Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité

Mouvement d'un anneau en liaison bilatérale sur un guide constitué de deux portions circulaires successives de rayons différents d'un même plan vertical

Dispositif permettant le mouvement d'un anneau $\;M\;$ sans frottement en liaison bilatérale sur un guide formé de deux parties circulaires de rayons $\;R_{1}\;$ et $\;R_{2}$, de centres $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}$, dans un même plan vertical

     On considère le dispositif représenté ci-contre où un objet assimilable à un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, se déplace en liaison bilatérale sur un « guide » formé de deux parties circulaires de rayons $\;R_{1}\;$ et $\;R_{2}$, de centres $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}\;$ dans un même plan vertical.

     On repère la position de $\;M\;$ par son abscisse angulaire $\;\theta$,

• pour la « partie $\;({\mathfrak {1}})\;$», $\;\theta ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {C_{1}E}}\,,\,{\overrightarrow {C_{1}M}}\right\rbrace }}\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right]\;$ et
• pour la « partie $\;({\mathfrak {2}})\;$», $\;\theta ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {C_{2}F}}\,,\,{\overrightarrow {C_{2}M}}\right\rbrace }}\in \left[\pi \,,\,{\dfrac {5\,\pi }{2}}\right]$ ;

     on suppose l'absence de frottement solide de l'anneau sur le guide et
     on note $\;g\;$ l'intensité du champ de pesanteur.

Détermination de l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau

     Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(\theta )\;$ de l'anneau $\;M\;$ suivant que ce dernier est sur la « partie $\;({\mathfrak {1}})\;$» ou
     Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur $\;\color {transparent}{U_{\text{pes}}(\theta )}\;$ de l'anneau $\;\color {transparent}{M}\;$ suivant que ce dernier est sur la « partie $\;({\mathfrak {2}})\;$»,
     Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur $\;\color {transparent}{U_{\text{pes}}(\theta )}\;$ on choisira la référence de $\;U_{\text{pes}}(\theta )\;$ en la position $\;B\;$ c.-à-d. en $\;\theta _{B}=\pi$.

Solution

     Soit $\;{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\uparrow \;$ ayant pour origine $\;C_{2}$, l'énergie potentielle de pesanteur de $\;M\;$ de côte $\;z\;$ s'écrit $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z+cste\;$, la $\;cste\;$ étant déterminée par le choix de la référence en $\;B\;$ soit
     Soit $\;\color {transparent}{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\color {transparent}{\uparrow }\;$ ayant pour origine $\;\color {transparent}{C_{2}}$, l'énergie potentielle de pesanteur de $\;\color {transparent}{M}\;$ de côte $\;\color {transparent}{z}\;$ s'écrit $\;U_{\text{pes}}(B)=m\;g\;z_{B}+cste=0\;$ ou $\;m\;g\;R_{2}+cste=0\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=-m\;g\;R_{2}\;$ d'où
     Soit $\;\color {transparent}{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\color {transparent}{\uparrow }\;$ ayant pour origine $\;\color {transparent}{C_{2}}$, une 1^ère expression de l'énergie potentielle de pesanteur de $\;M\;$ en fonction de la côte $\;z$ : «$\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\,\left(z-R_{2}\right)\;$» dont on déduit

     Soit $\;\color {transparent}{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\color {transparent}{\uparrow }\;$ ayant pour origine $\;\color {transparent}{C_{2}}$, une 2^ème expression de l'énergie potentielle de pesanteur de $\;M\;$ en fonction de $\;\theta$,
     Soit $\;\color {transparent}{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\color {transparent}{\uparrow }\;$ ayant pour origine $\;\color {transparent}{C_{2}}$, une 2^ème expression suivant la partie circulaire considérée
     Soit $\;\color {transparent}{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\color {transparent}{\uparrow }\;$ ayant pour origine $\;\color {transparent}{C_{2}}$, une 2^ème expression $\succ \;$sur la « partie $\;({\mathfrak {1}})\;$», $\;z=R_{2}-R_{1}-R_{1}\;\cos(\theta )$ $\;{\Big [}$en effet, avec $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {C_{2}z}}$,
     Soit $\;\color {transparent}{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\color {transparent}{\uparrow }\;$ ayant pour origine $\;\color {transparent}{C_{2}}$, une 2^ème expression $\color {transparent}{\succ }\;$sur la « partie $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$», $\;\color {transparent}{z=R_{2}-R_{1}-R_{1}\;\cos(\theta )}$ $\;\color {transparent}{\Big [}$en effet, $\;{\overline {C_{2}C_{1}}}=R_{2}-R_{1}\;$ et $\;{\overline {C_{1}H_{M}}}=-R_{1}\;\cos(\theta ){\Big ]}\;$ d'où
     Soit $\;\color {transparent}{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\color {transparent}{\uparrow }\;$ ayant pour origine $\;\color {transparent}{C_{2}}$, une 2^ème expression $\color {transparent}{\succ }\;$sur la « partie $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$», l'énergie potentielle de pesanteur de $\;M\;$ se réécrit «$\;U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {1}})}(M)=-m\;g\;R_{1}\,\left[1+\cos(\theta )\right]\;$»,
     Soit $\;\color {transparent}{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\color {transparent}{\uparrow }\;$ ayant pour origine $\;\color {transparent}{C_{2}}$, une 2^ème expression $\succ \;$sur la « partie $\;({\mathfrak {2}})\;$», $\;z=-R_{2}\;\cos(\theta )$ $\;{\Big [}$en effet, avec $\;H_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {C_{2}z}}$, $\;{\overline {C_{2}H_{M}}}=-R_{2}\,\cos(\theta ){\Big ]}\;$
Soit $\;\color {transparent}{\overrightarrow {C_{2}z}}\;$ l'axe vertical $\;\color {transparent}{\uparrow }\;$ ayant pour origine $\;\color {transparent}{C_{2}}$, une 2^ème expression $\color {transparent}{\succ }\;$sur la « partie $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$»d'où l'énergie potentielle de pesanteur de $\;M\;$ se réécrit «$\;U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {2}})}(M)=-m\;g\;R_{2}\,\left[1+\cos(\theta )\right]\;$».

 

Tracé du diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau

     Tracer le diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau $\;M\;$ dans le cas particulier $\;R_{2}=2\;R_{1}\;$ ${\big (}$on fera toutefois les commentaires sur le tracé dans le cas général${\big )}$,
     Tracer le diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau $\;\color {transparent}{M}\;$ c.-à-d. le graphe de $\;U_{\text{pes}}(\theta )\;$ en fonction de $\;\theta \;$ sur l'intervalle $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {5\,\pi }{2}}\right]$.

Solution

Tracé du diagramme d'énergie potentielle de pesanteur d'un anneau en liaison bilatérale sur un guide formé de deux parties circulaires de rayons $\;R_{1}\;$ et $\;R_{2}$, de centres $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}$, dans un même plan vertical, dans le cas particulier $\;R_{2}=2\;R_{1}$

     Le tracé ci-contre est fait dans le cas particulier où $\;R_{2}=2\;R_{1}\;$ ce qui correspond à $\;C_{2}\;$ et $\;E\;$ confondus.

     Remarque : l'axe des énergies potentielles étant gradué en unité $\;m\;g\;R_{1}$, la partie du profil énergétique pour $\;\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right]\;$ est indépendante de $\;R_{2}\;$ ${\bigg \{}$elle est en effet d'équation $\;{\dfrac {U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {1}})}}{m\;g\;R_{1}}}(M)=-\left[1+\cos(\theta )\right]{\bigg \}}\;$ mais
     Remarque : l'axe des énergies potentielles étant gradué en unité $\;\color {transparent}{m\;g\;R_{1}}$, sa partie pour $\;\theta \in \left[\pi \,,\,{\dfrac {5\;\pi }{2}}\right]\;$ en dépend bien sûr , ${\bigg \{}$son équation étant $\;{\dfrac {U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {2}})}}{m\;g\;R_{1}}}(M)=-{\dfrac {R_{2}}{R_{1}}}\,\left[1+\cos(\theta )\right]\;$ $\Rightarrow$ dans le cas particulier $\;R_{2}=2\;R_{1}$, $\;{\dfrac {U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {2}})}}{m\;g\;R_{1}}}(M)=-2\,\left[1+\cos(\theta )\right]{\bigg \}}$,

     Remarque : l'axe des énergies potentielles étant gradué en unité $\;\color {transparent}{m\;g\;R_{1}}$, sa partie $\succ \;$son minimum pour $\;\theta _{F}=2\;\pi \;$ vaut $\;{\dfrac {U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {2}})}}{m\;g\;R_{1}}}(F)=$ $-2\;{\dfrac {R_{2}}{R_{1}}}\;$ $\;{\big [}$correspondant à $\;-4\;$ dans le cas particulier $\;R_{2}=2\;R_{1}{\big ]}\;$ et

     Remarque : l'axe des énergies potentielles étant gradué en unité $\;\color {transparent}{m\;g\;R_{1}}$, sa partie $\succ \;$sa valeur finale pour $\;\theta _{S}={\dfrac {5\;\pi }{2}}\;$ vaut $\;{\dfrac {U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {2}})}}{m\;g\;R_{1}}}(S)=$ $-{\dfrac {R_{2}}{R_{1}}}\;$ $\;{\big [}$correspondant à $\;-2\;$ dans le cas particulier $\;R_{2}=2\;R_{1}{\big ]}$.

