Loi des grands nombres/Résultats préliminaires
Présentation modifier
Dans cette page, nous allons présenter quelques résultats basiques de probabilités.
Inégalité de Markov modifier
L'inégalité de Markov permet de donner une majoration des valeurs que peut prendre une variable aléatoire.
Inégalité de Markov
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
Démonstration
On a l'inégalité
dès que . On en déduit que
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev modifier
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de donner une majoration des valeurs que peut prendre une variable aléatoire par rapport à son espérance.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire d'espérance et de variance finie (l'hypothèse de variance finie garantit l’existence de l'espérance). Alors :
Démonstration
En remarquant que
il suffit d'appliquer l'inégalité de Markov :