Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques

Point se déplaçant sans frottement sur un plan horizontal tiré par un fil idéal vers un trou du plan

Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Schéma descriptif représentant un point $\;M\;$ glissant sans frottement sur un plan horizontal percé en $\;O$, le point étant tiré vers le trou par un fil idéal à l'extrémité duquel s'exerce une force telle que la longueur du fil tendu sur le plan horizontal soit une fonction affine du temps

     Sur un plan horizontal, percé d'un trou $\;O$, un point $\;M\;$ de masse $\;m\;$ se déplace sans frottements en étant lié à un fil idéal passant par le trou.

     On exerce sur l'extrémité de la portion de fil verticale une force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ de direction verticale et de sens descendant telle que la longueur de la portion horizontale tendue du fil soit $\;\Vert {\overrightarrow {OM}}(t)\Vert =l(t)=a-b\;t\;$ dans laquelle $\;a>0\;$ est la longueur initiale de la portion horizontale tendue du fil et $\;b>0\;$ la vitesse de descente de l'extrémité de la portion de fil verticale sur laquelle on exerce la force de traction $\;{\vec {T}}(t)$ ;

     on suppose que le mouvement de $\;M\;$ démarre avec une vitesse angulaire initiale $\;\omega _{0}$ $\;{\bigg [}$on utilisera le repérage polaire de $\;M\;$ dans le plan relativement au vecteur position initiale $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ choisi comme vecteur directeur de l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}$, l'angle polaire de $\;M\;$ étant $\;\theta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}(t)\right\rbrace }}\;$ et son rayon polaire $\;\Vert {\overrightarrow {OM}}(t)\Vert =l(t)$, la vitesse angulaire initiale étant définie selon $\;\omega _{0}={\dot {\theta }}(0){\bigg ]}$.

Détermination du mouvement du point M dans le plan horizontal

Détermination d'une intégrale 1^ère du mouvement de M sur le plan horizontal

     Par application de la r.f.d.n. au point matériel $\;M\;$ dans le référentiel lié au plan horizontal supposé galiléen, déterminer une intégrale 1^ère de son mouvement et

     en déduire la loi horaire de vitesse angulaire $\;\omega ={\dot {\theta }}(t)\;$ suivie par le point $\;M\;$ en fonction de $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;b\;$ et $\;t$.

Solution

Schéma descriptif représentant un point $\;M\;$ glissant sans frottement sur un plan horizontal percé en $\;O$, le point étant tiré vers le trou par un fil idéal à l'extrémité duquel s'exerce une force telle que la longueur du fil tendu sur le plan horizontal soit une fonction affine du temps, ajout des forces intervenant ainsi que des vecteurs de la base polaire liée à $\;M\;$

     Dans le référentiel lié au plan horizontal galiléen, le bilan des forces appliquées au point matériel $\;M\;$ est le suivant :

• son « poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire vertical descendant,
• la « réaction du plan sur le point $\;{\big [}\perp \;$ au plan par absence de frottement${\big ]}$ $\;{\vec {R}}=-R\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec $\;R=\Vert {\vec {R}}\Vert \;$ et
• la « force de tension du fil idéal exercée sur le point $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)=-{\mathcal {T}}\!(t)\;{\vec {u}}_{l}\;$» avec $\;{\vec {u}}_{l}\;$ le 1^er vecteur de la base polaire liée à $\;M\;$ et
     la « force de tension du fil idéal exercée sur le point $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)=-{\mathcal {T}}\!(t)\;{\vec {u}}_{l}}\;$» avec $\;{\mathcal {T}}\!(t)=\Vert {\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\Vert \;$ la tension du fil à l'instant $\;t$ ;

     on applique alors la r.f.d.n. à $\;M\;$ ce qui donne «$\;m\;{\vec {g}}+{\overrightarrow {\mathcal {T}}}(t)+{\vec {R}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» soit en projetant sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le 2^ème vecteur de la base polaire liée à $\;M\;$, «$\;0=m\;a_{M,\,\theta }(t)\;$ avec $\;a_{M,\,\theta }(t)\;$ accélération orthoradiale de $\;M\;$» soit finalement «$\;a_{M,\,\theta }(t)=0;$» ;

     utilisant la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale soit ici «$\;a_{M,\,\theta }(t)={\dfrac {1}{l(t)}}\;{\dfrac {d\!\left[l^{2}\;{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;$» $\;{\big [}$applicable si $\;l(t)\neq 0{\big ]}$, on en déduit «$\;{\dfrac {d\!\left[l^{2}\;{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)=0\;$» et en intégrant on obtient l'« intégrale 1^ère du mouvement cherchée $\;\left[l^{2}\;{\dot {\theta }}\right]\!(t)=cste\;$», valeur de constante que l'on détermine avec les « C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}l(0)=a\\{\dot {\theta }}(0)=\omega _{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit $\;cste=a^{2}\;\omega _{0}\;$ d'où
     la réécriture de l'« intégrale 1^ère du mouvement de $\;M\;$ selon $\;l^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=a^{2}\;\omega _{0}\;$» ;

     reportant l’expression de $\;l(t)=a-b\;t$ $\;{\big [}$c.-à-d. la loi horaire de rayon polaire du point${\big ]}\;$ dans l'intégrale 1^ère ci-dessus on en déduit la loi horaire de vitesse angulaire du point «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{\left(a-b\;t\right)^{2}}}\;$».

 

Détermination de la loi horaire d'angle polaire suivie par le point M sur le plan horizontal

     En intégrant la loi horaire de vitesse angulaire suivie par le point $\;\omega ={\dot {\theta }}(t)$, en déduire celle d'abscisse angulaire $\;\theta =\theta (t)\;$ en fonction de $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;b\;$ et $\;t$.

Solution

     L'intégration $\;{\big (}$simple prise de primitive${\big )}\;$ de «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{\left(a-b\;t\right)^{2}}}\;$» donne l’abscisse angulaire horaire «$\;\theta (t)={\dfrac {1}{b}}\;{\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{\left(a-b\;t\right)}}+cste\;$» , valeur de constante que l'on détermine par C.I. $\;\theta (0)$ $=0\;$ d’où $\;0={\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}+cste\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=-{\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}\;$ et par suite $\;\theta (t)={\dfrac {1}{b}}\;{\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{\left(a-b\;t\right)}}-{\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}={\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}\left({\dfrac {a}{a-b\;t}}-1\right)={\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}\;{\dfrac {b\;t}{a-b\;t}}\;$ soit finalement la loi horaire d'abscisse angulaire du mouvement du point $\;M\;$ «$\;\theta (t)={\dfrac {a\;\omega _{0}\;t}{a-b\;t}}\;$».

 

Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point sur le plan horizontal

     En éliminant $\;t\;$ entre la loi horaire d'abscisse angulaire $\;\theta =\theta (t)\;$ et celle du rayon polaire $\;l=l(t)\;$ du point $\;M$, en déduire l'équation polaire de la trajectoire de $\;M\;$ sur le plan horizontal
     En éliminant $\;\color {transparent}{t}\;$ entre la loi horaire d'abscisse angulaire $\;\color {transparent}{\theta =\theta (t)}\;$ et celle du rayon polaire $\;\color {transparent}{l=l(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}$, en déduire l'équation polaire «$\;l=l(\theta )\;$» en fonction de $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;b\;$ et $\;\theta$ ;

     En éliminant $\;\color {transparent}{t}\;$ entre la loi horaire d'abscisse angulaire $\;\color {transparent}{\theta =\theta (t)}\;$ et celle du rayon polaire $\;\color {transparent}{l=l(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}$, en déduire l'équation polaire préciser la nature de la trajectoire de $\;M$.

Solution

     En éliminant $\;t\;$ entre la loi horaire d'abscisse angulaire «$\;\theta ={\dfrac {a\;\omega _{0}\;t}{a-b\;t}}\;$» et celle du rayon polaire «$\;l=a-b\;t\;$» du point $\;M$, on obtient $\;t={\dfrac {a-l}{b}}\;$ que l'on reporte dans l'autre loi $\;\theta ={\dfrac {a\;\omega _{0}}{l}}\;{\dfrac {a-l}{b}}\;$ soit l'équation polaire suivante «$\;\theta ={\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}\left({\dfrac {a}{l}}-1\right)\;$» de la trajectoire ou, de façon à inverser l'équation, $\;{\dfrac {a}{l}}=1+{\dfrac {b}{a\;\omega _{0}}}\;\theta \;$ et finalement la réécriture de l'équation polaire de la trajectoire selon «$\;l={\dfrac {a}{1+{\dfrac {b\;\theta }{a\;\omega _{0}}}}}\;$», équation d'une spirale hyperbolique .

 

Détermination, par deux façons différentes, du travail de la force de traction exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal en fonction de la longueur l₁ de la portion horizontale du fil

1^ère méthode par calcul direct

     Déterminer la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ en lui appliquant la r.f.d.n. en fonction de $\;m$, $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;l(t)\;$ et le 1^er vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{l}\;$ lié au point puis

     en déduire la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal $\;{\big [}$on orientera cette portion par un vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical descendant ${\big ]}$ en poursuivant par

     en déduire l'évaluation de son travail élémentaire $\;\delta W({\vec {T}})\;$ en fonction de $\;m$, $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;l\;$ et le déplacement élémentaire de l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil $\;dz_{N}=-dl>0\;$ et enfin

     en déduire l'expression de son travail entre la position initiale et celle correspondant à une longueur $\;l_{1}\;$ de portion horizontale du fil en fonction de $\;m$, $\;\omega _{0}$, $\;a\;$ et $\;l_{1}$.

Solution

     Par projection de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ sur le 1^er vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{l}\;$ lié au point $\;M\;$, on obtient «$\;-{\mathcal {T}}\!(t)=m\;a_{M,\,l}(t)\;$» avec $\;a_{M,\,l}(t)={\cancel {{\ddot {l}}(t)}}\;-l(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ soit,
               Par projection de la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le 1^er vecteur de base polaire $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{l}}\;$ lié au point $\;\color {transparent}{M}\;$, on obtient $\;{\mathcal {T}}\!(t)=m\;l(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=m\left(a-b\;t\right){\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left(a-b\;t\right)^{4}}}=m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left(a-b\;t\right)^{3}}}\;$ d'où l'expression de la force de tension du fil s'exerçant sur le point $\;M\;$ en fonction de $\;l(t)\;$ entre autres
«$\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)=-m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;{\vec {u}}_{l}\;$» ;

     sachant que la tension d'un fil idéal est uniforme le long du fil , on en déduit que la force de tension que l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil exerce sur l'opérateur
                      sachant que la tension d'un fil idéal est uniforme le long du fil, on en déduit que la force de tension est également de norme égale à la tension du fil $\;{\mathcal {T}}\;$ et par principe des actions réciproques ,
     sachant que la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil s'écrit «$\;{\vec {T}}(t)={\mathcal {T}}\!(t)\;{\vec {u}}_{z}=m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$»
     sachant que la force de traction $\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)}\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;\color {transparent}{N}\;$ de la portion verticale du fil s'écrit « dans laquelle le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ est vertical descendant ;

     $\;\succ \;$son travail élémentaire $\;\delta W({\vec {T}})\;$ étant défini par «$\;\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}(t)\cdot {\overrightarrow {dN}}\;$» avec $\;N\;$ l'extrémité libre de la portion verticale du fil à l'instant $\;t\;$ et
          $\;\color {transparent}{\succ }\;$son travail élémentaire $\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})}\;$ étant défini par «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}(t)\cdot {\overrightarrow {dN}}}\;$» avec $\;{\overrightarrow {dN}}\;$ son vecteur déplacement élémentaire égal à $\;{\overrightarrow {dN}}=dz_{N}\;{\vec {u}}_{z}=-dl\;{\vec {u}}_{z}\;$
           $\;\color {transparent}{\succ }\;$son travail élémentaire $\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})}\;$ étant défini par «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}(t)\cdot {\overrightarrow {dN}}}\;$» $\Rightarrow$ le travail élémentaire de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil
           $\;\color {transparent}{\succ }\;$son travail élémentaire $\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})}\;$ étant défini par «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}(t)\cdot {\overrightarrow {dN}}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le travail élémentaire de la force de traction $\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)}\;$ «$\;\delta W({\vec {T}})=-m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{l^{3}}}\;dl\;$» d'où

     $\;\succ \;$le travail de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil entre les instants initial et $\;t_{1}\;$ ${\big (}$associé à une portion horizontale de fil tendu de longueur $\;l_{1}{\big )}$
     $\;\color {transparent}{\succ }\;$le travail de la force de traction $\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)}\;$ «$\;W_{l(0)\,\rightarrow \,l(t_{1})}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{a}^{l_{1}}m\;a^{4}\;\omega _{0}^{2}\;{\dfrac {-dl}{l^{3}}}\;$» ou «$\;W_{l(0)\,\rightarrow \,l(t_{1})}({\vec {T}})=m\;a^{4}\;\omega _{0}^{2}\left[{\dfrac {1}{2\;l^{2}}}\right]_{a}^{l_{1}}\;$» soit «$\;W_{l(0)\,\rightarrow \,l(t_{1})}({\vec {T}})={\dfrac {m\;a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {1}{l_{1}^{2}}}-{\dfrac {1}{a^{2}}}\right)\;$» et finalement
     $\;\color {transparent}{\succ }\;$le travail de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur entre l'instant initial et l'instant $\;t_{1}\;$ tel que $\;l(t_{1})=l_{1}\;$ vaut «$\;W_{l(0)\,\rightarrow \,l(t_{1})}({\vec {T}})={\dfrac {m\;a^{2}\;\omega _{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {a^{2}}{l_{1}^{2}}}-1\right)>0\;$».

 

2^ème méthode par utilisation du théorème de l'énergie cinétique

     Comme dans la « méthode précédente » on détermine la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$
     Comme dans la « méthode précédente » on détermine la force de tension du fil $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)}\;$ en lui appliquant la r.f.d.n. en fonction de $\;m$, $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;l(t)\;$ et
          Comme dans la « méthode précédente » on détermine la force de tension du fil $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)}\;$ en lui appliquant la r.f.d.n. en fonction de le 1^er vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{l}\;$ lié au point puis

     Comme dans la « méthode précédente » on en déduit la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal
     Comme dans la « méthode précédente » on en déduit la force de traction $\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)}\;$ ${\big [}$en orientant cette portion par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical descendant ${\big ]}$ ;

     remarquant que les travaux $\;{\big (}$élémentaires ou non${\big )}\;$ de la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ et
     remarquant que les travaux $\;\color {transparent}{\big (}$élémentaires ou non$\color {transparent}{\big )}\;$ de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal
     remarquant que les travaux $\;\color {transparent}{\big (}$élémentaires ou non$\color {transparent}{\big )}\;$ sont égaux $\;{\big (}$à justifier${\big )}$, on peut calculer le travail de cette dernière force par l'intermédiaire de celui de la 1^ère force ;

     remarquant déterminer le travail de la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ entre la position initiale et celle correspondant à une longueur $\;l_{1}\;$ de portion horizontale du fil
     remarquant déterminer le travail de la force de tension du fil $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)}\;$ par application du théorème de l'énergie cinétique au point $\;M\;$ entre ces états extrêmes et

     remarquant vérifier, compte-tenu de l'identification de ce travail avec celui de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal ,
     remarquant vérifier que l'on obtient le même résultat qu'avec la 1^ère méthode.

Solution

     L'expression de la force de tension du fil s'exerçant sur le point $\;M\;$ en fonction de $\;l(t)\;$ entre autres a déjà été déterminée «$\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)=-m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;{\vec {u}}_{l}\;$» , de même

                 celle de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil idéal «$\;{\vec {T}}(t)={\mathcal {T}}\!(t)\;{\vec {u}}_{z}=m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire vertical $\;\downarrow$ ;

     les travaux $\;{\big (}$élémentaires ou non${\big )}\;$ de la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ et
     les travaux $\;\color {transparent}{\big (}$élémentaires ou non$\color {transparent}{\big )}\;$ de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil idéal
     les travaux $\;\color {transparent}{\big (}$élémentaires ou non$\color {transparent}{\big )}\;$ sont égaux $\;{\big (}$en effet ils sont tous deux moteurs avec une même projection de force sur leur direction respective de déplacement et un même déplacement ${\big )}$, plus précisément
     les travaux $\;\color {transparent}{\big (}$élémentaires ou non$\color {transparent}{\big )}\;$ «$\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}{\vec {T}}\cdot {\overrightarrow {dN}}=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;dz_{N}=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;(-dl)\;$ $=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}-m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;dl=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})\;$» ;

     l'évaluation de $\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point $\;M\;$ entre l'état initial $\;{\big [}$de vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{\!M}(0)=$ $-b\;{\vec {u}}_{l}+a\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$${\big ]}\;$ et
          l'évaluation de $\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point $\;\color {transparent}{M}\;$ entre l'état final où la longueur de portion horizontale du fil vaut $\;l_{1}$ $\;{\bigg [}$de vecteur vitesse
          l'évaluation de $\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point $\;\color {transparent}{M}\;$ entre l'état final $\;{\vec {V}}_{\!M}(t_{1})=-b\;{\vec {u}}_{l}+l_{1}\;{\dot {\theta }}(t_{1})\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ $=-b\;{\vec {u}}_{l}+{\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{l_{1}}}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$${\bigg ]}\;$ d'où,
          l'évaluation de $\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point $\;\color {transparent}{M}\;$ en remarquant que seule $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ travaille ,
     l'évaluation de $\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique «$\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})\;{\cancel {+\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}(m\;{\vec {g}})}}{\cancel {+\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {R}})}}\;={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t_{1})-{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(0)\;$ ou
     l'évaluation de $\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique «$\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})={\dfrac {1}{2}}\;m\left[\left(-b\right)^{2}+\left({\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{l_{1}}}\right)^{2}\right]-{\dfrac {1}{2}}\;m\left[\left(-b\right)^{2}+\left(a\;\omega _{0}\right)^{2}\right]\;$» et, après simplification,
     l'évaluation de $\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique l'expression du travail de la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$
     l'évaluation de $\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique l'expression du travail de la force de tension du fil entre les positions initiale et finale correspondant à $\;l(t_{1})=l_{1}\;$
     l'évaluation de $\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique l'expression du travail de la force de tension du fil «$\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})={\dfrac {m\;a^{2}\;\omega _{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {a^{2}}{l_{1}^{2}}}-1\right)>0\;$» ;

     finalement, compte-tenu de «$\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {T}})=W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})\;$» $\Rightarrow$ l'expression du travail de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil idéal
     finalement, compte-tenu de «$\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {T}})=W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'expression du travail de la force de traction $\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)}\;$ entre les positions initiale et finale correspondant à $\;l(t_{1})=l_{1}\;$
     finalement, compte-tenu de «$\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {T}})=W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'expression du travail de la force de traction $\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)}\;$ «$\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {T}})={\dfrac {m\;a^{2}\;\omega _{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {a^{2}}{l_{1}^{2}}}-1\right)>0\;$» c.-à-d.
     finalement, compte-tenu de «$\;\color {transparent}{W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {T}})=W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'expression du travail de la force de traction $\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)}\;$ la même expression que celle trouvée par la 1^ère méthode de détermination directe .

