Lois de probabilité continues/Introduction

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Pour bien comprendre le principe, nous commencerons par un exemple :

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On lance une flèche dans une cible et on considère la variable aléatoire qui a tout tir de flèche associe la distance du point d'impact de la flèche au centre de la cible. C'est une variable aléatoire que l'on dit continue puisqu'elle peut prendre n'importe quelle valeur dans l'intervalle $\Omega =[0;\,+\infty [$. Dans ce cas on ne peut plus définir la probabilité image comme on le faisait pour les variables aléatoires discrètes. Si on prend une distance particulière comme 10 cm, la probabilité que la distance du point d'impact au centre de la cible fasse exactement 10 cm est nécessairement nulle. En effet, on imagine mal que cette distance soit exactement 10 cm. Même si cette distance nous paraît être 10 cm, nous aurons toujours un peu en plus ou en moins quitte à prendre un microscope très puissant pour le constater.

Pour résoudre le problème, on considérera alors plutôt la probabilité que la distance au centre soit inférieur à un nombre précis et on pose :

$F(x)=p(X<x)$

$F$ est une fonction qui à tout nombre $x$ associe la probabilité que la distance du point d'impact au centre soit inférieur à celui-ci. On appelle cette fonction : fonction de répartition. L'événement certain doit avoir une probabilité égale à 1. On devra donc avoir :

$\lim _{x\to \infty }F(x)=1$

En effet, pour une distance au centre de la cible très grande, on est quasiment sûr de mettre dans la cible, une flèche à une distance moindre.