Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances
Fonctions de la forme u’ × uⁿ
modifierExercice 1
modifierOn cherche une primitive sur de la fonction
- a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme
- b. À titre d'exemple, dériver la fonction
- c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
- d. En déduire une primitive F de f sur :
- e. Vérification :
a.
b. Ici :
- u(x)=x+5
- u'(x)=1
- n=3
|
c.
d. Une primitive F de f sur est alors
e.
Donc est bien une primitive de f. |
Exercice 2
modifierDe même avec en faisant apparaître la dérivée de
- Vérification :
- Comme lorsqu'on dérive, l'exposant est diminué de 1, il faut poser la fonction
- On pose . Sa dérivée est
- On a alors
- On calcule la dérivée de G avec la formule (avec n=4) :
- On exprime f en fonction de G' :
- On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f :
- On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :
Donc est une primitive de f |
Exercice 3
modifierDe même avec en faisant apparaître la dérivée de
- Vérification : ...
- On cherche à utilier la formule . On essaye alors de poser :
- n=3 (car l'exposant va diminuer de 1 en dérivant et on veut un 2)
- On dérive u :
- La dérivée de G est alors
- On relie f à G' en remarquant que
- On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f :
- On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :
Donc est une primitive de f |
Fonctions de la forme
modifierExercice 1
modifierOn cherche une primitive sur de la fonction
- a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme
- b. À titre d'exemple, dériver la fonction
- c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
- d. En déduire une primitive F de f sur :
- e. Vérification :
a. Cette question est un peu piégeuse :
- si n = 0, il s'agit d'une constante, dont la dérivée est nulle ;
- sinon, on utilise la dérivée d'un quotient :
- adapté au cas qui nous concerne, la dérivée recherchée est :
Remarque : on aurait pu la retrouver à partir de la formule donnant la dérivée de uⁿ.
b. On a simplement :
c. D'après les questions précédentes :
Il est immédiat qu'une primitive de ƒ est -3G. En effet :
e.
Exercice 2
modifierDe même sur avec en faisant apparaître la dérivée de
- Dans cette configuration, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout .
- On dérive alors G :
- pour tout
- pour tout
- n=2
- pour tout
- On relie G' à f par pour tout
Une primitive F de f est alors définie par pour tout |
- Vérification :
Exercice 3
modifierDe même sur avec en faisant apparaître la dérivée de G(x)=...
[ Pourquoi 1 est-il exclu ? f(1) = 1, G(1) = 1 / ((5x1x1x1 - 4) puis. 3) = 1 et G'(1) = -45 x f(1) = -45. La valeur à exclure est la racine cubique de 4/5 qui est inférieure à 1.]
- Vérification : ...
[Dans la solution ci-dessous, on trouve G(x) = 1 / ((5x puis.3 - 4) puis. 3) et u(x) = 5x puis.3 - 4. Plus loin, on trouve G(x) = 1 / u(x) ce qui est une incohérence. Il faudrait écrire G(x) = 1 / (u(x) puis. 3).]
- Là encore, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout .
- On dérive G :
- pour tout
- pour tout
- n=3
- pour tout
- On relie G' à f par pour tout
Une primitive F de f est alors définie par pour tout |