 

Glissement sans (puis avec) frottements solides d'un point matériel lancé à partir du « sommet » d'une boule

Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.

     Un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, soumis au champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ supposé uniforme, glisse sur la surface d'une boule de rayon $\;a\;$ et de centre $\;O$ ;

     nous considérons d'abord l'absence de frottement solide entre le point et la boule puis,

     nous considérons dans un 2^nd temps l'existence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs $\;f\;$ ;

     le point $\;M\;$ est lancé avec une vitesse initiale horizontale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ d'une position $\;M_{0}\;$ située au « sommet » de la boule et

     le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est repéré relativement au repère cartésien $\;\left\lbrace M_{0}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}x}}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}y}}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}z}}\right\rbrace \;$ associé au référentiel d'étude supposé galiléen dans lequel la boule est fixe,
        le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement $\blacktriangleright \;$«$\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ vertical descendant orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
        le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement $\blacktriangleright \;$«$\;{\overrightarrow {M_{0}x}}\;$ horizontal, support du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{x}\;$
        le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{\overrightarrow {M_{0}x}}\;$ horizontal, support du vecteur vitesse initiale $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}}\;$ et orienté par choisi dans le sens de $\;{\vec {V}}_{0}\;$» et
        le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement $\blacktriangleright \;$«$\;{\overrightarrow {M_{0}y}}\;$ horizontal, $\;\perp \;$ au plan vertical de lancement et orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}\;$ de sens tel que
        le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{\overrightarrow {M_{0}y}}\;$ horizontal, $\;\color {transparent}{\perp }\;$ au plan vertical de lancement et la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ est directe »  ;

     la direction de la normale à la boule au point $\;M\;$ est repérée par rapport à celle en la position $\;M_{0}\;$ par l'angle «$\;{\widehat {M_{0}OM}}=\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$».

Établissement de la nature plane du mouvement du point en absence de frottement solide et maintien de contact

     Montrer que le mouvement du point $\;M\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan tant que son contact avec cette dernière est maintenu
     Montrer que le mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan${\big [}$pour cela en repérant le point $\;M\;$ sur la boule par ses coordonnées cylindro-polaires d'« axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$»
      Montrer que le mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence $\;xM_{0}z\;$», les coordonnées cylindro-polaires de $\;M\;$
     Montrer que le mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence $\;\color {transparent}{xM_{0}z}\;$», $\;\left\lbrace \rho =a\;\sin(\theta )\,,\,\varphi \,,\,z=a\;\cos(\theta )\right\rbrace \;$ ainsi que
      Montrer que le mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence $\;\color {transparent}{xM_{0}z}\;$», la base cylindro-polaire directe liée à $\;M\;$
     Montrer que le mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence $\;\color {transparent}{xM_{0}z}\;$», $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\,,\\{\vec {u}}_{\varphi }=\cos \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{y}\,,\\{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace$,

      Montrer que le mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela il est judicieux d'appliquer la r.f.d.n. à $\;M\;$ restant en contact avec la boule,
      Montrer que le mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela pour établir que le demi-plan méridien contenant $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est le méridien de référence à savoir
      Montrer que le mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela pour établir «$\;\varphi (t)=0\;$»${\big ]}$ et par suite

     montrer que la trajectoire de $\;M$, tant que son contact avec la boule est maintenu, est circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$.

Solution

Schéma d'un point $\;M\;$ lancé horizontalement du sommet $\;M_{O}\;$ d'une boule de centre $\;O$, avec représentation des forces appliquées à $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ et utilisation de la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ d'axe $\;(M_{O}O)\;$ et de méridien de référence $\;(xM_{0}z)\;$ contenant le vecteur vitesse initiale du point pour établir la nature plane de son mouvement sur la boule en cas de maintien du contact entre les deux

     Voir ci-contre la base locale cylindro-polaire $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }=\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }=\cos \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ d’axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ liée à $\;M\;$ de coordonnées $\;\left\lbrace \rho =a\;\sin(\theta )\,,\,\varphi \,,\,z=a\;\cos(\theta )\right\rbrace \;$ avec $\;\theta ={\widehat {M_{0}OM}}\;$ $\;{\big (}$non représenté ci-contre${\big )}$ ;

     les seules forces s'exerçant sur le point $\;M\;$ quand il est au contact de la boule à l'instant $\;t\;$ sont :

• son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant soit «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
• la réaction de la boule $\;{\vec {R}}(t)\;$ normale à celle-ci en absence de frottements solides et de sens opposé à la pénétration possible du point $\;M\;$ soit «$\;{\vec {R}}(t)=$ $R_{x\,y}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+R_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}=R(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\rho }-R(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{z}\;$» dans lequel $\;R(t)=\Vert {\vec {R}}(t)\Vert$ ;

     appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre lié à la boule, référentiel supposé galiléen $\;{\mathcal {R}}$, quand le contact entre le point et la boule est maintenu soit «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» et la projetant sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ nous obtenons «$\;0+0=m\;a_{\varphi }(t)\;$» d'où «$\;a_{\varphi }(t)=0\;$» ;

     or, dans la mesure où $\;\rho (t)\;$ est $\;\neq 0\;$, l'accélération orthoradiale s'écrit aussi $\;a_{\varphi }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\left[\rho ^{2}\;{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$ ${\big (}$c.-à-d. sa forme semi-intégrée ${\big )}\;$ d’où «$\;a_{\varphi }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\left[\rho ^{2}\;{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)=0\;$» s'intégrant en «$\;\rho ^{2}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)=cste\;$», cste se déterminant par C.I. $\;V_{\varphi }(0^{+})=0\;$ avec $\;V_{\varphi }(t)=$ $\rho (t)\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ d'où «$\;V_{\varphi }(0^{+})=\rho (0^{+})\;{\dot {\varphi }}(0^{+})=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\rho ^{2}(0^{+})\;{\dot {\varphi }}(0^{+})=\rho (0^{+})\left[\rho (0^{+})\;{\dot {\varphi }}(0^{+})\right]=0=cste\;$» $\Rightarrow$ «$\;\rho ^{2}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t>0\;$» dont on déduit, pour $\;\rho (t)\neq 0\;$, «$\;{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t>0\;$» ;

     une 2^ème intégration temporelle donne «$\;\varphi (t)=cste',\;\;\forall \;t>0\;$» ou, le vecteur position étant toujours continu , «$\;\varphi (t)=cste',\;\;\forall \;t\geqslant 0\;$», la valeur de $\;cste'\;$ se déterminant par C.I. $\;\varphi (0)=0\;$ d'où «$\;cste'$ $=0\;$» et par suite «$\;\varphi (t)=0,\;\;\forall \;t\geqslant 0\;$» correspondant au fait que le mouvement de $\;M\;$ se fait, dans la mesure où le contact entre le point et la boule est maintenu, dans le plan $\;xM_{0}z\;$ ou,
la trajectoire de $\;M\;$ étant l’intersection de ce plan et de la surface de la boule,
le mouvement de $\;M\;$ est circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ tant que le contact entre le point et la boule est maintenu.

 

Établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ₁ repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point

     Déterminer, tant que $\;M\;$ reste en contact avec la boule, par application successive, au point $\;M$, de la r.f.d.n. puis
     Déterminer, tant que $\;\color {transparent}{M}\;$ reste en contact avec la boule, par application successive, au point $\;\color {transparent}{M}$, du théorème de l'énergie cinétique entre la position initiale et celle à l'instant $\;t\;$,
     Déterminer, l'expression de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la boule sur le point $\;M$ ;

     en déduire alors l'existence d'une position de rupture de contact $\;M_{1}\;$ du point $\;M\;$ avec la boule ainsi que

     en déduire alors la valeur de l'angle repérant cette position $\;\theta _{1}={\widehat {M_{0}OM_{1}}}\;$ en fonction de $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert$.

     Pour quelles valeurs de $\;V_{0}\;$ le contact du point $\;M\;$ avec la boule disparaît-il dès la position initiale $\;M_{0}\;$ ?

Solution

Schéma d'un point $\;M\;$ lancé horizontalement du sommet $\;M_{O}\;$ d'une boule de centre $\;O$, avec représentation des forces appliquées à $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ et utilisation de la base de Frenet liée à $\;M\;$ pour déterminer la position de rupture de contact entre le point et la boule

     On utilise le repérage de Frenet $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ $\;{\bigg [}$repérage polaire d'axe polaire $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}=-{\vec {n}}\\{\vec {u}}_{\theta }={\vec {\tau }}\end{array}}\right\rbrace \;$ aussi possible${\bigg ]}\;$ puis,
     on applique la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la boule, avec contact entre $\;M\;$ et la boule maintenu «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» et
     pour déterminer la norme de la réaction $\;R(t)=\Vert {\vec {R}}(t)\Vert \;$ de la boule sur $\;M\;$ on projette la r.f.d.n. sur $\;{\vec {n}}\;$ «$\;-R(t)+m\;g\;cos\!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{n,\,M}(t)\;$» dans laquelle $\;a_{n,\,M}(t)\;$ est l'accélération normale du point $\;M\;$ égale à «$\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{a}}\;$» où $\;v_{M}(t)\;$ est la vitesse instantanée du point dans son mouvement circulaire de rayon $\;a\;$ d'où «$\;R(t)=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{a}}\right\rbrace \;$» $\;{\big [}M\;$ restant sur la surface de la boule tant que $\;R(t)\;$ est$\;>0{\big ]}$ ;

     on applique à $\;M$, dans l’hypothèse de contact maintenu, le théorème de l’énergie cinétique entre $\;M_{0}\;$ et $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le but de déterminer le carré de la vitesse instantanée $\;v_{M}^{2}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t$, «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}=W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\;{\cancel {+W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]}}\;$» avec le travail du poids «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=\displaystyle \int _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}m\;g\;{\vec {u}}_{z}\cdot {\overrightarrow {dM'}}\;$ $=\displaystyle \int _{\theta '\,=\,0}^{\theta '\,=\,\theta (t)}m\;g\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left[a\;d\theta '\;{\vec {\tau }}'\right]\;$» ou, avec «$\;{\vec {u}}_{z}=\sin(\theta )\;{\vec {\tau }}+\cos(\theta )\;{\vec {n}}\;$» $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=\displaystyle \int _{\theta '\,=\,0}^{\theta '\,=\,\theta (t)}m\;g\;\sin(\theta ')\;a\;d\theta '=\left[-m\;g\;a\;\cos(\theta ')\right]_{0}^{\theta (t)}\;$» soit enfin «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=m\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» et, par report dans l'application du théorème de l'énergie cinétique , «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}=m\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» on en déduit «$\;v_{M}^{2}(t)=$ $V_{0}^{2}+2\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$»  ;

     reportant cette expression dans celle de $\;R(t)\;$ précédemment établie, on obtient «$\;R(t)=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {V_{0}^{2}+2\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{a}}\right\rbrace \;$» soit encore, après simplification, «$\;R(t)=m\left\lbrace 3\;g\;cos\!\left[\theta (t)\right]-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}\right\rbrace \;$» avec $\;{\vec {R}}(t)=-R(t)\;{\vec {n}}$ $\;{\big \{}$par la suite nous écrirons $\;{\vec {R}}(\theta )=-R(\theta )\;{\vec {n}}$ par abus ${\big \}}$.

     Le contact de $\;M\;$ sur la boule en la position initiale $\;M_{0}\;$ se traduisant par «$\;R(\theta =0)>0\;$» se réécrit «$\;R(\theta =0)=m\left[3\;g\;cos(0)-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}\right]=m\left[g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}\right]>0\;$» vrai si «$\;V_{0}<{\sqrt {g\;a}}\;$» ;

     aussi, en supposant le contact entre $\;M\;$ et la boule maintenu à l'instant $\;t$, la « C.N. $\;{\big (}$mais non S. ${\big )}\;$ sur la vitesse initiale pour qu'il en soit ainsi est $\;V_{0}<{\sqrt {g\;a}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;R(\theta )>0\;$ pour $\;\theta =0\;$» et,
     aussi, en supposant le contact entre $\;\color {transparent}{M}\;$ et la boule maintenu à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, comme «$\;R(\theta )=m\left[3\;g\;cos(\theta )-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}\right]\;$ est une fonction strictement $\;\searrow \;$ de $\;\theta \;$» de valeur minimale sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$ égale à
     aussi, en supposant le contact entre $\;\color {transparent}{M}\;$ et la boule maintenu à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, comme «$\;R(\pi )=m\left[3\;g\;cos(\pi )-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}\right]=-m\left[5\;g+{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}\right]<0\;$», on en déduit, d'après le théorème de Bolzano ,
     aussi, en supposant le contact entre $\;\color {transparent}{M}\;$ et la boule maintenu à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, l'existence d'une position unique de rupture $\;M_{1}\;$ définie par l'angle $\;\theta _{1}={\widehat {M_{0}OM_{1}}}\;$ tel que «$\;R(\theta _{1})=0\;$» soit
          aussi, en supposant le contact entre $\;\color {transparent}{M}\;$ et la boule maintenu à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, l'existence d'une position unique de rupture $\;\color {transparent}{M_{1}}\;$ définie par l'angle $\;\color {transparent}{\theta _{1}={\widehat {M_{0}OM_{1}}}}\;$ tel que «$\;m\left[3\;g\;cos(\theta _{1})-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}\right]=0\;$»
     aussi, en supposant le contact entre $\;\color {transparent}{M}\;$ et la boule maintenu à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, dont on déduit la valeur de l'angle de rupture «$\;\theta _{1}=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {V_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]\leqslant \arccos \left({\dfrac {2}{3}}\right)\simeq 48,2\;{\text{°}}\;$» .

     Le contact de $\;M\;$ avec la boule disparaît dès $\;M_{0}\;$ si $\;V_{0}\geqslant {\sqrt {g\;a}}\;$ .

 

Étude du mouvement ultérieur du point après sa rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux

     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale où le contact du point $\;M\;$ avec la boule est rompu pour $\;\theta _{1}(V_{0})\neq 0$, nous pouvons affirmer que
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale le point $\;M\;$ décolle de la boule en la position $\;M_{1}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{1}$ ;

     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale préciser la nature du mouvement ultérieur du point
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale préciser ${\big [}$il est judicieux de changer d'origine des temps en prenant pour celle-ci l'instant $\;t_{1}\;$ de décollage de $\;M\;$ de la boule ${\big ]}$, en particulier
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter $\blacktriangleright \;$la norme $\;V_{1}\;$ et l'angle d'inclinaison $\;\alpha _{1}\;$ relativement à l'horizontale du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{1}$,
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter $\blacktriangleright \;$les coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{1}\,,\,y_{1}\,,\,z_{1}\right)\;$ de $\;M_{1}$,
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter $\blacktriangleright \;$les lois horaires cartésiennes de vitesse et de position du mouvement ultérieur de $\;M\;$ et
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter $\blacktriangleright \;$l'équation permettant de calculer la portée $\;x_{B}\;$ de l'impact $\;B\;$ du point $\;M\;$ avec le sol horizontal sur lequel repose la boule $\;{\big [}$on donnera cette équation sans chercher à la résoudre mais on précisera quelle solution choisir dans la mesure où il y en aurait plusieurs${\big ]}$.

Solution

Schéma d'un point $\;M\;$ lancé horizontalement du sommet $\;M_{O}\;$ d'une boule de centre $\;O$, avec rupture de contact en $\;M_{1}\;$ repéré par $\;\theta _{1}\;$ et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture

     Si $\;V_{0}<{\sqrt {g\;a}}$, le point $\;M\;$ quitte la surface de la boule en «$\;M_{l}\left\lbrace x_{1}=a\;\sin(\theta _{1})\;,\;y_{1}=0\;,\;z_{1}=a\left[1-\cos(\theta _{1})\right]\right\rbrace \;$» dans lequel «$\;\theta _{1}$ $=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {V_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]\;$» avec une vitesse de norme «$\;V_{1}={\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\;a\left[1-\cos(\theta _{1})\right]}}\;$ $={\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\;a\left[1-{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]}}\;$» soit finalement «$\;V_{1}={\sqrt {\dfrac {V_{0}^{2}+2\;g\;a}{3}}}\;$» et de direction inclinée de «$\;\alpha _{1}=\theta _{1}\;$» vers le bas sur l’horizontale $\;{\Bigg [}$voir schéma ci-contre avec $\;V_{0}=$ ${\sqrt {\dfrac {g\;a}{2}}}\;$ conduisant à $\;\alpha _{1}=\theta _{1}=\arccos \left({\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {1}{6}}\right)=\arccos \left({\dfrac {5}{6}}\right)\simeq 33,6\;{\text{°}}\;$ et à $\;V_{1}=$ ${\sqrt {\dfrac {0,5\;g\;a+2\;g\;a}{3}}}={\sqrt {\dfrac {5\;g\;a}{6}}}{\Bigg ]}$ ;

     le mouvement ultérieur de $\;M\;$ étant un mouvement de chute libre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, on en déduit ses lois horaires de vitesse et de position en choisissant comme nouvelle origine des temps l'instant $\;t_{1}\;$ où $\;M\;$ décolle de la surface de la boule c.-à-d. $\;t'=t-t_{1}$ d'où :

• lois horaires de vitesse «$\;{\vec {V}}_{M}(t')\left\lbrace V_{x}(t')=V_{1}\;\cos(\alpha _{1})\;,\;V_{y}(t')=0\;,\;V_{z}(t')=g\;t'+V_{1}\;\sin(\alpha _{1})\right\rbrace \;$» et
• lois horaires de position «$\;{\overrightarrow {M_{1}M}}(t')\left\lbrace x(t')=V_{1}\;\cos(\alpha _{1})\;t'+x_{1},\;y(t')=0\;,\;z(t')={\dfrac {1}{2}}\;g\;{t'}^{2}+V_{1}\;\sin(\alpha _{1})\;t'+z_{1}\right\rbrace$» lesquelles sont aussi les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire de $\;M\;$ correspondant à la portion de parabole du demi-plan méridien tangent au demi-cercle méridien de la surface de la boule en $\;M_{1}$.

