Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et logarithme

Nous nous proposons, dans cet exercice, de calculer une primitive de $f(x)={\frac {5}{x^{2}+x-6}}$

1. Factoriser $x^{2}+x-6$

2. Calculer a et b tels que $f(x)={\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}$

3. En déduire une primitive de f sur $]2;+\infty [$

Solution

1.

Méthode générale

On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :

$\Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4\times (-6)=1+24=25$

On a $\Delta >0$, donc le polynôme admet deux racines :

$x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-1+5}{2}}=2$

$x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-1-5}{2}}=-3$

Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :

$x^{2}+x-6=\left(x-2\right)\times \left(x+3\right)$

Autre méthode

Une racine évidente de ce polynôme est x₁ = 2. Pourtant, il ne s'agit pas d'une identité remarquable. Par conséquent, il admet deux racines réelles.

On sait que la somme des racines égale -b/a = -1 et on trouve la seconde racine y. On résout ainsi directement le problème :

$x^{2}+x-6=\left(x-2\right)\times \left(x+3\right)$

2. Il existe principalement trois méthodes pour résoudre cette question :

Première méthode

$f(x)={\frac {5}{x^{2}+x-6}}$

Et on cherche a et b tels que :

$f(x)={\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}$

Mettons ces fractions au même dénominateur :

${\begin{aligned}{\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}&={\frac {a(x-2)}{(x+3)\times (x+3)}}+{\frac {b(x+3)}{(x-2)\times (x-2)}}\\&={\frac {ax+3a+bx-2b}{(x+3)\times (x-2)}}\\&={\frac {(a+b)x+3a-2b}{(x+3)\times (x-2)}}\\&={\frac {(a+b)x+3a-2b}{x^{2}+x-6}}\end{aligned}}$

Les nombres a et b sont ainsi solution lorsque :

${\begin{cases}a+b=0\\3a-2b=5\end{cases}}$

La première relation impose b = -a. En remplaçant dans la seconde :

$3a+2a=5$

On trouve :

$a=1\qquad b=-1$.

Nous obtenons donc :

$f(x)={\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+3}}$

Deuxième méthode

$f(x)={\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}$

s'écrit, compte tenu de la factorisation de la question précédente :

${\frac {5}{(x-2)(x+3)}}={\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}$

En multipliant tous les termes par (x-2), on obtient :

${\frac {5}{(x+3)}}=a+{\frac {b(x-2)}{x+3}}$

Et en remplaçant x par 2, on obtient :

${\frac {5}{(2+3)}}=a+{\frac {b(2-2)}{2+3}}$

Soit a = 1

Toujours à partir de :

${\frac {5}{(x-2)(x+3)}}={\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}$

en multipliant tous les termes par (x+3), on obtient :

${\frac {5}{(x-2)}}={\frac {a(x+3)}{x-2}}+b$

et en remplaçant x par -3, on obtient :

${\frac {5}{(-3-2)}}={\frac {a(-3+3)}{-3-2}}+b$

Soit b = -1

Vérification (nécessaire car les conditions trouvées a = 1 et b = -1 sont seulement nécessaires mais on ne sait pas encore si elles sont suffisantes) :

${\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+3}}={\frac {x+3-x+2}{(x-2)(x+3)}}={\frac {5}{x^{2}+x-6}}=f(x)$

Troisième méthode

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {5}{x^{2}+x-6}}\\&={\frac {5}{(x-2)(x+3)}}\\&={\frac {x+3-x+2}{(x-2)(x+3)}}\\&={\frac {x+3}{(x-2)(x+3)}}-{\frac {x-2}{(x-2)(x+3)}}\\&={\frac {1}{(x-2)}}-{\frac {1}{(x+3)}}\end{aligned}}$

3. Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédemment :

$f(x)={\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+3}}$

En effet, on sait calculer les primitives des fonctions de la forme u'/u (ce sont des logarithmes ln u). Dans notre cas, si on pose :

$u_{1}=(x-2)$

$u_{2}=(x+3)$

En dérivant :

$u'_{1}=1$

$u'_{2}=1$

Par conséquent :

${\frac {u'_{1}}{u_{1}}}={\frac {1}{x-2}}$

${\frac {u'_{2}}{u_{2}}}={\frac {1}{x+3}}$

Et on peut réécrire ƒ sous la forme :

$f(x)={\frac {u'_{1}}{u_{1}}}-{\frac {u'_{2}}{u_{2}}}$

On peut alors facilement trouver que les primitives de ƒ sont les fonctions :

$F(x)=\ln(x-2)-\ln(x+3)+K$

où K est une constante.