En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Toutes les notions de ce chapitre sont applicables en dynamique newtonienne ou relativiste.
La puissance développée par la force [1] faisant intervenir le vecteur vitesse du point matériel sur laquelle elle s’applique et ce dernier dépendant du référentiel d’étude , on en déduit que « la puissance développée par cette force dépend aussi du référentieldans lequel on la calcule ».
dans le cas contraire, l'angle non orienté entre la direction du support de la force [1] et celle de déplacement de son point d'application n'est pas droit l'angle non orienté et la puissance développée par la force est , celle-ci s'écrivant en fonction de entre autres selon
«» ;
« si est aigu » c.-à-d. si est à , « la puissance développée par à l'instant est positive » «» et la force [1] est dite « motrice » ;
« si est obtus » c.-à-d. si est à , « la puissance développée par à l'instant est négative » «» et la force [1] est dite « résistive » [3].
Définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière, expression du travail élémentaire de la force en fonction de celle-ci et du vecteur déplacement élémentaire correspondant
Définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière
Le travail élémentaire de la force [1] sur la durée élémentaire à partir de l'instant où cette force développe la puissance est noté usuellement [4] et est défini selon
«», l'unité de travail étant le joule [5]symbole , .
Expression du travail élémentaire de la force dont le point d’application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance
Reportant la définition de la puissance développée par la force [1] à l'instant à savoir où est le vecteur vitesse dans le référentiel d'étude de , point d'application de la force, dans la définition du travail élémentaire de cette dernière précédemment introduite «», on obtient «» soit encore, avec [6], l'expression du travail élémentaire de la force[1] dont le point d’application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance à partir de l'instant ,
«» [7], l'unité de travail étant toujours le joule [5]symbole , .
Ayant défini le travail élémentaire «» développé par la force [1] à l'instant appliquée à quand ce dernier se déplace de façon élémentaire le long d'une courbe , il suffit, pour définir « le travail développé par la force[1]quandse déplace le long de la courbe de à », d'« ajouter les contributions élémentaires en suivant la courbe de à » soit
↑ Donné pour rendre hommage à James Watt (1736 - 1819) ingénieur écossais dont les améliorations sur la machine à vapeur contribuèrent grandement à la révolution industrielle du XIXème siècle ; s'il a déposé de nombreux brevets pour des inventions ou améliorations, il semble quasi certain qu'il s'est agi pour certaines d'entre elles d'une appropriation intellectuelle malhonnête !
↑ La notation historique est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole précédant une grandeur définie à chaque instant dont la signification est « petite variation de la grandeur » c.-à-d. , or ici il n'y a pas de grandeur instantanée il serait préférable de noter ce travail élémentaire mais on ne le fera jamais pour des raisons historiques
↑ 5,0 et 5,1 Donné pour rendre hommage à James Prescott Joule (1818 - 1889) physicien anglais à qui on doit une étude sur la nature de la chaleur et son lien avec le travail mécanique ainsi qu'une relation entre l'intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique et la chaleur dissipée dans ce dernier ; il a également travaillé avec le physicien britannique d'origine irlandaise William Thomson (1824 - 1907)encore connu sous le nom de Lord Kelvin pour développer l'échelle absolue de température et a étudié la magnétostrictionpropriété que possèdent les matériaux ferromagnétiques de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique.
↑ Parmi les deux définitions équivalentes c'est cette dernière utilisant le vecteur déplacement élémentaire du point d'application de la force qui est, de très loin, la plus utilisée.
↑ En absence d'ambiguïté, le travail de la force sera simplement noté sans rappeler la courbe suivie ni les bornes de la portion de courbe.
↑ Nous verrons ultérieurement qu'une force dont le travail développé entre et ne dépend pas de la courbe suivie par est dite « conservative » et que cette propriété permet d'introduire une énergie potentielle du point telle que la force conservative en dérive
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87914105835a58ab67b9bc24340cdd40c8e0783e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3005583011925bda4d5e514db0daea777f3855e0)
![{\displaystyle {\bigg \vert }{\widehat {\left\lbrace {\vec {F}}(M,\,t)\,;\,{\vec {V}}_{M}(t)\right\rbrace }}{\bigg \vert }\neq {\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b460ab822bfb71b26d73d98a872dc54b4b445f73)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562b098a1bd9b486a5aa26102353fce13c9d8ac2)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=\Vert {\vec {F}}(M,\,t)\Vert \;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d0e19cc54e9b67be04f2ffbb05c76d32934a4f)
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![{\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e974c6f8367c8b3a9d74da6c3540128cb8e69a2)
![{\displaystyle \left[{\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dt={\vec {F}}(M,\,t)\cdot \left[{\vec {V}}_{M}(t)\;dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8379eb3757fa6d622d53ec26cc408f8f8660ba)
![{\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de33fa70dbbfbcb99db4aef158073cf1f8a383d8)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c497f7f916bcccf0a8a9a2d288907024cf99161)
![{\displaystyle \;W_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {F}}(M,\,t)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0a24f8a33f7c2f615df22a7dc857d813fd81bc)
![{\displaystyle \;W_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e9bd40d00b0021946a2a85e125dec0a30f1f56)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