Schéma d'un point $\;M\;$ lâché sans vitesse initiale du sommet $\;M_{O}\;$ d'une boule de centre $\;O$, avec rupture de contact en $\;M_{1}\;$ repéré par $\;\theta _{1}\;$ et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture

Schéma d'un point $\;M\;$ lancé horizontalement du sommet $\;M_{O}\;$ d'une boule de centre $\;O$, avec une vitesse initiale minimale pour que la rupture de contact se fasse dès le sommet $\;M_{O}\;$ et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture

Schéma d'un point $\;M\;$ lancé horizontalement du sommet $\;M_{0}\;$ d'une boule de centre $\;O$, avec trois vitesses initiales différentes donnant trois positions différentes de rupture de contact $\;M_{1}\;$ repéré par $\;\theta _{1}\;$ et tracé des trois trajectoires de chute libre après rupture

     Le point $\;M\;$ heurtant le sol horizontal sur lequel repose la boule en la position $\;B\;$ d'abscisse $\;x_{B}\;$, solution de $\;z(x)=2\;a\;$ dans laquelle $\;z=z(x)\;$ est l'équation cartésienne de la trajectoire de $\;M\;$ dans le demi-plan méridien, équation obtenue en éliminant $\;t'\;$ entre $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t')=V_{1}\;\cos(\alpha _{1})\;t'+x_{1}\\z(t')={\dfrac {1}{2}}\;g\;{t'}^{2}+V_{1}\;\sin(\alpha _{1})\;t'+z_{1}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t'={\dfrac {x-x_{1}}{V_{1}\;\cos(\alpha _{1})}}\\z={\dfrac {1}{2}}\;g\left[{\dfrac {x-x_{1}}{V_{1}\;\cos(\alpha _{1})}}\right]^{2}+V_{1}\;\sin(\alpha _{1})\;{\dfrac {x-x_{1}}{V_{1}\;\cos(\alpha _{1})}}+z_{1}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;z=$ ${\dfrac {g}{2\;V_{1}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{1})}}\left[x-x_{1}\right]^{2}+\tan(\alpha _{1})\left[x-x_{1}\right]+z_{1}$, équation cartésienne se réécrivant avec $\;V_{1}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{1})={\dfrac {V_{0}^{2}+2\;g\;a}{3}}\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {V_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]^{2}$ $={\dfrac {\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}{27\;g^{2}\;a^{2}}}\;$ et $\;\tan(\alpha _{1})={\sqrt {\left[1+\tan ^{2}(\alpha _{1})\right]-1}}={\sqrt {{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha _{1})}}-1}}={\sqrt {{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {V_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]^{2}}}-1}}={\sqrt {{\dfrac {9\;g^{2}\;a^{2}}{\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}-1}}=$ ${\dfrac {\sqrt {9\;g^{2}\;a^{2}-\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}={\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}\;$ d'où finalement l'équation cartésienne suivante «$\;z={\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\left[x-x_{1}\right]^{2}+{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}\left[x-x_{1}\right]+z_{1}\;$»,      dont on tire l'équation algébrique définissant la portée $\;x_{B}$, équation du 2^ème degré en $\;x_{B}\;$ ou en $\;x_{B}-x_{1}$ «$\;{\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\left[x_{B}-x_{1}\right]^{2}+{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}\left[x_{B}-x_{1}\right]-\left[2\;a-z_{1}\right]=0\;$» ;

     le discriminant de cette équation du 2^ème degré «$\;\Delta =\left[{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}\right]^{2}+4\;{\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\left[2\;a-z_{1}\right]\;$ étant clairement $\;>0\;$» compte-tenu de la positivité de $\;2\;a-z_{1}$, l'équation a donc deux solutions réelles distinctes de signe contraire, « leur produit égal à $\;{\dfrac {-\left[2\;a-z_{1}\right]}{\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}}\;$ étant en effet $\;<0\;$», on retient donc la solution $\;>0\;\ldots$

     Exposé$\;{\big (}$non demandé${\big )}\;$de la résolution : on peut réécrire le discriminant à l'aide de «$\;2\;a-z_{1}=2\;a-a\left[1-\cos(\theta _{1})\right]=a\left[1+\cos(\theta _{1})\right]$ $=a\left[1+\left({\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {V_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right)\right]=a\;{\dfrac {5\;g\;a+V_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\;$» d'où $\;\Delta \;$ se réécrit selon «$\;\Delta ={\dfrac {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}{\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}+{\dfrac {54\;g^{3}\;a^{2}}{\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\left[2\;a-z_{1}\right]$ $={\dfrac {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}{\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}+{\dfrac {18\;g^{2}\;a^{2}\left(5\;g\;a+V_{0}^{2}\right)}{\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}=$ $\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right){\dfrac {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+2\;g\;a\right)+18\;g^{2}\;a^{2}}{\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\;$» et par suite «$\;x_{B}-x_{1}$ $={\dfrac {{\sqrt {\Delta }}-{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}}{2\;{\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}}}\;$» ou, en explicitant le discriminant $\;\Delta \;$ de l'équation du 2^ème degré en $\;x_{B}-x_{1}$, «$\;x_{B}-x_{1}=$ $\left[{\sqrt {\dfrac {V_{0}^{2}+5\;g\;a}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}}\;{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+2\;g\;a\right)+18\;g^{2}\;a^{2}}}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}-{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}\right]{\dfrac {\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}\;$» soit finalement «$\;x_{B}-x_{1}=\left[{\sqrt {\dfrac {V_{0}^{2}+5\;g\;a}{V_{0}^{2}+2\;g\;a}}}\;{\sqrt {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+2\;g\;a\right)+18\;g^{2}\;a^{2}}}-{\sqrt {\left(g\;a-V_{0}^{2}\right)\left(V_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}\right]{\dfrac {\left[V_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}\;$» ;

     Exposé$\;\color {transparent}{\big (}$non demandé$\color {transparent}{\big )}\;$de la résolution : on vérifie la portée sur les trajectoires du point $\;M\;$ après rupture de contact avec la surface de la boule représentées dans trois cas de vitesses initiales différentes :

• d'abord «$\;V_{0}={\sqrt {\dfrac {g\;a}{2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\theta _{1}=\arccos \left({\dfrac {5}{6}}\right)\simeq 33,6\;{\text{°}}\;$» et «$\;V_{1}={\sqrt {\dfrac {5\;g\;a}{6}}}\;$» correspondant au 1^er schéma où la trajectoire après rupture est représentée en magenta, on trouve «$\;x_{B}-x_{1}=\left[{\sqrt {\dfrac {11}{5}}}\;{\sqrt {{\dfrac {5}{4}}\;g^{2}\;a^{2}+18\;g^{2}\;a^{2}}}-{\sqrt {{\dfrac {11}{4}}\;g^{2}\;a^{2}}}\right]{\dfrac {\left[{\dfrac {5}{2}}\;g\;a\right]^{2}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}=$ $\left[{\sqrt {\dfrac {11}{5}}}\;{\sqrt {\dfrac {77}{4}}}-{\sqrt {\dfrac {11}{4}}}\right]{\dfrac {25\;a}{108}}={\dfrac {25\;{\sqrt {11}}\;a}{216}}\left[{\sqrt {\dfrac {77}{5}}}-1\right]\simeq 1,123\;a\;$» d'où, avec «$\;x_{1}=a\;\sin(\theta _{1})\simeq a\;\sin(33,6\,{\text{°}})\simeq 0,553\;$», la portée cherchée «$\;x_{B}\simeq 1,676\;a\;$»,
• ensuite «$\;V_{0}=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\theta _{1}=\arccos \left({\dfrac {2}{3}}\right)\simeq 48,2\;{\text{°}}\;$» et «$\;V_{1}={\sqrt {\dfrac {2\;g\;a}{3}}}\;$» correspondant au 2^ème schéma où la trajectoire après rupture est représentée en marron, on trouve «$\;x_{B}-x_{1}=\left[{\sqrt {\dfrac {5}{2}}}\;{\sqrt {20\;g^{2}\;a^{2}}}-{\sqrt {5\;g^{2}\;a^{2}}}\right]{\dfrac {\left[2\;g\;a\right]^{2}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}=\left[{\sqrt {\dfrac {5}{2}}}\;{\sqrt {20}}-{\sqrt {5}}\right]{\dfrac {4\;a}{27}}={\dfrac {4\;{\sqrt {5}}\;a}{27}}\left[{\sqrt {10}}-1\right]\simeq 0,716\;a\;$» d'où, avec «$\;x_{1}=a\;\sin(\theta _{1})\simeq$ $a\;\sin(48,2\,{\text{°}})\simeq 0,745\;$», la portée cherchée «$\;x_{B}\simeq 1,462\;a\;$»,
• suivi de «$\;V_{0}={\sqrt {g\;a}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\theta _{1}=0\;$» et «$\;V_{1}={\sqrt {g\;a}}\;$» correspondant au 3^ème schéma où la trajectoire après rupture est représentée en rouge, on trouve «$\;x_{B}-x_{1}=\left[{\sqrt {2}}\;{\sqrt {18\;g^{2}\;a^{2}}}-0\right]{\dfrac {\left[3\;g\;a\right]^{2}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}$ $=2\;a\;$» d'où, avec «$\;x_{1}=a\;\sin(\theta _{1})=0\;$», la portée cherchée «$\;x_{B}=2\;a\;$» ;

     Exposé$\;\color {transparent}{\big (}$non demandé$\color {transparent}{\big )}\;$de la résolution : sur le 4^ème schéma sont superposés les trois tracés précédents ce qui permet de comparer les portées entre elles.

 

Reprise de l'étude en présence de frottements solides du point avec la boule

Établissement de la nature plane du mouvement du point en présence de frottements solides et maintien de contact

     Reprendre l'étude avec présence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs $\;f\;$ quand le point $\;M\;$ est contact avec la boule
     Reprendre l'étude avec présence d'un frottement solide pour établir que cette présence de frottements solides ne modifie pas la nature plane du mouvement éventuel de $\;M\;$ sur la boule et par suite
     Reprendre l'étude avec présence d'un frottement solide pour établir que cette présence de frottements solides ne modifie pas la nature circulaire de sa trajectoire éventuelle pour un contact maintenu $\;{\big [}$on utilisera le même repérage cylindro-polaire d'« axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$» avec pour « méridien de référence $\;xM_{0}z\;$» du point $\;M\;$ sur la boule en effectuant une démonstration par récurrence $\;\ldots {\big ]}$.

Solution

     Le point $\;M\;$ lancé du « sommet $\;M_{0}\;$ de la boule » avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ horizontal dans le sens de $\;{\overrightarrow {M_{0}x}}\;$ ${\big [}$le glissement de $\;M\;$ sur la boule étant alors initialement effectif${\big ]}$,
     Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;0^{+}$, soumis à deux forces, dans la mesure où le contact entre le point et la boule n'est pas rompu dès cet instant initial,
    Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, soumis à deux forces, $\blacktriangleright \;$le poids du point $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant soit «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
    Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, soumis à deux forces, $\blacktriangleright \;$la réaction de la boule sur $\;M$, à la date $\;0^{+}$, «$\;{\vec {R}}(0^{+})\;$» laquelle a deux composantes en présence de frottements solides
   Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, soumis à deux forces, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction de la boule sur $\;\color {transparent}{M}$, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}(0^{+})}\;$» $\succ \;$une composante normale à la boule en $\;M_{0}$, de sens opposé à la pénétration possible de $\;M\;$
   Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, soumis à deux forces, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction de la boule sur $\;\color {transparent}{M}$, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}(0^{+})}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$une composante normale à la boule en $\;\color {transparent}{M_{0}}$, «$\;{\vec {R}}_{n}(0^{+})=-R_{n}(0^{+})\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec
   Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, soumis à deux forces, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction de la boule sur $\;\color {transparent}{M}$, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}(0^{+})}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$une composante normale à la boule en $\;\color {transparent}{M_{0}}$, «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{n}(0^{+})=-}$$R_{n}(0^{+})=\Vert {\vec {R}}_{n}(0^{+})\Vert >0\;$ et
   Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, soumis à deux forces, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction de la boule sur $\;\color {transparent}{M}$, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}(0^{+})}\;$» $\succ \;$une composante tangentielle à la boule en $\;M_{0}$, de même direction et
         Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, soumis à deux forces, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction de la boule sur $\;\color {transparent}{M}$, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}(0^{+})}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$une composante tangentielle à la boule en $\;\color {transparent}{M_{0}}$, de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{0}\;$
         Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, soumis à deux forces, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction de la boule sur $\;\color {transparent}{M}$, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}(0^{+})}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$une composante tangentielle à la boule en $\;\color {transparent}{M_{0}}$, «$\;{\vec {R}}_{\tau }(0^{+})=-R_{\tau }(0^{+})\;{\vec {u}}_{x}\;$» avec
         Le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, soumis à deux forces, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction de la boule sur $\;\color {transparent}{M}$, à la date $\;\color {transparent}{0^{+}}$, «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}(0^{+})}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$une composante tangentielle à la boule en $\;\color {transparent}{M_{0}}$, «$\;R_{\tau }(0^{+})=\Vert {\vec {R}}_{\tau }(0^{+})\Vert =f\,R_{n}(0^{+})\;$ ;

     l'application de la r.f.d.n. à $\;M\;$ à la date initiale dans le référentiel terrestre galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la boule, nous conduit au vecteur accélération initiale de $\;M\;$ «$\;{\vec {a}}_{M}(0^{+})=g\,{\vec {u}}_{z}-{\dfrac {R_{n}(^{+})}{m}}\,{\vec {u}}_{z}-f\,{\dfrac {R_{n}(^{+})}{m}}\,{\vec {u}}_{x}\;$» contenu dans le demi plan méridien $\;xM_{0}z\;$ de référence et dont la composante tangentielle $\;-f\;{\dfrac {R_{n}(0)}{m}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ est dirigée vers l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ ou,
          l'application de la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date initiale en confondant ce vecteur accélération instantanée avec le vecteur accélération moyenne sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,t_{1}=\delta t\right]\;$ c.-à-d. $\;{\vec {a}}_{M}(0^{+})\simeq {\dfrac {{\vec {V}}_{M}(\delta t)-{\vec {V}}_{0}}{\delta t}}\;$ dont on déduit «$\;{\vec {V}}_{M}(\delta t)\simeq {\vec {V}}_{0}+{\vec {a}}_{M}(0^{+})\;\delta t\;$contenu dans le demi plan méridien de référence » comme C.L. de deux vecteurs $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et $\;{\vec {a}}_{M}(0^{+})\;$ de ce demi-plan $\;{\big [}$de plus comme $\;\delta t\;$ est une durée très petite et $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(0^{+})\Vert \;$ finie, le sens de $\;{\vec {V}}_{M}(\delta t)\;$ s'éloigne de l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ comme celui de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et sa norme est légèrement plus faible à celle de $\;{\vec {V}}_{0}{\big ]}$.

     Faisons l'hypothèse de récurrence «$\;{\vec {V}}_{M}(t_{n}=n\;\delta t)\;$ contenu dans le demi plan méridien de référence s'éloignant, au sens large, de l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ » et
     déduisons en que «$\;{\vec {V}}_{M}(t_{n+1}=t_{n}+\delta t)\;$ est contenu dans le demi plan méridien de référence s'éloignant, au sens large, de l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ », en effet,
     Faisons l'hypothèse de récurrence à l'instant $\;t_{n}$, le point $\;M\;$ est toujours soumis à deux forces $\blacktriangleright \;$le poids du point $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant soit «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
     Faisons l'hypothèse de récurrence à l'instant $\;\color {transparent}{t_{n}}$, le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est toujours soumis à deux forces $\blacktriangleright \;$la réaction de la boule sur $\;M\;$ «$\;{\vec {R}}(t_{n})\;$» laquelle a deux composantes en présence de frottements solides
     Faisons l'hypothèse de récurrence à l'instant $\;\color {transparent}{t_{n}}$, le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est toujours soumis à deux forces $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction de la boule sur $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}(t_{n})}\;$» $\succ \;$une composante normale à la boule en $\;M$, de sens opposé à la pénétration possible du point, «$\;{\vec {R}}_{n}(t_{n})=R_{n}(t_{n})\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{\rho }(t_{n})-R_{n}(t_{n})\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{z}\;$» dans lequel $\;R_{n}(t_{n})=\Vert {\vec {R}}_{n}(t_{n})\Vert \neq 0\;$ ${\big (}$car nous supposons le maintien du contact entre le point et la boule${\big )}\;$ et
     Faisons l'hypothèse de récurrence à l'instant $\;\color {transparent}{t_{n}}$, le point $\;\color {transparent}{M}\;$ est toujours soumis à deux forces $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction de la boule sur $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}(t_{n})}\;$» $\succ \;$une composante tangentielle de même direction et de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\;$ si $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\neq {\vec {0}}\;$ ${\big [}$le cas où $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})={\vec {0}}\;$ sera traité à part${\big ]}$, «$\;{\vec {R}}_{\tau }(t_{n})=$ $-R_{\tau }(t_{n})\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{\rho }(t_{n})-R_{\tau }(t_{n})\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{z}\;$» dans lequel $\;R_{\tau }(t_{n})=\Vert {\vec {R}}_{\tau }(t_{n})\Vert =f\;R_{n}(t_{n})\;$ ;

     Faisons l'hypothèse de récurrence l'application de la r.f.d.n. au point $\;M\;$ à l'instant $\;t_{n}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la boule avec $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\neq {\vec {0}}$, nous conduit au vecteur accélération de $\;M\;$ à l'instant $\;t_{n}\;$ soit «$\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})=g\;{\vec {u}}_{z}+{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{\rho }(t_{n})-{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{z}-f\;{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{\rho }(t_{n})-f\;{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{z}\;$» contenu dans le demi plan méridien $\;xM_{0}z\;$ de référence $\;{\Bigg \{}$d'où $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})\;$ réécrit dans la base polaire de $\;xM_{0}z\;$ d'axe polaire $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ «$\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})=-g\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]{\vec {u}}_{r}(t_{n})+g\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]{\vec {u}}_{\theta }(t_{n})+{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;{\vec {u}}_{r}(t_{n})-f\;{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;{\vec {u}}_{\theta }(t_{n})\;$» ${\Bigg \}}\;$ ou,

          Faisons l'hypothèse de récurrence l'application de la r.f.d.n. au point $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{n}}\;$ en confondant $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})\;$ avec le vecteur accélération moyenne sur l'intervalle $\;\left[t_{n}\,,\,t_{n}+\delta t\right]\;$ c.-à-d. $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})\simeq$ ${\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t_{n}+\delta t)-{\vec {V}}_{M}(t_{n})}{\delta t}}\;$ dont on déduit «$\;{\vec {V}}_{M}(t_{n}+\delta t)\simeq {\vec {V}}_{M}(t_{n})+{\vec {a}}_{M}(t_{n})\;\delta t\;$contenu dans le demi plan méridien de référence » comme C.L. de deux vecteurs $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\;$ et $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})\;$ de ce demi-plan $\;{\big [}$d'une part, $\;\delta t\;$ étant une durée très petite et $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n})\Vert \;$ de valeur finie $\;{\big (}$éventuellement petite${\big )}\;$ non nulle, $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n}+\delta t)\;$ ne peut pas être de sens inversé relativement à $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})$, d'autre part, suivant la valeur de l'accélération tangentielle $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t_{n})\;$, $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n}+\delta t)\Vert \;$ peut être $\;<$, $\;=\;$ ou $\;>\;$ à $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n})\Vert {\big ]}$ ;

          Faisons l'hypothèse de récurrence l'application de la r.f.d.n. au point $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{n}}\;$ cas où $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})={\vec {0}}\;$, faisant l'hypothèse que la position à cet instant $\;t_{n}\;$ correspond à un équilibre, la somme des forces appliquées au point $\;M\;$ à cet instant doit y être nulle d'où «$\;-m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]{\vec {u}}_{r}(t_{n})+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]{\vec {u}}_{\theta }(t_{n})+R_{n}(t_{n})\;{\vec {u}}_{r}(t_{n})-R_{\tau }(t_{n})\;{\vec {u}}_{\theta }(t_{n})$ $={\vec {0}}\;$» dont on tire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}R_{n}(t_{n})=m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\\R_{\tau }(t_{n})=m\;g\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {R_{\tau }(t_{n})}{R_{n}(t_{n})}}$ $=\tan \!\left[\theta (t_{n})\right]\;$ qui doit être $\;<\;$à $\;f\;$» selon la loi de Coulomb de frottement sans glissement  ;

               Faisons l'hypothèse de récurrence l'application de la r.f.d.n. au point $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{n}}\;$ cas où $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t_{n})={\vec {0}}}\;$, remarque : à l'instant $\;t_{n-1}\;$ précédent «$\;{\vec {V}}_{M}(t_{n-1})\;$ étant $\;\neq {\vec {0}}\;$ ${\big (}$mais de petite norme${\big )}\;$» on a «$\;R_{\tau }(t_{n-1})$ $=f\;R_{n}(t_{n-1})\;$» avec «$\;R_{n}(t_{n-1})=m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{n-1})\right]-m\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t_{n-1})}{a}}\;$» et «$\;R_{\tau }(t_{n-1})>m\;g\;\sin \!\left[\theta (t_{n-1})\right]\;$ pour que $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n-1})\Vert \neq 0\;$ puisse $\;\searrow \;$ jusqu'à $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n})\Vert =0\;$», ainsi « l'angle $\;\theta (t_{n-1})$, le cœfficient de frottement solide $\;f\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n-1})\;$ sont liés par $\;f\left\lbrace m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{n-1})\right]-m\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t_{n-1})}{a}}\right\rbrace >m\;g\;\sin \!\left[\theta (t_{n-1})\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\tan \!\left[\theta (t_{n-1})\right]<f\left\lbrace 1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t_{n-1})}{g\;a\;\cos \!\left[\theta (t_{n-1})\right]}}\right\rbrace \;$», cette relation devant devenir «$\;\tan \!\left[\theta (t_{n})\right]<f\;$» pour que $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\;$ puisse être nul.