 

Détermination des positions d'équilibre de l'anneau et étude de leur stabilité

     Déterminer les positions angulaires d'équilibre de l'anneau et

     étudier leur stabilité.

Solution

     Les positions angulaires d'équilibre de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle stationnaire elles sont donc au nombre de trois :
        Les positions angulaires d'équilibre de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle stationnaire «$\;\theta _{E}=0$, $\;\theta _{B}=\pi \;$ et $\;\theta _{F}=2\;\pi \;$» ;

     les positions d’équilibres stables de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle minimal elles sont donc au nombre de deux :
        Les positions d'équilibres stables de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle minimal «$\;\theta _{E}=0\;$ et $\;\theta _{F}=2\,\pi \;$»,

     les positions d’équilibres instables de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle maximal elles sont donc au nombre de un :
        Les positions d'équilibres instables de l'anneau sur le guide correspondent aux abscisses rendant le diagramme d'énergie potentielle maximal «$\;\theta _{B}=\pi \;$».

 

Étude du mouvement de l'anneau lancé à partir de A avec une vitesse initiale

     L'anneau, initialement en $\;A$, c.-à-d. en $\;\theta _{A}=-{\dfrac {\pi }{2}}$, est lancé avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ dans le sens trigonométrique.

     Comment peut-on qualifier le mouvement de l'anneau $\;M\;$ compte-tenu de l'absence de frottement solide ?

     En déduire l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement de $\;M$.

     À quelle condition sur la norme de la vitesse initiale $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert$, l'anneau peut-il dépasser la position $\;F\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{F}=2\pi$ ?

     Cette condition étant remplie, donner l'expression de la norme de la vitesse $\;V_{F}\;$ de l'anneau en $\;F\;$ en fonction des données du problème.

     À quelle condition sur $\;V_{0}$, l'anneau atteint-il le bout du guide en $\;S\;$ c.-à-d. en $\;\theta _{S}={\dfrac {5\,\pi }{2}}$ ?

Solution

     Le point matériel $\;M\;$ a un « mouvement conservatif » car la seule autre force non conservative, « la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du guide », ne travaille pas en absence de frottement solide,
     Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif » ce qui a pour conséquence la « conservation de l'énergie mécanique du point dans le champ de pesanteur terrestre $\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{\text{pes}}\!\left[\theta (t)\right]\;$»,
     Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif » d'où, avec pour énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,M}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}+U_{\text{pes}}\!\left[\theta _{A}\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}-m\;g\;R_{1}$,
     Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif » d'où, l'intégrale 1^ère énergétique «$\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M}(0)\;$» où «$\;E_{m,\,M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\;m\;R_{2}^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)-m\;g\;R_{2}\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;\;{\text{pour }}\;\theta \in \left[\pi \,,{\dfrac {5\;\pi }{2}}\right]\\{\dfrac {1}{2}}\;m\;R_{1}^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)-m\;g\;R_{1}\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;\;{\text{pour }}\;\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Le point matériel $\;M\;$ pourra dépasser la position $\;F\;$ s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant c.-à-d. si l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,M}(0)\;$ est $\;>\;$ à l'énergie potentielle maximale $\;U_{{\text{pes}},\,1}(B)\;$
     Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ pourra dépasser la position $\;\color {transparent}{F}\;$ s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant soit, avec $\;E_{m,\,M}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}-m\;g\;R_{1}\;$ et $\;U_{{\text{pes}},\,1}(B)=0$,
     Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ pourra dépasser la position $\;\color {transparent}{F}\;$ s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant soit, la condition pour que $\;M\;$ parvienne à dépasser la position $\;F\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}m\,V_{0}^{2}-m\,g\,R_{1}>0\;$» ou
     Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ pourra dépasser la position $\;\color {transparent}{F}\;$ s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant soit, la condition pour que $\;\color {transparent}{M}\;$ parvienne à dépasser la position $\;\color {transparent}{F}\;$ «$\;V_{0}>{\sqrt {2\;g\;R_{1}}};$».

     Cette condition étant remplie, on obtient l'expression de la norme de la vitesse $\;V_{F}\;$ de l'anneau en $\;F\;$
     Cette condition étant remplie, on obtient en écrivant la conservation de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t_{F})=E_{m,\,M}(0)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c c c l}E_{m,\,M}(t_{F})\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{F}^{2}+U_{{\text{pes}},\,1}(F)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{F}^{2}-2\;m\;g\;R_{2}\\E_{m,\,M}(0)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}m\,V_{0}^{2}-m\;g\;R_{1}\!\!&&\!\!\end{array}}\right\rbrace \;$ soit
     Cette condition étant remplie, on obtient en écrivant la conservation de l'énergie mécanique $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{F}^{2}-2\;m\;g\;R_{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}-m\;g\;R_{1}\;$ et finalement «$\;V_{F}={\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\,\left(2\;R_{2}-R_{1}\right)}}\;$».

     Le point matériel $\;M\;$ pourra atteindre la position finale $\;S\;$ $\blacktriangleright \;$s'il ne rencontre pas de mur d'énergie potentielle avant c.-à-d. «$\;E_{m,\,M}(0)>U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {1}})}(B)\;$ » soit «$\;V_{0}>{\sqrt {2\;g\;R_{1}}};$» et
     Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ pourra atteindre la position finale $\;\color {transparent}{S}\;$ $\blacktriangleright \;$si l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,M}(0)\;$ est $\;>\;$ à l'énergie potentielle $\;U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {2}})}(S)=-\;m\;g\;R_{2}<0\;$ ce qui conduit à une condition moins
     Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ pourra atteindre la position finale $\;\color {transparent}{S}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$si l'énergie mécanique initiale $\;\color {transparent}{E_{m,\,M}(0)}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à l'énergie potentielle $\;\color {transparent}{U_{{\text{pes}},\,({\mathfrak {2}})}(S)=-\;m\;g\;R_{2}<0}\;$ ce qui conduit à restrictive que la 1^ère d'où le point matériel $\;M\;$ lancé dans les C.I. qui lui permette de dépasser la position $\;B\;$ à savoir $\;V_{0}>{\sqrt {2\;g\;R_{1}}}\;$ atteint la position finale $\;S\;$ sans condition supplémentaire.

 

Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale suivie de l'étude de ses variantes

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale

     L'objet de cet exercice consiste à étudier les oscillations d'un système mécanique au voisinage d'une bifurcation $\;{\big (}$c.-à-d. un changement du nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable ou autres changements consécutifs à une variation d'un paramètre caractérisant les équilibres du système mécanique $\;\ldots {\big )}$.

     On s'intéresse au système mécanique suivant : un objet assimilé à un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, est fixé à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal , à spires non jointives , de longueur à vide $\;l_{v}\;$ et de constante de raideur $\;k$, dont l'extrémité supérieure est fixée en un point $\;R$.

     L'objet peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige $\;{\big (}$voir la figure ci-contre${\big )}$.

     On repère la position du point $\;M\;$ sur cette tige par son abscisse $\;x\;$ sur l'axe confondu avec la tige dont l'origine $\;O\;$ est située sur la même verticale que le point d’attache $\;R\;$ fixe du ressort, cet axe horizontal $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant orienté arbitrairement vers la droite, l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ l'étant vers le haut.

     La tige se trouve à une distance $\;\lambda \;$ du point $\;R\;$ c.-à-d. $\;OR=\lambda$.

Recherche des positions d'équilibre

     On recherche les positions d'équilibre ainsi que leur stabilité suivant le paramètre $\;\lambda =OR\;$ dont on fera varier la valeur.

Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v

     Initialement le point matériel $\;M\;$ se trouve en $\;O\;$ et $\;\lambda =OR=l_{v}$.

     Décrire qualitativement $\;{\big (}$aucun calcul n'est demandé${\big )}\;$ le nombre de positions d'équilibre et
     Décrire graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on $\blacktriangleright \;$rapproche la tige du point $\;R\;$ c.-à-d. que $\;\lambda \searrow \;$ à partir de $\;l_{v}\;$ ou
     Décrire graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on $\blacktriangleright \;$éloigne la tige du point $\;R\;$ c.-à-d. que $\;\lambda \nearrow \;$ à partir de $\;l_{v}$.

