Initiation aux probabilités/Expérience aléatoire

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Ce premier chapitre étudie la notion d'expérience aléatoire pour pouvoir définir ce que l'on appelle l'événement élémentaire, élément de base d'un nouveau type d'ensemble que l'on appellera univers.

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Expérience aléatoire et événement élémentaire

Lors de toutes situations, on souhaite deviner l'avenir, mais le résultat (l'issue) n'est parfois voir souvent point au rendez-vous, une telle opération dont l'issue est à priori imprévisible est une expérience aléatoire.

Supposons que l'on ait un jeu de 52 cartes et supposons qu’on tire une carte au hasard.

Si les cartes sont retournées, l'issue (résultat) de l'expérience est imprévisible. On appelle cela une expérience aléatoire.

« Tirer un roi de pique », par exemple, constitue ce qu'on appelle un événement élémentaire.

« Tirer une dame de trèfle » est un autre événement élémentaire.

L'événement élémentaire est l'élément fondamental en probabilité, de même que le point est l'élément fondamental en géométrie, de même que le nombre est l'élément fondamental en algèbre.

Cette notion est très importante et doit être parfaitement assimilée.

L'ensemble des événements élémentaires constituant une expérience aléatoire est appelé univers.

Exemple

Prenons un exemple pour illustrer et bien comprendre le paragraphe précédent.

On lance deux dés simultanément. Décrire l'univers $\Omega$ constituant cette expérience aléatoire.

L'univers $\Omega$ est constitué des événements élémentaires suivants :

Tirer le 1 et le 1.	Tirer le 1 et le 2.	Tirer le 1 et le 3.	Tirer le 1 et le 4.	Tirer le 1 et le 5.	Tirer le 1 et le 6.
Tirer le 2 et le 1.	Tirer le 2 et le 2.	Tirer le 2 et le 3.	Tirer le 2 et le 4.	Tirer le 2 et le 5.	Tirer le 2 et le 6.
Tirer le 3 et le 1.	Tirer le 3 et le 2.	Tirer le 3 et le 3.	Tirer le 3 et le 4.	Tirer le 3 et le 5.	Tirer le 3 et le 6.
Tirer le 4 et le 1.	Tirer le 4 et le 2.	Tirer le 4 et le 3.	Tirer le 4 et le 4.	Tirer le 4 et le 5.	Tirer le 4 et le 6.
Tirer le 5 et le 1.	Tirer le 5 et le 2.	Tirer le 5 et le 3.	Tirer le 5 et le 4.	Tirer le 5 et le 5.	Tirer le 5 et le 6.
Tirer le 6 et le 1.	Tirer le 6 et le 2.	Tirer le 6 et le 3.	Tirer le 6 et le 4.	Tirer le 6 et le 5.	Tirer le 6 et le 6.

On remarque qu'il y a 36 événements élémentaires possibles.

On dira que le cardinal de l'univers $\Omega$ est 36.

Remarque importante

Attention à ne pas confondre !

Dans l'exemple précédent, à la question "combien y-a-t-il d'événements élémentaires?", certains vont répondre 6 car il y a 6 faces dans un dé. D'autres vont répondre 12 car il y a deux dés et chaque dé a 6 faces. Ces réponses sont fausses.

Il faut bien retenir que le cardinal d'un univers est le nombre d'événements élémentaires susceptibles de se produire dans cet univers et ne doit pas être confondu avec la morphologie des objets utilisés pour réaliser cette expérience aléatoire.

Si, pour prendre un autre exemple, on tire 5 cartes dans un jeu de 52 cartes. Le cardinal de l'univers ne sera pas 52 mais le nombre de possibilités que l'on a de tirer les 5 cartes, c'est-à-dire 2598960, ce nombre se calcule en Combinatoire (dénombrement).

La confusion précédente provient du fait qu'au lieu d'écrire :

• « Tirer le 3 et le 2 en lançant deux dés »

on écrira simplement :

• $(3;\,2)$

Il faut bien prendre conscience que la notation $(3;\,2)$ ne signifie pas : L'ensemble des deux faces 3 et 2 d'un dé (car sinon on aurait écrit $\{2;3\}$) mais signifie l'événement élémentaire : « Tirer le 3 et le 2 en lançant deux dés ».

Il faut bien penser à la notion d'action dans un événement élémentaire.

Très souvent, l'univers sera constitué d'événements élémentaires dont l'objectif sera d'atteindre l'une des issues de l'expérience aléatoire. À ce moment-là, le nombre d'événements élémentaires sera égal au nombre d'issues possibles dans l'expérience aléatoire. Par abus de concept, on pourra alors envisager que l'univers est l'ensemble des issues de l'expérience aléatoire (bien qu'une issue en elle-même ne soit pas une action mais le résultat observable d'une expérience aléatoire).

