surface | z = 0
Souvent on ne prend pas en compte la gravité dans l’équilibre, mais on la considère pour les CL.
Surface
z = 0
CL au niveau du contact ?
Pour tout point tel que
Difficultés pour exprimer les CL