Intégration en mathématiques/Primitives

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Primitives
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Chapitre no 2
Leçon : Intégration en mathématiques
Chap. préc. :Aire et intégrale
Chap. suiv. :Intégrale et primitives
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Primitive d'une fonction sur un intervalleModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Primitive ».

DéfinitionModifier

f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive F de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que, pour tout x appartenant à I : F'(x) est égale à f(x).

ExempleModifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalleModifier

f est une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives qui sont toutes de la forme : F(x) + k (k étant un réel).

Primitive prenant une valeur donnée en un pointModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Calculs de primitivesModifier

  l'une des primitives de la fonction   est... sur l'intervalle...
  ( )  
  ( )  
  (  nombre entier avec  )   ]-∞, 0[ ou ]0, +∞[
    ]0, +∞[
    ]0, +∞[
   
   
   

ExempleModifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Primitives et opérations sur les fonctions:Modifier

  • Si F et G sont deux primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
  • Si F est une primitive de f sur I et λ un réel, alors λF est une primitive de λf sur I.

Primitives des fonctions composéesModifier

Soit   une fonction dérivable sur I.

f(x)=... F(x)=... Condition :
  (n ∈ ℕ*)  
  (n entier ≥ 2)     sur  
      sur  
      sur  
   

ExemplesModifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Méthode pour les fonctions composéesModifier

  • On commence par identifier la formule à utiliser.
  • Puis, si nécessaire, on multiplie par un coefficient pour faire apparaître l’expression de u' souhaitée et conclure sur la primitive.