Événements

On appellera événement, un sous-ensemble de l'univers considéré.

Par exemple, supposons qu'on lance un dé. L'univers $\Omega$ sera constitué des événements élémentaires suivants :

• « Le dé s'immobilise sur la face 1 »
• « Le dé s'immobilise sur la face 2 »
• « Le dé s'immobilise sur la face 3 »
• « Le dé s'immobilise sur la face 4 »
• « Le dé s'immobilise sur la face 5 »
• « Le dé s'immobilise sur la face 6 »

On peut même écrire que $\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}$

Dans cette expérience aléatoire, après avoir défini $\Omega$, nous pouvons alors imaginer des événements plus élaborés comme, par exemple, l'événement :

• « Le dé s'immobilise sur une face portant un numéro pair »

Cet événement ne fait pas partie des 6 événements élémentaires constituant l'univers précédent, mais on peut dire qu'il est réalisé si un des trois événements élémentaires suivants est réalisé :

• « Le dé s'immobilise sur la face 2 »
• « Le dé s'immobilise sur la face 4 »
• « Le dé s'immobilise sur la face 6 »

On dira donc que l'événement :

• « Le dé s'immobilise sur une face portant un numéro pair »

est le sous-ensemble de l'univers $\Omega$ constitué des trois événements élémentaires :

• « Le dé s'immobilise sur la face 2 »
• « Le dé s'immobilise sur la face 4 »
• « Le dé s'immobilise sur la face 6 »

Ou tout simplement $\{2;4;6\}$

Dans la théorie des ensembles, le sous-ensemble d'un univers qui ne contient rien est l'ensemble vide, noté $\varnothing$. On considérera aussi comme sous-ensemble, le sous-ensemble qui contient tous les éléments de $\Omega$, c'est-à-dire $\Omega$ lui-même.

En théorie des probabilités, l'ensemble vide $\varnothing$ sera appelé événement impossible et l'univers $\Omega$ en tant qu'événement sera appelé événement certain.

Par exemple, l'événement :

« Le dé s'immobilise sur une face ayant un numéro supérieur ou égal à 1 »

est un événement certain.

et l'événement :

• « Le dé s'immobilise sur la face 7 »

est un événement impossible.

Événements contraires

Soit $A$ un sous-ensemble de $\Omega$. $A$ est donc un événement. Par définition, l'ensemble des événements élémentaires qui ne sont pas dans $A$ est noté ${\bar {A}}$ et appelé événement contraire de $A$.

Deux événements sont contraires si, à eux deux, ils contiennent tous les événements élémentaires de l'univers $\Omega$ sans avoir d'éléments en commun.

Par exemple les deux événements :

• « Le dé s'immobilise sur une face portant un numéro pair »
• « Le dé s'immobilise sur une face portant un numéro impair »

sont deux événements contraires de l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé.

Corolaire : le contraire de $\Omega$ c'est $\varnothing$.

Événements incompatibles

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si aucun événement élémentaire n'appartient à la fois à l'un et à l'autre.

En théorie des ensembles, on note cela :

$A\cap B=\varnothing$

$\varnothing$ étant l'ensemble vide, c'est-à-dire l'événement impossible.

Il est à remarquer que si deux événements sont incompatibles, il peut y avoir des événements élémentaires de $\Omega$ qui ne sont ni dans l'un, ni dans l'autre. Par conséquent on peut dire que deux événements contraires sont incompatibles, mais deux événements incompatibles ne sont pas obligatoirement contraires.

Réunion et intersection de deux événements

Soit $A$ et $B$ deux événements.

En théorie des ensembles, $A\cup B$ désigne un ensemble contenant la réunion de tous les éléments de $A$ et de tous les éléments de $B$. Un élément appartient à $A\cup B$ s'il appartient à $A$ ou s'il appartient à $B$. Traduit dans la théorie des probabilités, cela signifie que $A\cup B$ est réalisé si $A$ est réalisé ou si $B$ est réalisé. Par conséquent, en probabilité, $A\cup B$ se lira « $A$ ou $B$ ».

De même, en théorie des ensembles $A\cap B$ désigne un ensemble contenant les éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$. Un élément appartient à $A\cap B$ s'il appartient à $A$ et s'il appartient à $B$. Traduit dans la théorie des probabilités, cela signifie que $A\cap B$ est réalisé si $A$ est réalisé et si $B$ est réalisé. Par conséquent, en probabilité, $A\cap B$ se lira « $A$ et $B$ ».

Il est bien possible que pour $A\cup B$, l'élément soit dans $A$ et $B$ parce que c'est un ou inclusif, son contraire est un ou exclusif et s'écrit $A\,\Delta \,B$.