     Faisons l'hypothèse de récurrence La propriété $\;{\mathcal {P}}(t_{n}=n\;\delta t)\;$ affirmant que « le vecteur vitesse de $\;M\;$ est dans le demi plan méridien de référence en s'éloignant, au sens large, de l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ » est
     Faisons l'hypothèse de récurrence La propriété $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}(t_{n}=n\;\delta t)}\;$ $\blacktriangleright \;$vérifiée pour $\;n=0\;$ et
     Faisons l'hypothèse de récurrence La propriété $\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}(t_{n}=n\;\delta t)}\;$ $\blacktriangleright \;$telle que $\;{\mathcal {P}}(t_{n}=n\;\delta t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}(t_{n+1}=[n+1]\;\delta t)$,

     Faisons l'hypothèse de récurrence elle est donc vérifiée pour toute valeur de $\;n\;$ et donc pour tout instant.

     Conclusion : Si $\;{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}$, le glissement de $\;M\;$ sur la boule est donc amorcé, le mouvement de $\;M\;$ est plan dans le demi plan méridien de référence $\;xM_{0}z\;$ et plus précisément
     Conclusion : Si $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}$, le glissement de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la boule est donc amorcé, le mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ est circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$.

 

Détermination de l'équation caractérisant l'angle θ₂ repérant la position de rupture de contact (quand celle-ci existe) du point avec la boule en présence de frottements solides et comparaison avec l'angle θ₁ repérant la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale

     Déterminer la composante normale $\;R_{n}(t)\;$ de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la boule sur $\;M\;$ glissant, à l'instant $\;t$, sur celle-ci en présence de frottements solides de cœfficients de frottements dynamique et statique communs $\;f$, ${\big [}$le vecteur unitaire $\;{\vec {n}}\;$ normal à la boule en $\;M\;$ étant ici orienté dans le sens centripète ${\big ]}\;$ en fonction, entre autres de l'angle $\;\theta (t)={\widehat {M_{0}OM}}\;$ repérant $\;M\;$ sur la boule à l'instant $\;t\;$ et de sa vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ au même instant puis

     en déduire, quand il y a mouvement, la composante tangentielle $\;-R_{\tau }(t)\;$ de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la boule sur le point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en utilisant la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement $\;{\big [}$le vecteur unitaire $\;{\vec {\tau }}\;$ tangent à la boule en $\;M\;$ étant orienté dans le sens du mouvement ${\big ]}\;$ ainsi que

     en déduire, quand il y a mouvement, l'expression du travail de cette force de frottement solide sur la portion de trajectoire $\;({\mathcal {C}})\;$ de $\;M\;$ entre sa position initiale et celle à l'instant $\;t$ à savoir
     en déduire, quand il y a mouvement, l'expression du «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\;$ sous forme intégrale » $\;{\big (}$que l'on ne cherchera pas à évaluer mais dont on donnera le signe${\big )}$ ;

     en appliquant, au point $\;M\;$ glissant sur la boule avec frottements solides, le théorème de l'énergie cinétique entre l'instant initial et l'instant $\;t\;$, déterminer l'expression du carré de la vitesse angulaire du point $\;M\;$ «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ en fonction, entre autres, de l'angle $\;\theta (t)={\widehat {M_{0}OM}}(t)$, de $\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\;$ et de la vitesse initiale $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$» puis,

     réécrire l'expression de la composante normale «$\;R_{n}(t)\;$ de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la boule sur le point $\;M\;$ lors de son glissement sur la boule avec frottements solides
     réécrire l'expression de la composante normale «$\;\color {transparent}{R_{n}(t)}\;$ en fonction, entre autres, de l'angle $\;\theta (t)={\widehat {M_{0}OM}}(t)$, de $\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\;$ et de la vitesse initiale $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$» ;

     réécrire l'expression de la composante normale «$\;\color {transparent}{R_{n}(t)}\;$ en déduire, en admettant l'existence d'une position de rupture de contact $\;M_{2}\;$ du point $\;M\;$ avec la boule en présence de frottements solides
     réécrire l'expression de la composante normale «$\;\color {transparent}{R_{n}(t)}\;$ en déduire, en admettant l'existence d'une position de rupture de contact dans la mesure où le point ne s'arrête pas en une position d'équilibre,
     réécrire l'expression de la composante normale «$\;\color {transparent}{R_{n}(t)}\;$ en déduire, que $\;M_{2}\;$ est d'abscisse angulaire plus grande que celle de $\;M_{1}\;$ correspondant à la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$.

Solution

Schéma d'un point $\;M\;$ lancé horizontalement du sommet $\;M_{O}\;$ d'une boule de centre $\;O$, $\;{\big (}$la liaison entre le point et la boule se faisant avec frottement solide${\big )}$, avec représentation des forces appliquées à $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ et utilisation de la base de Frenet liée à $\;M\;$ pour déterminer la position de rupture de contact entre le point et la boule

     On travaille en repérage de Frenet $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ $\;{\bigg [}$on aurait pu aussi travailler en polaire d'axe polaire $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}=-{\vec {n}}\\{\vec {u}}_{\theta }={\vec {\tau }}\end{array}}\right\rbrace \;$${\bigg ]}$.

     Le point $\;M\;$ au contact de la surface de la boule avec frottements solides est soumis à deux forces,

• le poids du point $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}=m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]{\vec {\tau }}+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]{\vec {n}}\;$» et
• la réaction de la boule sur le point $\;{\vec {R}}(t)\;$ laquelle a deux composantes en présence de frottements solides
       $\succ \;$une composante normale à la boule en $\;M\;$ et de sens opposé à la pénétration possible du point $\;M$, «$\;{\vec {R}}_{n}(t)=-R_{n}(t)\;{\vec {n}}\;$» avec $\;R_{n}(t)=$ $\Vert {\vec {R}}_{n}(t)\Vert \neq 0\;$ ${\big (}$car nous supposons le maintien du contact entre le point et la boule${\big )}\;$ et
       $\succ \;$une composante tangentielle de même direction et de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ si $\;{\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$ ou
            $\color {transparent}{\succ }\;$une composante tangentielle de même direction et de sens contraire à la vitesse du mouvement susceptible de se produire si $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {0}}$,
            $\color {transparent}{\succ }\;$une composante tangentielle «$\;{\vec {R}}_{\tau }(t)=-R_{\tau }(t)\;{\vec {\tau }}\;$» avec $\;R_{\tau }(t)=\Vert {\vec {R}}_{\tau }(t)\Vert \;$ et $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }(t)\Vert =f\;R_{n}(t)\;$ si $\;{\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$ ou
            $\color {transparent}{\succ }\;$une composante tangentielle «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\tau }(t)=-R_{\tau }(t)\;{\vec {\tau }}}\;$» avec $\;\color {transparent}{R_{\tau }(t)=\Vert {\vec {R}}_{\tau }(t)\Vert }\;$ et $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }(t)\Vert <f\;R_{n}(t)\;$ si $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {0}}\;$ ;

     $\blacktriangleright \;$considérant $\;{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ on fait l'hypothèse que $\;{\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$ à l'instant $\;t\;$ sans qu'il y ait eu d'instant d'arrêt auparavant et
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ on fait l'hypothèse que $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ sans rupture de contact entre $\;M\;$ et la boule,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ on applique la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la boule, avec contact entre $\;M\;$ et la boule maintenu
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ on applique la r.f.d.n. «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» soit, projetée sur $\;{\vec {n}}$, «$\;-R_{n}(t)+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{n,\,M}(t)\;$» dans laquelle $\;a_{n,\,M}(t)\;$ est l'accélération normale du point $\;M\;$ égale à «$\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{a}}\;$» où $\;v_{M}(t)\;$ est la vitesse instantanée du point dans son mouvement circulaire de rayon $\;a\;$ d'où finalement «$\;R_{n}(t)=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{a}}\right\rbrace =m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right\rbrace \;$» $\;{\big [}M\;$ restant sur la surface de la boule tant que $\;R_{n}(t)\;$ est$\;>0{\big ]}$ ;
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ dans le cas où $\;{\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$ à l'instant $\;t\;$ sans qu'il y ait eu d'instant d'arrêt auparavant et sans rupture de contact entre le point et la boule, la composante tangentielle $\;R_{\tau }(t)\;$ de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la boule sur le point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrit «$\;R_{\tau }(t)=-R_{\tau }(t)\;{\vec {\tau }}\;$» avec $\;{\vec {\tau }}\;$ vecteur unitaire tangentiel de Frenet et $\;R_{\tau }(t)=\Vert R_{\tau }(t)\Vert$, cette dernière étant liée à la composante normale de la réaction par la loi empirique de Coulomb de frottement de glissement soit «$\;R_{\tau }(t)=f\;R_{n}(t)=f\;m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{a}}\right\rbrace =f\;m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right\rbrace \;$» d'où
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ le travail de la force de frottement solide sur la portion de trajectoire $\;({\mathcal {C}})\;$ de $\;M\;$ entre sa position initiale et celle à la date $\;t$, «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]=\displaystyle \int _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}-R_{\tau }(t')\;{\vec {\tau }}(M')\cdot {\overrightarrow {dM'}}\;$ $=\displaystyle \int _{0}^{t}-R_{\tau }(t')\;v_{M}(t')\;dt'\;$» avec $\;v_{M}(t')\;$ la vitesse instantanée du point $\;M\;$ à l'instant $\;t'$, soit finalement
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]=\displaystyle \int _{0}^{t}-f\;m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t')\right]-{\dfrac {v_{M}^{2}(t')}{a}}\right\rbrace v_{M}(t')\;dt'=\displaystyle \int _{0}^{t}-f\;m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t')\right]-a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t')\right\rbrace a\;{\dot {\theta }}(t')\;dt'\;$» ,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ de l'expression «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]=\displaystyle \int _{0}^{t}-R_{\tau }(t')\;v_{M}(t')\;dt'\;$» on déduit «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]<0\;$» ;

     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ l'application du théorème de l’énergie cinétique entre $\;M_{0}\;$ et $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans l'hypothèse de maintien de contact entre le point et la boule ainsi que d'un mouvement antérieur toujours dans le même sens nous conduit à «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}=W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]+W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\;{\cancel {+W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[{\vec {R}}_{n}(t)\right]}}\;$» $\;{\big [}$le déplacement de $\;M\;$ étant toujours $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}_{n}(t){\big ]}$, avec $\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]$ $=m\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ et, par report dans l'application du théorème de l'énergie cinétique , «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}=m\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\;$» donnant, après simplification évidente, «$\;v_{M}^{2}(t)=V_{0}^{2}+2\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +{\dfrac {2\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]}{m}}\;$» ou encore «$\;v_{M}^{2}(t)=V_{0}^{2}+2\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace -2\;f\;\displaystyle \int _{0}^{t}\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t')\right]-{\dfrac {v_{M}^{2}(t')}{a}}\right\rbrace v_{M}(t')\;dt'\;$» soit, en termes de vitesse angulaire «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)$ $={\dfrac {V_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {2\;g}{a}}\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace -2\;f\;\displaystyle \int _{0}^{t}\left\lbrace {\dfrac {g}{a}}\;\cos \!\left[\theta (t')\right]-{\dot {\theta }}^{2}\!(t')\right\rbrace {\dot {\theta }}\!(t')\;dt'\;$» ;

     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ par report dans l'expression de $\;R_{n}(t)\;$ précédemment établie, on obtient «$\;R_{n}(t)=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {V_{0}^{2}+2\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +{\dfrac {2\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]}{m}}}{a}}\right\rbrace \;$» soit, après simplification et sous hypothèse de maintien de contact entre $\;M\;$ et la boule avec un mouvement antérieur toujours dans le même sens, «$\;R_{n}(t)=m\left\lbrace 3\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}-{\dfrac {2}{m\;a}}\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\right\rbrace \;$», ou encore «$\;R_{n}(t)$ $=m\left[3\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}+{\dfrac {2\;f}{a}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t')\right]-{\dfrac {v_{M}^{2}(t')}{a}}\right\rbrace v_{M}(t')\;dt'\right]=m\left[3\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}+2\;f\displaystyle \int _{0}^{t}\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t')\right]-a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t')\right\rbrace {\dot {\theta }}\!(t')\;dt'\right]\;$» ;

     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ supposant $\;{\vec {V}}_{0}\;$ tel que le point $\;M\;$ ne s'arrête pas dans son mouvement au contact de la boule, nous admettons qu'il y a rupture de contact entre les deux pour un angle $\;\theta _{2}=$ ${\widehat {M_{0}OM_{2}}}\;$ caractérisé par $\;R_{n}(t_{2})=0\;$ avec «$\;R_{n}(t_{2})=m\left\lbrace 3\;g\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}-{\dfrac {2}{m\;a}}\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\right\rbrace \;$» dans lequel «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\;$ est $\;<0\;$» d'où l'équation caractérisant $\;\theta _{2}={\widehat {M_{0}OM_{2}}}$ : «$\;3\;g\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}-{\dfrac {2}{m\;a}}\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]=0\;$» avec «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]<0\;$» ou
«$\;3\;g\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]=2\;g+{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}+{\dfrac {2}{m\;a}}\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\;$» avec «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]<0\;$» ;      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$considérant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ or, en absence de frottements solides, l'angle $\;\theta _{1}={\widehat {M_{0}OM_{1}}}\;$ caractérisant la rupture de contact entre le point $\;M\;$ et la boule étant défini selon «$\;3\;g\;\cos \!\left[\theta _{1}\right]-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}$ $=0\;$» ou encore «$\;3\;g\;\cos \!\left[\theta _{1}\right]=2\;g+{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}\;$», nous pouvons réécrire la caractérisation de $\;\theta _{2}={\widehat {M_{0}OM_{2}}}\;$ selon «$\;3\;g\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]=3\;g\;\cos \!\left[\theta _{1}\right]+{\dfrac {2}{m\;a}}\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\;$» avec «$\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]<0\;$» dont on déduit aisément «$\;3\;g\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]=3\;g\;\cos \!\left[\theta _{1}\right]+{\dfrac {2}{m\;a}}\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]<3\;g\;\cos \!\left[\theta _{1}\right]\;$» ou «$\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]<\cos \!\left[\theta _{1}\right]\;$» d'où «$\;\theta _{2}>\theta _{1}\;$ pour un même vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$»
$\;{\big [}$quand la position de rupture de contact du point $\;M\;$ avec la boule existe en présence de frottements solides${\big ]}$ ;

     $\blacktriangleright \;$considérant maintenant $\;{\vec {V}}_{0}={\vec {0}}$, le point $\;M\;$ est alors en équilibre sur la surface de la boule en $\;M_{0}\;$ et il y restera vraisemblablement, les éventuelles perturbations extérieures étant probablement insuffisantes pour faire démarrer un éventuel glissement de $\;M\;$ sur la surface de la boule .

 

Étude du mouvement ultérieur du point dans l'hypothèse d'une rupture de contact avec la boule en présence de frottements solides entre les deux

     À partir de l'« expression de la composante normale $\;R_{n}(t)\;$ de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la boule sur le point $\;M\;$» glissant, à l'instant $\;t$, sur celle-ci en présence de frottements solides,
     À partir de l'« expression de la composante normale $\;\color {transparent}{R_{n}(t)}\;$ de la réaction $\;\color {transparent}{{\vec {R}}(t)}\;$ en fonction, entre autres, de l'angle $\;\theta (t)={\widehat {M_{0}OM}}(t)$, de $\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\;$ et de la vitesse initiale $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$,
     vérifier que la condition de vitesse initiale $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ pour que le contact du point $\;M\;$ avec la boule se limite à la position initiale $\;M_{0}\;$ est la même qu'en absence de frottement solide.

     Dans les conditions de vitesse initiale telles que le point $\;M\;$ ne s'arrête pas en une position d'équilibre sur la boule en présence de frottements solides et
     Dans les conditions de vitesse initiale telles que le contact de $\;M\;$ avec la boule en présence de frottements solides ne se limite pas à la position initiale $\;M_{0}$,
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact en $\;M_{2}\;$ repéré par l'angle $\;\theta _{2}={\widehat {M_{0}OM_{2}}}\;$ dépendant, entre autres, de la vitesse initiale $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact en $\;\color {transparent}{M_{2}}\;$ repéré par l'angle $\;\color {transparent}{\theta _{2}={\widehat {M_{0}OM_{2}}}}\;$ dépendant, entre autres, du travail de la force de frottement $\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]$,
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact le point $\;M\;$ décolle donc de la boule en la position $\;M_{2}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{2}$ ;

     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact préciser la nature du mouvement ultérieur de $\;M\;$ ${\big [}$changer l'origine des temps en choisissant l'instant de décollage ${\big ]}$, en particulier
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer $\;{\big [}$sans toutefois le faire${\big ]}\;$
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer les grandeurs suivantes à comparer à celles obtenues sans frottement solide :
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer $\blacktriangleright \;$les coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{2}\,,\,y_{2}\,,\,z_{2}\right)\;$ de $\;M_{2}$,
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer $\blacktriangleright \;$la norme $\;V_{2}\;$ et l'angle d'inclinaison $\;\alpha _{2}\;$ relativement à l'horizontale
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la norme $\;\color {transparent}{V_{2}}\;$ et l'angle d'inclinaison $\;\color {transparent}{\alpha _{2}}\;$ du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{2}$,
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer $\blacktriangleright \;$les lois horaires cartésiennes de vitesse et de position du mouvement ultérieur de $\;M\;$ et
     Dans les conditions de vitesse initiale il y a rupture de contact expliciter les équations permettant de déterminer $\blacktriangleright \;$l'équation permettant de calculer la portée $\;x_{C}\;$ de l'impact $\;C\;$ du point $\;M\;$ avec le sol horizontal sur lequel repose la boule $\;{\big [}$on donnera cette équation sans chercher à la résoudre ${\big ]}$.

