Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant

**Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées
Chap. suiv. :	Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant
Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Expression du vecteur vitesse en fonction du temps, déduction de ses composantes cartésiennes

Mouvement à vecteur accélération constant

Se dit du mouvement d'un point $\;M\;$ ayant, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ , un vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ constant noté $\;{\vec {a}}_{0}$ , soit

«

\;{\vec {a}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;\;\forall \;t\;

».

Expression du vecteur vitesse du point M

Le vecteur vitesse de $\;M$ , noté $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ , étant lié au vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;$ par $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\vec {a}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;\;\forall \;t$ , on en déduit par intégration « $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ $={\vec {a}}_{0}\;t+{\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ », le vecteur $\;{\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ se déterminant à l'aide des C.I. ^[1] à savoir $\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\;$ d'où $\;{\vec {V}}_{M}(0)={\overrightarrow {\text{cste}}}={\vec {V}}_{0}\;$ et par suite

«

\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;t+{\vec {V}}_{0}\;

»
avec «

\;{\vec {V}}_{0}\;

le vecteur vitesse initiale du point

\;M\;

».

Expression du vecteur position en fonction du temps, déduction de ses composantes cartésiennes

Expression du vecteur position du point M

Le vecteur position de $\;M$ , noté $\;{\overrightarrow {OM}}(t)$ , étant lié au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;t+{\vec {V}}_{0}\;$ par $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\vec {V}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;t+{\vec {V}}_{0}\;\;\forall \;t$ , on en déduit par intégration « $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=$ ${\vec {a}}_{0}\;{\dfrac {t^{2}}{2}}+{\vec {V}}_{0}\;t+{\overrightarrow {\text{cste'}}}\;$ », le vecteur $\;{\overrightarrow {\text{cste'}}}\;$ se déterminant à l'aide des C.I. ^[1] à savoir $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ d'où $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {\text{cste'}}}$ $={\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et par suite la loi horaire vectorielle de position s'écrit

«

\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {a}}_{0}\;t^{2}+{\vec {V}}_{0}\;t+{\overrightarrow {OM_{0}}}\;

»
avec «

\;\left\lbrace {\vec {V}}_{0}\,,\,{\overrightarrow {OM_{0}}}\right\rbrace \;

les vecteurs vitesse initiale et position initiale du point

\;M\;

».

Choix du repère cartésien associé au référentiel d'étude

     On choisit ^[2], l'espace de l'étude étant orienté à droite ^[3], $\succ \;$ l'origine $\;O\;$ en la position initiale $\;M_{0}$ ,
              On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\succ \;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ colinéaire au vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{0}\;$ et de même sens,
              On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\succ \;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;\perp \;$ à l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ tel que le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit dans le plan $\;xOz\;$ ^[4],
              On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\color {transparent}{\succ }\;$ l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}$ $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}\;$ tel que la composante de sa projection sur $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant $\;\geqslant 0\;$ ^[5] et
              On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\succ \;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}$ $\;\perp \;$ au plan formé par $\;\left\lbrace {\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right\rbrace \;$ ^[6] et tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}})\right\rbrace \;$ soit direct ^[7] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la
                             On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\color {transparent}{\succ }\;$ l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oy}}$ $\;\color {transparent}{\perp }\;$ au plan formé par $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right\rbrace }\;$ et tel que le trièdre $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}})}\;$ soit direct $\;\color {transparent}{\big (}$ « règle de la main droite » ^[8] ${\big )}\;$ ^[9],

voir schéma du paragraphe « cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération » ci-dessous dans le cas où

\;{\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {a}}_{0}\neq {\vec {0}}\;

^[10].