Solution

     Le bilan des forces appliquées au point matériel $\;M\;$ comprend

• deux forces n'ayant aucune composante dans la direction possible de son mouvement et n'étant donc pas à considérer pour la recherche de ses positions d'équilibre, ce sont
       $\succ \;$ son poids $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{y}\;$ et
       $\succ \;$ la réaction $\;{\vec {R}}=R_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$ de la tige, $\;\perp \;$ à cette dernière en absence de frottement solide et
• une force ayant une composante dans la direction possible du mouvement de $\;M\;$ et donc à considérer pour la recherche de ses positions d'équilibre, c'est la tension $\;{\vec {T}}=$ $T_{x}\;{\vec {u}}_{x}+T_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$ du ressort, la composante $\;{\vec {T}}_{h}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant la composante « motrice » et l'autre composante $\;{\vec {T}}_{v}=T_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$ n'intervenant pas dans le recherche des équilibres possibles  ;

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical et étiré à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, caractère stable de la position d'équilibre $\;O$

     ainsi les positions d'équilibre cherchées sont déterminées par les solutions de $\;{\vec {T}}_{h}(M)={\vec {0}}$, ce qui est réalisé :

• si $\;{\overrightarrow {RM}}\;$ est $\;\perp \;$ à la tige c.-à-d. si $\;M\;$ est en $\;O$ $\;{\big [}$position existant pour toute valeur de $\;\lambda =OR$, voir figure $4$ ci-contre dans le cas $\;\lambda >l_{v}\;$ et
  si $\;\color {transparent}{\overrightarrow {RM}}\;$ est $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à la tige c.-à-d. si $\;\color {transparent}{M}\;$ est en $\;\color {transparent}{O}$ $\;\color {transparent}{\big [}$position existant pour toute valeur de $\;\color {transparent}{\lambda =OR}$, voir figure $1$ ci-dessous à gauche dans le cas $\;\lambda <l_{v}{\big ]}\;$ ou
• si l'allongement algébrique $\;\Delta l=l-l_{v}=0$ $\;{\Big [}$avec $\;l=\Vert {\overrightarrow {RM}}\Vert \;$ la longueur du ressort${\Big ]}$ ou si la longueur du ressort $\;l\;$ est $\;=\;$ à sa longueur à vide $\;l_{v}$
  ${\Bigg [}\!\Rightarrow \;2\;$positions symétriques l'une de l'autre relativement à $\;O$, respectivement notées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}M_{{\text{éq}},\,g}\\M_{{\text{éq}},\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$ et n'existant que si $\;\lambda \;$ est $\;<\;$ à $\;l_{v}\;$,
  $\color {transparent}{{\Bigg [}\!\Rightarrow \;2}\;$positions symétriques l'une de l'autre relativement à $\;\color {transparent}{O}$, voir figure $2$ ci-dessous au centre définissant $\;M_{{\text{éq}},\,d}\;$ et
  $\color {transparent}{{\Bigg [}\!\Rightarrow \;2}\;$positions symétriques l'une de l'autre relativement à $\;\color {transparent}{O}$, voir figure $3$ ci-dessous à droite définissant $\;M_{{\text{éq}},\,g}\;$
  $\color {transparent}{{\Bigg [}\!\Rightarrow \;2}\;$positions symétriques l'une de l'autre relativement à $\;\color {transparent}{O}$, toutes deux dans le cas $\;\lambda <l_{v}{\Bigg ]}$ ;

     il reste à déterminer la stabilité $\;{\big (}$ou l'instabilité${\big )}\;$ de ces équilibres, ce que nous allons faire géométriquement :

• dans le cas $\;\lambda >l_{v}\;$ il y a « une seule position d'équilibre$\;O\;$» $\;{\big [}$voir figure $4$ ci-contre${\big ]}\;$ et cet équilibre est « stable » en effet si $\;M\;$ est légèrement écarté de $\;O\;$ vers la droite $\;{\big (}$ou vers la gauche${\big )}\;$ et lâché sans vitesse initiale, il est soumis à une composante horizontale $\;{\vec {T}}_{h}\;$ centripète relativement à $\;O\;$ et va donc spontanément se rapprocher de $\;O$ ;
• dans le cas $\;\lambda <l_{v}\;$ il y a « trois positions d'équilibre $\;O$, $\;M_{{\text{éq}},\,d}\;$ et $\;M_{{\text{éq}},\,g}\;$» $\;{\big [}$voir figures $\left(1\,,\,2\,,\,3\right)$ ci-dessous${\big ]}$,
  dans le cas $\;\color {transparent}{\lambda <l_{v}}\;$ $\;O\;$ est un équilibre « instable » en effet si $\;M\;$ est légèrement écarté de $\;O\;$ vers la droite $\;{\big (}$ou vers la gauche${\big )}\;$ et lâché sans vitesse initiale $\;{\big [}$voir figure $1{\big ]}$, il est soumis à une composante horizontale $\;{\vec {T}}_{h}\;$ centrifuge relativement à $\;O\;$ et va donc spontanément s'éloigner de $\;O\;$ alors que
  dans le cas $\;\color {transparent}{\lambda <l_{v}}\;$ $\;M_{{\text{éq}},\,d}\;$ et $\;M_{{\text{éq}},\,g}\;$ sont des équilibres « stables » en effet si $\;M\;$ est légèrement écarté de $\;M_{{\text{éq}},\,d}$ $\;{\big [}$ou $\;M_{{\text{éq}},\,g}{\big ]}\;$ vers la droite $\;{\big (}$ou vers la gauche${\big )}\;$ et lâché sans vitesse initiale $\;{\big [}$voir figures $2$ ou $3{\big ]}$, il est soumis à une composante horizontale $\;{\vec {T}}_{h}\;$ centripète relativement à $\;M_{{\text{éq}},\,d}$ $\;{\big [}$ou $\;M_{{\text{éq}},\,g}{\big ]}\;$ et va donc spontanément se rapprocher de la position d'équilibre dont il a été écarté ;

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical et étiré à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, caractère instable de la position d'équilibre $\;O$

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical et étiré à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, caractère stable de la position d'équilibre $\;M_{\text{éq, g}}$

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical et étiré à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, caractère stable de la position d'équilibre $\;M_{\text{éq, d}}$

• dans le cas $\;\lambda =l_{v}\;$ il y a « une seule position d'équilibre $\;O\;$» $\;{\big [}$identique à la figure $4$ ci-dessus à l'exception de la valeur de la tension du ressort en la position d'équilibre qui est nulle${\big ]}\;$ et
  dans le cas $\;\color {transparent}{\lambda =l_{v}}\;$ il y a « cet équilibre est « stable » $\;{\big [}$l'explication étant la même que celle fournie pour $\;\lambda >l_{v}{\big ]}$.

 

Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque

     On considère maintenant $\;OR=\lambda \;$ quelconque.

     Déterminer l'expression de l'énergie potentielle élastique $\;U_{\text{élast}}(x)\;$ de l'objet $\;M\;$ en fonction de $\;k$, $\;l_{v}$, $\;\lambda \;$ et $\;x\;$ en choisissant sa référence en $\;O$.

Solution

     Préliminaire : parmi les forces appliquées au point matériel $\;M\;$ nous ne considérons que le caractère conservatif de la tension $\;{\vec {T}}(M)\;$ du ressort et
     Préliminaire : parmi les forces appliquées au point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ nous ne considérons non celle du poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ de $\;M$ $\;{\big (}$qui sera donc considéré comme non conservatif${\big )}\;$ car,
     Préliminaire : parmi les forces appliquées au point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ nous ne considérons non $M\;$ se déplaçant horizontalement, son énergie potentielle de pesanteur dont son poids dériverait ne varierait pas,
     Préliminaire : parmi les forces appliquées au point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ nous ne considérons la 3^ème force, la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la tige étant non conservative.

     Expression de l'énergie potentielle élastique du point matériel dont dérive la tension du ressort $\;U_{\text{élast}}(x)$ : le point matériel $\;M\;$ possède donc de l'énergie potentielle élastique associée au caractère conservatif de la tension $\;{\vec {T}}(M)\;$ du ressort, d'expression $\;U_{\text{élast}}(x)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(l-l_{v}\right)^{\!2}+cste\;$ avec $\;l\;$ longueur du ressort c.-à-d. $\;l=\Vert {\overrightarrow {RM}}\Vert ={\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}\;$ d'où $\;U_{\text{élast}}(x)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left({\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}-l_{v}\right)^{\!2}+cste$ ;
     Expression de l'énergie potentielle élastique du point matériel dont dérive la tension du ressort $\;\color {transparent}{U_{\text{élast}}(x)}$ : la référence de l'énergie potentielle élastique étant choisie en la position $\;O\;$ nous en déduisons la $\;cste\;$ par $\;U_{\text{élast}}(0)=0\;$ soit $\;{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda -l_{v}\right)^{2}+cste=0\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda -l_{v}\right)^{2}\;$ et finalement l'expression de l'énergie potentielle élastique du point $\;M\;$ s'écrit $\;U_{\text{élast}}(x)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left({\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}-l_{v}\right)^{\!2}-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda -l_{v}\right)^{2}$.

