Intégrales en physique/Intégrales multiples

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Intégrale double

On peut généraliser l’idée précédente à des problèmes à plusieurs dimensions. Par exemple, au lieu de considérer les contributions de points présents sur une ligne, on peut considérer la contribution de points d'une surface.

Exemple tiré de la mécanique

Pression de contact

La force de pression qui s'exerce sur une surface S de normale ${\vec {n}}$ soumise à une pression p est ${\vec {F}}=pS{\vec {n}}$

Une pièce d'une machine est en contact avec le plan (Oxy) du sol. La surface de contact est appelée Σ.

Lorsque la machine est en marche, elle exerce sur le sol en tout point M de Σ une pression p(M)=p(x,y) dans la direction ${\vec {z}}$, où (x,y) sont les coordonnées de M.

Sur une surface élémentaire d'ordre 2 $\mathrm {d} ^{2}S=\mathrm {d} x~\mathrm {d} y$ au voisinage de M, la force (infinitésimale d'ordre 2) exercée par la pièce sur le sol vaut alors $\mathrm {d} ^{2}{\vec {F}}(x,y)=-p(x,y){\vec {z}}~\mathrm {d} ^{2}S$.

Pour trouver la force totale s'exerçant sur le sol, il faut sommer les contributions de tous les points de Σ. Comme cette somme se fait dans deux dimensions : x et y, il faut intégrer deux fois:

• Pour un y donné, on somme les contributions de tous les points M(x,y) tels que M soit dans Σ (intégrale suivant x). On obtient la force qui s'exerce sur la surface infinitésimale d'ordre 1 dS, de largeur dy et de longueur x₂(y)-x₁(y) : $\mathrm {d} {\vec {F}}(y)=-\mathrm {d} y\int _{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}p(x,y)~\mathrm {d} x~{\vec {z}}$

• On fait ensuite l'intégrale sur y pour sommer les contributions de toutes les bandes horizontales. On obtient au final ${\vec {F}}=\int _{y_{min}}^{y_{max}}\mathrm {d} {\vec {F}}(y)=-\int _{y_{min}}^{y_{max}}\int _{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}p(x,y)~\mathrm {d} x\mathrm {d} y~{\vec {z}}$.

Cette dernière expression rend compte de la somme des contributions de tous les points de la surface Σ, de dimension 2. Pour condenser l'écriture, on utilise une intégrale double pour noter ${\vec {F}}=\iint _{\Sigma }-p(x,y)~\mathrm {d} x\mathrm {d} y~{\vec {z}}$.

On peut bien entendu choisir de faire l'opération dans l'autre sens : intégrer suivant y à x choisi, puis sur x.

Exemple tiré de la statique des fluides

Considérons le barrage de Bimont. Il retient l'eau en grande quantité.

Notions de statique des fluides

* La pression en un point M immergé dans un liquide de masse volumique ρ dans un champ de pesanteur g à la profondeur h sous une pression atmosphérique p_atm vaut $p(M)=p_{atm}+\rho \,gh$

• La force de pression qui s'exerce sur une surface S de normale ${\vec {n}}$ soumise à une pression p est ${\vec {F}}=pS{\vec {n}}$

L'eau retenue exerce des efforts de pression sur une partie Σ de la surface du barrage. Seulement voilà, tous les points de la masse d'eau retenue ne sont pas à la même profondeur (distance à la surface de l'eau) h. La force de pression n'est donc pas la même en tout point de la surface Σ du barrage en contact avec l'eau.

Supposons pour simplifier que le barrage est :

• rectangulaire
• inclus dans le plan (Oyz)
• de hauteur H
• de longueur L

Tous les points de Σ qui sont à la profondeur h sont à la même pression $p(h)=p_{atm}+\rho \,gh$.

La normale à Σ est ${\vec {x}}$ en tout point M de Σ.

• Si on considère une surface infiniment petite d'ordre 2 d²S, de longueur infinitésimale d'ordre 1 dy et de hauteur infiniment petite d'ordre 1 dh située à la profondeur h, la force infinitésimale $\mathrm {d} ^{2}{\vec {F}}_{e}(y,h)$ qu'exerce l'eau sur d²S vaut $\mathrm {d} ^{2}{\vec {F}}_{e}(y,h)=p(y,h)~\mathrm {d} y~\mathrm {d} h~{\vec {x}}=(p_{atm}+\rho gh)~\mathrm {d} y~\mathrm {d} h~{\vec {x}}$.
• Comme p ne dépend pas de y, l'intégration sur y donne directement, à la profondeur h, $\mathrm {d} {\vec {F}}_{e}(h)=\int _{y=0}^{y=L}p(y,h)~\mathrm {d} y~\mathrm {d} h~{\vec {x}}=\int _{y=0}^{y=L}(p_{atm}+\rho gh)~\mathrm {d} y~\mathrm {d} h~{\vec {x}}=L(p_{atm}+\rho gh)~\mathrm {d} h~{\vec {x}}$.
• Ensuite, sur la surface infiniment petite d'ordre 1 dS, de longueur L et de hauteur infiniment petite dh située à la profondeur h, la force infinitésimale $\mathrm {d} {\vec {F}}_{e}(h)$ qu'exerce l'eau sur dS vaut $\mathrm {d} {\vec {F}}_{e}(h)=p(h)~\mathrm {d} S~{\vec {x}}=(p_{atm}+\rho gh)L~\mathrm {d} h~{\vec {x}}$.
• De l'autre côté du barrage, l'air exerce une force de pression $\mathrm {d} {\vec {F}}_{a}(h)=-p_{atm}~\mathrm {d} S~{\vec {x}}$.
• Au total, la surface dS est soumise à $\mathrm {d} {\vec {F}}(h)=\rho gh~\mathrm {d} S~{\vec {x}}$.
• Pour trouver l'effort exercé sur l'intégralité de Σ, il faut « sommer les contributions de toutes les forces de pression s'exerçant aux profondeurs comprises entre 0 et H sur le barrage » :

