Introduction à la mécanique quantique/Annexe/Solutions exactes
Il existe un ensemble relativement restreint de solutions exactes à l'équation de Schrödinger. En voici quelques unes, sans démonstration.
Particule libre
modifierLa fonction d'onde d'une particule libre possédant une quantité de mouvement et une énergie est de la forme :
Avec la longueur d'onde de de Broglie associée à la particule. La mécanique classique correspond au cas limite d'une longueur d'onde de de Broglie nulle.
Puits de potentiel
modifierLes niveaux d'énergie d'une particule dans un puits de potentiel de largeur sont quantifiés et tendent vers l'infini :
La fonction d'onde de l'état stationnaire est alors :
Oscillateur harmonique
modifierLes niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique sont :
La fonction d'onde en régime stationnaire est de la forme :
où les sont les polynômes d'Hermite.
Particule dans un potentiel à symétrie sphérique
modifierLa fonction d'onde d'une particule dans un potentiel est de la forme :
où les sont les harmoniques sphériques. Les états correspondant aux valeurs du moment angulaire sont indiqués par les lettres . Il est intéressant de remarquer que l’on peut séparer la partie « radiale » (qui dépend de r uniquement) de la partie « angulaire » (qui dépend des deux paramètres angulaires).
Particule dans un champ coulombien
modifierLes niveaux d'énergie d'une particule dans un potentiel coulombien attractif sont :
La partie radiale de la fonction d'onde associée à l'état stationnaire ( étant ramenés à l'unité) est :
où les sont les polynômes généralisés de Laguerre.