 

Tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque

     Vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet $\;M\;$ diffère suivant que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\lambda <l_{v}\\\lambda \geqslant l_{v}\end{array}}\right\rbrace \;$ et

     représenter chaque type de profil d'énergie potentielle élastique $\;{\big (}$pour $\;\lambda \geqslant l_{v}\;$ tracer un profil associé à $\;\lambda >l_{v}\;$ et celui associé à $\;\lambda =l_{v}{\big )}$.

Solution

     Pour vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet $\;M\;$ diffère suivant que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\lambda <l_{v}\\\lambda \geqslant l_{v}\end{array}}\right\rbrace$, on devrait étudier le signe de $\;{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx}}(x)\;$ et pour cela on serait amené à rechercher, entre autres, les zéros de cette dernière ; or $\;{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx}}(x)\;$ étant, par définition, la composante horizontale de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\text{élast}}\right]\!(x)=-{\vec {T}}(M)\;$ soit finalement $\;{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx}}(x)=-{\vec {T}}_{h}\cdot {\vec {u}}_{x}\;$ $\Rightarrow$ les zéros de $\;{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx}}(x)\;$ sont les abscisses $\;x_{\text{éq}}\;$ des positions d'équilibre, lesquelles, étant de quantités différentes suivant que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\lambda <l_{v}\\\lambda \geqslant l_{v}\end{array}}\right\rbrace$, conduisent effectivement à des allures différentes des diagrammes d'énergie potentielle élastique correspondants ;

Diagrammes d'énergie potentielle d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, tracés suivant que le ressort dans son état initial vertical est comprimé, à vide ou étiré

     on observe donc

• pour $\;\lambda <l_{v}$ : un maximum associé à l'équilibre instable en $\;O\;$ donc d'abscisse $\;0$ $\;{\big (}$l'énergie potentielle élastique y étant nulle${\big )}\;$ et
  pour $\;\color {transparent}{\lambda <l_{v}}$ : deux minima associés aux équilibres stables en $\;M_{{\text{éq}},\,d}\;$ et $\;M_{{\text{éq}},\,g}\;$ d'abscisses respectives $\;x_{{\text{éq}},\,d}>0\;$ et $\;x_{{\text{éq}},\,g}=$ $-x_{{\text{éq}},\,d}<0$ $\;{\bigg \{}$l'énergie potentielle élastique y étant de valeurs identiques $\;<\;$ à celle en l'abscisse nulle de valeur nulle, donc y étant de valeurs identiques $\;<0\;$ égales à $\;{\cancel {{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left({\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}-l_{v}\right)^{\!2}}}\;-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda -l_{v}\right)^{2}$, le ressort y étant ni étiré ni comprimé${\bigg \}}$
  pour $\;\color {transparent}{\lambda <l_{v}}$ : on remarque aussi que, pour $\;\vert x\vert >x_{{\text{éq}},\,d}\;$ la dérivée $\;{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx}}(x)\;$ ne s'annulant plus $\;{\bigg (}\!$plus précisément restant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;\;{\text{pour }}\;x>x_{{\text{éq}},\,d}\\<0\;\;{\text{pour }}\;x<x_{{\text{éq}},\,g}\end{array}}\right\rbrace \;$, $\;U_{\text{élast}}(x)\nearrow \;$ en tendant vers $\;+\infty \;$ pour $\;\left\lbrace {\begin{array}{r l r l}x\;\nearrow \!\!&\!\!{\text{de }}\!\!&\!\!x_{{\text{éq}},\,d}\!\!&\!\!{\text{à }}+\infty \\-x\;\nearrow \!\!&\!\!{\text{de }}\!\!&\!\!-x_{{\text{éq}},\,g}\!\!&\!\!{\text{à }}+\infty \end{array}}\right\rbrace$,
  pour $\;\color {transparent}{\lambda <l_{v}}$ : voir le diagramme ci-contre en rouge,
• pour $\;\lambda \geqslant l_{v}$ : un minimum correspondant à l'équilibre stable en $\;O\;$ donc d'abscisse $\;0$ $\;{\big (}$l'énergie potentielle élastique y étant nulle, celle-ci reste $\;\geqslant \;0\;\forall \;x{\big )}$, la dérivée $\;{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx}}(x)\;$ ne s'annulant nulle part ailleurs , $\;U_{\text{élast}}(x)\nearrow \;$ en tendant vers $\;+\infty \;$ pour $\;\left\lbrace {\begin{array}{r l r l}x\;\nearrow \!\!&\!\!{\text{de }}\!\!&\!\!0\!\!&\!\!{\text{à }}+\infty \\-x\;\nearrow \!\!&\!\!{\text{de }}\!\!&\!\!0\!\!&\!\!{\text{à }}+\infty \end{array}}\right\rbrace$,
  pour $\;\color {transparent}{\lambda \geqslant l_{v}}$ : voir les diagrammes ci-contre en bleu pour $\;\lambda >l_{v}\;$ et
  pour $\;\color {transparent}{\lambda \geqslant l_{v}}$ : voir les diagrammes ci-contre en vert pour $\;\lambda =l_{v}$ $\;{\big [}$ce dernier se distingue légèrement du 1^er par le fait que la
  pour $\;\color {transparent}{\lambda \geqslant l_{v}}$ : voir les diagrammes ci-contre en vert pour $\;\color {transparent}{\lambda =l_{v}}$ $\;\color {transparent}{\big [}$variation de l'énergie potentielle élastique avec $\;x\;$ au voisinage de la position d'équilibre est plus lente${\big ]}$.

 

Détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque

     Déterminer les abscisses des positions d'équilibre $\;x_{\text{éq}}\;$ de l'objet $\;M\;$ en distinguant les deux cas $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\lambda <l_{v}\\\lambda \geqslant l_{v}\end{array}}\right\rbrace \;$ et

     préciser, dans chaque cas, si la position d’équilibre est stable ou non.

Solution

     Nous avons établi graphiquement que $\;x=0\;$ était une 1^ère abscisse de position d'équilibre pour tout $\;\lambda =OR\;$ et

     Nous avons établi graphiquement que pour $\;\lambda <l_{v}$, il y avait deux autres abscisses de positions d'équilibre notées respectivement $\;x_{{\text{éq}},\,d}\;$ et $\;x_{{\text{éq}},\,g}\;$ déterminées par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}l_{{\text{éq}},\,d}=l_{v}\\l_{{\text{éq}},\,g}=l_{v}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit,

     Nous avons établi graphiquement $\succ \;$avec $\;l_{{\text{éq}},\,d}={\sqrt {\lambda ^{2}+x_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}\;$ et $\;x_{{\text{éq}},\,d}>0$, «$\;x_{{\text{éq}},\,d}={\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}\;$» et

     Nous avons établi graphiquement $\succ \;$avec $\;l_{{\text{éq}},\,g}={\sqrt {\lambda ^{2}+x_{{\text{éq}},\,g}^{2}}}\;$ et $\;x_{{\text{éq}},\,g}<0$, «$\;x_{{\text{éq}},\,g}=-{\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}\;$» ;

     pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de $\;{\vec {T}}_{h}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;T_{x}=-{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx}}(x)\;$ et $\;U_{\text{élast}}(x)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left({\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}-l_{v}\right)^{\!2}-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda -l_{v}\right)^{2}\;$ d'où
     pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}_{h}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}}\;$ avec $\;T_{x}=-{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx}}(x)=-\left\lbrace k\,\left({\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}-l_{v}\right)\,{\dfrac {2\;x}{2\;{\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}}}\right\rbrace =-k\;x\,\left(1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}}\right)\;$
     pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}_{h}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}}\;$ avec $\;\color {transparent}{T_{x}}$ qui s'annule effectivement $\blacktriangleright \;$en «$\;x_{{\text{éq}},\,1}=0\;\;\forall \;\lambda \;$» et,
     pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}_{h}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}}\;$ avec $\;\color {transparent}{T_{x}}$ qui s'annule effectivement $\blacktriangleright \;$sous conditions, en $\;x_{{\text{éq}},\,d}>0\;$ et $\;x_{{\text{éq}},\,g}<0\;$ de même valeur absolue $\;x_{{\text{éq}},\,2}>0\;$ telle que
     pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}_{h}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}}\;$ avec $\;\color {transparent}{T_{x}}$ qui s'annule effectivement $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;{\sqrt {\lambda ^{2}+x_{{\text{éq}},\,2}^{2}}}=l_{v}\;$ $\Rightarrow$ $\;x_{{\text{éq}},\,2}={\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}\;$ n'existant en étant $\;\neq 0\;$ que pour $\;\lambda <l_{v}\;$ d'où
     pour les déterminer algébriquement il faut trouver les zéros de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}_{h}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}}\;$ avec $\;\color {transparent}{T_{x}}$ qui s'annule effectivement $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$les deux autres zéros conditionnels «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{{\text{éq}},\,d}={\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}\\x_{{\text{éq}},\,g}=-{\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;{\text{si }}\;\lambda <l_{v}\;$».