Déduction des composantes cartésiennes du vecteur position du point M

Cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération

Choix du repère cartésien dans le référentiel d'étude pour décrire le mouvement d'un point à vecteur accélération constant ayant un vecteur vitesse initiale non colinéaire au précédent

     Voir le « choix du repère cartésien associé au référentiel d'étude dans le paragraphe précédent » utilisé dans le schéma ci-contre,
     les angles du plan $\;(zOx)\;$ étant orientés par le sens $\;+\;$ précisé sur le schéma et défini par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}\;$ qui lui est $\;\perp$ ,
     l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur accélération est noté $\;{\widehat {\left({\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\alpha _{0}>0\;$ ^[11] ;
     ci-contre les composantes cartésiennes $\succ \;$ du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{0,\,x}=0\\a_{0,\,y}=0\\a_{0,\,z}=a_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ et
     ci-contre les composantes cartésiennes $\succ \;$ du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{0,\,x}=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\V_{0,\,y}=0\\V_{0,\,z}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace$ ;

     les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position « $\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {a}}_{0}\;t^{2}+{\vec {V}}_{0}\;t+{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ » donnent
     les projections respectives sur chaque axe « $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\\y(t)=0\\z(t)={\dfrac {1}{2}}\;a_{0}\;t^{2}+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ »
     les projections respectives sur chaque axe correspondant aux trois lois horaires scalaires de position ^[12], la 2^ème établissant la nature plane du mouvement dans le plan $\;(zOx)\;$ ^[13].

Cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération

     On rappelle que les conditions du problème définissent une direction privilégiée, celle qui est commune à $\;{\vec {a}}_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}$ , sur laquelle on a choisi un axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté dans le sens de $\;{\vec {a}}_{0}$ ,
     On rappelle que les conditions du problème définissent une direction privilégiée, le vecteur vitesse initiale étant alors dans le même sens ou dans le sens opposé,
     On rappelle que les conditions du problème définissent une direction privilégiée, les deux autres axes $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ respectivement $\;\perp \;$ étant choisis $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ avec l'origine $\;O\;$ en $\;M_{0}$ ;

ci-contre les composantes cartésiennes $\succ \;$ du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{0,\,x}=0\\a_{0,\,y}=0\\a_{0,\,z}=a_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ et
ci-contre les composantes cartésiennes $\succ \;$ du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{0,\,x}=0\\V_{0,\,y}=0\\V_{0,\,z}={\overline {V_{0}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[14] ;

     les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position « $\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {a}}_{0}\;t^{2}+{\vec {V}}_{0}\;t+{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ » donnent « $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t)=0\\y(t)=0\\z(t)={\dfrac {1}{2}}\;a_{0}\;t^{2}+{\overline {V_{0}}}\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ »
                                                                                        les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position correspondant aux trois lois horaires scalaires de position ^[12],
                                                                                        les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position les deux 1^ères $\Rightarrow$ la nature rectiligne du mouvement le long de $\;(Oz)$ .

Équations cartésiennes paramétrées de la trajectoire, nature de celle-ci

Cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération

Les lois horaires scalaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\\y(t)=0\\z(t)={\dfrac {1}{2}}\;a_{0}\;t^{2}+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire,

celle-ci est donc plane dans le plan $\;(zOx)\;$ d'équation cartésienne $\;y=0\;$ et
sa 2^ème équation cartésienne ^[15] s'obtient en exprimant $\;t\;$ à l'aide de la 1^ère équation paramétrique $\;t={\dfrac {x}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}\;$ et en reportant dans la 3^ème ce qui donne, après simplification évidente,
sa 2^ème équation cartésienne « $\;z={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;x^{2}+\cot(\alpha _{0})\;x\;$ », équation d'un cylindre parabolique de génératrices $\;\parallel \;$ à l'axe $\;(Oy)\;$ ^[16] ;

le système des deux équations cartésiennes de la trajectoire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y=0\\z={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;x^{2}+\cot(\alpha _{0})\;x\end{array}}\right\rbrace \;$ définit une « parabole ^[17] de concavité vers les $\;z\nearrow \;$ ^[18] », $\;{\big [}$ voir le paragraphe « retour sur le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération » plus loin dans ce chapitre où les figures présentées dépendent du signe de $\;V_{0,\,z}{\big ]}$ .

Cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération

Les lois horaires scalaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t)=0\\y(t)=0\\z(t)={\dfrac {1}{2}}\;a_{0}\;t^{2}+{\overline {V_{0}}}\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire dont on tire, sans faire quoi que soit, les deux équations cartésiennes de cette dernière $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}}\right\rbrace$ , système d'équations cartésiennes définissant une « trajectoire rectiligne le long de $\;(Oz)\;$ ».

Retour sur le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération

La trajectoire étant parabolique d'équation cartésienne dans le plan $\;(zOx)\;$ de la trajectoire $\;z={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;x^{2}+\cot(\alpha _{0})\;x$ , nous allons déterminer quelques propriétés de cette parabole :

elle possède un axe de symétrie $\;\parallel \;$ à l'axe $\;(Oz)\;$ sur lequel se trouve son sommet $\;S\;$ d'abscisse $\;x_{S}\;$ déterminée par la nullité du cœfficient directeur de la tangente à la parabole en ce point soit
elle possède un axe de symétrie $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(Oz)}\;$ sur lequel se trouve son sommet $\;\color {transparent}{S}\;$ d'abscisse $\;\color {transparent}{x_{S}}\;$ déterminée par $z'(x_{S})=0\;$ avec $\;z'(x)={\dfrac {a_{0}}{V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;x+\cot(\alpha _{0})\;$ et par suite
elle possède un axe de symétrie $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(Oz)}\;$ sur lequel se trouve son sommet $\;\color {transparent}{S}\;$ d'abscisse $\;x_{S}=-\cot(\alpha _{0})\;{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{a_{0}}}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}\;$ d'où
elle possède l'axe de symétrie d'équation « $\;x=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\,\alpha _{0})}{2\;a_{0}}}\;$ » ^[19] ;
son sommet $\;S\;$ a pour abscisse « $\;x_{S}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}\;$ » et sa cote $\;z_{S}\;$ s'obtient par report de son abscisse dans l'équation cartésienne de la parabole soit
son sommet $\;\color {transparent}{S}\;$ a pour abscisse « $\;\color {transparent}{x_{S}=-V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}\;$ » et sa cote « $\;z_{S}={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\,\left[-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}\right]^{2}+\cot(\alpha _{0})\,\left[-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}\right]=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}{2\;a_{0}}}\;$ »
son sommet $\;\color {transparent}{S}\;$ d'où les coordonnées du sommet de la parabole : « $\;S\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{S}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\,\alpha _{0})}{2\;a_{0}}}\\z_{S}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}{2\;a_{0}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[19].

Ci-dessous la trajectoire dans le cas où $\;a_{0}=1\;m\cdot s^{-2}\;$ et $\;V_{0}=0,2\;m\cdot s^{-1}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\succ \;$ « $\;\alpha _{0}={\dfrac {\pi }{3}}\;$ » pour le graphe de gauche ^[20],
Ci-dessous la trajectoire dans le cas où $\;\color {transparent}{a_{0}=1\;m\cdot s^{-2}}\;$ et $\;\color {transparent}{V_{0}=0,2\;m\cdot s^{-1}}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\succ \;$ « $\;\alpha _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ » pour le graphe de droite ^[21].

Trajectoire d'un point de vecteur accélération constant, l'axe $\;Oz\;$ ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle $\;60\;{\text{°}}\;$ avec lui et l'origine du repère étant choisi en la position initiale : trajectoire parabolique de concavité dans le sens du vecteur accélération, le sommet étant d'abscisse négative
Trajectoire d'un point de vecteur accélération constant, l'axe $\;Oz\;$ ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle $\;60\;{\text{°}}\;$ avec lui et l'origine du repère étant choisi en la position initiale : trajectoire parabolique de concavité dans le sens du vecteur accélération, le sommet étant d'abscisse positive $\;{\big (}$ et de cote négative ${\big )}$

En complément, équations cartésiennes paramétrées de l'hodographe de pôle O du mouvement, nature de celui-ci

Équations cartésiennes paramétrées de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M

