Logique combinatoire et algèbre de Boole/Établir l'équation logique d'un système

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1. Établir la table de vérité en fonction de l'annoncée.
2. Établir l'équation de la sortie.
3. Simplifier (si possible) l'équation de la sortie :
   • théorèmes de Boole
   • tableaux de Karnaugh
4. Établir un logigramme de la sortie.

Exemple

Quatre responsables A, B, C et D d'une société peuvent avoir accès à un coffre.

Ils possèdent chacune une clé différente, respectivement a, b, c et d.

Le responsable A ne peut ouvrir qu'avec B ou C. Les responsables B, C et D ne peuvent avoir le coffre qu'avec au moins deux autres responsables.

Solution

On a la table de vérité suivante :

a	b	c	d	S
0	0	0	0	0
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	1
1	1	0	1	1
1	1	1	0	1
1	1	1	1	1

donc

$S={\bar {a}}\cdot b\cdot c\cdot d+a\cdot {\bar {b}}\cdot c\cdot {\bar {d}}+a\cdot {\bar {b}}\cdot c\cdot +a\cdot b\cdot {\bar {c}}\cdot {\bar {d}}+a\cdot b\cdot {\bar {c}}\cdot d+a\cdot b\cdot c\cdot {\bar {d}}+a\cdot b\cdot c\cdot d$

ou pour simplifier

${\begin{aligned}S&={\bar {a}}\cdot b\cdot c\cdot d+a\cdot {\bar {b}}\cdot c\cdot ({\bar {d}}+d)+a\cdot b\cdot ({\bar {c}}\cdot {\bar {d}}+{\bar {c}}\cdot d+c\cdot {\bar {d}}+c\cdot d)\\&={\bar {a}}\cdot b\cdot c\cdot d+a\cdot {\bar {b}}\cdot c+a\cdot b\cdot [{\bar {c}}\cdot ({\bar {d}}+d)+c\cdot (d+{\bar {d}})]\\&={\bar {a}}\cdot b\cdot c\cdot d+a\cdot {\bar {b}}\cdot c+a\cdot b\cdot ({\bar {c}}+c)\\&={\bar {a}}\cdot b\cdot c\cdot d+a\cdot ({\bar {b}}\cdot c+b)\\&={\bar {a}}\cdot b\cdot c\cdot d+a\cdot (b+c)\\&={\bar {a}}\cdot b\cdot c\cdot d+a\cdot b+a\cdot c\\&=c\cdot ({\bar {a}}\cdot b\cdot d\cdot a)+a\cdot b\\&=c\cdot ({\bar {a}}\cdot b\cdot d\cdot a)+a\cdot b\\&=c\cdot (a+b\cdot d)+a\cdot b\\&=b\cdot c\cdot d+a\cdot b+a\cdot c\end{aligned}}$

On peut utiliser aussi un tableau de Karnaugh.

		cd
		00	01	11	10
ab	00	0	0	0	0
	01	0	0	1	0
	11	1	1	1	1
	10	0	0	1	1

On a donc :

$S=a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\cdot d$

Finalement, on a la représentation de la sortie avec des opérateurs logiques :