Introduction à la mécanique des fluides/Annexe/Rappels de Mathématiques

Chapitre 1^er

Définitions

• mécanique : science du mouvement et de l'équilibre
• mouvement : cinématique, qui cherche à déterminer la trajectoire.

Pour rappel, on a :

$M(t)={\vec {OM}}(t)$

${\vec {v}}(t)={d{\vec {OM}}(t) \over dt}$

${d{\vec {v}}(t) \over dt}=\Gamma (t)$

• science: étude de quelque chose, on remonte aux causes.
• causes: Forces , Newton: $\sum {\vec {F}}={d{\vec {p}} \over dt}$ et ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice et se font dans la ligne dans laquelle la force a été imprimée. La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse.

• Fluide: somme des gaz et des liquides. Le fluide est un corps qui ne peut pas conserver un effort de cisaillement pendant une durée quelconque.

Équation de Navier-Stokes

$\rho [{\partial {\vec {v}} \over {\partial t}}+({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {v}})+{1 \over 2}{\vec {\nabla }}v^{2}]=-\rho {\overrightarrow {\nabla \phi }}-{\vec {\nabla }}p+{\overrightarrow {\nabla {\tilde {\sigma }}}}'$

avec $\rho$ la masse volumique, $\phi$ l'energie potentielle par unité de masse, et ${\tilde {\sigma }}'$ le tenseur des contraintes visqueuses.

Chapitre 2

opérateur différentiels

Scalaire, vecteur et tenseur

Scalaire

Un scalaire est un nombre réel, une unité.

Un champ scalaire est un scalaire définit en chaque point d'un espace donné.

Vecteur

Un vecteur se définit par son intensité, son orientation. C'est aussi une unité.

Un champ vectoriel est un vecteur défini en chaque point d'un espace a deux dimensions donné.

Tenseur d'ordre 2

Un tenseur d'ordre 2 est un outil mathématique qui regroupe 9 nombres réels. C'est aussi l'unité supérieure au vecteur.

Un champ tensoriel définit les vecteurs pour chaque orientation vectorielle. Pour exemple, on peut s'intéresser au tenseur des déformations.

Opérateurs

Opérateur gradient

${\overrightarrow {grad}}f={\overrightarrow {\nabla f}}$

$={\partial f \over \partial x}{\vec {e}}_{x}+{\partial f \over \partial y}{\vec {e}}_{y}+{\partial f \over \partial z}{\vec {e}}_{z}$

$=\sum [i]{\partial f \over \partial x_{i}}{\vec {e}}_{i}=\sum [i]\partial f{\vec {e}}_{i}$

$=\partial f{\vec {e}}_{i}$

Convention d'Einstein:

Si un indice est répété 2 fois, on sous-entend qu’il faut faire la somme des 3 composantes de cet indice.

$({\tilde {\nabla }}{\vec {n}})_{ij}=\partial _{j}v_{i}$

Opérateur divergence

${\overrightarrow {div}}{\vec {v}}={\vec {\nabla }}{\vec {v}}$

$\partial _{i}v_{i}={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}$

${\overrightarrow {div}}{\vec {v}}=O\rightarrow$ conservation de la masse.

${\vec {\nabla }}{\tilde {T}}=\partial _{j}T_{ij}{\vec {e}}_{i}$

Opérateur rotationel

${\overrightarrow {rot}}\wedge {\vec {v}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}$

${\begin{cases}\varepsilon _{xxx}=\varepsilon _{yyy}=\varepsilon _{zzz}=0\\\varepsilon _{xxy}=\varepsilon _{yxx}=\varepsilon _{xyx}=0\\\varepsilon _{xyz}=\varepsilon _{yxz}=\varepsilon _{zxy}=1\\\varepsilon _{xzy}=...=1\end{cases}}$

Opérateur Laplacien

Laplace est le Newton français : il a rendu toutes les théories newtoniennes géométriques en algébrique. Pour satisfaire le besoin de passer de la force gravitationelle au potentiel gravitationel, on utilise le Laplacien.

$\Delta f\cong {\vec {\nabla }}{\vec {\nabla f}}=\sum [i]\partial _{i}\partial _{i}f{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}$

$=\partial _{ii}f$

$=\Delta {\vec {v}}=\partial _{i}\partial _{i}{\vec {v}}$

$({\tilde {\Delta {\vec {v}}}})_{(}ij)={\partial ^{2}v_{i} \over \partial x_{j}}$

Relations entre opérateurs et relations intégrodifférentielles

Relations entre opérateurs

$\Delta f={\vec {\nabla }}{\vec {\nabla f}}$

${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {\nabla f}}={\vec {0}}$

${\vec {\nabla }}.{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {v}}={\vec {0}}$

${\overrightarrow {\nabla ({\vec {\nabla }}.{\vec {v}}}})={\vec {\nabla }}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {v}})-\Delta {\vec {v}}$

Avec $\delta \,$ le symbole de Kronecker, on a donc:

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ilm}=\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{lk}$

$\delta _{xx}=\delta _{yy}=\delta _{zz}=1,\delta _{xy}=...=0$

${\overrightarrow {\nabla ({\vec {A}}{\vec {B}})}}={\vec {A}}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {B}})+{\vec {B}}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}})+({\vec {B}}{\vec {\nabla }}){\vec {A}}+({\vec {A}}{\vec {\nabla }}){\vec {B}}$

$\rightarrow {1 \over 2}{\vec {\nabla }}{\vec {v}}^{2}={\vec {v}}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {v}})+({\vec {v}}{\vec {\nabla }}){\vec {v}}$