     L'hodographe de pôle $\;O\;$ ^[22] du mouvement du point $\;M\;$ étant l'ensemble des positions $\;P\;$ tel que $\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ ^[23]^, ^[24] et
     notant $\;\left(X\,,\,Y\,,\,Z\right)\;$ les coordonnées cartésiennes du point générique $\;P\;$ de l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$
     nous obtenons, en projetant $\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;t+{\vec {V}}_{0}\;$ sur chaque axe « $\;P\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X(t)\;{\widehat {=}}\;V_{x,\,M}(t)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\Y(t)\;{\widehat {=}}\;V_{y,\,M}(t)=0\\Z(t)\;{\widehat {=}}\;V_{z,\,M}(t)=a_{0}\;t+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[23]^, ^[25].

Équations cartésiennes de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M

Les équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X(t)\;{\widehat {=}}\;V_{x,\,M}(t)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\Y(t)\;{\widehat {=}}\;V_{y,\,M}(t)=0\\Z(t)\;{\widehat {=}}\;V_{z,\,M}(t)=a_{0}\;t+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[23] de l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ permettent d'obtenir, sans aucun calcul, les deux équations cartésiennes de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ « $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X\;{\widehat {=}}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\Y\;{\widehat {=}}\;0\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[23].

Nature de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M

L'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ étant d'équations cartésiennes « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X\;{\widehat {=}}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\Y\;{\widehat {=}}\;0\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[23]
L'hodographe $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ est porté par la droite $\;\parallel \;$ à $\;(OZ)\;$ et passant par le point de $\;(XOY)\;$ de coordonnées représentées par $\;\left\lbrace V_{0}\sin(\alpha _{0})\,,\,0\right\rbrace$ ;

     tracés de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ représentés dans le plan $\;(ZOX)$ , avec $\;a_{0}=1\;m\cdot s^{-2}\;$ et $\;V_{0}=0,2\;m\cdot s^{-1}$ ,
     tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\succ \;$ « $\;\alpha _{0}={\dfrac {\pi }{3}}\;$ » pour l'hodographe de gauche correspondant à une demi-droite
                           tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$ issue de $\;P_{0}\;$ du quadrant supérieur droite du plan $\;(ZOX)\;$ et
                           tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$ allant vers $\;P_{\infty }\;$ d'ordonnée $\;+\infty \;$ ^[26],
     tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\succ \;$ « $\;\alpha _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ » pour l'hodographe de droite correspondant à une demi-droite
                              tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$ issue de $\;P_{0}\;$ du quadrant inférieur droite du plan $\;(ZOX)\;$ et
                              tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$ allant vers $\;P_{\infty }\;$ d'ordonnée $\;+\infty \;$ ^[26] ;
                              tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$ le point $\;P_{S}\;$ correspondant au sommet $\;S\;$ de la trajectoire
                              tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$ , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$ est ici observable, c'est le point de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ placé sur l'axe $\;(OX)$ .

Hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point de vecteur accélération constant, l'axe $\;Oz\;$ ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle $\;60\;{\text{°}}\;$ avec lui, le sommet de la trajectoire n'est pas observable sur l'hodographe car correspondrait à $\;t<0$
Hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point de vecteur accélération constant, l'axe $\;Oz\;$ ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle $\;120\;{\text{°}}\;$ avec lui, le sommet de la trajectoire correspond au point $\;P_{S}\;$ de l'hodographe