     Ces équilibres sont instables dans la mesure où la force « motrice » $\;{\vec {T}}_{h}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ est une composante « répulsive » et

     Ces équilibres sont instables dans la mesure où la force « motrice » $\;{\vec {T}}_{h}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ est une composante « de rappel » ;

     Ces équilibres sont instables pour justifier algébriquement la stabilité $\;{\big (}$ou l'instabilité${\big )}\;$ il convient de calculer $\;{\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})\;$ et

     Ces équilibres sont instables pour justifier algébriquement $\succ \;$la stabilité est validée en constatant sa négativité de $\;{\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})<0\;$ ou,

     Ces équilibres sont instables pour justifier algébriquement $\color {transparent}{\succ }\;$la stabilité est validée si $\;{\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})=0$, en constatant la nullité de $\;{\dfrac {d^{2}T_{x}}{dx^{2}}}(x_{\text{éq}})\;$ avec $\;{\dfrac {d^{3}T_{x}}{dx^{3}}}(x_{\text{éq}})<0\;$ ;

     Ces équilibres sont instables pour justifier algébriquement $\succ \;$l'instabilité est validée en constatant la positivité de $\;{\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})>0\;$ ou,

     Ces équilibres sont instables pour justifier algébriquement $\color {transparent}{\succ }\;$l'instabilité est validée si $\;{\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})=0$, en constatant la nullité de $\;{\dfrac {d^{2}T_{x}}{dx^{2}}}(x_{\text{éq}})\;$ avec $\;{\dfrac {d^{3}T_{x}}{dx^{3}}}(x_{\text{éq}})>0\;$ ;

     mise en œuvre : $\;{\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x)=-k\,\left(1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}}\right)-k\;x\,\left[{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {l_{v}\;2\;x}{\left(\lambda ^{2}+x^{2}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}}}\right]=-k\,\left[1-l_{v}\;{\dfrac {\lambda ^{2}}{\left(\lambda ^{2}+x^{2}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}}}\right]\;$ d'où :

     mise en œuvre : $\succ \;$pour $\;x_{{\text{éq}},\,1}=0\;$ nous obtenons «$\;{\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x_{{\text{éq}},\,1})=-k\,\left(1-{\dfrac {l_{v}}{\lambda }}\right)\left\lbrace {\begin{array}{l c l}<0\!\!&\!\!{\text{si}}\!\!&\!\!\lambda >l_{v}\\=0\!\!&\!\!{\text{si}}\!\!&\!\!\lambda =l_{v}\\>0\!\!&\!\!{\text{si}}\!\!&\!\!\lambda <l_{v}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ « équilibre $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\text{stable}}\!\!&\!\!{\text{si}}\!\!&\!\!\lambda >l_{v}\\{\text{? }}\;\;\;\;\!\!&\!\!{\text{si}}\!\!&\!\!\lambda =l_{v}\\{\text{instable}}\!\!&\!\!{\text{si}}\!\!&\!\!\lambda <l_{v}\end{array}}\right\rbrace \;$»,

     mise en œuvre : $\succ \;$pour $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{{\text{éq}},\,d}={\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}=x_{{\text{éq}},\,2}\\x_{{\text{éq}},\,g}=-{\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}=-x_{{\text{éq}},\,2}\end{array}}\right\rbrace \;\;{\text{avec }}\;\lambda <l_{v}$, nous obtenons ${\dfrac {dT_{x}}{dx}}(x_{{\text{éq}},\,2})=-k\,\left(1-{\dfrac {\lambda ^{2}}{l_{v}^{2}}}\right)<0\;$ d'où la « stabilité des deux équilibres $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{{\text{éq}},\,d}={\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}\\x_{{\text{éq}},\,g}=-{\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     cas particulier : équilibre $\;x_{{\text{éq}},\,1}=0\;$ pour $\;\lambda =l_{v}$ : $\;{\dfrac {dT_{x,\,\lambda =l_{v}}}{dx}}(x)=-k\,\left[1-{\dfrac {l_{v}^{3}}{\left(l_{v}^{2}+x^{2}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}}}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d^{2}T_{x,\,\lambda =l_{v}}}{dx^{2}}}(x)=-k\,\left[{\dfrac {3}{2}}\;{\dfrac {l_{v}^{3}\;2\;x}{\left(l_{v}^{2}+x^{2}\right)^{\!{\frac {5}{2}}}}}\right]=-k\;{\dfrac {3\;l_{v}^{3}\;x}{\left(l_{v}^{2}+x^{2}\right)^{\!{\frac {5}{2}}}}}\;$ soit effectivement $\;{\dfrac {d^{2}T_{x,\,\lambda =l_{v}}}{dx^{2}}}(x_{{\text{éq}},\,1})=0\;$ et $\;{\dfrac {d^{3}T_{x,\,\lambda =l_{v}}}{dx^{3}}}(x)=-3\;k\;l_{v}^{3}\,\left[{\dfrac {1}{\left(l_{v}^{2}+x^{2}\right)^{\!{\frac {5}{2}}}}}-{\dfrac {5}{2}}\;{\dfrac {x\;2\;x}{\left(l_{v}^{2}+x^{2}\right)^{\!{\frac {7}{2}}}}}\right]=-3\;k\;l_{v}^{3}\;{\dfrac {l_{v}^{2}-4\;x^{2}}{\left(l_{v}^{2}+x^{2}\right)^{\!{\frac {7}{2}}}}}\;$ donnant $\;{\dfrac {d^{3}T_{x,\,\lambda =l_{v}}}{dx^{3}}}(x_{{\text{éq}},\,1})=$ $-{\dfrac {3\;k}{l_{v}^{2}}}<0\;$ et par suite assurant la « stabilité de l'équilibre $\;x_{{\text{éq}},\,1}=0\;$ pour $\;\lambda =l_{v}\;$».

 

Représentation des abscisses d'équilibre x_éq de M en fonction du paramètre λ avec précision de leur stabilité, notion de bifurcation fourche

     Représenter, sur un même diagramme, les abscisses d'équilibre $\;x_{\text{éq}}\;$ de l'objet $\;M\;$ en fonction du paramètre $\;OR=\lambda \;$ caractérisant le système,
     Représenter, sur un même diagramme, on indiquera nettement sur ce graphe $\;{\big (}$par exemple à l'aide de couleurs différentes${\big )}\;$ la nature de l'équilibre $\;{\big (}$stabilité ou instabilité${\big )}$.

     Tenter alors de justifier le nom donné à la bifurcation $\;{\big (}$observée en $\;\lambda =l_{v}{\big )}\;$ « bifurcation fourche ».

Solution

Diagramme de bifurcation représentant les abscisses d'équilibre d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale avec leur stabilité $\;{\big (}$ou instabilité${\big )}\;$ suivant la distance verticale séparant la tige de $\;R$

     Voir ci-contre le « diagramme de bifurcation » représentant les abscisses $\;x_{\text{éq}}\;$ d'équilibre du point matériel $\;M\;$ suivant le paramètre $\;\lambda =OR\;$ caractérisant le système,

     Voir ci-contre l'état de « stabilité » de l'équilibre étant indiqué en traits pleins rouges et

     Voir ci-contre celui d'« instabilité » en traits pointillés bleus.

     « Une bifurcation dans un diagramme représentant les abscisses d'équilibre du point matériel d'un système en fonction du paramètre caractérisant le système étudié » est « la valeur de ce paramètre correspondant à un changement de nombre de positions d'équilibre »,

     « Une bifurcation elle peut aussi, « quand une position d'équilibre existe pour toute valeur du paramètre », être « la valeur de celui-ci accompagnant la modification de stabilité de cet équilibre » :

     ainsi, dans le diagramme ci-contre, $\;\lambda =l_{v}\;$ est une bifurcation car

• d'une part cette valeur correspond à un changement de nombre de positions d’équilibre $\;{\big (}$passant de trois à une quand $\;\lambda \;$ traverse $\;l_{v}\;$ en $\;\nearrow {\big )}\;$ et
• d'autre part l'abscisse $\;x_{{\text{éq}},\,1}=0\;$ existe pour toute valeur de $\;\lambda \;$ avec une modification de stabilité lors de la traversée de la bifurcation $\;{\big (}$passant de l'instabilité à la stabilité quand $\;\lambda \;$ traverse $\;l_{v}\;$ en $\;\nearrow {\big )}$ $\;{\big [}$une conséquence de ce 2^ème aspect de la bifurcation est que cette dernière caractérise un changement de positions d'équilibre stable $\;{\big (}$passant de deux équilibres stables d'abscisses $\;\neq 0\;$ à un équilibre stable d'abscisse $\;=0\;$ quand $\;\lambda \;$ traverse $\;l_{v}\;$ en $\;\nearrow {\big )}{\big ]}$.

