Introduction à la simulation numérique/Méthodes générales

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Méthodes générales
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Chapitre no 3
Leçon : Introduction à la simulation numérique
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On peut distinguer trois catégories de simulations :

  • Le système est représenté par des équations différentielles. (on fait une simulation continue)
  • Le système est modifié suite à une succession d’évènements. (C'est une simulation discrète)
  • la simulation est segmentée en différentes entités qui interagissent entre elles. (simulation par agents)


Méthodes Runge-Kutta pour les équations différentiellesModifier

La base des Runge-Kutta est la méthode d'Euler où l'on assimile le tangente et la courbe à condition que le pas ne soit pas trop grand.

 
Méthode d' Euler: le pas ne doit pas être trop grand pour suivre la courbe

Dans les Runge-Kutta, la première estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, plus précise, et ainsi de suite.

voir Méthodes de Runge-Kutta sur Wikipédia

  • exemple : méthode de Runge-Kutta d'ordre quatre (RK4)
 
Pour une RK4 on utilise 4 fois la méthode d' Euler pour avoir le point suivant

Méthode des éléments finis pour les équations aux dérivées partiellesModifier

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La méthode des éléments finis permet de calculer le comportement d'objets même très complexes, à condition qu'ils soient continus et décrits par une équation aux dérivées partielles linéaire (EDP).

On va « découper » le domaine à étudier (discrétisation) pour chercher une solution du problème sur un domaine polygonal ou polyédrique par morceaux (maillage du domaine). Le maillage permet de définir un pavage dont les pavés sont les éléments finis. Sur chacun des éléments finis, il est possible de remplacer par approximation l'équation aux dérivées partielles par un système d'équations linéaires.

Méthode Monte-CarloModifier

  • C'est une méthode qui permet de calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires.


Dans cette méthode, on va reconstituer artificiellement un phénomène aléatoire en simulant un échantillon fictif de réalisations.

On va obtenir un ensemble de configurations (i.e. une série de résultats possibles) représentant le système. On va calculer la probabilité qu'un résultat se produise et on aura une estimation de la valeur moyenne sur les configurations simulées.

Cette technique peut être utilisée en finance, en physique, en biologie, ...


Système multi-agentsModifier

Un système multi-agent (SMA) est un système composé d'un ensemble d'agents qui vont interagir entre eux.

  • exemple: simuler la propagation de maladies dans un pays.
    • exemple : le modèle SEIR = Le modèle SEIR est un exemple de modèle à compartiments où la population est divisée en plusieurs catégories.
 
modèle SIER pour les épidémies
S(t) sont les personnes saines
E(t) sont les personnes infectées non-infectieuses
I(t) sont les personnes infectées
R(t) sont les personnes guéries ou décédées

Validation des simulationsModifier

Les systèmes réels sont souvent complexes et alors on fait appel à des modèles (plus ou moins simplifiés) pour avoir une représentation du problème à résoudre. Ensuite il faut choisir une méthode de simulation et faire attention à la précision de l'ordinateur. Il faut aussi vérifier les données utilisées pour démarrer la simulation (input data).

La validation des résultats doit donc prendre en compte tous ces aspects. Si on veut tester une théorie, il est possible de voir si le résultat est proche de la réalité ou pas, mais si on veut prédire une évolution dans le futur, par exemple, en météorologie, on ne pourra comparer que lorsque l'évènement se sera produit.

Dans l'industrie, la modélisation permet de réduire les coûts car elle fournit des prédictions sur l’évolution d’un système d’une manière plus rapide et moins coûteuse qu’une méthode d’essai et d’erreur.