     Remarques : De $\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ ^[23] on en déduit que $\succ \;$ le cœfficient directeur de la direction $\;(OP)\;$ défini par $\;\tan \!{\widehat {\left({\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}\right)}}\;$ permet de visualiser la pente du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$
          Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$ sur la trajectoire du point $\;M$ , ceci permettant de constater sur l'hodographe de gauche l'absence de sommet accessible sur la trajectoire
          Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$ et sur l'hodographe de droite l'accessibilité du sommet de la trajectoire correspondant à la position $\;P_{S}\;$ de l'hodographe,
          Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\succ \;$ la norme de $\;{\overrightarrow {OP}}\;$ représente celle de $\;{\vec {V}}_{M}\;$ soit $\;\Vert {\overrightarrow {OP}}\Vert \;{\widehat {=}}\;\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert \;$ ^[23] montrant
          Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$ sur l'hodographe de gauche que $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \nearrow \;$ jusqu'à l'infini ^[26] et
          Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$ sur l'hodographe de droite que $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \searrow \;$ jusqu'à $\;\Vert {\vec {V}}_{S}\Vert \;{\widehat {=}}\;\Vert {\overrightarrow {OP_{S}}}\Vert \;$ ^[23] ${\big (}$ vitesse minimale obtenue au sommet $\;S\;$ de la trajectoire ${\big )}\;$ puis
          Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$ sur l'hodographe de droite que $\;\color {transparent}{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }$ $\;\nearrow \;$ jusqu'à l'infini ^[26].

Notes et références

↑ ^1,0 et ^1,1 Condition(s) Initiale(s).
↑ Les choix faits sont simplificateurs, ils ne sont pas obligatoires et peuvent être autres.
↑ Orientation de l'espace définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell $\;{\big [}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteur » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ;
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
↑ Cela suppose que le vecteur-vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ n’est pas colinéaire à $\;{\vec {a}}_{0}$ , si ce n'est pas le cas $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est colinéaire à $\;{\vec {a}}_{0}{\big )}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ est simplement $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ sans autre exigence $\;{\big (}$ il y a donc, dans ce cas, un caractère arbitraire à ce choix ${\big )}$ .
↑ Elle est nulle dans le cas où $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est colinéaire à $\;{\vec {a}}_{0}$ , ce qui conduit, rappelons-le, à un choix arbitraire de $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}$ .
↑ Cela suppose que les vecteurs accélération et vitesse initiale $\;\left\lbrace {\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right\rbrace \;$ forment un plan, si ce n'est pas le cas $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est colinéaire à $\;{\vec {a}}_{0}{\big )}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ est simplement $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ avec la même exigence énoncée par la suite du caractère direct du trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}})\right\rbrace$ .
↑ revoir le paragraphe « base directe directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Levant le pouce de la main droite dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » $\;{\big (}$ ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient encore appeler cette règle « la règle de l'apprenti cow-boy droitier » ${\big )}$ ; il existe d'autres règles équivalentes :
   « règle de l'auto-stoppeur (droitier) » : l'avant bras $\;{\big (}$ droit ${\big )}\;$ étant dans le sens du 1^er vecteur, la poigne de la main $\;{\big (}$ droite ${\big )}\;$ courbée dans le sens du 2^ème vecteur, le pouce est alors levé dans le sens du 3^ème vecteur,
   « règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers du 2^ème, il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de du 3^ème vecteur,
   « règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur la direction du 1^er vecteur, ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens du 2^ème vecteur, il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens du 3^ème vecteur,
   et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer.
   James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
   André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.
↑ Voir note « ⁵ précédente » dans le cas où les vecteurs accélération et vitesse initiale $\;\left\lbrace {\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right\rbrace \;$ sont colinéaires $\;\ldots$ .
↑ On rappelle que cette condition traduit la non colinéarité des deux vecteurs revoir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ $\;\alpha _{0}\in \left]0\;,\;+\pi \right[\;$ bornes exclues, les deux vecteurs n'étant pas colinéaires.
↑ ^12,0 et ^12,1 Ou aux trois équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire du point $\;M$ .
↑ Qu'on appellera par la suite « plan de lancement » car il est commun au vecteur accélération et au vecteur vitesse initiale.
↑ Avec $\;{\overline {V_{0}}}>0\;$ si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est de même sens que $\;{\vec {a}}_{0}\;$ et $\;{\overline {V_{0}}}<0\;$ si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est de sens opposé à $\;{\vec {a}}_{0}$ .
↑ On rappelle qu'une courbe est déterminée par deux équations cartésiennes, chacune d'elles définissant une surface,
On rappelle qu'une courbe est déterminée par la 1^ère équation cartésienne étant $\;y=0\;$ définissant le plan $\;(zOx)$ , nous cherchons à déterminer
On rappelle qu'une courbe est déterminée par la 2^ème équation cartésienne et à préciser la nature de la surface qu'elle décrit.
↑ En effet toute équation cartésienne implicite $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ d'un espace à trois dimensions dans laquelle $\;y\;$ n'apparaît pas est un cylindre de génératrices $\;\parallel \;$ à l'axe $\;(Oy)$ .
↑ Voir le paragraphe « équation cartésienne (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en substituant $\;z\;$ à $\;y\;$ et en faisant les transformations simplement évoquées sur l'équation annotée $\;z-\beta ={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\left(x-\alpha \right)^{2}$ , $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ restant à déterminer.
↑ C.-à-d. dans le sens de $\;{\vec {a}}_{0}\;$ compte-tenu du choix de $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ dans le même sens que $\;{\vec {a}}_{0}$ .
↑ ^19,0 et ^19,1 On rappelle la formule de trigonométrie suivante $\;\sin(2\,a)=2\,\sin(a)\,\cos(a)$ .
↑ Le sommet $\;S\;$ correspondant à une position antérieure à la position initiale n'apparaît pas si on représente la trajectoire à partir de cette dernière.
↑ Le sommet $\;S\;$ correspondant à une position postérieure à la position initiale apparaît dans la mesure où on représente la trajectoire à partir de cette dernière.
↑ $\;O\;$ est un point fixe du référentiel d'étude, non nécessairement l'origine du repère associé au référentiel $\;\ldots$
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 ^23,6 et ^23,7 Le symbole $\;{\widehat {=}}\;$ signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, avec définition d'une échelle adaptée.
↑ Revoir la « définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M dans un référentiel d'étude » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Ces lois horaires sont valables pour $\;\alpha _{0}\in \left[0\,,\,+\pi \right]$ .
↑ ^26,0 ^26,1 ^26,2 et ^26,3 Le mouvement de $\;P\;$ sur l'hodographe de pôle $\;O\;$ de celui de $\;M$ , étant régi par la loi horaire $\;Z=a_{0}\;t+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})$ , correspond à une montée d'un mouvement uniforme sur la demi-droite.