     La présence d'une bifurcation dans le graphe $\;x_{\text{éq}}=x_{\text{éq}}(\lambda )\;$ fait que ce dernier est parfois appelé « diagramme de bifurcation » ou simplement « bifurcation » par abus de langage et ce diagramme ayant effectivement l'allure d'une fourche au voisinage de $\;\lambda =l_{v}\;$, il définit une « bifurcation fourche ».

 

Bifurcation à symétrie brisée

     On dit également de cette bifurcation qu'elle est « à symétrie brisée » ; tenter de justifier cette propriété.

Solution

     Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car $\blacktriangleright \;$pour $\;\lambda >l_{v}$, la position d'équilibre stable étant $\;x_{{\text{éq}},\,1}=0$,
     Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour $\;\color {transparent}{\lambda >l_{v}}$, les oscillations autour de cette dernière se fait de façon symétrique relativement à $\;x_{{\text{éq}},\,1}=0\;$ alors que
     Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car $\blacktriangleright \;$pour $\;\lambda <l_{v}$, il y a deux positions d'équilibre stable $\;x_{{\text{éq}},\,d}={\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}\;$ et $\;x_{{\text{éq}},\,g}=-{\sqrt {l_{v}^{2}-\lambda ^{2}}}$,
     Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour $\;\color {transparent}{\lambda <l_{v}}$, les oscillations autour de chaque position d'équilibre ne se font pas de façon symétrique relativement à l'abscisse de l'équilibre considéré d'où
     Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car une brisure de symétrie.

 

Étude de deux variantes du système

Introduction d'un 2^ème ressort idéal positionné symétriquement au 1^er relativement à la tige horizontale

     Le point matériel $\;M\;$ est également relié à un 2^ème ressort idéal identique au 1^er, fixé lui aussi sur l'axe $\;Oy\;$ à une distance $\;\lambda \;$ de la tige mais symétriquement à $\;R\;$ par rapport à l'axe $\;Ox$.

     Préciser, succinctement, les modifications entraînées par la présence de ce 2^ème ressort par rapport à l'étude précédente.

Solution

     Si le point matériel $\;M\;$ est relié à deux ressorts idéaux identiques situés de part et d'autre de la tige, respectivement reliés à deux points fixes $\;R\;$ et $\;R'\;$ symétriques par rapport à la tige $\;Ox\;$ sur laquelle le point peut se déplacer sans frottement, il faut ajouter, aux forces précédemment introduites , la tension $\;{\vec {T'}}\;$ du ressort inférieur qui est la symétrique de la tension $\;{\vec {T}}\;$ du ressort supérieur ;

     il faut donc remplacer la composante « motrice » $\;{\vec {T}}_{h}\;$ par la nouvelle composante « motrice » $\;{\vec {T}}_{h}+{\vec {T'}}_{h}=2\;{\vec {T}}_{h}\;$ ${\Big [}{\vec {T}}\;$ et $\;{\vec {T'}}\;$ étant symétriques par rapport à la tige horizontale $\Rightarrow$ $\;{\vec {T}}_{h}={\vec {T'}}_{h}{\Big ]}$ d'où

     le problème avec deux ressorts idéaux identiques situés de part et d'autre de la tige s'avère être identique à celui avec un seul ressort résolu précédemment
         le problème avec deux ressorts idéaux identiques situés de part et d'autre de la tige s'avère être identique à condition de remplacer $\;k\;$ par $\;2\;k$, ceci ne modifiant pas les positions d'équilibre ainsi que
         le problème avec deux ressorts idéaux identiques situés de part et d'autre de la tige s'avère être identique à condition de remplacer $\;\color {transparent}{k}\;$ par $\;\color {transparent}{2\;k}$, ceci ne modifiant pas leur stabilité $\;{\big (}$ou instabilité${\big )}\;$.

 

Légère inclinaison de la tige relativement à l'horizontale

     Le point matériel $\;M\;$ n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal , mais la tige, et donc aussi son axe $\;{\overrightarrow {Ox}}$, ne sont plus tout à fait horizontaux :
         Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, ils sont inclinés par rapport à l'horizontale d'un petit angle $\;\theta \;$ obtenu en faisant tourner $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ par rapport à $\;O\;$ non déplacé,
         Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, la distance orthogonale du point $\;R\;$ à la tige étant notée $\;\lambda '=\Vert {\overrightarrow {RO}}\Vert \;\cos(\theta )=\lambda \;\cos(\theta )$,
         Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, l'origine de l'axe de la tige étant maintenant choisie en $\;O'\;$ projeté orthogonal de $\;R\;$ sur la tige d'où $\;\lambda '=\Vert {\overrightarrow {RO'}}\Vert \;$ et
         Le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, l'abscisse du point matériel $\;M\;$ notée $\;x'\;$.

     Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet $\;M\;$ en tenant compte de son énergie potentielle de pesanteur
    Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ ${\big [}$son énergie potentielle élastique étant inchangée à condition de substituer $\;\lambda '\;$ à $\;\lambda \;$ ainsi que $\;x'\;$ à $\;x$, sa référence étant choisie en $\;O'{\big ]}$,
     Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ on notera $\;U_{\text{oscill}}(x')\;$ l'énergie potentielle corrigée de $\;M\;$ avec référence en $\;O'$.

     Tracer l'allure du profil d'énergie potentielle $\;U_{\text{oscill}}(x')\;$ de l'objet $\;M\;$ en fonction de $\;x'\;$ dans le cas où $\;\lambda '<l_{v}$.

     Quelle est la conséquence principale sur les positions d'équilibre dans ce cas ?

Solution

Schéma d'un pendule élastique à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ pouvant se déplacer sans frottement sur une tige inclinée de $\;\theta \;$ sur l'horizontale

     Ci-contre le nouveau schéma décrivant le système étudié tenant compte de l'inclinaison de la tige initialement horizontale et des modifications de notations de paramètres ;

     le bilan des forces appliquées au point matériel $\;M\;$ ${\big (}$non représentées sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ comprend

• une force n'ayant aucune composante dans la direction possible de son mouvement et n'étant donc pas à considérer pour la recherche de ses positions d'équilibre, c'est la réaction $\;{\vec {R}}=R_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$ de la tige, $\;\perp \;$ à cette dernière en absence de frottement solide et
• deux forces ayant chacune une composante dans la direction possible du mouvement de $\;M\;$ et donc à considérer pour la recherche de ses positions d'équilibre, ce sont
  $\;\succ \;$la tension $\;{\vec {T}}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}+T_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$ du ressort, la composante $\;{\vec {T}}_{\text{mot}}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant la composante « motrice » et l'autre composante $\;{\vec {T}}_{\text{non mot}}=T_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$ n'intervenant pas dans le recherche des équilibres possibles ainsi que
  $\;\succ \;$le poids $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}-m\;g\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$ du point $\;M$, la composante $\;\left[m\;{\vec {g}}\right]_{\text{mot}}=-m\;g\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant la composante « motrice » et l'autre composante $\;\left[m\;{\vec {g}}\right]_{\text{non mot}}=-m\;g\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$ n'intervenant pas dans le recherche des équilibres possibles .

     Parmi les forces appliquées au point matériel $\;M\;$ il y a deux forces conservatives, la tension $\;{\vec {T}}(M)\;$ du ressort et le poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ de $\;M$, la 3^ème force, la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la tige, étant non conservative.

     Rappel de l'expression de l'énergie potentielle élastique du point matériel dont dérive la tension du ressort $\;U_{\text{élast}}(x')$ : le point matériel $\;M\;$ d'abscisse $\;x'\;$ possède donc de l'énergie potentielle élastique associée au caractère conservatif de la tension $\;{\vec {T}}(M)\;$ du ressort et son expression est celle trouvée précédemment à condition d'y substituer $\;x'\;$ à $\;x$, $\;\lambda '\;$ à $\;\lambda \;$ et de choisir sa référence en $\;O'$ c.-à-d. «$\;U_{\text{élast}}(x')={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left({\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}^{2}}}-l_{v}\right)^{\!\!2}-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda '-l_{v}\right)^{2}\;$» ;

     expression de l'énergie potentielle de pesanteur du point matériel $\;U_{\text{pes}}(x')$ : si on choisit de repérer temporairement le point matériel $\;M\;$ par sa cote $\;z'\;$ sur un axe vertical $\;\uparrow \;$ passant par $\;O'\;$ choisi pour référence de l'énergie potentielle de pesanteur de $\;M$, on peut écrire $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z'\;$ avec $\;z'=x'\;\sin(\theta )\;$ d'où «$\;U_{\text{pes}}(x')=m\;g\;\sin(\theta )\;x'\;$» ;

     expression de l'énergie potentielle d'oscillations du point matériel $\;U_{\text{oscill}}(x')=U_{\text{élast}}(x')+U_{\text{pes}}(x')$ soit «$\;U_{\text{oscill}}(x')={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left({\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}^{2}}}-l_{v}\right)^{\!\!2}-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda '-l_{v}\right)^{2}+m\;g\;\sin(\theta )\;x'\;$» avec référence en $\;O'$.

