Introduction à la mécanique quantique/Annexe/Solutions exactes


Il existe un ensemble relativement restreint de solutions exactes à l'équation de Schrödinger. En voici quelques unes, sans démonstration.

Solutions exactes de l'équation de Schrödinger
Image logo représentative de la faculté
Annexe 1
Leçon : Introduction à la mécanique quantique

Annexe de niveau 16.

Précédent :Sommaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Annexe : Solutions exactes de l'équation de Schrödinger
Introduction à la mécanique quantique/Annexe/Solutions exactes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Particule libre modifier

La fonction d'onde d'une particule libre possédant une quantité de mouvement   et une énergie   est de la forme :

 

Avec   la longueur d'onde de de Broglie associée à la particule. La mécanique classique correspond au cas limite d'une longueur d'onde de de Broglie nulle.

Puits de potentiel modifier

Les niveaux d'énergie d'une particule dans un puits de potentiel de largeur   sont quantifiés et tendent vers l'infini :

 

La fonction d'onde de l'état stationnaire est alors :

 

Oscillateur harmonique modifier

Les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique sont :

 

La fonction d'onde en régime stationnaire est de la forme :

 

où les   sont les polynômes d'Hermite.

Particule dans un potentiel à symétrie sphérique modifier

La fonction d'onde d'une particule dans un potentiel   est de la forme :

 

où les   sont les harmoniques sphériques. Les états correspondant aux valeurs   du moment angulaire sont indiqués par les lettres  . Il est intéressant de remarquer que l’on peut séparer la partie « radiale » (qui dépend de r uniquement) de la partie « angulaire » (qui dépend des deux paramètres angulaires).

Particule dans un champ coulombien modifier

Les niveaux d'énergie d'une particule dans un potentiel coulombien attractif   sont :

 

La partie radiale de la fonction d'onde associée à l'état stationnaire (  étant ramenés à l'unité) est :

 

où les   sont les polynômes généralisés de Laguerre.