L'incomplétude mathématique/Le paradoxe du menteur
Les théorèmes d’incomplétude mettent à profit un très ancien paradoxe. Si quelqu’un dit « je mens », est-ce qu’il ment ? S’il ment c’est qu’il ne ment pas. S’il ne ment pas c’est qu’il ment. Ce qu’il dit affirme sa propre fausseté. Le même paradoxe peut être présenté sous de nombreuses formes, parfois plus rigoureuses. La présente phrase qui commence par « la présente phrase » et finit par « est fausse » est fausse. Ou plus simplement : « cette phrase est fausse ».
Une théorie est un ensemble de phrases. On peut la considérer comme une sorte de diseur de vérités. La théorie dit que toutes ses phrases sont vraies. Le paradoxe du menteur prouve qu’il y a des restrictions sur les capacités des diseurs de vérité quand ceux-ci sont capables de formuler des énoncés à propos de ce qu’ils disent. Supposons qu’un diseur de vérité soit capable de répondre par avance à toutes les questions sur ce qu’il va répondre. Posons-lui alors la question « à cette question vas-tu répondre non ? ». Qu’il réponde oui ou non, dans les deux cas il dit faux. Il ne peut donc pas répondre sans se tromper.
Il s’agit d’une incomplétude essentielle pour les théories et les diseurs de vérité. Ils ne peuvent pas dire toute la vérité sur tout ce qu’ils disent à partir du moment où leurs moyens d’expression sont suffisamment riches pour permettre de poser des questions telles que celle qui vient d’être citée. En résumé, dès qu’on peut poser à un diseur de vérité des questions telles que « à cette question vas-tu répondre non ? » il ne peut pas à la fois toujours répondre et toujours dire la vérité. Une théorie à la fois riche et vraie est forcément incomplète. Le paradoxe du menteur permet de prouver l’incomplétude des théories mathématiques dès que leurs moyens d’expression sont suffisamment riches. Gödel, Tarski, Church, Post, Türing et beaucoup d’autres ont montré que de très nombreuses théories permettent d’énoncer des formules paradoxales semblables à celle du menteur. En particulier, toutes les théories destinées à fonder les mathématiques, même l’arithmétique formelle, permettent d’énoncer de telles formules.