     Les abscisses $\;{x'}_{\text{éq}}\;$ des positions d'équilibre du point matériel $\;M\;$ étant les valeurs de la variable $\;x'\;$ rendant son énergie potentielle d'oscillations $\;U_{\text{oscill}}(x')\;$ stationnaire, nous en déduisons que
     Les abscisses $\;{x'}_{\text{éq}}\;$ sont les zéros de $\;{\dfrac {dU_{\text{oscill}}}{dx'}}(x')\;$ soit $\;{\dfrac {dU_{\text{oscill}}}{dx'}}({x'}_{\text{éq}})=0$ ;

      Les abscisses $\;\color {transparent}{{x'}_{\text{éq}}}\;$ sont les zéros or $\;{\dfrac {dU_{\text{oscill}}}{dx'}}(x')={\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx'}}(x')+{\dfrac {dU_{\text{pes}}}{dx'}}(x')\;$ avec $\;{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{dx'}}(x')=k\;x'\,\left(1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}^{2}}}}\right)\;$ et $\;{\dfrac {dU_{\text{pes}}}{dx'}}(x')=m\;g\;\sin(\theta )\;$ d'où $\;{x'}_{\text{éq}}\;$ définies par «$\;k\;{x'}_{\text{éq}}\,\left(1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{\text{éq}}^{2}}}}\right)+m\;g\;\sin(\theta )=0\;$» ou encore
«$\;{x'}_{\text{éq}}\,\left(1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{\text{éq}}^{2}}}}\right)=-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}\;$»  ;ou encore

     constatant que la seule modification de l'équation de détermination des abscisses d'équilibre, dans le cas $\;\lambda '=\lambda \;\cos(\theta )<l_{v}$, est le 2^nd membre $\;-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}\;$,
     constatant que la seule modification de l'équation de détermination des abscisses d'équilibre, dans le cas $\;\color {transparent}{\lambda '=\lambda \;\cos(\theta )<l_{v}}$, est lequel reste petit en valeur absolue dans la mesure où l'inclinaison $\;\theta \;$ l'est,
     constatant nous admettons que cela ne change pas le nombre de positions d'équilibre mais que ces dernières s'en trouvent simplement légèrement décalées, ainsi
     constatant nous admettons il y a toujours trois positions d'équilibre , l'une $\;{x'}_{{\text{éq}},\,1}\;$ restant proche de $\;0\;$ et
           constatant nous admettons il y a toujours trois positions d'équilibre, les deux autres $\;\left\lbrace {x'}_{{\text{éq}},\,d}>0\,;\,{x'}_{{\text{éq}},\,g}<0\right\rbrace$, chacune assez nettement $\;\neq 0\;$ :

• expression de$\;{x'}_{{\text{éq}},\,1}\;$ : supposant $\;\theta >0\;$ et $\;\vert {x'}_{{\text{éq}},\,1}\vert \;$ de même ordre de grandeur que $\;{\bigg \vert }-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}{\bigg \vert }={\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}\;$ et, plus précisément, supposant
  expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ : supposant $\;{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}\ll \lambda '\;$ correspondant à $\;{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\ll 1\;$ considéré comme infiniment petit d'ordre un ainsi que $\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,1}}{\lambda '}}\;$ de même ordre de grandeur,
  expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ : l'équation de détermination de $\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,1}}{\lambda '}}\;$ se réécrit $\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,1}}{\lambda '}}\,\left\lbrace 1-{\dfrac {l_{v}}{\lambda '}}\,\left[1+\left({\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,1}}{\lambda '}}\right)^{\!\!2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\right\rbrace =-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;$ soit, en se limitant à l'ordre un en $\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,1}}{\lambda '}}$,
   expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ se réécrit $\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,1}}{\lambda '}}\,\left\lbrace 1-{\dfrac {l_{v}}{\lambda '}}\,\left[1\;{\cancel {+\left({\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,1}}{\lambda '}}\right)^{\!\!2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\right\rbrace \simeq -{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;$ ou $\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,1}}{\lambda '}}\simeq {\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {1}{{\dfrac {l_{v}}{\lambda '}}-1}}\;$ soit finalement
   expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ se réécrit «$\;{x'}_{{\text{éq}},\,1}\simeq {\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}\;{\dfrac {\lambda '}{l_{v}-\lambda '}}\;$ légèrement $\;>0\;$», $\;\lambda '=\lambda \;\cos(\theta )\;$ étant $\;<\;$ à $\;l_{v}$,
   expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ se réécrit l'énergie potentielle d'oscillations correspondante y étant localement maximale d'où une position d'équilibre instable et
   expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ se réécrit l'énergie potentielle d'oscillations y ayant pour valeur, au même ordre un en $\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,1}}{\lambda '}}$, «$\;U_{\text{oscill}}({x'}_{{\text{éq}},\,1})\simeq m\;g\;\sin(\theta )\;{x'}_{{\text{éq}},\,1}\;$»
   expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,1}}\;$ se réécrit l'énergie potentielle d'oscillations y ayant pour valeur, laquelle est légèrement positive ;
• expression de$\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}\;$et$\;{x'}_{{\text{éq}},\,g}$ : supposant $\;\theta >0\;$ et $\;\lambda '\;{\Bigg \vert }1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{\text{éq}}^{2}}}}{\Bigg \vert }\;$ de même ordre de grandeur que $\;{\bigg \vert }-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}{\bigg \vert }={\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}\;$ et, plus précisément, supposant
  expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : supposant $\;{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}\ll \lambda '\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\ll 1\;$ considéré comme infiniment petit d'ordre un ainsi que $\;{\Bigg \vert }1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{\text{éq}}^{2}}}}{\Bigg \vert }\;$ de même ordre de grandeur ,
  expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : soit, en distinguant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{x'}_{{\text{éq}},\,d}>0\\{x'}_{{\text{éq}},\,g}<0\end{array}}\right\rbrace \;$ associé respectivement à $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}}<0\\1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}}}}>0\end{array}}\right\rbrace$, le produit «$\;{x'}_{\text{éq}}\times \left(1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{\text{éq}}^{2}}}}\right)\;$ devant être $\;<0\;$»  ;
  expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}$ : l'équation de détermination de $\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,d}}{\lambda '}}\;$ se réécrit «$\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,d}}{\lambda '}}\,\left(1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}}\right)=-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;$» ou, en faisant apparaître des facteurs $\;>0$
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$ se réécrit «$\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,d}}{\lambda '}}\,\left({\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}}-1\right)={\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;$»
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$ se réécrit le 2^ème facteur du 1^er membre et le 2^ème membre étant des infiniment petits de même ordre un d'où
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$ se réécrit «$\;{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}}-1={\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}}\;$» que l'on cherche à évaluer à l'ordre un ; pour cela
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$ se réécrit le 1^er membre et le 1^er facteur du 2^ème membre étant des infiniment petits de même ordre un, il suffit,
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$ se réécrit pour évaluer le 1^er membre à l'ordre un, de limiter le 2^ème facteur du 2^ème membre à l'ordre zéro
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$ se réécrit c.-à-d. évaluer $\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}\;$ à l'ordre zéro correspondant à «$\;{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}}-1\simeq 0\times {\dfrac {\lambda '}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}}=0\;$» $\Rightarrow$
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$ se réécrit c.-à-d. ${\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}\simeq l_{v}\;$ d'où «$\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}\simeq {\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;$ à l'ordre zéro » dont on déduit le D.L. de
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$ se réécrit $\;{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}}-1\;$ à l'ordre un «$\;{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}}-1\simeq {\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\;$» ;
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : de ce D.L. à l'ordre un on tire «$\;{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}}\simeq 1+{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}\simeq {\dfrac {l_{v}}{1+{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}}}\;$» ou
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : «$\;{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}\simeq l_{v}^{2}\left[1+{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\right]^{-2}$ soit, en limitant à l'ordre un, $\;{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}\simeq l_{v}^{2}\left[1-2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\right]\;$»
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : d'où $\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}\simeq l_{v}^{2}\left[1-2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\right]-{\lambda '}^{2}=l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}-2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\;$ ou, en factorisant le terme prépondérant,
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : d'où $\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}\simeq \left(l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}\right)\left[1-2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{\left(l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}\simeq {\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\left[1-2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{\left(l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\;$ ou encore,
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : d'où en limitant à l'ordre un, $\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}\simeq {\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\left[1-{\dfrac {1}{2}}\;2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{\left(l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\;$ soit «$\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}\simeq {\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;$»
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : c.-à-d. «$\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}\simeq {\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}-{\dfrac {l_{v}^{2}}{l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}\;$» décalée vers la gauche de $\;{\dfrac {l_{v}^{2}\;\lambda '}{l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\ll 1\;$ par rapport à $\;{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;$,
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'énergie potentielle d'oscillations correspondante y étant localement minimale d'où une position d'équilibre stable et
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'énergie potentielle d'oscillations y ayant pour valeur, au même ordre un en commun, «$\;U_{\text{oscill}}({x'}_{{\text{éq}},\,d})\simeq m\;g\;\sin(\theta )\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(l_{v}-\lambda '\right)^{2}\;$»
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'énergie potentielle d'oscillations y ayant pour valeur, au même ordre un en commun, laquelle est légèrement $\;>\;$ à $\;-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda '-l_{v}\right)^{2}\;$ ;
  expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;{x'}_{{\text{éq}},\,g}$ : l'équation de détermination de $\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,g}}{\lambda '}}\;$ se réécrit «$\;{\dfrac {{x'}_{{\text{éq}},\,g}}{\lambda '}}\,\left(1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}}}}\right)=-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;$» ou, en faisant apparaître des facteurs $\;>0$
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}\;$ se réécrit «$\;{\dfrac {-{x'}_{{\text{éq}},\,g}}{\lambda '}}\,\left(1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}}}}\right)={\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;$»
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$ se réécrit le 2^ème facteur du 1^er membre et le 2^ème membre étant des infiniment petits de même ordre un d'où
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}\;$ se réécrit «$\;1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}}}}={\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{-{x'}_{{\text{éq}},\,g}}}\;$» que l'on cherche à évaluer à l'ordre un ; pour cela
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}\;$ se réécrit le 1^er membre et le 1^er facteur du 2^ème membre étant des infiniment petits de même ordre un, il suffit,
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}\;$ se réécrit pour évaluer le 1^er membre à l'ordre un, de limiter le 2^ème facteur du 2^ème membre à l'ordre zéro
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}\;$ se réécrit c.-à-d. évaluer $\;-{x'}_{{\text{éq}},\,g}\;$ à l'ordre zéro correspondant à «$\;1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}}\simeq 0\times {\dfrac {\lambda '}{-{x'}_{{\text{éq}},\,g}}}=0\;$»
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}\;$ se réécrit $\Rightarrow$ ${\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,d}^{2}}}\simeq l_{v}\;$ d'où «$\;-{x'}_{{\text{éq}},\,g}\simeq {\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;$ à l'ordre zéro » dont on déduit le D.L. de
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'équation de détermination de $\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}\;$ se réécrit $\;1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}}}}\;$ à l'ordre un «$\;1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}}}}\simeq {\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\;$» ;
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}$ : de ce D.L. à l'ordre un on tire «$\;{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}}}}\simeq 1-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\sqrt {{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}}}\simeq {\dfrac {l_{v}}{1-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}}}\;$» ou
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : «$\;{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}\simeq l_{v}^{2}\left[1-{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\right]^{-2}$ soit, en limitant à l'ordre un, $\;{\lambda '}^{2}+{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}\simeq l_{v}^{2}\left[1+2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\right]\;$»
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : d'où $\;{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}\simeq l_{v}^{2}\left[1+2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\right]-{\lambda '}^{2}=l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}+2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}}\;$ ou, en factorisant le terme prépondérant,
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : d'où $\;{x'}_{{\text{éq}},\,g}^{2}\simeq \left(l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}\right)\left[1+2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{\left(l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;-{x'}_{{\text{éq}},\,g}\simeq {\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\left[1+2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{\left(l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\;$ ou encore,
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : d'où en limitant à l'ordre un, $\;-{x'}_{{\text{éq}},\,g}\simeq {\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\left[1+{\dfrac {1}{2}}\;2\,{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{\left(l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\;$ $\;={\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}+{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\;{\dfrac {\lambda '\;l_{v}^{2}}{l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;$»
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : c.-à-d. «$\;{x'}_{{\text{éq}},\,g}\simeq -{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}-{\dfrac {l_{v}^{2}}{l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k}}\;$» décalée vers la gauche de $\;{\dfrac {l_{v}^{2}\;\lambda '}{l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;{\dfrac {m\;g\;\sin(\theta )}{k\;\lambda '}}\ll 1\;$ par rapport à $\;-{\sqrt {l_{v}^{2}-{\lambda '}^{2}}}\;$,
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'énergie potentielle d'oscillations correspondante y étant localement minimale d'où une position d'équilibre stable et
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'énergie potentielle d'oscillations y ayant pour valeur, au même ordre un en commun, «$\;U_{\text{oscill}}({x'}_{{\text{éq}},\,g})\simeq m\;g\;\sin(\theta )\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(l_{v}-\lambda '\right)^{2}\;$»
    expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,d}}\;$et$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : expression de$\;\color {transparent}{{x'}_{{\text{éq}},\,g}}$ : l'énergie potentielle d'oscillations y ayant pour valeur, au même ordre un en commun, laquelle est légèrement $\;<\;$ à $\;-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda '-l_{v}\right)^{2}\;$.

