Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non

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Définition d'un mouvement circulaire, repérage intrinsèque par « rayon vecteur »

Schéma représentant une trajectoire circulaire de centre $\;C\;$ et d'axe $\;\Delta \;$ sur lequel a été choisi un sens $\;+\;$ pour orienter les angles du plan contenant le cercle

Définition d'un mouvement circulaire du point M

     Le mobile $\;M\;$ décrit un mouvement circulaire, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, si sa trajectoire est portée par un cercle ; nous noterons

• $\;C\;$ le centre du cercle,
• $\;\Delta \;$ son axe $\;{\big (}$lequel est $\;\perp \;$ au plan du cercle ${\big )}\;$ et
• $\;R\;$ son rayon.

Repérage intrinsèque du point M sur sa trajectoire circulaire par son « rayon vecteur »

     Dans le cas général le point $\;M\;$ est repéré de façon intrinsèque par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}$,

     Dans le cas général lorsqu'on choisit le centre $\;C\;$ du cercle pour origine du vecteur position, celui-ci devient $\;{\overrightarrow {CM}}\;$ usuellement nommé « rayon vecteur » ;

la « loi horaire vectorielle du mouvement de $\;M\;$ est alors $\;{\overrightarrow {CM}}={\overrightarrow {CM}}(t)\;$».

Vecteur rotation instantanée, expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme

Définition du vecteur rotation instantanée

Schéma de définition du vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire d'un point $\;M$, de centre $\;C\;$ et d'axe $\;\Delta \;$ sur lequel a été choisi un sens $\;+\;$ pour orienter l'angle $\;\alpha (t)\;$ que fait le rayon vecteur du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ avec le rayon vecteur de $\;M_{\text{réf}}\;$ position de $\;M\;$ à un instant de référence ; figure aussi le vecteur vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t$

     L’axe de rotation $\;\Delta \;$ étant orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$, avec $\;{\overrightarrow {CM_{\text{réf}}}}\;$ un « rayon vecteur de référence » permettant de repérer le point $\;M\;$ à la date $\;t\;$ sur sa trajectoire circulaire par

l'« angle orienté $\;\alpha (t)={\widehat {\left({\overrightarrow {CM_{\text{réf}}}}\,,\,{\overrightarrow {CM}}\right)}}\;$ définissant l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$»,
le « vecteur rotation instantanée au même instant $\;t\;$» est défini par «$\;{\vec {\Omega }}(t)={\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» avec
«$\;{\dot {\alpha }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ appelée vitesse angulaire du point $\;M\;$ au même instant $\;t\;$» ;

     $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ est porté par l'axe $\;\Delta \;$ et est de même sens que $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ dans l'hypothèse d'un mouvement se faisant dans le sens $\;+$.

Expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t

     On vérifie aisément l’« expression intrinsèque $\;{\big (}$à mémoriser${\big )}\;$ du vecteur vitesse de $\;M\;$ sur sa trajectoire circulaire »

«$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$» ,

     en prenant les direction, sens et norme de ce produit vectoriel  :

• la direction étant $\;\perp \;$ à $\;\left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\,,\,{\overrightarrow {CM}}(t)\right\rbrace \;$ est tangente au cercle,
• le sens étant tel que $\;\left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\,,\,{\overrightarrow {CM}}(t)\,,\,{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right\rbrace \;$ soit direct est dans le sens indiqué sur le schéma et
• la norme étant «$\;\Vert {\vec {\Omega }}(t)\Vert \;{\big \Vert }{\overrightarrow {CM}}(t){\big \Vert }\;{\Bigg \vert }\sin \!{\widehat {\left[{\vec {\Omega }}(t)\,,\,{\overrightarrow {CM}}(t)\right]}}{\Bigg \vert }=R\;\vert \omega (t)\vert \;$» définit effectivement la vitesse linéaire du mouvement du point sur le cercle.

     Remarque : même si la meilleure origine du vecteur position est le centre $\;C\;$ de la trajectoire circulaire décrite par $\;M$, il peut être intéressant, pour préciser le mouvement de ce dernier, de prendre pour origine du vecteur position un point $\;A\neq C\;$ fixe de l'axe $\;\Delta$,
     Remarque : la loi horaire vectorielle s'écrit alors «$\;{\overrightarrow {AM}}={\overrightarrow {AM}}(t)\;$» et
     Remarque : le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ dans un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ se détermine de façon intrinsèque en fonction du vecteur position $\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;$ selon

«$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;\;\forall \;A\;{\text{fixe sur }}\Delta \;$»  ;

     Remarque : justification : partant de l'expression établie avec le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ à savoir «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$» puis utilisant la relation de Chasles «$\;{\overrightarrow {CM}}(t)={\overrightarrow {AM}}(t)-{\overrightarrow {AC}}\;$» que l'on reporte dans l'expression de $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AM}}(t)-{\overrightarrow {AC}}\right]\;$ avec emploi de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle d'où «$\;{\vec {V}}_{M}(t)$ $={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AC}}\;$» et, le 2^nd produit vectoriel étant nul car « les deux vecteurs le composant $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ et $\;{\overrightarrow {AC}}\;$ sont colinéaires » , «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» C.Q.F.D. .

Expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t

     Pour obtenir l’expression intrinsèque du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)$, on dérive par rapport à $\;t\;$ celle de «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\dfrac {d{\overrightarrow {CM}}}{dt}}(t)\;$»  ;

Schéma de définition du vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire d'un point $\;M$, de centre $\;C\;$ et d'axe $\;\Delta \;$ sur lequel a été choisi un sens $\;+\;$ pour orienter l'angle $\;\alpha (t)\;$ que fait le rayon vecteur du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ avec le rayon vecteur de $\;M_{\text{réf}}\;$ position de $\;M\;$ à un instant de référence ; figurent aussi le vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération de $\;M\;$ à l'instant $\;t$

     de plus «$\;{\overrightarrow {CM}}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)-{\overrightarrow {OC}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {CM}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;{\cancel {-{\dfrac {d{\overrightarrow {OC}}}{dt}}}}={\vec {V}}_{M}(t)\;$» d'où $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ se réécrit «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=$ ${\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)\;$» ou encore «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$» obtenu en reportant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$» ;

     pour simplifier l'expression de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ ci-dessus, on applique à $\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$ la formule du double produit vectoriel soit «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]$ $={\cancel {\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\right]{\vec {\Omega }}(t)}}\;-\left[{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)\;$» ou encore «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]=$ $-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$»  ;

     finalement l'« expression intrinsèque $\;{\big (}$à mémoriser${\big )}\;$ du vecteur accélération du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ sur sa trajectoire circulaire » s'écrit

«$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$»  ;

     on y observe deux termes $\;{\big [}$voir sur la figure ci-contre${\big ]}$, $\blacktriangleright \;$le 1^er terme «$\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$» est « tangentiel et n'existe que si la vitesse
     on y observe deux termes $\;\color {transparent}{\big [}$voir sur la figure ci-contre$\color {transparent}{\big ]}$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$angulaire varie » ,
     on y observe deux termes $\;\color {transparent}{\big [}$voir sur la figure ci-contre$\color {transparent}{\big ]}$, $\blacktriangleright \;$le 2^ème terme «$\;-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$» est « normal plus précisément centripète » , de norme $\;\propto \;$ au rayon du cercle et
           on y observe deux termes $\;\color {transparent}{\big [}$voir sur la figure ci-contre$\color {transparent}{\big ]}$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2^ème terme «$\;\color {transparent}{-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {CM}}(t)}\;$» est « normal plus précisément centripète », de norme $\;\color {transparent}{\propto }\;$ au carré de la vitesse angulaire .

     Remarque : même si cela ne présente qu'un intérêt très limité on peut obtenir l'expression intrinsèque du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ en dérivant par rapport à $\;t\;$ celle de «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» $\;{\big (}A\;$ étant un point fixe de l'axe $\;\Delta \;$ avec $\;A\neq C{\big )}$, soit «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}(t)\;$» avec «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;{\cancel {-{\dfrac {d{\overrightarrow {OA}}}{dt}}}}={\vec {V}}_{M}(t)\;$» d'où, par report, «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=$ ${\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)\;$» ;

     Remarque : dans le 2^ème terme «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)\;$» on reconnaît celui qui a conduit au terme d'accélération centrale «$\;-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$» en utilisant une formule du double produit vectoriel après remplacement de «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ par $\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$» et

     Remarque : dans le 1^er terme «$\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» on doit donc reconnaître le terme d'accélération tangentielle «$\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$», l'égalité entre les deux résultant de l'utilisation de la relation de Chasles «$\;{\overrightarrow {AM}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CM}}\;$», de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle et enfin du fait que «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AC}}={\vec {0}}\;$» les deux vecteurs étant colinéaires.

Cas particulier du mouvement uniforme

     Définition : un mouvement circulaire est qualifié d'« uniforme » du point de vue intrinsèque si son vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ est constant soit «$\;{\vec {\Omega }}(t)={\vec {\Omega _{0}}}\;\;\forall \;t\;$».

     1^ère conséquence : le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ en mouvement circulaire uniforme s'écrivant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega _{0}}}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$»
     1^ère conséquence : le vecteur vitesse $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme a pour seule particularité le fait d'être de norme constante
     1^ère conséquence : le vecteur vitesse $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\Big \Vert }{\vec {\Omega _{0}}}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t){\Big \Vert }={\Big \Vert }{\vec {\Omega _{0}}}{\Big \Vert }\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {CM}}(t){\Big \Vert }=R\;{\Big \Vert }{\vec {\Omega _{0}}}{\Big \Vert }\;$».

     2^ème conséquence : le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ en mouvement circulaire uniforme s'écrivant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=-{\vec {\Omega _{0}}}^{2}\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$» du fait de $\;{\dfrac {d{\vec {\Omega _{0}}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$ $\Rightarrow$ la « nullité de l'accélération
     2^ème conséquence : le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme tangentielle $\;{\dfrac {d{\vec {\Omega _{0}}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$», a pour particularité de rendre $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$centripète
     2^ème conséquence : le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=-{\vec {\Omega _{0}}}^{2}\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$» et de norme constante «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\Big \Vert }{\vec {\Omega _{0}}}{\Big \Vert }^{2}\;R\;$».