Solution

     Dans le cas où $\;{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ et sous hypothèse de maintien de contact entre le point et la boule ainsi que
     Dans le cas où $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ et sous hypothèse d'un mouvement antérieur toujours dans le même sens,
     Dans le cas où $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ «$\;R_{n}(t)=m\left\lbrace 3\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}-{\dfrac {2}{m\;a}}\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]\right\rbrace \;$» avec $\;{\vec {R}}_{n}=-R_{n}\;{\vec {n}}\;$ ${\big [}{\vec {n}}\;$ vecteur unitaire normal à la boule en $\;M\;$ orienté dans le sens centripète${\big ]}$,
Dans le cas où $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$d'où la condition de vitesse initiale $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ pour que le contact du point $\;M\;$ avec la boule se limite à la position initiale $\;M_{0}\;$ déterminée par $\;R_{n}(0)\leqslant 0\;$ soit
Dans le cas où $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$d'où la condition de vitesse initiale $\;m\left\lbrace 3\;g\;\cos \!\left[0\right]-2\;g-{\dfrac {V_{0}^{2}}{a}}\;{\cancel {-{\dfrac {2}{m\;a}}\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{0}}\!\left[-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\right]}}\right\rbrace \leqslant 0\;$ c.-à-d. «$\;V_{0}\geqslant {\sqrt {g\;a}}\;$» $\;{\big \{}$même condition que celle en absence de frottement solide${\big \}}$.

     Supposant $\;V_{0}<{\sqrt {g\;a}}\;$ mais néanmoins suffisamment grande pour que le point $\;M\;$ ne s'arrête pas en une position d'équilibre sur la boule,
     Supposant $\;\color {transparent}{V_{0}<{\sqrt {g\;a}}}\;$ le point $\;M\;$ décolle de la boule en «$\;M_{2}\left\lbrace x_{2}=a\;\sin(\theta _{2})\;,\;y_{2}=0\;,\;z_{2}=a\left[1-\cos(\theta _{2})\right]\right\rbrace \;$» avec
     Supposant $\;\color {transparent}{V_{0}<{\sqrt {g\;a}}}\;$ le point $\;\color {transparent}{M}\;$ décolle de la boule en «$\;\theta _{2}\;$ solution de $\;R_{n}(\theta _{2})=0\;$ » $\;{\big [}\theta _{2}>\theta _{1}{\big ]}\;$ et un
     Supposant $\;\color {transparent}{V_{0}<{\sqrt {g\;a}}}\;$ le point $\;\color {transparent}{M}\;$ décolle de la boule en vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{2}$, $\;\blacktriangleright \;$de norme telle que $\;R_{n}(\theta _{2})=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]-{\dfrac {{\vec {V}}_{2}^{2}}{a}}\right\rbrace =0\;$ soit «$\;V_{2}=\Vert {\vec {V}}_{2}\Vert ={\sqrt {g\;a\;\cos(\theta _{2})}}\;$»
                      Supposant $\;\color {transparent}{V_{0}<{\sqrt {g\;a}}}\;$ le point $\;\color {transparent}{M}\;$ décolle de la boule en vecteur vitesse $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{2}}$, $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$de norme telle que $\;\color {transparent}{R_{n}(\theta _{2})=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]-{\vec {V}}_{2}^{2}\right\rbrace =0}\;$ soit «$\;\color {transparent}{V_{2}}$ $\;<V_{1}=\Vert {\vec {V}}_{1}\Vert ={\sqrt {g\;a\;\cos(\theta _{1})}}\;$ et
     Supposant $\;\color {transparent}{V_{0}<{\sqrt {g\;a}}}\;$ le point $\;\color {transparent}{M}\;$ décolle de la boule en vecteur vitesse $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{2}}$, $\;\blacktriangleright \;$de direction inclinée de «$\;\alpha _{2}=\theta _{2}\;$» vers le bas sur l’horizontale  ;

     Supposant $\;\color {transparent}{V_{0}<{\sqrt {g\;a}}}\;$ le mouvement ultérieur du point $\;M\;$ étant un mouvement de chute libre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, on en déduit ses lois horaires de vitesse et de position en choisissant comme nouvelle origine des temps l'instant $\;t_{2}\;$ où $\;M\;$ décolle de la surface de la boule c.-à-d. $\;t'=t-t_{2}$ d'où
     Supposant $\;\color {transparent}{V_{0}<{\sqrt {g\;a}}}\;$ le mouvement ultérieur du point $\;\color {transparent}{M}\;$ $\blacktriangleright \;$lois horaires de vitesse «${\vec {V}}_{M}(t')\left\lbrace V_{x}(t')=V_{2}\;\cos(\alpha _{2})\;,\;V_{y}(t')=0\;,\;V_{z}(t')=g\;t'+V_{2}\;\sin(\alpha _{2})\right\rbrace \;$» et
     Supposant $\;\color {transparent}{V_{0}<{\sqrt {g\;a}}}\;$ le mouvement ultérieur du point $\;\color {transparent}{M}\;$ $\blacktriangleright \;$lois horaires de position «${\overrightarrow {M_{2}M}}(t')\left\lbrace x(t')=V_{2}\;\cos(\alpha _{2})\;t'+x_{2},\;y(t')=0\;,\;z(t')={\dfrac {1}{2}}\;g\;{t'}^{2}+V_{2}\;\sin(\alpha _{2})\;t'+z_{2}\right\rbrace$» lesquelles sont aussi les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire de $\;M\;$ correspondant à la portion de parabole du demi-plan méridien tangent au demi-cercle méridien de la surface de la boule en $\;M_{2}$.

     Supposant $\;\color {transparent}{V_{0}<{\sqrt {g\;a}}}\;$ Le point $\;M\;$ heurtant le sol horizontal sur lequel repose la boule en la position $\;C\;$ d'abscisse $\;x_{C}\;$, solution de $\;z(x)=2\;a\;$ dans laquelle $\;z=z(x)\;$ est l'équation cartésienne de la trajectoire de $\;M\;$ dans le demi-plan méridien, obtenue en éliminant $\;t'\;$ entre ses deux équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t')=V_{2}\;\cos(\alpha _{2})\;t'+x_{2}\\z(t')={\dfrac {1}{2}}\;g\;{t'}^{2}+V_{2}\;\sin(\alpha _{2})\;t'+z_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, en reportant $\;t'={\dfrac {x-x_{2}}{V_{2}\;\cos(\alpha _{2})}}\;$ tirée de la 1^ère équation dans la 2^nde, «$\;z={\dfrac {1}{2}}\;g\left[{\dfrac {x-x_{2}}{V_{2}\;\cos(\alpha _{2})}}\right]^{2}+V_{2}\;\sin(\alpha _{2})\;{\dfrac {x-x_{2}}{V_{2}\;\cos(\alpha _{2})}}+z_{2}\;$» d'où finalement, l'équation de définition de la portée «$\;{\dfrac {g}{2\;V_{2}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{2})}}\left[x_{C}-x_{2}\right]^{2}+\tan(\alpha _{2})\left[x_{C}-x_{2}\right]=2\;a-z_{2}\;$».

     Compléments : pour déterminer la vitesse initiale minimale pour que le point $\;M\;$ en contact avec la surface de la boule lors de présence de frottements solides ne s'arrête pas en une position d'équilibre, il faut résoudre numériquement l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du point $\;M\;$ en supposant son contact avec la boule maintenu et en essayant, pour une valeur de cœfficient de frottement commun dynamique et solide $\;f\;$ fixée , successivement des valeurs de $\;V_{0}\;$ $\;\nearrow \;$ jusqu'à trouver une solution $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ qui ne s'annule pas ;

     Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ a été établie en note « ¹⁰⁵ » plus haut dans l'exercice sous forme normalisée «$\;{\ddot {\theta }}(t)-f\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)-{\dfrac {g}{a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+f\;{\dfrac {g}{a}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» ;

     Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ la méthode de résolution numérique d'une équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ consiste à transformer cette dernière en un système couplé de deux équations différentielles du 1^er ordre l'une en $\;\theta (t)\;$ et l'autre en la nouvelle fonction $\;\omega (t)={\dot {\theta }}(t)\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {\theta }}(t)=\omega (t)\\{\dot {\omega }}(t)=f\;\omega ^{2}\!(t)+{\dfrac {g}{a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-f\;{\dfrac {g}{a}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» dans lequel on impose «$\;f=0,2\;$», «$\;g=$ $9,81\;m\cdot s^{-2}\;$» et «$\;a=1\;m\;$» ; on résout alors ce système numériquement, par essais successifs avec les « C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\omega (0)={\dfrac {V_{0}}{a}}\\\theta (0)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» en faisant $\;\nearrow V_{0}\;$ à partir de, par exemple, $\;{\sqrt {0,0001\;g\;a}}\;$ en s'arrêtant au 1^er essai pour lequel $\;\omega (t)={\dot {\theta }}(t)\;$ ne s'annule pas :

     Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ des essais successifs de résolution numérique du système couplé d'équations différentielles précédentes on détermine ainsi la « condition de vitesse initiale pour que le point $\;M\;$ ne s'arrête pas sur la surface de la boule en une position d'équilibre $\;V_{0}\gtrsim {\sqrt {0,03859\;g\;a}}\simeq 0,1964\;{\sqrt {g\;a}}\simeq 0,2\;V_{0,\,c}\;$» où «$\;V_{0,\,c}={\sqrt {g\;a}}\;$ est la vitesse initiale maximale pour que le contact entre le point $\;M\;$ et la boule ne se limite pas uniquement à $\;M_{0}\;$»  ;

     Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ $\succ \;$si $\;V_{0}\simeq {\sqrt {0,03\;g\;a}}\simeq 0,173\;V_{0,\,c}\;$ le point d'arrêt a pour abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq}}\simeq 0,1031\;rad\simeq 5,9\,{\text{°}}$,

     Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ $\succ \;$si $\;V_{0}\simeq {\sqrt {0,02\;g\;a}}\simeq 0,141\;V_{0,\,c}\;$ le point d'arrêt a pour abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq}}\simeq 0,0594\;rad\simeq 3,4\,{\text{°}}\;$ et

     Compléments : l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ $\succ \;$si $\;V_{0}\simeq {\sqrt {0,01\;g\;a}}\simeq 0,1\;V_{0,\,c}\;$ le point d'arrêt a pour abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq}}\simeq 0,0270\;rad\simeq 1,5\,{\text{°}}$.

Schéma d'un point $\;M\;$ lancé horizontalement du sommet $\;M_{0}\;$ d'une boule de centre $\;O$, avec une vitesse initiale minimale pour que le point ne reste pas en équilibre sur la surface de la boule dans le cas de frottements solides, avec représentation des positions de rupture de contact en présence ou absence de frottements solides et tracé des deux trajectoires de chute libre après rupture

     Compléments : Nous plaçant dans le cas de vitesse initiale minimale $\;V_{0}\simeq {\sqrt {0,03859\;g\;a}}\simeq 0,1964\;V_{0,\,c}\;$ pour laquelle $\;M\;$ reste au contact de la surface de la boule en présence de frottements solides jusqu'à $\;M_{2}\;$ où il y a rupture de contact, nous reprenons la résolution numérique du système couplé «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {\theta }}(t)=\omega (t)\\{\dot {\omega }}(t)=f\,\omega ^{2}\!(t)+{\dfrac {g}{a}}\,\sin \!\left[\theta (t)\right]-f\,{\dfrac {g}{a}}\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» en nous plaçant à l'instant $\;t_{2}\;$ de rupture de contact c.-à-d. en imposant la relation de liaison correspondant à la définition de $\;t_{2}\;$ «$\;R_{n}(t_{2})$ $=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]-a\;{{\dot {\theta }}^{2}}_{\!2}\right\rbrace =0\;$» avec les mêmes valeurs de «$\;f=0,2\;$», «$\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}\;$» et «$\;a=$ $1\;m\;$» d'où, par essais successifs des solutions $\;\left\lbrace \theta \,,\,\omega ={\dot {\theta }}\right\rbrace \;$ aux différents instants $\;t\;$ du mouvement dans la relation de liaison on détermine le couple $\;\left\lbrace \theta _{2}\,,\,\omega _{2}={\dot {\theta }}_{2}\right\rbrace \;$ solution de $\;R_{n}(t_{2})=0\;$ soit «$\;\theta _{2}\simeq 0,9376\;rad\simeq 53,7\;{\text{°}}\;$», «$\;\omega _{2}={\dot {\theta }}_{2}$ $\simeq 2,409\;rad\cdot s^{-1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{2}=a\;{\dot {\theta }}_{2}\simeq 2,41\;m\cdot s^{-1}\;$», «$\;\alpha _{2}=\theta _{2}\simeq 0,9376\;rad\simeq 53,7\;{\text{°}}\;$», «$\;x_{2}=a\;\sin(\theta _{2})\simeq$ $0,806\;m\;$» et «$\;z_{2}=a\left[1-\cos(\theta _{2})\right]\simeq 0,408\;m\;$» ;

     Compléments : reprenant la résolution en absence de frottements solides en imposant $\;f=0\;$ avec la même vitesse initiale dans le système couplé d'équations différentielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {\theta }}(t)=\omega (t)\\{\dot {\omega }}(t)={\dfrac {g}{a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» en nous plaçant à l'instant $\;t_{1}\;$ de rupture de contact c.-à-d. en imposant la relation de liaison définissant $\;t_{1}\;$ «$\;R_{n}(t_{1})=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta _{1}\right]-a\;{{\dot {\theta }}^{2}}_{\!1}\right\rbrace =0\;$» avec les valeurs de «$\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}\;$» et «$\;a=1\;m\;$» d'où, par essais successifs des solutions $\;\left\lbrace \theta \,,\,\omega ={\dot {\theta }}\right\rbrace \;$ aux différents instants $\;t\;$ du mouvement dans la relation de liaison on détermine le couple $\;\left\lbrace \theta _{1}\,,\,\omega _{1}={\dot {\theta }}_{1}\right\rbrace \;$ solution de $\;R_{n}(t_{1})=0\;$ soit «$\;\theta _{1}$ $\simeq 0,8236\;rad\simeq 47,2\;{\text{°}}\;$» , «$\;\omega _{1}={\dot {\theta }}_{1}\simeq$ $2,582\;rad\cdot s^{-1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{1}=a\;{\dot {\theta }}_{1}\simeq 2,58\;m\cdot s^{-1}\;$» , «$\;\alpha _{1}=$ $\theta _{1}\simeq 0,8236\;rad\simeq 47,2\;{\text{°}}\;$», «$\;x_{1}=a\;\sin(\theta _{1})\simeq 0,734\;m\;$» et «$\;z_{1}=a\left[1-\cos(\theta _{1})\right]\simeq 0,321\;m\;$» ;

     Compléments : avec toutes ces informations on peut tracer sur une même figure $\;{\big (}$ci-contre à droite${\big )}\;$ les trajectoires du point $\;M\;$ en présence de frottements solides $\;{\big (}$en vert${\big )}\;$ ou en absence de ces derniers $\;{\big (}$en bleu${\big )}\;$ après sa rupture de contact avec la surface de la boule et comparer les portées sur chaque trajectoire ;

     Compléments : on constate donc que la portée pour une même vitesse initiale $\;V_{0}\simeq {\sqrt {0,03859\;g\;a}}\simeq 0,1964\;V_{0,\,c}\;$ est plus grande en absence de frottements solides $\;x_{B}\simeq 1,48\;a\;$ qu'en présence de ceux-ci avec un cœfficient de frottement commun dynamique et statique $\;f=0,2\;$ pour laquelle $\;x_{C}\simeq 1,38\;a$.

Schéma d'un point $\;M\;$ lancé horizontalement du sommet $\;M_{0}\;$ d'une boule de centre $\;O$, avec une vitesse initiale $\;>\;$ à celle minimale pour que le point ne reste pas en équilibre sur la surface de la boule dans le cas de frottements solides, avec représentation des positions de rupture de contact en présence ou absence de frottements solides et tracé des deux trajectoires de chute libre après rupture

     Compléments : Nous plaçant, dans un 2^ème temps, dans la condition de vitesse initiale pour laquelle $\;M\;$ reste au contact de la surface de la boule en présence de frottements solides jusqu'à une position $\;M_{2}\;$ où il y a rupture de contact, à savoir une « vitesse initiale $\;V_{0}>\;$ à la vitesse initiale minimale $\;{\sqrt {0,03859\;g\;a}}\simeq 0,1964\;V_{0,\,c}\;$ » et plus précisément avec la vitesse initiale $\;V_{0}={\sqrt {\dfrac {g\;a}{2}}}\simeq 0,7071\;V_{0,\,c}\;$, nous reprenons la résolution numérique du système couplé d'équations différentielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {\theta }}(t)=\omega (t)\\{\dot {\omega }}(t)=f\;\omega ^{2}\!(t)+{\dfrac {g}{a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-f\;{\dfrac {g}{a}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» en nous plaçant à l'instant $\;t_{2}\;$ de rupture de contact c.-à-d. en imposant la relation de liaison correspondant à la définition de $\;t_{2}\;$ «$\;R_{n}(t_{2})=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta _{2}\right]-a\;{{\dot {\theta }}^{2}}_{\!2}\right\rbrace =0\;$» avec les mêmes valeurs de «$\;f=0,2\;$», «$\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}\;$» et «$\;a=1\;m\;$» d'où, par essais successifs des solutions $\;\left\lbrace \theta \,,\,\omega ={\dot {\theta }}\right\rbrace \;$ aux différents instants $\;t\;$ du mouvement dans la relation de liaison on détermine le couple $\;\left\lbrace \theta _{2}\,,\,\omega _{2}={\dot {\theta }}_{2}\right\rbrace \;$ solution de $\;R_{n}(t_{2})=0\;$ soit «$\;\theta _{2}\simeq 0,6378\;rad\simeq 36,5\;{\text{°}}\;$», «$\;\omega _{2}={\dot {\theta }}_{2}\simeq 2,805\;rad\cdot s^{-1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{2}=a\;{\dot {\theta }}_{2}\simeq$ $2,81\;m\cdot s^{-1}\;$», «$\;\alpha _{2}=\theta _{2}\simeq 0,6378\;rad\simeq 36,5\;{\text{°}}\;$», «$\;x_{2}=a\;\sin(\theta _{2})\simeq$ $0,595\;m\;$» et «$\;z_{2}=a\left[1-\cos(\theta _{2})\right]\simeq$ $0,196\;m\;$» ;

     Compléments : reprenant la résolution en absence de frottements solides en imposant $\;f=0\;$ avec la même vitesse initiale dans le système couplé d'équations différentielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {\theta }}(t)=\omega (t)\\{\dot {\omega }}(t)={\dfrac {g}{a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» en nous plaçant à l'instant $\;t_{1}\;$ de rupture de contact c.-à-d. en imposant la relation de liaison définissant $\;t_{1}\;$ «$\;R_{n}(t_{1})=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta _{1}\right]-a\;{{\dot {\theta }}^{2}}_{\!1}\right\rbrace =0\;$» avec les valeurs de «$\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}\;$» et «$\;a=1\;m\;$» d'où, par essais successifs des solutions $\;\left\lbrace \theta \,,\,\omega ={\dot {\theta }}\right\rbrace \;$ aux différents instants $\;t\;$ du mouvement dans la relation de liaison on détermine le couple $\;\left\lbrace \theta _{1}\,,\,\omega _{1}={\dot {\theta }}_{1}\right\rbrace \;$ solution de $\;R_{n}(t_{1})=0\;$ soit «$\;\theta _{1}$ $\simeq 0,5857\;rad\simeq 33,6\;{\text{°}}\;$» , «$\;\omega _{1}={\dot {\theta }}_{1}\simeq$ $2,859\;rad\cdot s^{-1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{1}=a\;{\dot {\theta }}_{1}\simeq 2,86\;m\cdot s^{-1}\;$» , «$\;\alpha _{1}=$ $\theta _{1}\simeq 0,5857\;rad\simeq 33,6\;{\text{°}}\;$», «$\;x_{1}=a\;\sin(\theta _{1})\simeq 0,553\;m\;$» et «$\;z_{1}=a\left[1-\cos(\theta _{1})\right]\simeq 0,167\;m\;$» ;

     Compléments : avec toutes ces informations on peut tracer sur une même figure $\;{\big (}$ci-contre à droite${\big )}\;$ les trajectoires du point $\;M\;$ en présence de frottements solides $\;{\big (}$en vert${\big )}\;$ ou en absence de ces derniers $\;{\big (}$en magenta${\big )}\;$ après sa rupture de contact avec la surface de la boule et comparer les portées sur chaque trajectoire ;

     Compléments : on constate donc que la portée pour une même vitesse initiale $\;V_{0}={\sqrt {\dfrac {g\;a}{2}}}\simeq 0,7071\;V_{0,\,c}\;$ est plus grande en absence de frottements solides $\;x_{B}\simeq 1,68\;a\;$ qu'en présence de ceux-ci avec un cœfficient de frottement commun dynamique et statique $\;f=0,2\;$ pour laquelle $\;x_{C}\simeq 1,63\;a$.