Mécanique 1 (PCSI)

Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Syst. de coordonnées

Descript. et paramét. du mouv. d'un point : Mouv. circulaire ou non

[C.I.-1] 1,0 et ^1,1 Condition(s) Initiale(s).

[2] Les choix faits sont simplificateurs, ils ne sont pas obligatoires et peuvent être autres.

[orienté_à_droite-3] Orientation de l'espace définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell $\;{\big [}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteur » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ;
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.

[4] Cela suppose que le vecteur-vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ n’est pas colinéaire à $\;{\vec {a}}_{0}$ , si ce n'est pas le cas $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est colinéaire à $\;{\vec {a}}_{0}{\big )}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ est simplement $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ sans autre exigence $\;{\big (}$ il y a donc, dans ce cas, un caractère arbitraire à ce choix ${\big )}$ .

[5] Elle est nulle dans le cas où $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est colinéaire à $\;{\vec {a}}_{0}$ , ce qui conduit, rappelons-le, à un choix arbitraire de $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}$ .

[6] Cela suppose que les vecteurs accélération et vitesse initiale $\;\left\lbrace {\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right\rbrace \;$ forment un plan, si ce n'est pas le cas $\;{\big (}$ c.-à-d. si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est colinéaire à $\;{\vec {a}}_{0}{\big )}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ est simplement $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ avec la même exigence énoncée par la suite du caractère direct du trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}})\right\rbrace$ .

[7] revoir le paragraphe « base directe directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[règle_de_la_main_droite-8] Levant le pouce de la main droite dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » $\;{\big (}$ ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient encore appeler cette règle « la règle de l'apprenti cow-boy droitier » ${\big )}$ ; il existe d'autres règles équivalentes :
« règle de l'auto-stoppeur (droitier) » : l'avant bras $\;{\big (}$ droit ${\big )}\;$ étant dans le sens du 1^er vecteur, la poigne de la main $\;{\big (}$ droite ${\big )}\;$ courbée dans le sens du 2^ème vecteur, le pouce est alors levé dans le sens du 3^ème vecteur,
« règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers du 2^ème, il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de du 3^ème vecteur,
« règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur la direction du 1^er vecteur, ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens du 2^ème vecteur, il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens du 3^ème vecteur,
et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer.
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.