Repérage plan polaire ayant le centre du cercle pour pôle, définition de l'abscisse angulaire, de la vitesse angulaire et de l'accélération angulaire du point M, expressions des composantes polaires du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme

Introduction

Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point $\;M$, avec choix du plan du cercle comme plan $\;xOy$, et du centre du cercle comme pôle $\;O\;$ du repérage polaire de $\;M$, les angles étant orientés par l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$

     Dans le cas où le point mobile étudié décrit un mouvement circulaire, il est en effet judicieux de choisir le plan $\;xOy\;$ du repère lié au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ confondu avec le plan du cercle, l'origine $\;O\;$ étant identifiée avec le centre de ce dernier, et l'axe $\;Oz\;$ avec l'axe du cercle $\;{\big [}$l'axe de ce dernier étant orienté par $\;{\vec {u}}_{z}{\big ]}\;$ voir schéma ci-contre :

Repérage plan polaire de pôle « le centre du cercle », les angles du plan étant orientés par « l'axe (orienté) du cercle »

     Le cercle étant de rayon $\;R$, les « coordonnées polaires de $\;M\;$ sont $\;M\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho _{M}=R\\\theta _{M}=\theta (t)\end{array}}\right\rbrace \;$» et la « base polaire liée à $\;M\;$ est $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;$» respectivement appelé vecteurs unitaires radial et orthoradial  ;

     parmi les deux paramètres de position du point $\;M$, l'un est fixé $\;\rho _{M}=R\;$ et l'autre «$\;\theta _{M}=\theta (t)\;$ décrit la loi horaire scalaire de position du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire ».

Abscisse angulaire de M

     L'« abscisse angulaire de $\;M\;$ est sa 2^èmecoordonnée polaire », exprimée en fonction du temps $\;t$, elle définit la « loi horaire scalaire de position du mouvement de $\;M\;$ sur sa trajectoire »

«$\;\theta _{M}=\theta (t)\;$ exprimées en $\;rad\;$».

Vitesse angulaire de M

     On définit la « vitesse angulaire $\;\omega _{M}\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» comme la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire $\;\theta _{M}=\theta (t)\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ soit «$\;\omega _{M}=$ ${\dot {\theta }}(t)\;$» ; on obtient ainsi la « loi horaire scalaire de vitesse $\;{\big (}$angulaire${\big )}\;$ du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire »

«$\;\omega _{M}=\omega (t)\;$ en notant $\;\omega (t)={\dot {\theta }}(t)\;$ exprimées en $\;rad\cdot s^{-1}\;$».

Accélération angulaire de M

     On définit l'« accélération angulaire de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» comme la dérivée temporelle de la vitesse angulaire $\;\omega _{M}=\omega (t)={\dot {\theta }}(t)\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ d'où l'« accélération angulaire de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ égale à $\;{\dot {\omega }}(t)={\ddot {\theta }}(t)\;$» ; on obtient ainsi la « loi horaire scalaire d'accélération $\;{\big (}$angulaire${\big )}\;$ du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire »

«$\;{\ddot {\theta }}_{M}={\dot {\omega }}(t)={\ddot {\theta }}(t)\;$ exprimées en $\;rad\cdot s^{-2}\;$».

Expressions des composantes polaires du vecteur position (ou rayon vecteur), du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M

Composantes polaires du vecteur position (ou rayon vecteur) de M

     Par définition du « vecteur unitaire radial $\;{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\;$ le 1^er vecteur de la base polaire liée à $\;M\;$» , on en déduit le « vecteur position $\;{\big (}$ou rayon vecteur${\big )}\;$ de $\;M\;$»

«$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=\rho _{M}\;{\vec {u}}_{\rho ,\,M}=R\;{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;$».

Composantes polaires du vecteur vitesse de M

     Le « vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire circulaire » ayant pour « composantes polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho ,\,M}={\cancel {{\dot {\rho }}_{M}}}\quad =0\\V_{\theta ,\,M}=\rho _{M}\;{\dot {\theta }}_{M}=R\;\omega (t)\end{array}}\right\rbrace \;$» , on en déduit que

« le vecteur vitesse de $\;M\;$ est orthoradial $\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{\theta ,\,M}\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}=R\;\omega (t)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;$» exprimés en $\;m\cdot s^{-1}$.

Composantes polaires du vecteur accélération de M

     Le « vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ de $\;M\;$ sur sa trajectoire circulaire » ayant pour « composantes polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho ,\,M}={\cancel {{\ddot {\rho }}_{M}}}-\rho _{M}\;{\dot {\theta }}_{M}^{2}=-R\;\omega ^{2}(t)\\a_{\theta ,\,M}=\rho _{M}\;{\ddot {\theta }}_{M}+{\cancel {2\;{\dot {\rho }}_{M}\;{\dot {\theta }}_{M}}}=R\;{\ddot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» , on en déduit que

« le vecteur accélération de $\;M\;$ a toujours une composante radiale et éventuellement une composante orthoradiale »
«$\;{\vec {a}}_{M}(t)=a_{\rho ,\,M}\;{\vec {u}}_{\rho ,\,M}+a_{\theta ,\,M}\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}=-R\;\omega ^{2}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]+R\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;$» exprimés en $\;m\cdot s^{-2}$.

Cas particulier du mouvement circulaire uniforme

     Définitions équivalentes : un mouvement circulaire est qualifié d'« uniforme » du point de vue repérage polaire si

• sa vitesse angulaire $\;\omega (t)\;$ est constante soit                                   «$\;\omega (t)=\omega _{0}\;\;\forall \;t\;$»,
• son accélération angulaire $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ est identiquement nulle soit         «$\;{\ddot {\theta }}(t)=0\;\;\forall \;t\;$»,
• son abscisse angulaire $\;\theta (t)\;$ est une fonction affine du temps soit «$\;\theta (t)=\omega _{0}\;t+\theta _{0}\;\;\forall \;t\;$».