Diagramme d'énergie potentielle $\;{\big (}$en rouge${\big )}\;$ d'un pendule élastique à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ pouvant se déplacer sans frottement sur une tige inclinée de $\;\theta \;$ sur l'horizontale, le ressort dans son état initial étant comprimé, et superposition avec le diagramme d'énergie potentielle $\;{\big (}$en pointillés noirs${\big )}\;$ du même pendule élastique mais à objet se déplaçant sur une tige horizontale

     Ci-contre, en rouge, le diagramme d'énergie potentielle d'oscillations d'un pendule élastique à ressort idéal à extrémités supérieure $\;R\;$ fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel $\;M$, de masse $\;m=100\;g$, se déplaçant sur une tige inclinée d'un angle $\;\theta$ $=15\,{\text{°}}\,$ sur l'horizontale, la distance orthogonale séparant $\;R\;$ de la tige étant $\;\lambda '=7,5\;cm$ ; le ressort est de longueur à vide $\;l_{v}=$ $10\;cm\;$ et de raideur $\;k=1\;N\cdot cm^{-1}$, l'intensité de la pesanteur terrestre est prise égale à $\;g=9,8\;m\cdot s^{-2}$ ;

     Ci-contre y figure également, en pointillés noirs, le diagramme d'énergie potentielle élastique du même pendule élastique avec le même ressort idéal mais tel que l'objet ponctuel $\;M\;$ se déplace sur une tige horizontale située à la même distance orthogonale de $\;R\;$ à savoir $\;\lambda =7,5\;cm$ ;

     Ci-contre on y constate que la position d'équilibre instable $\;{x'}_{{\text{éq}},\,1}\;$ du pendule à tige inclinée sur l'horizontale est légèrement déplacée vers la droite relativement à la position d'équilibre instable $\;x_{{\text{éq}},\,1}=0\;$ du pendule à tige horizontale, la justification de cette dernière correspondant aux trois forces « tension du ressort, poids de $\;M\;$ et réaction de la tige » colinéaires $\;{\big (}$suivant la verticale${\big )}\;$ n'est plus valable quand la tige est inclinée car la réaction de la tige et le poids de $\;M\;$ sont, par définition, de direction différente ; la raison du déplacement vers la droite de la position d'équilibre instable est que la composante du poids le long de la tige étant vers la gauche, il faut que la composante de la tension du ressort le long de la tige soit vers la droite et le ressort étant comprimé il est nécessaire que l'axe du ressort s'incline sur la $\;\perp \;$ à la tige dans le sens d'un déplacement de $\;M\;$ vers la droite  ;

     Ci-contre on y constate aussi que les positions d'équilibre stable $\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}\;$ et $\;{x'}_{{\text{éq}},\,g}\;$ du pendule à tige inclinée sur l'horizontale sont légèrement déplacées vers la gauche relativement à leur position d'équilibre stable correspondante $\;x_{{\text{éq}},\,d}\;$ et $\;x_{{\text{éq}},\,g}\;$ du pendule à tige horizontale, la justification de ces dernières étant l'absence de tension du ressort avec les deux autres forces « poids de $\;M\;$ et réaction de la tige » colinéaires $\;{\big (}$suivant la verticale${\big )}\;$ n'est plus valable quand la tige est inclinée car la réaction de la tige et le poids de $\;M\;$ sont, par définition, de direction différente ; la raison du déplacement vers la gauche de chaque position d'équilibre stable est que la composante du poids le long de la tige étant vers la gauche, il faut que la composante de la tension du ressort le long de la tige soit vers la droite soit
     Ci-contre $\succ \;$pour la position $\;{x'}_{{\text{éq}},\,d}\;$ correspondant à l'axe du ressort incliné sur la $\;\perp \;$ à la tige vers la droite la nécessité d'une légère compression du ressort par rapport à sa position à vide c.-à-d. d'un léger déplacement de $\;M\;$ vers la gauche et
     Ci-contre $\succ \;$pour la position $\;{x'}_{{\text{éq}},\,g}\;$ correspondant à l'axe du ressort incliné sur la perpendiculaire à la tige vers la gauche la nécessité d'un léger étirement du ressort par rapport à sa position à vide c.-à-d. d'un léger déplacement de $\;M\;$ vers la gauche .