[9] Voir note « ⁵ précédente » dans le cas où les vecteurs accélération et vitesse initiale $\;\left\lbrace {\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right\rbrace \;$ sont colinéaires $\;\ldots$ .

[10] On rappelle que cette condition traduit la non colinéarité des deux vecteurs revoir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[11] $\;\alpha _{0}\in \left]0\;,\;+\pi \right[\;$ bornes exclues, les deux vecteurs n'étant pas colinéaires.

[équations_cartésiennes_paramétriques_de_la_trajectoire-12] 12,0 et ^12,1 Ou aux trois équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire du point $\;M$ .

[13] Qu'on appellera par la suite « plan de lancement » car il est commun au vecteur accélération et au vecteur vitesse initiale.

[14] Avec $\;{\overline {V_{0}}}>0\;$ si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est de même sens que $\;{\vec {a}}_{0}\;$ et $\;{\overline {V_{0}}}<0\;$ si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est de sens opposé à $\;{\vec {a}}_{0}$ .

[15] On rappelle qu'une courbe est déterminée par deux équations cartésiennes, chacune d'elles définissant une surface,
On rappelle qu'une courbe est déterminée par la 1^ère équation cartésienne étant $\;y=0\;$ définissant le plan $\;(zOx)$ , nous cherchons à déterminer
On rappelle qu'une courbe est déterminée par la 2^ème équation cartésienne et à préciser la nature de la surface qu'elle décrit.

[16] En effet toute équation cartésienne implicite $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ d'un espace à trois dimensions dans laquelle $\;y\;$ n'apparaît pas est un cylindre de génératrices $\;\parallel \;$ à l'axe $\;(Oy)$ .

[équation_cartésienne_d'une_parabole-17] Voir le paragraphe « équation cartésienne (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en substituant $\;z\;$ à $\;y\;$ et en faisant les transformations simplement évoquées sur l'équation annotée $\;z-\beta ={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\left(x-\alpha \right)^{2}$ , $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ restant à déterminer.

[18] C.-à-d. dans le sens de $\;{\vec {a}}_{0}\;$ compte-tenu du choix de $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ dans le même sens que $\;{\vec {a}}_{0}$ .

[sinus_2a-19] 19,0 et ^19,1 On rappelle la formule de trigonométrie suivante $\;\sin(2\,a)=2\,\sin(a)\,\cos(a)$ .

[20] Le sommet $\;S\;$ correspondant à une position antérieure à la position initiale n'apparaît pas si on représente la trajectoire à partir de cette dernière.

[21] Le sommet $\;S\;$ correspondant à une position postérieure à la position initiale apparaît dans la mesure où on représente la trajectoire à partir de cette dernière.

[22] $\;O\;$ est un point fixe du référentiel d'étude, non nécessairement l'origine du repère associé au référentiel $\;\ldots$

[signification_du_signe_égal_surmonté_d'un_chapeau-23] 23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 ^23,6 et ^23,7 Le symbole $\;{\widehat {=}}\;$ signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, avec définition d'une échelle adaptée.

[24] Revoir la « définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M dans un référentiel d'étude » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[25] Ces lois horaires sont valables pour $\;\alpha _{0}\in \left[0\,,\,+\pi \right]$ .

[mouvement_sur_l'hodographe-26] 26,0 ^26,1 ^26,2 et ^26,3 Le mouvement de $\;P\;$ sur l'hodographe de pôle $\;O\;$ de celui de $\;M$ , étant régi par la loi horaire $\;Z=a_{0}\;t+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})$ , correspond à une montée d'un mouvement uniforme sur la demi-droite.

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