Introduction à la mécanique quantique/Introduction

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Introduction générale

Depuis sa naissance au début du XX^e siècle, la mécanique quantique a révolutionné tous les domaines de la connaissance ou presque : physique, bien sûr, chimie, biologie mais également mathématiques et même philosophie. Dans ce cours d'introduction, nous expliquons comment elle s'est imposée, quelles nouveautés elle a apportées — tant du point de vue pratique que du point de vue conceptuel — et quelle vision du monde découle de cette description des lois de la nature. En rappelant les principaux axes historiques de son développement (la théorie des quantas, la théorie de Bohr, l'équation de Schrödinger), nous expliquons comment chaque avancée a permis de résoudre des faits inexpliqués (voire inexplicables) qui avaient fait chanceler les théories précédentes. En particulier, les développements de la mécanique quantique ayant eu un impact majeur en chimie, nous développons ce sujet sur trois chapitres.

Déroulement du cours

Voici l'architecture générale de ce cours :

Introduction	Présentation de la naissance et des premiers résultats hypothétiques (constante de Planck, principe de dualité onde-corpuscule)	On explique l'effet photoélectrique, la diffraction d'atomes, le rayonnement du corps noir.
L'atome de Bohr	Premier modèle quantique de l'atome. Inspiré des travaux précédents, bien que simple et justifiant certains phénomènes, il sera rapidement abandonné à la suite d'expériences qu’il n'explique pas.	Il permet d'expliquer les raies spectrales des éléments.
L'équation de Schrödinger	Première relation fondamentale qui résout complètement l'étude de l'atome d'hydrogène et qui permettra l'étude des atomes et molécules	Généralisation des résultats précédents.
Les orbitales atomiques	L'étude des atomes passe par l'étude de leurs constituants, et notamment de leurs électrons ce qui se ramène à chercher des solutions de l'équation de Schrödinger appelées orbitales atomiques	Préparation aux chapitres suivants, lien entre équation de Schrödinger et raies spectrales.
Configurations électroniques	La réactivité chimique des atomes s'apprécie par le placement des électrons dans les orbitales, que l’on appelle configuration électronique.	On explique notamment la classification de Mendeleïev, l'électronégativité et la règle de l'octet.
La chimie quantique	Moyennant certaines approximations, la mécanique quantique permet de justifier de nombreuses réactions chimiques et d'étudier les propriétés de certains hydrocarbures (théorie de Hückel…).	Réactions de Diels-Alder…

Sauf à titre d'illustration, il y aura peu de calculs. On présentera de nombreux concepts nés avec la théorie quantique, pour certains contre-intuitifs, justifiés ou validés par des milliers d'expériences répétées depuis ces 80 dernières années. Ainsi, la résolution explicite de l'équation de Schrödinger ne sera pas développée (mais on trouvera certaines solutions en annexe).

Note préliminaire

Un certain nombre de concepts de mécanique quantique ne peuvent être décrit fidèlement que par leur représentation mathématique. Cependant, puisque l'un des objectifs de ce cours est de proposer une introduction à ces concepts, on en donnera parfois une description approchante (mais avec les mises en garde qui s'imposent) et toujours entre guillemets, « comme ceci ».

D'autre part, certains termes d'époque, encore utilisés aujourd’hui dans certains cas, sont également mis entre guillemets, en particulier les « paradoxes » et « catastrophes » (qui n'en sont probablement pas, en fin de compte).

Des informations complémentaires pourront être trouvées en particulier dans les ouvrages indiqués en bibliographie, en références voire sur Wikipédia. Les études originales des auteurs ayant proposé les idées dont il est question (Einstein, de Broglie) seront parfois disponibles, quoique pour certaines dans leur langue d'origine (anglais ou allemand en particulier).

La nécessité d'une nouvelle physique

La mécanique de Newton, puis de Lagrange, puis d'Hamilton — qui sont équivalentes dans leur description du monde, mais pas dans leur formulation — rencontrèrent un franc succès pour leur précision et leur simplicité. On pouvait en effet, moyennant un nombre réduit d'observations, prédire le comportement des corps dans le futur — les seules véritables limites étant celles des mathématiciens, incapables de résoudre le problème à trois corps dans le cas général.

Avec d'Alembert, l'étude des ondes semble même avoir complété le tableau des phénomènes physiques : tout problème implique des corps, des ondes ou les deux, et il est possible de l'étudier avec les outils à disposition. Restaient quelques « détails », comme la nature exacte de la lumière par exemple. Les progrès de la thermodynamique avaient amené à se demander comment la chaleur se transmettait : par convection, par conduction et... par rayonnement : la matière et la lumière interagissent. Nous le verrons, ceci est au cœur de la naissance de la théorie quantique.