     1^ère conséquence : « le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ en mouvement circulaire uniforme s'écrivant $\;{\vec {V}}_{M}(t)=R\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$»
     1^ère conséquence : « le vecteur vitesse $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme a pour seule particularité le fait d'être de norme constante «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =R\;\vert \omega _{0}\vert \;$».

     2^ème conséquence : « le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ en mouvement circulaire uniforme s'écrivant $\;{\vec {a}}_{M}(t)=-R\;\omega _{0}^{2}\;{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\;$»
     2^ème conséquence : « le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être centripète «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ direction et sens de $\;-{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\;$» et
     2^ème conséquence : « le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être de norme constante «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =R\;\omega _{0}^{2}\;$».

En complément, repérage de Frenet, abscisse curviligne, vitesse instantanée, accélération tangentielle, composante(s) de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme

Introduction

Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point $\;M\;$ par repérage de Frenet , avec choix de l'origine $\;A\;$ et de celui du sens $\;+\;$ de mesure de l'« abscisse curviligne $\;s\;$ de $\;M\;$» dans le sens trigonométrique direct

     On choisit l'« origine $\;A\;$ des abscisses curvilignes sur le cercle » et
     on oriente ce dernier par le « 1^er vecteur de base locale de Frenet $\;{\vec {\tau }}\;$» vecteur unitaire tangentiel de Frenet choisi tangent au cercle dans le « sens direct » ,
     on oriente ce dernier par le « 2^ème vecteur de base locale de Frenet $\;{\vec {n}}\;$» vecteur unitaire normal principal de Frenet étant toujours dirigé vers la concavité,
     on oriente ce dernier par le « 3^ème vecteur de base locale de Frenet $\;{\vec {b}}\;$» vecteur unitaire normal secondaire de Frenet est $\;\perp \;$ au plan du cercle pointant vers nous selon «$\;{\vec {\tau }}\wedge {\vec {n}}={\vec {b}}\;$» $\;{\big [}$on rappelle que c'est le sens de $\;{\vec {b}}\;$ qui définit le sens $\;+\;$ de mesure des angles dans le plan du cercle ${\big ]}\;$ voir schéma ci-contre :

Abscisse curviligne, vitesse instantanée et accélération tangentielle du point M sur sa trajectoire

     On rappelle que le point $\;M\;$ sur sa trajectoire est repéré par une seule coordonnée de Frenet son « abscisse curviligne $\;s_{M}={\overset {\curvearrowright }{AM}}\;$ exprimée en $\;m\;$» .

Abscisse curviligne du point M sur sa trajectoire

     L'« abscisse curviligne de $\;M\;$» est sa seule coordonnée de Frenet , exprimée en fonction du temps $\;t$, elle définit la « loi horaire scalaire de position du mouvement de $\;M\;$ sur sa trajectoire »

«$\;s_{M}=s(t)\;$» exprimées en $\;m$.

Vitesse instantanée du point M sur sa trajectoire

     La « vitesse instantanée $\;v_{M}\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» est la dérivée temporelle de l'abscisse curviligne $\;s_{M}=s(t)\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ soit «$\;v_{M}=$ ${\dot {s}}(t)\;$» ; on obtient ainsi la « loi horaire scalaire de vitesse instantanée du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire »

«$\;v_{M}=v(t)\;$ en notant $\;v(t)={\dot {s}}(t)\;$» exprimées en $\;m\cdot s^{-1}$.

Accélération tangentielle du point M sur sa trajectoire

     L'« accélération tangentielle $\;a_{\tau ,\,M}\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» est la dérivée temporelle de la vitesse instantanée $\;v_{M}=v(t)={\dot {s}}(t)\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ d'où «$\;a_{\tau ,\,M}={\dot {v}}(t)={\ddot {s}}(t)\;$» ; on obtient ainsi la « loi horaire scalaire d'accélération tangentielle du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire »

«$\;a_{\tau ,\,M}={\dot {v}}(t)={\ddot {s}}(t)\;$» exprimées en $\;m\cdot s^{-2}$.

Expression des composantes de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire

Composante de Frenet du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire

     Par définition de la vitesse instantanée $\;v_{M}\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire, on en déduit le « vecteur vitesse de $\;M\;$»

«$\;{\vec {V}}_{M}(t)=v_{M}\;{\vec {\tau }}_{M}=v(t)\;{\vec {\tau }}\!\left[s(t)\right]\;$ avec $\;v(t)={\dot {s}}(t)\;$» exprimées en $\;m\cdot s^{-1}$.

Composantes de Frenet du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire

     En plus de l'« accélération tangentielle traduisant la variation de la vitesse instantanée sur sa trajectoire » , il y a une « accélération normale qui décrit la courbure $\;{\dfrac {1}{R}}\;$ de la trajectoire simultanément à la vitesse instantanée sur celle-ci par $\;a_{n,\,M}={\dfrac {v^{2}(t)}{R}}\;$» d'où le « vecteur accélération de $\;M\;$ sur sa trajectoire » selon

«$\;{\vec {a}}_{M}(t)=a_{\tau ,\,M}\;{\vec {\tau }}_{M}+a_{n,\,M}\;{\vec {n}}_{M}=a_{\tau }(t)\;{\vec {\tau }}\!\left[s(t)\right]+a_{n}(t)\;{\vec {n}}\!\left[s(t)\right]\;$» avec
«$\;a_{\tau }(t)={\dot {v}}(t)={\ddot {s}}(t)\;$» et «$\;a_{n}(t)={\dfrac {v^{2}(t)}{R}}\geqslant 0\;$» exprimées en $\;m\cdot s^{-2}$.