     Compléments : Il semble donc que la portée pour une même vitesse initiale du point $\;M\;$ glissant sur la surface d'une boule puis soumis à une chute libre après décollage de la boule soit plus faible avec présence de frottements solides entre le point et la boule qu'en absence de ceux-ci $\;\ldots$

 

Solide ponctuel au bout d’un fil s’enroulant sur un cylindre fixe

Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Schéma descriptif d'un solide ponctuel attaché à un fil idéal s'enroulant sur un cylindre fixe en restant dans un plan $\;\perp \;$ à l'axe du cylindre

     Sur un cylindre fixe d'axe $\;\Delta \;$ horizontal et de rayon $\;a$, s’enroule un fil idéal , à l'extrémité duquel est attaché un solide ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m$ ;

     un dispositif, non représenté sur le schéma ci-contre, assurant que le fil et le solide restent dans un plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta \;$, nous notons $\;O\;$ l'intersection de ce plan avec $\;\Delta \;$ et l'appelons centre du cylindre.

     À l’instant initial $\;t=0$, le fil totalement déroulé de longueur $\;l_{0}\;$ est tendu et le solide $\;M\;$ possède, relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié au cylindre, une vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\perp \;$ au fil et à l’axe $\;\Delta \;$ du cylindre.

Traitement dans le cas où l'effet de la pesanteur terrestre est négligée

     Dans cette question, on néglige l’effet de la pesanteur terrestre, c.-à-d. qu’on suppose que le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ est identiquement nul ;

     on se propose d’étudier le mouvement du solide $\;M\;$ par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$ et
     on se propose de déterminer la façon dont la tension du fil varie avec le temps.

Détermination des grandeurs cinématiques polaires du point de contact du fil sur le cylindre dans le référentiel d'étude

     Pour repérer $\;M\;$ à l’instant $\;t$, on utilise la base polaire $\;\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$ de centre $\;O\;$ associée au point de contact $\;I\;$ du fil et du cylindre , la 2^ème coordonnée polaire de $\;I\;$ étant $\;\theta \;$ telle qu'elle soit nulle à $\;t=0$.

     Exprimer successivement, dans cette base polaire $\;\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$, les vecteurs $\blacktriangleright \;$position $\;{\overrightarrow {OM}}(t)$,
         Exprimer successivement, dans cette base polaire $\;\color {transparent}{\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}\;$, les vecteurs $\blacktriangleright \;$vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ et
         Exprimer successivement, dans cette base polaire $\;\color {transparent}{\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}\;$, les vecteurs $\blacktriangleright \;$accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
         Exprimer successivement, dans cette base polaire $\;\color {transparent}{\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}\;$, les vecteurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$accélération en fonction de $\;l_{0}$, $\;a$, $\;\theta (t)$, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;{\ddot {\theta }}(t)$, ces trois dernières grandeurs étant respectivement l'abscisse, la vitesse et l'accélération angulaires du point de contact $\;I\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}$.

Solution

     Le vecteur position du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrit selon «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\overrightarrow {OI}}(t)+{\overrightarrow {IM}}(t)=a\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+\left[l_{0}-{\overset {\,\curvearrowright }{AI}}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» avec «$\;{\overset {\,\curvearrowright }{AI}}(t)=a\;\theta (t)\;$» soit finalement
     le vecteur position du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrit selon «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=a\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» ;

     le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ se détermine selon «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)=a\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)-a\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\;$» soit, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}={\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\;{\dfrac {d\theta }{dt}}={\vec {u}}_{\theta }(t)\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\\{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\;{\dfrac {d\theta }{dt}}=-{\vec {u}}_{\rho }(t)\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$,
     le vecteur vitesse du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ se détermine selon «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\cancel {a\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)-a\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)}}\;-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\;$» et finalement
     le vecteur vitesse du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ se détermine selon «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\;$»  ;

     le vecteur accélération du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ se détermine selon «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)=-\left[-a\;{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)\;$» soit,
     le vecteur accélération du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ se détermine selon «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» en utilisant $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)={\vec {u}}_{\theta }(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et finalement
     le vecteur accélération du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ se détermine selon «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=\left\lbrace a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\ddot {\theta }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$».

 

Détermination de la tension du fil s'exerçant sur le solide ponctuel à l'instant t et de l'équation différentielle du 2^ème ordre en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne au solide ponctuel

     Déterminer, par application de la r.f.d.n. au solide ponctuel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ supposé galiléen,

• la tension $\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ du fil à l’instant $\;t$, en fonction de $\;m$, $\;l_{0}$, $\;a$, $\;\theta (t)\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)$, ainsi que
• une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ ${\big (}$que l’on ne cherchera pas à résoudre${\big )}\;$ du mouvement, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, du point de contact $\;I\;$ du fil sur le cylindre.

Solution

Schéma descriptif d'un solide ponctuel attaché à un fil idéal s'enroulant sur un cylindre fixe en restant dans un plan $\;\perp \;$ à l'axe du cylindre
Schéma descriptif avec repérage polaire $\;{\big (}$en bleu${\big )}\;$ du point de contact $\;I\;$ du fil et du cylindre ainsi que
Schéma descriptif avec représentation $\;{\big (}$en vert${\big )}\;$ de la force agissant sur $\;M$

     En absence de champ de pesanteur, la seule force agissant sur le solide ponctuel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est
     En absence de champ de pesanteur, seule la force exercée par le fil $\;{\big (}$supposé tendu${\big )}\;$ «$\;{\vec {T}}(t)\;$»,
     En absence de champ de pesanteur, seule la force de direction $\;(MI)\;$ et dont le sens est de $\;M\;$ vers $\;I$, soit
     En absence de champ de pesanteur, seule la force «$\;{\vec {T}}(t)=-T(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» où «$\;T(t)\;$ est $\;>0\;$ tant que le fil reste tendu »
    En absence de champ de pesanteur, seule la force «$\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)=-T(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)}\;$»${\big [}$dans ce cas «$\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$», norme appelée
    En absence de champ de pesanteur, seule la force «$\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)=-T(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)}\;$»$\color {transparent}{\big [}$dans ce cas «$\;\color {transparent}{T(t)=}$« tension du fil » à l'instant $\;t{\big ]}$ ;

     la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié au cylindre s'écrivant «$\;{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$»,
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\blacktriangleright \;$sa projection sur $\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ donne «$\;-T(t)=m\;a_{M,\,\theta }(t)=-m\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» soit
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }(t)}\;$ donne l'expression de la tension du fil à l'instant $\;t\;$
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }(t)}\;$ donne l'expression de la tension du fil «$\;T(t)=m\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» et
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\blacktriangleright \;$sa projection sur $\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\;$ donne «$\;0=m\;a_{M,\,\rho }(t)=m\left\lbrace a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\ddot {\theta }}(t)\right\rbrace \;$» soit
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\rho }(t)}\;$ donne l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ suivante
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\rho }(t)}\;$ donne l'équation différentielle «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\ddot {\theta }}(t)-a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=0\;$».

 

Détermination d'une intégrale 1^ère en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application du théorème de l'énergie cinétique au solide ponctuel M et conséquence sur la variation de la tension du fil s'exerçant sur M

     La « tension $\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ du fil à l’instant $\;t\;$» et le « mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» sont connus si le mouvement de$\;I\;$dans ce même référentiel$\;{\big [}$plus exactement $\;\theta (t){\big ]}\;$l’est,
     La « tension $\;\color {transparent}{T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert }\;$ du fil à l’instant $\;\color {transparent}{t}\;$» et le « mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$» sont connus si mais la résolution de l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$
     La « tension $\;\color {transparent}{T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert }\;$ du fil à l’instant $\;\color {transparent}{t}\;$» et le « mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$» sont connus si mais la résolution n'étant pas immédiate pour cause de non linéarité,
     La « tension $\;\color {transparent}{T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert }\;$ du fil à l’instant $\;\color {transparent}{t}\;$» et le « mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$» sont connus si on cherche une autre méthode pour connaître $\;\theta (t)$.

     Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\theta (t)\;$ du mouvement du point de contact $\;I\;$ du fil sur le cylindre par application du théorème de l’énergie cinétique à $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$
             Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ du mouvement du point de contact $\;\color {transparent}{I}\;$ du fil sur le cylindre par application du théorème de l’énergie cinétique entre l'instant initial et l'instant $\;t\;$ puis,

     Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ résoudre en explicitant $\;t=t(\theta )$ ;

     Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ déduire, de cette dernière relation, $\;\theta =\theta (t)\;$ et vérifier que $\;\theta (t)\;$ peut se mettre sous la forme «$\;\theta =\theta _{a}\left(1-{\sqrt {1-{\dfrac {t}{\tau }}}}\right)\;$» ${\big [}$on exprimera les paramètres $\;\theta _{a}\;$ et $\;\tau \;$ en fonction de $\;l_{0}$, $\;a\;$ et $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ en leur donnant une signification physique${\big ]}$.

     Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ Conclure en exprimant $\blacktriangleright \;$la longueur $\;l(t)\;$ du fil non enroulé à l’instant $\;t\;$ en fonction de $\;l_{0}$, $\;t\;$ et $\;\tau$, ainsi que
     Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ Conclure en exprimant $\blacktriangleright \;$la tension $\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ du fil à l’instant $\;t\;$ $\succ \;$en fonction de $\;m$, $\;l_{0}$, $\;\theta _{a}$, $\;t\;$ et $\;\tau \;$ d’une part puis
     Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ Conclure en exprimant $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la tension $\;\color {transparent}{T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert }\;$ du fil à l’instant $\;\color {transparent}{t}\;$ $\succ \;$en fonction de $\;m$, $\;V_{0}$, $\;l_{0}$, $\;t\;$ et $\;\tau \;$ d’autre part ;

     Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ Conclure en exprimant $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$comment varie $\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ avec le temps ?

     Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ Conclure en exprimant $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Commenter.

Solution

     Cherchant une intégrale 1^ère pour remplacer cette équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre, on applique à $\;M\;$ le théorème de l’énergie cinétique entre $\;t=0\;$ et $\;t\;$ quelconque dans le référentiel d'étude galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié au cylindre soit «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}=W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})\;$» avec «$\;({\mathcal {C}})\;$ la trajectoire suivie par le point $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» ;

     le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon «$\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {T}}(t')\cdot {\overrightarrow {dM'}}\;$» avec «$\;{\vec {T}}(t')=-T(t')\;{\vec {u}}_{\theta }(t')\;$» et
             le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon «$\;\color {transparent}{W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {T}}(t')\cdot {\overrightarrow {dM'}}}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dM'}}={\vec {V}}_{M}(t')\;dt'=-\left[l_{0}-a\;\theta (t')\right]\,{\dot {\theta }}(t')\;{\vec {u}}_{\rho }(t')\;dt'\;$» dont on déduit
             le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon «$\;\color {transparent}{W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {T}}(t')\cdot {\overrightarrow {dM'}}}\;$» «$\;{\vec {T}}(t')\cdot {\overrightarrow {dM'}}=0,\;\;\forall \;t'\;$» et par suite «$\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {T}}(t')\cdot {\overrightarrow {dM'}}=0\;$» ;

     reportant l'expression de $\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})\;$ dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on en déduit l'intégrale 1^ère cherchée «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}=0\;$» c.-à-d.
           reportant l'expression de $\;\color {transparent}{W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})}\;$ dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on en déduit la conservation de l'énergie cinétique $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2},\;\;\forall \;t\;$ ou encore,
           reportant l'expression de $\;\color {transparent}{W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})}\;$ dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on en déduit le caractère uniforme du mouvement du point $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ soit
           reportant l'expression de $\;\color {transparent}{W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})}\;$ dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on en déduit «$\;v_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0},\;\;\forall \;t\;$» ou, avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\;$»,
           reportant l'expression de $\;\color {transparent}{W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})}\;$ dans l'application du théorème de l'énergie cinétique la réécriture de l'intégrale 1^ère du mouvement selon «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)=V_{0},\;\;\forall \;t\;$» .

     La résolution de cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;\theta (t)\;$ à savoir «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)=V_{0}\;$» se fait par séparation des variables , «$\;\left[l_{0}-a\;\theta \right]\,d\theta =V_{0}\;dt\;$» soit,
     La résolution en intégrant entre $\;\theta =0\;$ et $\;\theta \;$ d'une part et entre $\;t=0\;$ et $\;t\;$ d'autre part «$\;l_{0}\;\theta -{\dfrac {a}{2}}\;\theta ^{2}=V_{0}\;t\;$» et finalement «$\;t={\dfrac {l_{0}}{V_{0}}}\;\theta -{\dfrac {a}{2\;V_{0}}}\;\theta ^{2}\;$» ou encore «$\;t={\dfrac {\theta }{2\;V_{0}}}\left(2\;l_{0}-a\;\theta \right)\;$».

     On inverse cette fonction en considérant $\;t\;$ comme paramètre et $\;\theta \;$ comme inconnue de l'« équation du 2^ème degré $\;{\dfrac {a}{2}}\;\theta ^{2}-l_{0}\;\theta +V_{0}\;t=0\;$» dont le discriminant vaut $\;\Delta =l_{0}^{\,2}-2\;a\;V_{0}\;t$ ${\big [}$l'existence physique d'une solution réelle pour $\;\theta \;$ assure que le paramètre $\;t\;$ est tel que $\;\Delta \geqslant 0\;$${\big ]}\;$ et par suite «$\;\theta ={\dfrac {l_{0}}{a}}\pm {\dfrac {\sqrt {l_{0}^{\,2}-2\;a\;V_{0}\;t}}{a}}\;$» dans laquelle $\;{\dfrac {l_{0}}{a}}$, représentant l'angle maximal admissible $\;\theta _{\text{max}}\;$ correspondant à la totalité du fil enroulé, nécessite d'éliminer le signe $\;+\;$ d'où «$\;\theta ={\dfrac {l_{0}}{a}}-{\dfrac {\sqrt {l_{0}^{\,2}-2\;a\;V_{0}\;t}}{a}}\;$» ou «$\;\theta ={\dfrac {l_{0}}{a}}-{\sqrt {{\dfrac {l_{0}^{\,2}}{a^{2}}}-2\;{\dfrac {V_{0}}{a}}\;t}}={\dfrac {l_{0}}{a}}-{\dfrac {l_{0}}{a}}\;{\sqrt {1-{\dfrac {2\;a\;V_{0}}{l_{0}^{\,2}}}\;t}}\;$» soit «$\;\theta ={\dfrac {l_{0}}{a}}\left(1-{\sqrt {1-{\dfrac {2\;a\;V_{0}}{l_{0}^{\,2}}}\;t}}\right)\;$» et finalement «$\;\theta =\theta _{a}\left(1-{\sqrt {1-{\dfrac {t}{\tau }}}}\right)\;$» avec
«$\;\theta _{a}={\dfrac {l_{0}}{a}}\;$ représentant l'angle maximal admissible $\;\theta _{\text{max}}\;$ correspondant à la totalité du fil enroulé » et
«$\;\tau ={\dfrac {l_{0}^{\,2}}{2\;a\;V_{0}}}\;$ la durée de l’enroulement » puisque $\;\theta =\theta _{a}\;$ pour $\;t=\tau$.

     La longueur $\;l(t)\;$ du fil non enroulé à l’instant $\;t\;$ s'écrit «$\;l(t)=l_{0}-a\;\theta (t)=l_{0}-a\;\theta _{a}\left(1-{\sqrt {1-{\dfrac {t}{\tau }}}}\right)\;$» avec $\;a\;\theta _{a}=l_{0}\;$ soit finalement «$\;l(t)=l_{0}\;{\sqrt {1-{\dfrac {t}{\tau }}}}\;$».

     La tension $\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ du fil à l'instant $\;t\;$ s'écrit «$\;T(t)=m\,\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» «$\;=m\;l(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=m\;l_{0}\;{\sqrt {1-{\dfrac {t}{\tau }}}}\;{\dfrac {\theta _{a}^{2}}{4\;\tau ^{2}\left(1-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}}\;$» soit finalement «$\;T(t)=m\;l_{0}\;{\dfrac {\theta _{a}^{2}}{4\;\tau ^{2}\;{\sqrt {1-{\dfrac {t}{\tau }}}}}}\;$» et

     La tension $\;\color {transparent}{T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert }\;$ du fil à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrit avec $\;{\dfrac {\theta _{a}^{2}}{4\;\tau ^{2}}}={\dfrac {\dfrac {l_{0}^{2}}{a^{2}}}{4\;{\dfrac {l_{0}^{4}}{4\;a^{2}\;V_{0}^{2}}}}}={\dfrac {V_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}$, on obtient «$\;T(t)={\dfrac {m\;V_{0}^{2}}{l_{0}\;{\sqrt {1-{\dfrac {t}{\tau }}}}}}\;$» ou encore «$\;T(t)={\dfrac {m\;V_{0}^{2}}{l(t)}}\;$»  ;

     à partir de la 2^ème expression de la tension $\;T(t)\;$ on en déduit la $\;\nearrow \;$ de la tension avec le temps, la « valeur minimale étant $\;T(0)={\dfrac {m\;V_{0}^{2}}{l_{0}}}\;$» et
     à partir de la 2^ème expression de la tension $\;\color {transparent}{T(t)}\;$ on en déduit la $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de la tension avec le temps, sa « valeur théoriquement maximale obtenue pour $\;t\rightarrow \tau \;$ soit $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,\tau }T(t)=\infty \;$»
     à partir de la 2^ème expression de la tension $\;\color {transparent}{T(t)}\;$ on en déduit la $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de la tension avec le temps, sa « valeur ${\big (}$correspondant au fil totalement enroulé${\big )}$ ;

     on peut affirmer que, dans l'hypothèse où la force exercée par le fil idéal sur $\;M\;$ est la seule force, le fil cassera avant l'enroulement complet car la tension du fil ne peut pas dépasser une valeur limite.