${\begin{aligned}{\vec {F}}&=\int _{0}^{H}\mathrm {d} {\vec {F}}(h)\\&=\int _{0}^{H}\rho gh~\mathrm {d} S~{\vec {x}}\\&=\int _{0}^{H}\rho gh~(L~\mathrm {d} h)~{\vec {x}}\\&=\rho gL\int _{0}^{H}h~\mathrm {d} h~{\vec {x}}\\&=\rho gL{\vec {x}}\cdot \left[{\frac {h^{2}}{2}}\right]_{h=0}^{h=H}\\\end{aligned}}$

Donc ${\vec {F}}={\frac {\rho gLH^{2}}{2}}{\vec {x}}$

Remarque : En remarquant que p est indépendant de y, on aurait pu commencer directement la résolution en considérant la surface infiniment petite d'ordre 1 dS=L dh, sur laquelle s'exerce $\mathrm {d} {\vec {F}}_{e}(h)=p(h)~\mathrm {d} S~{\vec {x}}=(p_{atm}+\rho gh)L~\mathrm {d} h~{\vec {x}}$.

Intégrale triple

On peut poursuivre la généralisation dans l'espace. Voyons sur un exemple tiré de l'électrostatique.

Notions d'électrostatique

Force de Coulomb

Soient deux particules immobiles chargées A et B, de charges respectives q_A et q_B. La force électrostatique exercée par A sur B vaut ${\vec {F}}_{A\rightarrow B}={\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}AB^{2}}}{\vec {u}}_{AB}$.

Définition

Soit une particule A immobile dans l'espace, de charge q_A. Le champ électrostatique généré par A en M, noté ${\vec {E}}_{A}(M)$, est défini par ${\vec {E}}_{A}(M)={\frac {q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$ où r=AM.

Propriété

Soit une particule B de charge $q_{B}$ placée dans le champ généré par A. Alors B est soumise à la force ${\vec {F}}_{A\rightarrow B}={\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}=q_{B}{\vec {E}}_{A}(B)$ où r=AB.

Soit une distribution de charges réparties dans un volume V telle qu'en un point courant M de V, la densité de charge volumique vale $\rho (M)$. Cela signifie que pour un volume élémentaire d³τ autour d'un point M, la charge que porte le volume d³τ vaut d³q = ρ d³τ.

En un point P, le champ électrostatique généré par la charge d³q présente en M vaut $\mathrm {d} ^{3}{\vec {E}}(P)={\frac {\mathrm {d} ^{3}q~{\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {MP}}^{2}}}={\frac {\rho (M)~\mathrm {d} ^{3}\tau }{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {MP}}^{2}}}{\vec {u}}_{r}$, avec ${\vec {u}}_{r}$ vecteur unitaire de même sens et même direction que ${\overrightarrow {\rm {MP}}}$.

Pour obtenir le champ généré par l'intégralité des charges du volume V, on somme les contributions de tous les volumes élémentaires de V, ce qui se fait à l'aide d'intégrales suivant 3 dimensions : x, y et z.

On note alors cette opération à l'aide d'une intégrale triple sur le volume V : le champ électrostatique créé en P par la distribution vaut ${\vec {E}}(P)=\iiint _{V}{\frac {\rho (M){\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {MP}}^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}\tau$ avec ${\vec {u}}_{r}$ vecteur unitaire de même sens et même direction que ${\overrightarrow {MP}}$.

Ordre des différentielles

On remarque, lors de la manipulation des intégrales, la manipulation constante des différentielles d'ordres différents. Prêter attention à l’ordre des différentielles est un bon moyen pour dépister les erreurs de calcul ou de manipulation. Les ordres permettent de vérifier l'« homogénéité » des résultats. Par exemple, un infiniment petit d'ordre 1 ne peut pas être égal à une grandeur macroscopique.

Début d’un principe

Ordre des différentielles et intégration

• Le produit de 2 infiniment petits d'ordre n et m est un infiniment petit d'ordre n+m.
  • L dx = dS
  • dx dy = d²S
  • dx dy dz= d³τ en cartésiennes
  • r² sin(Ψ) dr dθ dΨ= d³τ en sphériques
• Le quotient de 2 infiniment petits de même ordre est macroscopique
  • $v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ : la vitesse suivant l'axe x est la dérivée de la position
  • $\gamma ={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$ : l'accélération suivant l'axe x est la dérivée seconde de la position
• L'intégration simple d'un infiniment petit d'ordre 1 est une grandeur macroscopique.
  • ${\vec {F}}=\int _{0}^{H}\mathrm {d} {\vec {F}}(h)$
• L'intégration simple d'un infiniment petit d'ordre n, n≥2, est un infiniment petit d'ordre n-1.
  • $\mathrm {d} {\vec {F}}_{e}(h)=\int _{y=0}^{y=L}p(y,h)~\mathrm {d} y~\mathrm {d} h~{\vec {x}}$

Fin du principe