Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances

Primitives et fonctions puissances
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Exercices no1
Leçon : Initiation au calcul intégral

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Primitive prenant une valeur donnée en un point
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Fonctions de la forme u’ × uⁿ

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Exercice 1

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On cherche une primitive sur   de la fonction  

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme  
b. À titre d'exemple, dériver la fonction  

 

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
d. En déduire une primitive F de f sur   :

 

e. Vérification :  

Exercice 2

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De même avec   en faisant apparaître la dérivée de  

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  • Vérification :  

Exercice 3

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De même avec   en faisant apparaître la dérivée de  

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  • Vérification : ...

Fonctions de la forme

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Exercice 1

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On cherche une primitive sur   de la fonction  

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme  
b. À titre d'exemple, dériver la fonction  

 

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

 

d. En déduire une primitive F de f sur   :

 

e. Vérification :  

Exercice 2

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De même sur   avec   en faisant apparaître la dérivée de  

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  • Vérification :  

Exercice 3

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De même sur   avec   en faisant apparaître la dérivée de G(x)=...

[ Pourquoi 1 est-il exclu ? f(1) = 1, G(1) = 1 / ((5x1x1x1 - 4) puis. 3) = 1 et G'(1) = -45 x f(1) = -45. La valeur à exclure est la racine cubique de 4/5 qui est inférieure à 1.]

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  • Vérification : ...


[Dans la solution ci-dessous, on trouve G(x) = 1 / ((5x puis.3 - 4) puis. 3) et u(x) = 5x puis.3 - 4. Plus loin, on trouve G(x) = 1 / u(x) ce qui est une incohérence. Il faudrait écrire G(x) = 1 / (u(x) puis. 3).]