Cas particulier du mouvement circulaire uniforme

     Définitions équivalentes : un mouvement circulaire est qualifié d'« uniforme » du point de vue repérage de Frenet si

• sa vitesse instantanée $\;v(t)\;$ est constante soit                                      «$\;v(t)=v_{0}\;\;\forall \;t\;$»,
• son accélération tangentielle $\;a_{\tau }(t)\;$ est identiquement nulle soit         «$\;a_{\tau }(t)=0\;\;\forall \;t\;$»,
• son abscisse curviligne $\;s(t)\;$ est une fonction affine du temps soit      «$\;s(t)=v_{0}\;t+s_{0}\;\;\forall \;t\;$».

     1^ère conséquence : « le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ en mouvement circulaire uniforme s'écrivant $\;{\vec {V}}_{M}(t)=v_{0}\;{\vec {\tau }}_{M}\;$»
     1^ère conséquence : « le vecteur vitesse $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme a pour seule particularité le fait d'être de norme constante «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =\vert v_{0}\vert \;$».

     2^ème conséquence : « le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ en mouvement circulaire uniforme s'écrivant $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {v_{0}^{2}}{R}}\;{\vec {n}}_{M}\;$» du fait de la nullité de l'accélération tangentielle $\;a_{\tau ,\,M}(t)=0\;$
     2^ème conséquence : « le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être centripète «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ de direction et sens de $\;{\vec {n}}_{M}\;$» et
     2^ème conséquence : « le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être de norme constante «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\dfrac {v_{0}^{2}}{R}}\;$».

En complément, liens entre repérage plan polaire ayant le centre du cercle pour pôle et repérage de Frenet tel que l'origine des abscisses curvilignes coïncide avec l'origine des abscisses angulaires

Préliminaire

     Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer «$\;\theta _{M}>0\Leftrightarrow s_{M}>0\;$» dont une conséquence est que
     Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1^er vecteur de la base locale de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$» c.-à-d. le vecteur unitaire tangentiel de Frenet
                 Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1^er vecteur de la base locale de Frenet $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}_{M}}\;$» est identique « au 2^ème vecteur de la base polaire $\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$» c.-à-d.
             Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1^er vecteur de la base locale de Frenet $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}_{M}}\;$» est identique « au 2^ème le vecteur unitaire orthoradial soit
                 Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1^er vecteur de la base locale de Frenet $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}_{M}}\;$» est identique «$\;{\vec {\tau }}_{M}={\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$» ;

     pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens $\;{\big (}$trigonométrique direct${\big )}\;$ dans les deux repérages,
     pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3^ème vecteur de la base locale de Frenet $\;{\vec {b}}_{M}\;$» c.-à-d. le vecteur unitaire normal secondaire de Frenet
                pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3^ème vecteur de la base locale de Frenet $\;\color {transparent}{{\vec {b}}_{M}}\;$» doit être identique « au 3^ème vecteur de la base cylindro-polaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$»
                 pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3^ème vecteur de la base locale de Frenet $\;\color {transparent}{{\vec {b}}_{M}}\;$» doit être identique c.-à-d. le vecteur unitaire axial soit
                pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3^ème vecteur de la base locale de Frenet $\;\color {transparent}{{\vec {b}}_{M}}\;$» doit être identique «$\;{\vec {b}}_{M}={\vec {u}}_{z}\;$»  ;

     les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2^ème vecteur de la base locale de Frenet $\;{\vec {n}}_{M}\;$» c.-à-d. le vecteur unitaire normal principal de Frenet
        les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2^ème vecteur de la base locale ${\big (}$défini par rapport aux deux autres vecteurs de la base de Frenet par $\;{\vec {n}}_{M}={\vec {b}}_{M}\wedge {\vec {\tau }}_{M}{\big )}$ et
         les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « les vecteurs de base cylindro-polaire » en utilisant «$\;{\vec {n}}_{M}={\vec {b}}_{M}\wedge {\vec {\tau }}_{M}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta ,\,M}=-{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\;$» d'où
         les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2^ème vecteur de la base locale de Frenet $\;{\vec {n}}_{M}\;$» est identique à « l'opposé du 1^er vecteur de la base polaire $\;{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\;$»
                       les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2^ème vecteur de la base locale de Frenet $\;\color {transparent}{{\vec {n}}_{M}}\;$» est identique à c.-à-d. l'opposé du vecteur unitaire radial soit
                     les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2^ème vecteur de la base locale de Frenet $\;\color {transparent}{{\vec {n}}_{M}}\;$» est identique à «$\;{\vec {n}}_{M}=-{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\;$» .

     On choisit, de préférence, l’origine $\;A\;$ des abscisses curvilignes en liaison avec l’origine des abscisses angulaires c.-à-d. telle que «$\;\theta _{M}=0\Leftrightarrow s_{M}=0\;$».

