Initiation aux systèmes d'équations/Mise en équation d'un problème

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Nous allons, dans ce chapitre, voir comment utiliser ce qui précède pour résoudre des problèmes concrets.

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Supposons que l’on ait un problème à résoudre. Dans un problème, on nous donne certaines indications et à partir de ces indications, nous devons trouver les valeurs de certaines quantités que l’on nous demande de calculer. Nous allons voir comment les équations permettent de simplifier la résolution d'un problème.

Le plus simple pour comprendre comment procéder est encore de donner des exemples :

Premier exemple

Soit à résoudre le problème suivant :

Problème. Un libraire vend des cahiers rouges et des cahiers bleus. Les cahiers rouges valent 5 euros et les cahiers bleus valent 7 euros. Un client entre dans la librairie et achète 11 cahiers. Il passe à la caisse et paye 69 euros. Combien a-t-il acheté de cahiers rouges et combien a-t-il acheté de cahiers bleus ?

Pour pouvoir résoudre ce problème, nous allons le traduire en équations. C'est ce que l’on appelle mettre un problème en équation. C'est un peu comme traduire un texte dans une autre langue. Mais ici, au lieu de traduire certaines phrases en anglais par exemple, nous allons les traduire par une équation. Ne vous effrayez pas, en fait, c’est très simple !

Pour résoudre un problème avec cette méthode, on considère généralement quatre étapes.

Première étape : Choix des inconnues

Pour fabriquer un système d'équations, il nous faut des inconnues x, y, z etc. On va dire que les inconnues, c’est ce que l’on ne connaît pas et que l’on nous demande de calculer. Dans notre problème, on nous demande de calculer le nombre de cahiers rouges achetés par le client et le nombre de cahiers bleus achetés par le client. Nous dirons donc, par exemple, que x est le nombre de cahiers rouges achetés par le client et y le nombre de cahiers bleus achetés par le client. On aurait pu faire l'inverse, peu importe !

Pour rédiger, on dira :

Soit x le nombre de cahiers rouges achetés par le client.

Soit y le nombre de cahiers bleus achetés par le client.

Deuxième étape : Mise en équation du problème

Dans cette étape, nous allons considérer l'une après l'autre, toutes les phrases du problème et voir si l’on peut en déduire une relation entre x et y.

Première phrase : Un libraire vend des cahiers rouges et des cahiers bleus.

x et y concernent le nombre de cahiers achetés par le client. Comme le client n’est pas encore arrivé, on ne peut rien en déduire sur x et y.

Deuxième phrase : Les cahiers rouges valent 5 euros et les cahiers bleus valent 7 euros.

Cela se précise, on sait maintenant combien valent les cahiers rouges et combien valent les cahiers bleus, mais le client n'est toujours pas arrivé et on ne peut donc toujours rien dire sur x et y.

Troisième phrase : Un client entre dans la librairie et achète 11 cahiers.

Ça y est, le client est là et l’on sait qu’il achète 11 cahiers. Or on sait que x est le nombre de cahiers rouges achetés par le client et y est le nombre de cahiers bleus achetés par le client. Comme il a acheté en tout 11 cahiers, on en déduit que x + y = 11.

"x + y = 11" est la traduction mathématique de la phrase "Un client entre dans la librairie et achète 11 cahiers". Qui a dit que les maths, c’était compliqué ! Essayez de traduire cette phrase en chinois !

Quatrième phrase : Il passe à la caisse et paye 69 euros.

Nous savons que le client a acheté x cahiers rouges et le prix d'un cahier rouge est de 5 euros. Le prix des x cahiers rouges achetés par le client sera donc : x ✕ 5 = 5x.

Nous savons que le client a acheté y cahiers bleus et le prix d'un cahier bleu est de 7 euros. Le prix des y cahiers bleus achetés par le client sera donc : y ✕ 7 = 7y.

Le client a payé 5x euros les cahiers rouges, et 7y euros les cahiers bleus. Comme il a payé en tout 69 euros, nous voyons que 5x + 7y = 69.

"5x + 7y = 69" est la traduction mathématique de la phrase "Il passe à la caisse et paye 69 euros".

cinquième phrase : Combien a t-il acheté de cahiers rouges et combien à t'il acheté de cahiers bleus ?

Cette phrase ne nous apprend rien de plus sur x et y. Nous en resterons donc là.

Si l’on récapitule, nous avions deux inconnues et deux phrases de l'énoncé du problème nous ont permis de trouver deux relations reliant x et y. Il ne nous reste plus qu’à réunir ces deux relations en un système d'équations. Nous obtenons :

${\begin{cases}x+y=11\\5x+7y=69\end{cases}}$

Ce système est la traduction mathématique du problème que l’on doit résoudre. Lorsque l’on a réussit à établir un tel système, on dit que l’on a mis le problème en équations.

Troisième étape : Résolution du système

Grâce au chapitre précédent, nous allons résoudre le système :

${\begin{cases}x+y=11\\5x+7y=69\end{cases}}$

Pour cela, nous allons multiplier les deux membres de la première équation par 7 et les deux membres de la deuxième équation par -1. Nous obtenons :

${\begin{cases}7x+7y=77\\-5x-7y=-69\end{cases}}$

En additionnant membre à membre, nous obtenons après simplification :

$2x=8$

En divisant les deux membres de cette dernière équation par 2, nous obtenons :

$x=4$

Et comme nous savons que x + y = 11, nous en déduisons immédiatement que y = 7 (puisque 4 + 7 = 11).

Quatrième étape : Conclusion

Nous avons trouvé que x = 4 et y = 7. Comme x représentait le nombre de cahiers rouges achetés par le client et y le nombre de cahiers bleus achetés par le client, nous pouvons conclure que :

Le client a acheté 4 cahiers rouges et 7 cahiers bleus.