 

Traitement dans le cas où l'effet de la pesanteur terrestre n'est pas négligée

     Dans cette question, on tient compte de l’effet de la pesanteur terrestre, c.-à-d. que l’on suppose que le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ est uniforme, $\;\neq {\vec {0}}$, de direction $\;{\overrightarrow {Ox}}$, on pose donc «$\;{\vec {g}}=g\,{\vec {u}}_{x}\;$».

     On se propose d’étudier, dans la mesure de nos possibilités, les modifications des résultats précédents dues à l’introduction de la pesanteur.

Détermination des grandeurs cinématiques polaires du point de contact du fil sur le cylindre dans le référentiel d'étude en tenant compte du champ de pesanteur terrestre

     Pour repérer $\;M\;$ à l’instant $\;t$, on utilise toujours la base polaire $\;\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$ associée au point de contact $\;I\;$ du fil et du cylindre , la 2^ème coordonnée polaire de $\;I\;$ étant $\;\theta \;$ telle qu'elle soit nulle à $\;t=0$.

     Y a-t-il une modification des vecteurs $\blacktriangleright \;$position $\;{\overrightarrow {OM}}(t)$,
     Y a-t-il une modification des vecteurs $\blacktriangleright \;$vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ et
     Y a-t-il une modification des vecteurs $\blacktriangleright \;$accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
     Y a-t-il une modification dans cette base polaire $\;\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$ si on tient compte de l'influence du champ de pesanteur terrestre  ?

Solution

     Aucune modification des composantes polaires du vecteur $\blacktriangleright \;$position $\;{\overrightarrow {OM}}(t)$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=a\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» ,
     Aucune modification des composantes polaires du vecteur $\blacktriangleright \;$vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)$, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\;$» et
     Aucune modification des composantes polaires du vecteur $\blacktriangleright \;$accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)$, «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=\left\lbrace a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\ddot {\theta }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$»
     Aucune modification relativement à la solution de la question « détermination des grandeurs cinématiques polaires du point de contact du fil sur le cylindre dans le référentiel d'étude (en négligeant le champ de pesanteur terrestre) » car ses composantes polaires se déterminent cinématiquement c.-à-d. sans référence aux forces appliquées.

 

Détermination de la tension du fil s'exerçant sur le solide ponctuel à l'instant t en tenant compte du champ de pesanteur terrestre et de l'équation différentielle correspondante du 2^ème ordre en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne au solide ponctuel

     Déterminer, par application de la r.f.d.n. au solide ponctuel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ supposé galiléen,
         Déterminer, par application de la r.f.d.n. au solide ponctuel $\;\color {transparent}{M}\;$ en tenant compte du champ de pesanteur terrestre,

• la tension $\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ du fil à l’instant $\;t$, en fonction de $\;m$, $\;l_{0}$, $\;a$, $\;\theta (t)\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)$, ainsi que
• une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ ${\big (}$que l’on ne cherchera pas à résoudre${\big )}\;$ du mouvement, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, du point de contact $\;I\;$ du fil sur le cylindre.

Solution

Schéma descriptif d'un solide ponctuel attaché à un fil idéal s'enroulant sur un cylindre fixe en restant dans un plan $\;\perp \;$ à l'axe du cylindre
Schéma descriptif avec repérage polaire $\;{\big (}$en bleu${\big )}\;$ du point de contact $\;I\;$ du fil et du cylindre ainsi que
Schéma descriptif avec représentation $\;{\big (}$en vert${\big )}\;$ des forces agissant sur $\;M\;$ dans le champ de pesanteur terrestre

     En présence de champ de pesanteur, les deux forces agissant sur le solide ponctuel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ sont
     En présence de champ de pesanteur, les deux $\blacktriangleright \;$son poids «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{x}=m\;g\left\lbrace \sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$» et
     En présence de champ de pesanteur, les deux $\blacktriangleright \;$la force exercée par le fil $\;{\big (}$supposé tendu${\big )}\;$ «$\;{\vec {T}}(t)\;$»,
     En présence de champ de pesanteur, les deux $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$de direction $\;(MI)\;$ et dont le sens est de $\;M\;$ vers $\;I$, soit
     En présence de champ de pesanteur, les deux $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;{\vec {T}}(t)=-T(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» dans lequel «$\;T(t)\;$ est $\;>0\;$ tant que le fil reste tendu »
    En présence de champ de pesanteur, les deux $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)=-T(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)}\;$»${\big [}$dans ce cas «$\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$», norme appelée
    En présence de champ de pesanteur, les deux $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)=-T(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)}\;$»$\color {transparent}{\big [}$dans ce cas «$\;\color {transparent}{T(t)=}$« tension du fil » à l'instant $\;t{\big ]}$ ;

     la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié au cylindre s'écrivant «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$»,
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\blacktriangleright \;$sa projection sur $\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ donne «$\;m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-T(t)=m\;a_{M,\,\theta }(t)=-m\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» soit
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }(t)}\;$ donne l'expression de la tension du fil à l'instant $\;t\;$
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }(t)}\;$ donne l'expression de «$\;T(t)=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right\rbrace \;$» et
         la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\blacktriangleright \;$sa projection sur $\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\;$ donne «$\;m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{M,\,\rho }(t)=m\left\lbrace a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)-\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\ddot {\theta }}(t)\right\rbrace \;$»
 la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\rho }(t)}\;$ donne d'où l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ suivante
       la r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\rho }(t)}\;$ donne l'équation différentielle «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\ddot {\theta }}(t)-a\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$».

 

Détermination, en tenant compte du champ de pesanteur terrestre, d'une intégrale 1^ère en θ(t) du mouvement du point de contact du fil sur le cylindre par application du théorème de l'énergie cinétique au solide ponctuel M et expression de la tension du fil s'exerçant sur M en fonction de θ(t)

     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, la « tension $\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ du fil à l’instant $\;t\;$» et
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, le « mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» sont connus si le mouvement de$\;I\;$dans ce même référentiel$\;{\big [}$plus exactement $\;\theta (t){\big ]}\;$l’est,
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, le « mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$» sont connus si mais la résolution de l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, le « mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$» sont connus si mais la résolution n'étant pas immédiate pour cause de non linéarité,
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, le « mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$» sont connus si on cherche une autre méthode pour connaître $\;\theta (t)$.

     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\theta (t)\;$ du mouvement du point de contact $\;I\;$ du fil sur le cylindre
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ par application du théorème de l’énergie cinétique à $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ entre les instants $\;0\;$ et $\;t$,
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ par application du théorème de l’énergie cinétique ${\big (}$le fil étant supposé tendu dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ ${\Bigg [}$on mettra cette intégrale 1^ère sous la forme «$\;\left\lbrace l_{0}-a\;\theta (t)\right\rbrace ^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace {\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$»
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déterminer une intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ $\color {transparent}{\Bigg [}$on mettra cette intégrale 1^ère sous la forme en explicitant $\;f\!\left[\theta (t)\right]\;$ en fonction de $\;l_{0}$, $\;a\;$ et $\;\theta (t){\Bigg ]}$.

     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déduire, en utilisant l'intégrale 1^ère ci-dessus, une nouvelle expression de la tension $\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ du fil supposé tendu à l'instant $\;t$,
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déduire, en utilisant l'intégrale 1^ère ci-dessus, une nouvelle expression de la tension $\;\color {transparent}{T(t)}\;$ en fonction de $\;m$, $\;g$, $\;l_{0}$, $\;a$, $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et $\;\theta (t)$
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déduire, en utilisant l'intégrale 1^ère ci-dessus, ${\Bigg [}$on mettra $\;T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ sous la forme «$\;T(t)={\dfrac {2\;m\;g}{l_{0}-a\;\theta (t)}}\left\lbrace {\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+h\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$»
     En tenant compte du champ de pesanteur terrestre, Déduire, en utilisant l'intégrale 1^ère ci-dessus, $\color {transparent}{\Bigg [}$on mettra $\;\color {transparent}{T(t)=\Vert {\vec {T}}(t)\Vert }\;$ sous la forme en explicitant $\;h\!\left[\theta (t)\right]\;$ en fonction de $\;l_{0}$, $\;a\;$ et $\;\theta (t)\;$${\Bigg ]}$.

Solution

     Cherchant une intégrale 1^ère pour remplacer cette équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre, on applique à $\;M\;$ le théorème de l’énergie cinétique entre $\;t=0\;$ et $\;t\;$ quelconque dans le référentiel d'étude galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié au cylindre soit «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}=W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}(m\;{\vec {g}})+W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})\;$» avec «$\;({\mathcal {C}})\;$ la trajectoire suivie par le point $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» ;

     le travail développé par le poids de $\;M\;$ se définit selon «$\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}(m\;{\vec {g}})=\displaystyle \int _{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}m\;{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {dM'}}\;$» ou «$\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}(m\;{\vec {g}})=m\;{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}(t)\;$» car $\;m\;{\vec {g}}\;$ est constant et,
     le travail développé par le poids de $\;\color {transparent}{M}\;$ se réécrit, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}m\;{\vec {g}}\!\!&=&\!\!m\;g\;{\vec {u}}_{x}\!\!&=&\!\!m\;g\left\lbrace \sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \\{\overrightarrow {M_{0}M}}(t)\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {OM}}(t)-{\overrightarrow {OM_{0}}}\!\!&=&\!\!\left\lbrace a\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace -\left\lbrace -a\;{\vec {u}}_{y}+l_{0}\;{\vec {u}}_{x}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ dont on déduit
         le travail développé par le poids de $\;\color {transparent}{M}\;$ se réécrit, avec «$\;m\;{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}(t)=m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,a+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]-m\;g\;l_{0}\;$» soit finalement
     le travail développé par le poids de $\;\color {transparent}{M}\;$ se réécrit «$\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}(m\;{\vec {g}})=m\;g\;a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-m\;g\;a\;\theta (t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-m\;g\;l_{0}\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» et

     le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon «$\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {T}}(t')\cdot {\overrightarrow {dM'}}\;$» soit
     le travail développé par la force exercée par le fil se définit selon «$\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {T}})=0\;$» pour les mêmes raisons qu'en absence de champ de pesanteur  ;

     reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}=m\;g\;a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-m\;g\;a\;\theta (t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-m\;g\;l_{0}\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» ou,
           reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique après report de «$\;v_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,\vert {\dot {\theta }}(t)\vert \;$» , simplification par $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;$ et changement de membre de $\;V_{0}^{2}$,
           reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=V_{0}^{2}+2\;g\;a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-2\;g\;a\;\theta (t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-2\;g\;l_{0}\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» ou
           reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace {\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$»
           reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère «$\;\color {transparent}{\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}$ $\Updownarrow$
           reportant ces deux travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace {\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$»
           reportant ces travaux dans l'application du théorème de l'énergie cinétique on obtient l'intégrale 1^ère «$\;\color {transparent}{\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}$ avec «$\;f\!\left[\theta (t)\right]=a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$».

     Reportant «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace {\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «$\;T(t)=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right\rbrace \;$» , on obtient
         Reportant «$\;\color {transparent}{\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace V_{0}^{2}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }\;$» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «$\;T(t)=m\left[g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {2\;g}{l_{0}-a\;\theta (t)}}\left\lbrace {\dfrac {v_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \right]$
         Reportant «$\;\color {transparent}{\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace V_{0}^{2}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }\;$» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «$\;\color {transparent}{T(t)}$ $={\dfrac {2\;m\;g}{l_{0}-a\;\theta (t)}}\left\lbrace {\dfrac {l_{0}-a\;\theta (t)}{2}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {v_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» soit,
         Reportant «$\;\color {transparent}{\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace V_{0}^{2}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }\;$» en reportant l'expression de «$\;f\!\left[\theta (t)\right]=a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$» et après simplification évidente,
         Reportant «$\;\color {transparent}{\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace V_{0}^{2}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }\;$» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «$\;T(t)={\dfrac {2\;m\;g}{l_{0}-a\;\theta (t)}}\left\lbrace {\dfrac {v_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {3\,\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]}{2}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$»
         Reportant «$\;\color {transparent}{\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace V_{0}^{2}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }\;$» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «$\;\color {transparent}{T(t)}\;$ $\Updownarrow$
         Reportant «$\;\color {transparent}{\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace V_{0}^{2}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }\;$» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «$\;T(t)={\dfrac {2\;m\;g}{l_{0}-a\;\theta (t)}}\left\lbrace {\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+h\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$»
         Reportant «$\;\color {transparent}{\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace V_{0}^{2}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }\;$» dans l'expression de la tension du fil trouvée auparavant «$\;\color {transparent}{T(t)}\;$ avec «$\;h\!\left[\theta (t)\right]=a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {3\,\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]}{2}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$».

 

Condition sur la vitesse initiale pour que le fil reste tendu tout au long du mouvement du solide ponctuel dans le champ de pesanteur terrestre

     Ne pouvant résoudre algébriquement l'intégrale 1^ère en $\;\theta (t)\;$ du mouvement du point de contact $\;I\;$ en présence de champ de pesanteur terrestre
                  Ne pouvant résoudre algébriquement l'intégrale 1^ère en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ du mouvement du point de contact $\;\color {transparent}{I}\;$ comme cela a été possible en absence de champ de pesanteur terrestre,
     nous allons chercher qualitativement une condition sur $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ pour que le fil reste tendu tout au long du mouvement du solide $\;M\;$ et pour cela

     nous allons $\succ \;$représenter la courbe de la fonction $\;\theta \mapsto f(\theta )\;$ dans le cas où $\;{\dfrac {l_{0}}{a}}=2\;\pi \;$ $\Rightarrow$ l'intervalle de définition de $\;f(\theta )\;$ étant $\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\;$ puis

     nous allons $\succ \;$montrer que, dans la mesure où le fil reste tendu, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ne s’annule jamais si $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ est $\;>\;$ à $\;V_{0,\,{\text{min}}}\;$ à déterminer en fonction de $\;g\;$ et $\;l_{0}\;$ dans le cas où $\;l_{0}=2\;\pi \;a\;$ avant de

     nous allons $\succ \;$généraliser ce résultat dans le cas où $\;l_{0}\;$ est quelconque en explicitant $\;V_{0,\,{\text{min}}}\;$ en fonction de $\;g$, $\;l_{0}\;$ et $\;a$ ; ensuite

     nous allons $\succ \;$représenter la courbe de la fonction $\;\theta \mapsto h(\theta )\;$ toujours dans le cas où $\;{\dfrac {l_{0}}{a}}=2\;\pi \;$ $\Rightarrow$ l'intervalle de définition de $\;h(\theta )\;$ est a priori $\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\;$ dans la mesure où le fil reste tendu puis

     nous allons $\succ \;$préciser une condition sur $\;h(\theta )\;$ traduisant que le fil reste tendu $\;{\big [}$on exprimera cette condition en notant $\;\theta _{1}\;$ la valeur de $\;\theta \;$ correspondant au 1^er minimum de $\;h(\theta ){\big ]}$.

     En raisonnant qualitativement sur les deux courbes représentées sur un même diagramme, montrer que :

• si $\;V_{0}>V_{0,\,{\text{min}}}$, certes $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ne s'annule jamais tant que le fil reste tendu, mais on peut définir une vitesse critique $\;V_{0,\,{\text{crit}}}>V_{0,\,{\text{min}}}\;$ telle que
       $\;\succ \;$si $\;V_{0}>V_{0,\,{\text{crit}}}$, le fil reste toujours tendu et
       $\;\succ \;$si $\;V_{0,\,{\text{min}}}<V_{0}<V_{0,\,{\text{crit}}}$, le fil cesse d’être tendu pour $\;\theta =\theta _{l}>{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ${\big [}$on ne cherchera à exprimer algébriquement ni $\;V_{0,\,{\text{crit}}}\;$ ni $\;\theta _{l}{\big ]}$ ;
• si $\;V_{0}<V_{0,\,{\text{min}}}$, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ s'annule dans la mesure où le fil reste tendu pour $\;\theta =\theta _{s}\;$, mais on peut définir une 2^ème vitesse critique $\;V_{0,\,{\text{crit}}'}<V_{0,\,{\text{min}}}\;$ telle que
       $\;\succ \;$si $\;V_{0}<V_{0,\,{\text{crit}}'}$, le fil cesse d’être tendu pour $\;\theta =\theta _{l}<\theta _{s}$ et
       $\;\succ \;$si $\;V_{0,\,{\text{crit}}'}<V_{0}<V_{0,\,{\text{min}}}$, le fil reste toujours tendu ;
       exprimer cette 2^ème vitesse critique $\;V_{0,\,{\text{crit}}'}\;$ en fonction de $\;l_{0}\;$ et $\;g\;$ dans le cas où $\;{\dfrac {l_{0}}{a}}=2\;\pi \;$ puis
       exprimer cette 2^ème vitesse critique $\;\color {transparent}{V_{0,\,{\text{crit}}'}}\;$ en fonction de $\;l_{0}$, $\;a\;$ et $\;g\;$ si $\;l_{0}\;$ est quelconque.

