Logique (sciences de l'ingénieur)/Exercices/TD1

Définitions

Un état logique est représenté par une valeur binaire (ou booléenne) qui peut prendre deux valeurs souvent notées : {0,1}, {vrai, faux}, {true, false}. On utilisera {0,1} dans la suite de ce TD. Une variable booléenne (ou variable logique) est une grandeur représentée par un symbole pouvant prendre des valeurs booléennes. Une fonction logique est une fonction d’une ou plusieurs variables booléennes. Cette fonction sera représentée par un dessin ou en langage de description matérielle VHDL (VHDL) comme ci-dessous :

-- Commentaire VHDL ENTITY Fct IS PORT(a,b : IN BIT; y : OUT BIT); END Fct;

Cette fonction comporte deux entrées a et b et une sortie y.

Représentation

Comment savoir ce que fait une fonction booléenne ? Tout simplement en énumérant toutes les possibilités sur les entrées et en regardant la sortie correspondante : c’est ce que l’on appelle une table de vérité. Avec cette table on connaît parfaitement la fonction F. Voici un exemple :

Table de vérité

Entrées		Sortie
a	b	y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Chaque fonction booléenne peut être écrite sous forme algébrique à l'aide de trois opérateurs, le complément (noté / ou avec une barre au-dessus ${\bar {q}}$), le ET (noté .) et le OU (noté +). Le principe est le suivant : on cherche les 1 dans la partie sortie de la table de vérité et à chaque 1 trouvé correspond un terme trouvé à l'aide de la partie entrée de cette même table. Chacun des termes est alors séparé par un OU (+). Les termes sont des ET entre les variables (complémentées si elles sont à 0 et non complémentées si elles sont à 1. Dans l'exemple ci-dessus, il y a un seul 1 dans la partie sortie, donc un seul terme formé par a . b car il y a un 1 pour chacune des variables.

Fonctions élémentaires

Les fonctions élémentaires de la logique sont déjà présentées ici : (fonctions logiques) et (Algèbre de Boole)

Remarque : dans la référence ci-dessus certaines fonctions sont appelées NON-OU et NON-ET alors que nous avons tendance à les appeler OU-NON et ET-NON. Il est bon de garder à l'esprit les deux appellations avec en plus l'appellation anglaise correspondante : NOR et NAND.

Exercices

Exercice 1

On appellera dans toute la suite de ce cours fonction identité le complément de la fonction ou exclusif. On rappelle la table de vérité du ou exclusif :

Tableau de vérité

Entrées		Sortie
a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

La fonction identité est appelée ainsi car elle vaut 1 dès que les entrées sont identiques. Établir la table de vérité de la fonction identité. Établir les équations algébriques du OU EXCLUSIF et de la fonction identité.

Exercice 2

Compléter le tableau suivant. Pour la partie ET on cherchera des fonctions sous la forme de ET (comme /a . b par exemple). Pour la partie OU on cherchera des fonctions sous la forme de OU (comme a + /b par exemple)

Tableau à compléter

Entrées		ET logiques				OU logiques
a	b
0	0	0	0	0	1	1	1	1	0
0	1	0	0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0	1	1	1
Fonction F
Fonction /F
équivalent d’après /F

Pour trouver l'équivalent d’après /F on procède ainsi : on part de F, on cherche la fonction qui correspond à son complément et on la complémente encore une fois. Cela permet de passer de l'écriture en ET à l'écriture en OU (et inversement) avec des règles que l’on appellera plus tard règles de De Morgan.