Lien entre abscisses curviligne et angulaire, vitesses instantanée et angulaire, accélérations tangentielle et angulaire du point M

     Remarque préliminaire : compte-tenu des unités des grandeurs cinématiques correspondantes intervenant dans les repérages polaire et de Frenet ,
     Remarque préliminaire : compte-tenu des unités une grandeur cinématique de Frenet $\;{\big [}$abscisse curviligne, vitesse instantanée et accélération tangentielle${\big ]}\;$
     Remarque préliminaire : compte-tenu des unités s'obtient à partir de la grandeur cinématique polaire associée $\;{\big [}$abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire${\big ]}\;$
     Remarque préliminaire : compte-tenu des unités s'obtient en multipliant cette dernière par une longueur, laquelle ne peut être que le rayon du cercle $\;\ldots$

Lien entre abscisses curviligne et angulaire du point M sur sa trajectoire

     Sachant que la « longueur d'un arc de cercle $\;{\overset {\frown }{AB}}\;$ de rayon $\;R\;$ tel que l'angle au centre correspondant soit $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {OA}}\,,\,{\overrightarrow {OB}}\right)}}\;$ exprimé en $\;rad\;$» se calcule par «$\;{\overset {\frown }{AB}}=R\;{\widehat {\left({\overrightarrow {OA}}\,,\,{\overrightarrow {OB}}\right)}}_{\text{en rad}}\;$» ,

     on en déduit le « lien entre l'abscisse curviligne $\;s(t)\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire et l'abscisse angulaire $\;\theta (t)\;$ correspondante » «$\;s(t)=R\;\theta (t)\;$».

Lien entre vitesses instantanée et angulaire du point M sur sa trajectoire

     Par dérivation temporelle du lien entre abscisses curviligne $\;s(t)\;$ et angulaire $\;\theta (t)\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire on obtient «$\;{\dot {s}}(t)=R\;{\dot {\theta }}(t)\;$» c.-à-d.
     Par dérivation temporelle le « lien entre la vitesse instantanée $\;v(t)\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire et la vitesse angulaire $\;\omega (t)\;$ correspondante » «$\;v(t)=R\;\omega (t)\;$».

Lien entre accélérations tangentielle et angulaire du point M sur sa trajectoire

     Par dérivation temporelle du lien entre vitesse instantanée $\;v(t)\;$ et angulaire $\;\omega (t)\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire on obtient «$\;{\dot {v}}(t)=R\;{\dot {\omega }}(t)\;$» c.-à-d.
     Par dérivation temporelle le « lien entre l'accélération tangentielle $\;a_{\tau }(t)\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire et l'accélération angulaire $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ correspondante » «$\;a_{\tau }(t)=R\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» .

Lien entre composantes de Frenet et polaires du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire

     Pour trouver ces liens il suffit d'utiliser les identifications des vecteurs de base de Frenet avec ceux de base polaire à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {\tau }}_{M}={\vec {u}}_{\theta ,\,M}\\{\vec {n}}_{M}=-{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où :

Lien entre composantes de Frenet et polaire du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire

     De $\;{\vec {V}}_{M}(t)=v(t)\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ on y reporte $\;{\vec {\tau }}_{M}={\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$ et on en déduit $\;{\vec {V}}_{M}(t)=v(t)\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$ à identifier à $\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$ d'où

« les vitesses instantanée $\;v(t)\;$ et orthoradiale $\;V_{\theta }(t)\;$ sont identiques » «$\;v(t)=V_{\theta }(t)=R\;\omega (t)\;$».

Lien entre composantes de Frenet et polaire du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire

     De $\;{\vec {a}}_{M}(t)=a_{\tau }(t)\;{\vec {\tau }}_{M}+a_{n}(t)\;{\vec {n}}_{M}\;$ on y reporte $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {\tau }}_{M}={\vec {u}}_{\theta ,\,M}\\{\vec {n}}_{M}=-{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\end{array}}\right\rbrace \;$ et on en déduit $\;{\vec {a}}_{M}(t)=a_{\tau }(t)\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}-a_{n}(t)\;{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\;$ à identifier à $\;{\vec {a}}_{M}(t)=a_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}+a_{\rho }(t)\;{\vec {u}}_{\rho ,\,M}\;$ d'où

« les accélérations tangentielle $\;a_{\tau }(t)\;$ et orthoradiale $\;a_{\theta }(t)\;$ sont identiques » «$\;a_{\tau }(t)=a_{\theta }(t)=R\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» et
« les accélérations normale $\;a_{n}(t)\;$ et radiale $\;a_{\rho }(t)\;$ sont opposées » «$\;a_{n}(t)=-a_{\rho }(t)=R\;\omega ^{2}(t)={\dfrac {v^{2}(t)}{R}}\;$».

Essai de repérage cartésien

Introduction

Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point $\;M$, avec choix du plan du cercle comme plan $\;xOy$, et du centre du cercle comme origine $\;O\;$ du repérage cartésien de $\;M$, les angles étant orientés par l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$

     Le choix d'un repérage cartésien, même avec origine le centre du cercle, reste un très mauvais choix, l'une des raisons étant qu'« il faut, pour décrire le mouvement du point $\;M\;$ sur le cercle, deux lois horaires cartésiennes scalaires » là où « une seule loi horaire scalaire est suffisante lors d'un repérage polaire ou de Frenet  » ; en effet

     ayant choisi le plan du cercle comme plan $\;xOy$, la cote de $\;M\;$ est «$\;z_{M}=0\;\;\forall \;t\;$», pour compléter la connaissance du mouvement de $\;M\;$ il reste à « préciser les deux lois horaires scalaires donnant l'abscisse et l'ordonnée de $\;M\;$ en fonction du temps $\;t\;$» soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{M}=x(t)\\y_{M}=y(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» et
       Ayant choisi le plan du cercle comme plan xOy, si l'origine $\;O\;$ du repère a été choisie au centre du cercle, l'utilisation du paramètre angulaire $\;\theta _{M}=$ ${\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$ exprimée en fonction du temps $\;t\;$ permet d'« écrire les deux lois horaires scalaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{M}=R\;\cos \!\left[\theta _{M}(t)\right]\\y_{M}=R\;\sin \!\left[\theta _{M}(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$», « l'abscisse et l'ordonnée de $\;M\;$ étant liées par l'équation cartésienne de la trajectoire » à savoir celle du cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R\;$ «$\;x_{M}^{2}+y_{M}^{2}=R^{2}\;$» ;

     dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, la complication est réelle car «$\;{\dot {\theta }}_{M}(t)\neq cste\;$», $\Rightarrow$ le mouvement des projetés $\;M_{x}\;$ et $\;M_{y}\;$ de $\;M\;$ respectivement sur les axes $\;Ox\;$ et $\;Oy\;$ n'est pas sinusoïdal, l'argument du cosinus ou du sinus n'étant pas une fonction affine du temps,

     dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, la complication est accrue dans les lois horaires scalaires de vitesse, chaque composante du vecteur vitesse s'écrivant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{c}V_{x,\,M}(t)=R\;{\dot {\theta }}_{M}(t)\;\cos \!\left[\theta _{M}(t)+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\\V_{y,\,M}(t)=R\;{\dot {\theta }}_{M}(t)\;\sin \!\left[\theta _{M}(t)+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. égale à une fonction pseudo-sinusoïdale $\;{\big [}$ou pseudo-cosinusoïdale${\big ]}\;$ d'une fonction non affine du temps $\;{\big \{}$pseudo-sinusoïdale $\;{\big [}$ou pseudo-cosinusoïdale${\big ]}\;$ dans la mesure où le cœfficient multiplicateur de $\;\sin()$ $\;{\big [}$ou de $\;\cos(){\big ]}\;$ est une fonction du temps donc une pseudo-amplitude${\big \}}\;$ et enfin

     dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, la complication est encore plus grande dans les lois horaires scalaires d'accélération, chaque composante du vecteur accélération s'écrivant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}a_{x,\,M}(t)=R\;{\ddot {\theta }}_{M}(t)\;\cos \!\left[\theta _{M}(t)+{\dfrac {\pi }{2}}\right]+R\;{\dot {\theta }}_{M}^{2}(t)\;\cos \!\left[\theta _{M}(t)+\pi \right]\\a_{y,\,M}(t)=R\;{\ddot {\theta }}_{M}(t)\;\sin \!\left[\theta _{M}(t)+{\dfrac {\pi }{2}}\right]+R\;{\dot {\theta }}_{M}^{2}(t)\;\sin \!\left[\theta _{M}(t)+\pi \right]\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. égale à une somme de deux fonctions pseudo-sinusoïdales $\;{\big [}$ou pseudo-cosinusoïdales${\big ]}\;$ de fonctions non affines du temps différentes $\;{\big \{}$pseudo-sinusoïdale $\;{\big [}$ou pseudo-cosinusoïdale${\big ]}\;$ dans la mesure où les cœfficients multiplicateurs des $\;\sin()$ $\;{\big [}$ou des $\;\cos(){\big ]}\;$ sont des fonctions du temps $\;{\big (}$différentes${\big )}\;$ donc des pseudo-amplitudes $\;{\big (}$différentes${\big )}{\big \}}\;$ $\ldots$

Cas particulier d’un mouvement circulaire uniforme

     Ayant choisi le plan du cercle comme plan $\;xOy\;$ et le centre du cercle comme origine $\;O$, le caractère uniforme du mouvement entraîne

• une « vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}_{M}(t)=cste\;$ notée $\;\omega _{0}\;$» correspondant à
• une « accélération angulaire nulle c.-à-d. $\;{\ddot {\theta }}_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» et
• une « abscisse angulaire fonction affine du temps $\;\theta _{M}(t)=\omega _{0}\;t+\theta _{0}\;$» ;

     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{M}(t)=R\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}\right)\\y_{M}(t)=R\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» se traduisent par le caractère sinusoïdal du mouvement des projetés de $\;M\;$ sur les axes $\;Ox\;$ et $\;Oy$, respectivement $\;M_{x}\;$ et $\;M_{y}$, de même amplitude $\;R\;$ et de même pulsation $\;\vert \omega _{0}\vert \;$, en quadrature de phase l'un relativement à l'autre, plus précisément :

     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur $\blacktriangleright \;$« si $\;\omega _{0}>0\;$», les « composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}\right)\\y_{M}(t)=R\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» , soit
     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\omega _{0}>0}\;$», les « composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent «$\;M_{y}\;$ vibre en quadrature retard sur $\;M_{x}\;$» et

     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur $\blacktriangleright \;$« si $\;\omega _{0}<0\;$», les « composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c}x_{M}(t)\!\!&=&\!\!R\;\cos \!\left(-\omega _{0}\;t-\theta _{0}\right)\!\!&=&\!\!\\y_{M}(t)\!\!&=&\!\!-R\;\sin \!\left(-\omega _{0}\;t-\theta _{0}\right)\!\!&=&\!\!\end{array}}\right.$
     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\omega _{0}<0}\;$», $\left.{\begin{array}{l c l}R\;\cos \!\left(\vert \omega _{0}\vert \;t-\theta _{0}\right)\!\!&=&\!\!R\;\cos \!\left(\vert \omega _{0}\vert \;t-\theta _{0}\right)\\-R\;\sin \!\left(\vert \omega _{0}\vert \;t-\theta _{0}\right)\!\!&=&\!\!R\;\cos \!\left(\vert \omega _{0}\vert \;t-\theta _{0}+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» , soit «$\;M_{y}\;$ vibre en quadrature avance sur $\;M_{x}\;$» ;

     les « composantes cartésiennes des vecteurs vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ et accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ s'obtiennent en dérivant temporellement celles de $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ une ou deux fois successivement » soit :

