Logique (mathématiques)/Introduction

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Ce chapitre expose les principes de la logique, c’est-à-dire les principes qu’il faut respecter pour faire des déductions valides.

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L’évidence naturelle

Une déduction est valide lorsque chaque étape est en accord avec une règle logique. Les règles logiques sont souvent reconnues par une sorte d’évidence intuitive. Par exemple le syllogisme, « de (P) et de (Si P alors Q) on peut déduire (Q) » est une règle dont la validité est intuitivement évidente et qu’on ne peut réfuter sans mettre en doute sa propre existence. Tout être rationnel qui comprend les mots « si … alors » comprend du même coup que la règle est valide ou accepte le doute de sa propre existence que permet d’écarter l’assurance de cette assertion.

Les logiciens emploient couramment le terme naturel dans leurs discours en référant en deux concepts :

1. celui qui insiste sur leur caractère universel et nécessaire d’une proposition logique pour tout être rationnel : défendre l’idée que l’on puisse vivre en ignorant que deux et deux font quatre, mais qu’on ne peut pas être rationnel sans reconnaître que deux et deux font quatre est nécessaire (dans le cadre axiomatique de l’arithmétique élémentaire usuel), dès lors qu’on a pris connaissance des axiomes qui en sous-tendent la proposition.
2. celui qui distingue les langues naturelles et les langages dits formalisés, ou artificiels. Les premières sont les langues qui nous sont familières, elles ont été façonnées par des siècles de culture. Les seconds sont inventés par les logiciens pour développer des théories et pour donner des preuves.

Les raisons du formalisme

L’évidence des principes logiques fait qu’ils sont souvent laissés dans l’implicite. Il semble qu’on n’a pas besoin de les apprendre pour les connaître. Puisque tout le monde les connaît, il n’est pas nécessaire de les rappeler.

Il y a cependant plusieurs raisons de ne pas se satisfaire de cette logique implicite.

Les évidences sont parfois trompeuses. Des études de psychologie ont montré que les êtres humains font des erreurs de logique de façon systématique et que ces erreurs dépendent de la façon dont on présente le problème. L’étude de la logique est donc aussi l’acquisition d’un savoir faire, d’une discipline de l’esprit. Elle est surtout utile pour les théories mathématiques mais elle peut aussi servir plus largement à reconnaître tous les sophismes qui sont hélas très généralement acceptés.

Lors de la crise des fondements des mathématiques, les logiciens et les mathématiciens se sont rendus compte que même des axiomes dont la validité semblait naturelle peuvent conduire à des contradictions. L’axiome de Frege, par exemple, disant que « tout concept a une extension, autrement dit, pour tout concept il existe un ensemble de tous les êtres pour lesquels ce concept est vrai », conduit à une contradiction. Nous en donnerons la preuve plus loin avec l’exposé du paradoxe de Russell. Plus généralement, la théorie des ensembles, développée initialement par Georg Cantor, se heurtait à des paradoxes. On pouvait déduire à partir de prémisses qui semblaient justes et par une suite d’étapes valides des énoncés contradictoires du type, « c’est ainsi et ce n’est pas ainsi ».

Pour résoudre ce problème, il faut être prudent dans le choix de ses axiomes. On est alors conduit à se demander, peut-on oui ou non déduire une contradiction à partir des axiomes ? Pour que cette question puisse recevoir une réponse, il faut être précis, à la fois sur l’énoncé des axiomes et sur les règles de déduction que l’on se propose d’appliquer.

Les méthodes formelles répondent à ce problème. On se donne un langage artificiel, c’est-à-dire un ensemble de symboles (un alphabet), des règles de formation des mots et des phrases (une grammaire), et des règles de déduction (une logique). On peut alors reconnaître si oui ou non une déduction est en accord avec les règles même si on ne comprend pas la signification des phrases. Même les ordinateurs sont alors capables de faire la différence entre les déductions correctes et les autres. La question de la cohérence des théories peut alors être posée d’une façon précise parce qu’une théorie est définie de façon mathématique : l’ensemble de tous les énoncés qui sont ou bien des axiomes, ou bien déduits des axiomes en un nombre fini d’étapes dont chacune respecte une règle formelle.

Les langues naturelles ne sont pas adaptées pour la recherche d’une telle précision dans l’énoncé des principes. Elles sont beaucoup trop compliquées. Elles se prêtent mal aux méthodes logiques, parce que si l’on veut respecter les usages, il n’est pas possible de donner des règles à la fois simples, universellement appliquées et valides. Pour le néophyte, les langages formels utilisés par les logiciens semblent parfois très compliqués, mais après les avoir étudiés, il se rendra compte qu’ils sont infiniment plus simples que les langues naturelles. C’est le devoir de paresse, d’économie des moyens, qui est à l’origine de l’invention des formalismes : adopter les moyens d’expression les plus simples pour ne pas s’embarrasser de complications liés à des phénomènes considérés comme interférences irraisonnables et vide de sens.

L’intérêt des formalismes n’est pas vraiment de remplacer les langues naturelles puisqu'on peut les utiliser pour s’exprimer. Les mathématiciens et les physiciens en font un usage très intense. Mais il n’est jamais souhaitable qu’ils remplacent complètement les raisonnements naturels. Il faudrait changer toutes ses habitudes de pensée. Cela ne présente pas d’intérêt parce qu'on sait reconnaître leur validité pour la plupart des raisonnements courants. On peut souvent traduire les expressions familières dans un formalisme logique. La validité logique d’un raisonnement naturel est alors établie parallèlement à la validité de sa traduction.