En effet, vers la fin du XIX^e siècle, un certain nombre d'observations ne pouvaient être expliquées : les « rayons cathodiques » de Michael Faraday ou la « catastrophe ultraviolette » : le problème du rayonnement du corps noir, à la lumière des connaissances d'alors, était un véritable problème. En effet, d’après les lois de la thermodynamique statistique, un système chauffé, en équilibre, émettrait une puissance infinie, ce qui n’est pas le cas. C’est en résolvant cela que Max Planck donnera naissance à la première théorie quantique.

Le rayonnement du corps noir et la quantification

Pour aller plus loin sur ce sujet, vous pouvez consulter le cours Rayonnement du corps noir

Pour expliquer le rayonnement observé, Planck émet en 1900 l'hypothèse que l'énergie est émise du corps noir par « paquets » indivisibles. Il suppose également que l'énergie transportée par l'onde lumineuse est proportionnelle à sa fréquence (avec une constante de proportionnalité h).

Si Planck lui-même n'était pas satisfait de ce résultat, les travaux d'Albert Einstein en 1905 sur l'effet photoélectrique vont montrer que la lumière elle-même est faite de « paquets d'énergie » indivisibles, les quanta de lumière, que nous appelons aujourd’hui les photons. Il résout du même coup le débat au sujet de la nature de la lumière, ondulatoire (pour Young, Huygens, Fresnel…) ou particulaire (Newton…) : selon leur fréquence, selon l'expérience, l'un ou l'autre aspect se manifestera.

Il s'agissait de travaux révolutionnaires, mais purement descriptifs : ils n'expliquaient pas la raison de ce caractère quantique.

Ces premiers résultats constituent la théorie des quantas, considérée comme l'ancêtre de la théorie actuelle.

La dualité onde-corpuscule

Louis de Broglie, dans sa thèse, pousse encore plus loin cette dernière hypothèse : tous les objets matériels peuvent, à l'instar de la lumière, être vus simultanément comme des particules (de masse et d'impulsion donnée) et comme des ondes, de longueur d'onde :

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

avec p l'impulsion de la « particule ». Ce ne sont pas des objets changeants, ni des ondes, ni des particules : il s'agit d'objets différents dont le comportement peut tantôt être rapproché de celui des corps macroscopiques, tantôt de celui des ondes. Cette idée sera plus tard confirmée expérimentalement sur des électrons, au travers de figures d'interférences qui apparaissent même lorsqu'on envoie les électrons un par un. C’est pourquoi on observe, par exemple, des interférences d'électrons par les cristaux observés au microscope électronique.

Voici donc un premier résultat, surprenant, de la théorie quantique : les particules élémentaires sont en fait des « ondes-particules ». Cela suffit à donner forme à l'équation la plus simple de la mécanique quantique : l'équation de Schrödinger.

Principe de correspondance

Comment expliquer alors que nous n'observons pas, à notre échelle, cette dualité ? Il suffit de considérer la longueur d'onde de de Broglie pour des objets macroscopiques. Par exemple, un objet de masse 1 kg se déplaçant à 1 m/s :

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ avec $h\approx 6,63.10^{-34}\;\mathrm {J.s}$

On obtient une longueur d'onde de l’ordre de 10^-34m, ce qui est inaccessible à l'expérience. Une conséquence immédiate est que, pour les objets macroscopiques, le caractère ondulatoire n'a pratiquement aucune influence.

Lorsque la longueur d'onde est comparable aux dimensions de l'objet, ce qui est le cas de l'électron notamment, mais également de certains objets macroscopiques comme les supraconducteurs ou l’hélium superfluide, alors les effets quantiques ne sont pas négligeables et on observe un comportement surprenant (respectivement une résistance électrique nulle et une viscosité nulle).

D'une manière générale, tous les résultats de mécanique quantique s'appliquent aux objets macroscopiques, car la mécanique dite « classique » peut être vue comme un cas limite lorsque λ tend vers 0 de la mécanique quantique. Cela est traduit en idée par le principe de correspondance et en mathématiques par le théorème d'Ehrenfest lequel démontre que tout théorème quantique peut être traduit en théorème classique.

La chose à retenir de ce paragraphe est que cette mécanique complexe s'applique tout le temps, mais qu'on peut légitimement ignorer certains de ses effets à notre échelle, c’est pourquoi il est possible d'étudier des objets avec leur trajectoire. L'objet même de ce cours est de s'interroger sur les cas où la mécanique quantique n’est pas négligeable, car ce sont ces effets qui ont révolutionné la technologie du XX^e siècle.