• $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{c}V_{x,\,M}(t)=R\;\omega _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\\V_{y,\,M}(t)=R\;\omega _{0}\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d. le caractère sinusoïdal de la vitesse des projetés de $\;M\;$ sur les axes $\;Ox\;$ et $\;Oy$, respectivement $\;M_{x}\;$ et $\;M_{y}$, de même amplitude $\;R\;\vert \omega _{0}\vert \;$ et de même pulsation $\;\vert \omega _{0}\vert \;$, en quadrature de phase l'une relativement à l'autre et
• $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a_{x,\,M}(t)=R\;\omega _{0}^{2}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}+\pi \right)\\a_{y,\,M}(t)=R\;\omega _{0}^{2}\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}+\pi \right)\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d. le caractère sinusoïdal de l'accélération des projetés de $\;M\;$ sur les axes $\;Ox\;$ et $\;Oy$, respectivement $\;M_{x}\;$ et $\;M_{y}$, de même amplitude $\;R\;\omega _{0}^{2}\;$ et de même pulsation $\;\vert \omega _{0}\vert \;$, en quadrature de phase l'une par rapport à l'autre, ces composantes se réécrivant $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a_{x,\,M}(t)=-R\;\omega _{0}^{2}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}\right)=-\omega _{0}^{2}\;x_{M}(t)\\a_{y,\,M}(t)=-R\;\omega _{0}^{2}\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t+\theta _{0}\right)=-\omega _{0}^{2}\;y_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$.

     Conséquence : on déduit aisément de ce qui précède que le projeté d'un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre quelconque du cercle est en mouvement rectiligne sinusoïdal de pulsation égale à la valeur absolue de la vitesse angulaire et d'amplitude égale au rayon du cercle $\;\ldots$

     Conséquence : on emploie cette propriété lors de l'utilisation d'un système « bielle - excentré » pour transformer un mouvement circulaire uniforme en mouvement rectiligne quasi sinusoïdal $\;{\big [}$à condition que la bielle soit de longueur grande devant le rayon décrit par l'excentré${\big ]}$.

Composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux sur des directions orthogonales de même centre O, de même pulsation, de même amplitude et en quadrature de phase

     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal sur l'axe $\;Ox\;$ de $\;M_{x}\;$ à la fréquence $\;f_{0}\;$ ${\big (}$ou la pulsation $\;2\,\pi \,f_{0}{\big )}$, d'amplitude $\;A\;$ soit «$\;M_{x}\;{\text{:}}\;x(t)=A\;\cos \!\left(2\,\pi \,f_{0}\;t+\varphi \right)\;$» et

     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal sur l'axe $\;Oy\;$ de $\;M_{y}\;$ à la fréquence $\;f_{0}\;$ ${\big (}$ou la pulsation $\;2\,\pi \,f_{0}{\big )}$, d'amplitude $\;A\;$ mais en quadrature de phase par rapport au précédent soit
     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal sur l'axe $\;\color {transparent}{Oy}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{y}}\;$ à la fréquence $\;\color {transparent}{f_{0}}\;$ $\color {transparent}{\big (}$ou la pulsation $\;\color {transparent}{2\,\pi \,f_{0}{\big )}}$, d'amplitude $\;\color {transparent}{A}\;$ soit «$\;M_{y}\;{\text{:}}\;y(t)=A\;\cos \!\left(2\,\pi \,f_{0}\;t+\varphi \pm {\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$»

     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme $\;{\big (}$M.C.U.${\big )}\;$ de centre $\;O$, de rayon $\;A\;$ et de vitesse angulaire $\;\omega _{0}=\pm 2\,\pi \,f_{0}\;$ ;

     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme $\succ \;$si $\;M_{y}\;$ vibre en quadrature retard sur $\;M_{x}$, la vitesse angulaire du M.C.U. est égale à la pulsation
     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{M_{y}}\;$ vibre en quadrature retard sur $\;\color {transparent}{M_{x}}$, «$\;\omega _{0}=2\,\pi \,f_{0}>0\;$» et
     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme $\succ \;$si $\;M_{y}\;$ vibre en quadrature avance sur $\;M_{x}$, la vitesse angulaire du M.C.U. est l'opposé de la pulsation
     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{M_{y}}\;$ vibre en quadrature avance sur $\;\color {transparent}{M_{x}}$, «$\;\omega _{0}=-2\,\pi \,f_{0}<0\;$» .

Rappel de propriété : la direction du vecteur accélération du point M est toujours dans la concavité de la trajectoire suivie par le point

     La propriété « la direction du vecteur accélération$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$du point$\;M\;$est dans la concavité de la trajectoire suivie par le point »
     La propriété établie dans le cas d'un mouvement circulaire et qui découle du fait que le vecteur unitaire normal principal de Frenet $\;{\vec {n}}_{M}\;$ est, par définition, dans la concavité du cercle
     La propriété établie dans le cas d'un mouvement circulaire et qui découle du fait simultanément au caractère $\;\geqslant 0\;$ de l'accélération normale $\;a_{n,\,M}(t)\;$
     La propriété reste valable quel que soit le mouvement considéré et quelle que soit la trajectoire suivie par ce mouvement.