Introduction à la mécanique quantique/Annexe/Solutions exactes


Il existe un ensemble relativement restreint de solutions exactes à l'équation de Schrödinger. En voici quelques unes, sans démonstration.

Solutions exactes de l'équation de Schrödinger
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Annexe 1
Leçon : Introduction à la mécanique quantique

Annexe de niveau 16.

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Particule libre

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La fonction d'onde d'une particule libre possédant une quantité de mouvement   et une énergie   est de la forme :

 

Avec   la longueur d'onde de de Broglie associée à la particule. La mécanique classique correspond au cas limite d'une longueur d'onde de de Broglie nulle.

Puits de potentiel

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Les niveaux d'énergie d'une particule dans un puits de potentiel de largeur   sont quantifiés et tendent vers l'infini :

 

La fonction d'onde de l'état stationnaire est alors :

 

Oscillateur harmonique

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Les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique sont :

 

La fonction d'onde en régime stationnaire est de la forme :

 

où les   sont les polynômes d'Hermite.

Particule dans un potentiel à symétrie sphérique

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La fonction d'onde d'une particule dans un potentiel   est de la forme :

 

où les   sont les harmoniques sphériques. Les états correspondant aux valeurs   du moment angulaire sont indiqués par les lettres  . Il est intéressant de remarquer que l’on peut séparer la partie « radiale » (qui dépend de r uniquement) de la partie « angulaire » (qui dépend des deux paramètres angulaires).

Particule dans un champ coulombien

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Les niveaux d'énergie d'une particule dans un potentiel coulombien attractif   sont :

 

La partie radiale de la fonction d'onde associée à l'état stationnaire (  étant ramenés à l'unité) est :

 

où les   sont les polynômes généralisés de Laguerre.