Solution

Dans le cadre d'un solide ponctuel $\;M\;$ attaché à un fil idéal de longueur $\;l_{0}\;$ s'enroulant sur un cylindre fixe de rayon $\;a={\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}\;$ en restant dans un plan $\;\perp \;$ à l'axe horizontal du cylindre, graphe de la fonction $\;f(\theta )=l_{0}\left\lbrace {\dfrac {\sin(\theta )}{2\;\pi }}+\left[1-{\dfrac {\theta }{2\;\pi }}\right]\cos(\theta )\right\rbrace$

•      Dans l'hypothèse où $\;{\dfrac {l_{0}}{a}}=2\;\pi \;$ ${\big (}$le fil totalement enroulé correspondant à un seul tour de cylindre${\big )}$, représentation du graphe de la fonction «$\;f(\theta )=a\;\sin(\theta )+\left[l_{0}-a\;\theta \right]\,\cos(\theta )\;$ $=l_{0}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\sin(\theta )+\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\cos(\theta )\right\rbrace \;$» ci-contre, justification ci-après :
       «$\;{\dfrac {df}{d\theta }}(\theta )=l_{0}\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\cos(\theta )-\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\sin(\theta )-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\cos(\theta )\right\rbrace =-l_{0}\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\sin(\theta )\;$» dont on déduit la variation de $\;f(\theta )$ : «$\;f(\theta )\searrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$» puis «$\;\nearrow \;$ sur $\;\left[\pi \,,\,2\;\pi \right]\;$» avec les valeurs ci-après «$\;f(0)=l_{0}\;$», «$\;f\!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)=$ ${\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}=a\;$», «$\;f(\pi )=$ $-{\dfrac {l_{0}}{2}}\;$», «$\;f\!\left({\dfrac {3\;\pi }{2}}\right)=-{\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}=-a\;$» et «$\;f(2\;\pi )=0\;$».
•      Dans la mesure où le fil reste tendu, «$\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ne s'annulera jamais si $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ est telle que $\;f(\theta )>l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}},\;\;\forall \;\theta \;$» $\;{\Bigg \{}$la raison en étant que «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\left\lbrace {\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ ne s'annule pas si $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}>-f\!\left[\theta (t)\right],\;\;\forall \;t\;$»${\Bigg \}}\;$ et pour cela il suffit d'imposer «$\;f_{\text{min}}>l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}\;$» soit encore «$\;V_{0}>{\sqrt {2\;g\left(l_{0}-f_{\text{min}}\right)}}\;$» ;
       Dans la mesure où le fil reste tendu, le minimum de $\;f(\theta )\;$ étant obtenu pour $\;\theta =\pi \;$ et valant $\;f(\pi )=-{\dfrac {l_{0}}{2}}$, on en déduit la « vitesse critique au-delà de laquelle $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ne s'annule jamais $\;{\big (}$dans la mesure où le fil reste tendu${\big )}$ $\;V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {3\;g\;l_{0}}}\;$».
•      Dans l'hypothèse où $\;l_{0}\;$ est quelconque on généralise aisément ce résultat, la fonction $\;f(\theta )=a\;\sin(\theta )+\left[l_{0}-a\;\theta \right]\,\cos(\theta )\;$ étant de même variation que dans le cas particulier $\;l_{0}=2\;\pi \;a$, sa dérivée s'écrivant «$\;{\dfrac {df}{d\theta }}(\theta )=a\;\cos(\theta )-\left[l_{0}-a\;\theta \right]\,\sin(\theta )-a\;\cos(\theta )=$ $-\left[l_{0}-a\;\theta \right]\,\sin(\theta )\;$» dont on déduit la variation suivante de la fonction : «$\;f(\theta )\searrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$» puis «$\;\nearrow \;$ sur $\;\left[\pi \,,\,2\;\pi \right]\;$» suivi de «$\;\searrow \;$ sur $\;\left[2\;\pi \,,\,3\;\pi \right]\;$» etc$\ldots \;$ avec les valeurs ci-après «$\;f(0)=l_{0}\;$», «$\;f\!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)=a\;$», «$\;f(\pi )=-\left(l_{0}-a\;\pi \right)\;$», «$\;f\!\left({\dfrac {3\;\pi }{2}}\right)=-a\;$», «$\;f(2\;\pi )=l_{0}-2\;a\;\pi \;$», «$\;f\!\left({\dfrac {5\;\pi }{2}}\right)=a\;$», «$\;f(3\;\pi )=-\left(l_{0}-3\;a\;\pi \right)\;$» $\ldots \;$ ${\big (}$ces valeurs n'ayant de signification que dans l'hypothèse $\;l_{0}>3\;a\;\pi \;$${\big )}$ ;
       Dans l'hypothèse où $\;\color {transparent}{l_{0}}\;$ est quelconque dans la mesure où le fil reste tendu, «$\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ne s'annulera jamais si $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ est telle que $\;f(\theta )>l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}},\;\;\forall \;\theta \;$» $\;{\Bigg \{}$la raison en étant que la grandeur «$\;\left[l_{0}-a\;\theta (t)\right]^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)$ $=2\;g\left\lbrace {\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+f\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ ne s'annule pas si $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}>-f\!\left[\theta (t)\right],\;\;\forall \;t\;$»${\Bigg \}}\;$ et pour cela il suffit d'imposer «$\;f_{\text{min}}>l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}\;$» soit «$\;V_{0}>{\sqrt {2\;g\left(l_{0}-f_{\text{min}}\right)}}\;$» ou, avec $\;f_{\text{min}}=f(\pi )=$ $-\left(l_{0}-a\;\pi \right)$, la « condition pour que $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ne s'annule jamais $\;{\big (}$dans la mesure où le fil reste tendu${\big )}\;$ se réécrit selon $\;V_{0}>{\sqrt {2\;g\left(2\;l_{0}-a\;\pi \right)}}=V_{0,\,{\text{min}}}\;$» .

Dans le cadre d'un solide ponctuel $\;M\;$ attaché à un fil idéal de longueur $\;l_{0}\;$ s'enroulant sur un cylindre fixe de rayon $\;a={\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}\;$ en restant dans un plan $\;\perp \;$ à l'axe horizontal du cylindre, graphe de la fonction $\;h(\theta )=l_{0}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\sin(\theta )+{\dfrac {3}{2}}\,\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\cos(\theta )\right\rbrace$

•      Dans l'hypothèse où $\;{\dfrac {l_{0}}{a}}=2\;\pi \;$ ${\big (}$le fil totalement enroulé correspondant à un seul tour de cylindre${\big )}$, représentation du graphe de la fonction «$\;h(\theta )=a\;\sin(\theta )+{\dfrac {3}{2}}\,\left[l_{0}-a\;\theta \right]\,\cos(\theta )\;$ $=l_{0}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\sin(\theta )+{\dfrac {3}{2}}\,\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\cos(\theta )\right\rbrace$» ci-contre, nécessitant l'utilisation d'une calculatrice graphique $\;{\big (}$ou d'un calculateur numérique${\big )}\;$ sur laquelle on déduit la variation de la fonction : «$\;h(\theta )\searrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,\theta _{1}\right]\;$ avec $\;\theta _{1}\in \left]{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right[\;$» puis «$\;\nearrow \;$ sur $\;\left[\theta _{1}\,,\,\theta _{2}\right]\;$ avec $\;\theta _{2}\in \left]{\dfrac {3\;\pi }{2}}\,,\,2\;\pi \right[\;$» et enfin «$\;\searrow \;$ sur $\;\left[\theta _{2}\,,\,2\;\pi \right]\;$» ; ci-après quelques valeurs de la fonction «$\;h(0)={\dfrac {3\;l_{0}}{2}}\;$», «$\;h\!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}=a\;$», «$\;h(\pi )=-{\dfrac {3\;l_{0}}{4}}\;$», «$\;h\!\left({\dfrac {3\;\pi }{2}}\right)=$ $-{\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}=-a\;$» et «$\;h(2\;\pi )$ $=0\;$».
•      Dans la mesure où la position étudiée peut être atteinte , «$\;T(t)\;$ restera $\;>0\;$ si $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ vérifie $\;h(\theta )>l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}},\;\;\forall \;\theta \;$» ${\Bigg \{}$en effet «$\;T(t)={\dfrac {2\;m\;g}{l_{0}-a\;\theta (t)}}\left\lbrace {\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+h\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ ne s'annule pas si $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}>-h\!\left[\theta (t)\right],\;\;\forall \;t\;$»${\Bigg \}}$, ce qui est réalisé si «$\;h_{\text{min}}>l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}\;$» soit encore «$\;V_{0}>{\sqrt {2\;g\left(l_{0}-h_{\text{min}}\right)}}=V_{0,\,{\text{crit}}}\;$» avec $\;h_{\text{min}}=h(\theta _{1})<h(\pi )=-{\dfrac {3\;l_{0}}{4}}\;$ d'où un « minorant de la vitesse critique pour que le fil reste tendu $\;V_{0,\,{\text{crit}}}={\sqrt {2\;g\left(l_{0}-h_{\text{min}}\right)}}>{\sqrt {\dfrac {7\;g\;l_{0}}{2}}}\;$» «$\;>{\sqrt {3\;g\;l_{0}}}=V_{0,\,{\text{min}}}\;$» .
•      Dans l'hypothèse où $\;l_{0}\;$ est quelconque, la fonction «$\;h(\theta )=a\;\sin(\theta )+{\dfrac {3}{2}}\,\left[l_{0}-a\;\theta \right]\,\cos(\theta )\;$» est de même variation que dans le cas particulier $\;l_{0}=2\;\pi \;a$ ${\bigg \{}$en effet la dérivée étant égale à $\;{\dfrac {dh}{d\theta }}(\theta )=a\;\cos(\theta )-{\dfrac {3}{2}}\,\left[l_{0}-a\;\theta \right]\,\sin(\theta )-{\dfrac {3}{2}}\,a\;\cos(\theta )=$ $-\left[{\dfrac {a}{2}}\;\cos(\theta )+{\dfrac {3}{2}}\,\left(l_{0}-a\;\theta \right)\,\sin(\theta )\right]\;$ ne permet pas de déterminer algébriquement ses zéros, ce qui nécessite l'utilisation d'une calculatrice graphique $\;{\big (}$ou d'un calculateur numérique${\big )}\;$ conduisant à une même allure de courbe${\bigg \}}\;$ avec pour valeurs de la fonction «$\;h(0)={\dfrac {3\;l_{0}}{2}}\;$», «$\;h\!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)=a\;$», «$\;h_{\text{min}}=h(\theta _{1})<h(\pi )=$ $-{\dfrac {3\left(l_{0}-a\;\pi \right)}{2}}\;$» , «$\;h\!\left({\dfrac {3\;\pi }{2}}\right)$ $=-a\;$», «$\;h_{2^{\text{ème}}{\text{max}}}=h(\theta _{2})<h(2\;\pi )={\dfrac {3\left(l_{0}-2\;a\;\pi \right)}{2}}\;$» , «$\;h\!\left({\dfrac {5\;\pi }{2}}\right)=a\;$», «$\;h_{2^{\text{ème}}{\text{min}}}=h(\theta _{3})<h(3\;\pi )=-{\dfrac {3\left(l_{0}-3\;a\;\pi \right)}{2}}\;$» $\ldots \;$ ${\big (}$ces valeurs n'ayant de signification que dans l'hypothèse $\;l_{0}>3\;a\;\pi \;$${\big )}$ ;
       Dans l'hypothèse où $\;\color {transparent}{l_{0}}\;$ est quelconque, dans la mesure où la position peut être atteinte , «$\;T(t)\;$ restera $\;>0\;$ si $\;V_{0}>{\sqrt {2\;g\left(l_{0}-h_{\text{min}}\right)}}=V_{0,\,{\text{crit}}}\;$ avec $\;h_{\text{min}}=h(\theta _{1})<h(\pi )=-{\dfrac {3\left(l_{0}-a\;\pi \right)}{2}}\;$» $\;{\Bigg \{}$en effet «$\;T(t)={\dfrac {2\;m\;g}{l_{0}-a\;\theta (t)}}\left\lbrace {\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}+h\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ ne s'annule pas si $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{2\;g}}-l_{0}>-h\!\left[\theta (t)\right],\;\;\forall \;t\;$» réalisé si «$\;h_{\text{min}}>l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}\;$»${\Bigg \}}$, d'où un «minorant de la vitesse critique pour que le fil reste tendu $\;V_{0,\,{\text{crit}}}={\sqrt {2\;g\left(l_{0}-h_{\text{min}}\right)}}>{\sqrt {g\,\left(7\;l_{0}-3\;a\;\pi \right)}}\;$» avec la propriété suivante «$\;V_{0,\,{\text{crit}}}>{\sqrt {g\,\left(7\;l_{0}-3\;a\;\pi \right)}}>{\sqrt {g\,\left(6\;l_{0}-3\;a\;\pi \right)}}={\sqrt {\dfrac {3}{2}}}\;{\sqrt {g\,\left(4\;l_{0}-2\;a\;\pi \right)}}={\sqrt {\dfrac {3}{2}}}\;V_{0,\,{\text{min}}}>V_{0,\,{\text{min}}}\;$».

Dans le cadre d'un solide ponctuel $\;M\;$ attaché à un fil idéal de longueur $\;l_{0}\;$ s'enroulant sur un cylindre fixe de rayon $\;a={\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}\;$ en restant dans un plan $\;\perp \;$ à l'axe horizontal du cylindre, superposition des graphes des fonctions $\;f(\theta )=l_{0}\left\lbrace {\dfrac {\sin(\theta )}{2\;\pi }}+\left[1-{\dfrac {\theta }{2\;\pi }}\right]\cos(\theta )\right\rbrace$ ${\big (}$traits pleins${\big )}\;$et $\;h(\theta )=l_{0}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\sin(\theta )+{\dfrac {3}{2}}\,\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\cos(\theta )\right\rbrace$ ${\big (}$traits tiretés${\big )}$

     Les deux graphes précédents, dans l'hypothèse où $\;{\dfrac {l_{0}}{a}}=2\;\pi \;$ ${\big (}$le fil totalement enroulé correspondant à un seul tour de cylindre${\big )}\;$ étant représentés ci-contre sur un même diagramme, « celui de $\;f(\theta )=l_{0}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\sin(\theta )+\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\cos(\theta )\right\rbrace \;$ en traits pleins » et « celui de $\;h(\theta )=l_{0}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\sin(\theta )+{\dfrac {3}{2}}\,\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\cos(\theta )\right\rbrace \;$ en traits tiretés », nous constatons :

     Les deux graphes précédents, $\blacktriangleright \;$si «$\;V_{0}>V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {3\;g\;l_{0}}}\;$», $\;f(\theta )>l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}},\;\;\forall \;\theta \;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ne s'annule jamais tant que le fil reste tendu » $\;{\big [}$cas $\;({\mathfrak {1}})\;$ ou $\;({\mathfrak {2}})\;$ sur le diagramme ci-contre${\big ]}\;$ mais
     Les deux graphes précédents, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$si «$\;\color {transparent}{V_{0}>V_{0,\,{\text{min}}}}$ $\succ \;$si «$\;V_{0}>V_{0,\,{\text{crit}}}={\sqrt {2\;g\left(l_{0}-h_{\text{min}}\right)}}>{\sqrt {\dfrac {7\;g\;l_{0}}{2}}}>{\sqrt {3\;g\;l_{0}}}=v_{0,\,{\text{min}}}\;$» $\;{\big [}$cas $\;({\mathfrak {1}})\;$ sur le diagramme ci-contre${\big ]}\;$ la droite $\;\parallel \;$ à l'axe des abscisses et d'ordonnée $\;l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}\;$ n'ayant aucun point d'intersection avec le graphe de $\;h(\theta )$, la tension $\;T(t)\;$ reste toujours $\;>0\;$ c.-à-d. que le fil reste toujours tendu jusqu'à ce qu'il soit totalement enroulé sur le cylindre , «$\;\theta \;$ valant alors $\;\theta _{a}=2\;\pi \;$» alors que
     Les deux graphes précédents, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$si «$\;\color {transparent}{V_{0}>V_{0,\,{\text{min}}}}$ $\succ \;$si «$\;V_{0}\in \left]V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {3\;g\;l_{0}}}\;,\;V_{0,\,{\text{crit}}}={\sqrt {2\;g\left(l_{0}-h_{\text{min}}\right)}}\right[\;$» $\;{\big [}$cas $\;({\mathfrak {2}})\;$ sur le diagramme ci-contre${\big ]}\;$ la droite $\;\parallel \;$ à l'axe des abscisses et d'ordonnée $\;l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}\;$ coupant le graphe de $\;h(\theta )\;$ une 1^ère fois en un point d'abscisse $\;\theta _{\mathit {l}}\in \left]{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\theta _{1}\right[$, la tension $\;T(t)\;$ cesse d'être $\;>0\;$ pour la valeur $\;\theta _{\mathit {l}}\;$ de $\;\theta \;$ c.-à-d. que le fil cesse d'être tendu en la position repérée par$\;\theta _{\mathit {l}}$ $\;\ldots$
     Les deux graphes précédents, $\blacktriangleright \;$si «$\;V_{0}<V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {3\;g\;l_{0}}}\;$», attendre l'étude sur la figure ci-dessous.
     Les deux graphes précédents, Si $\;l_{0}\;$ est quelconque avec «$\;V_{0}>V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {2\;g\left(2\;l_{0}-a\;\pi \right)}}\;$», le traitement se fait de façon identique et conduit aux mêmes conclusions à savoir
     Les deux graphes précédents, si $\;\color {transparent}{l_{0}}\;$ est quelconque $\succ \;$si «$\;V_{0}>V_{0,\,{\text{crit}}}={\sqrt {2\;g\left(l_{0}-h_{\text{min}}\right)}}>{\sqrt {g\,\left(7\;l_{0}-3\;a\;\pi \right)}}>V_{0,\,{\text{min}}}\;$» , la tension $\;T(t)\;$ reste toujours $\;>0\;$ c.-à-d. que le fil reste toujours tendu jusqu'à ce qu'il soit totalement enroulé sur le cylindre , «$\;\theta \;$ valant alors $\;\theta _{a}={\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}\;$» alors que
     Les deux graphes précédents, si $\;\color {transparent}{l_{0}}\;$ est quelconque $\succ \;$si «$\;V_{0}\in \left]V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {g\,\left(4\;l_{0}-2\;a\;\pi \right)}}\;,\;V_{0,\,{\text{crit}}}={\sqrt {2\;g\left(l_{0}-h_{\text{min}}\right)}}\right[\;$» , la tension $\;T(t)\;$ cesse d'être $\;>0\;$ pour la valeur $\;\theta _{\mathit {l}}\;$ de $\;\theta \;$ c.-à-d. que le fil cesse d'être tendu en cette position repérée$\;\theta _{\mathit {l}}$ $\;\ldots$

Dans le cadre d'un solide ponctuel $\;M\;$ attaché à un fil idéal de longueur $\;l_{0}\;$ s'enroulant sur un cylindre fixe de rayon $\;a={\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}\;$ en restant dans un plan $\;\perp \;$ à l'axe horizontal du cylindre, superposition des graphes des fonctions $\;f(\theta )=l_{0}\left\lbrace {\dfrac {\sin(\theta )}{2\;\pi }}+\left[1-{\dfrac {\theta }{2\;\pi }}\right]\cos(\theta )\right\rbrace$ ${\big (}$traits pleins${\big )}\;$et $\;h(\theta )=l_{0}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\sin(\theta )+{\dfrac {3}{2}}\,\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\cos(\theta )\right\rbrace$ ${\big (}$traits tiretés${\big )}$

     La superposition des graphes de $\;f(\theta )\;$ et de $\;h(\theta )$, dans l'hypothèse où $\;{\dfrac {l_{0}}{a}}=2\;\pi \;$ ${\big (}$le fil totalement enroulé correspondant à un seul tour de cylindre${\big )}\;$ étant représentés ci-contre sur un même diagramme, « celui de $\;f(\theta )=l_{0}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\sin(\theta )+\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\cos(\theta )\right\rbrace \;$ en traits pleins » et « celui de $\;h(\theta )=l_{0}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\sin(\theta )+{\dfrac {3}{2}}\,\left[1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\;\theta \right]\,\cos(\theta )\right\rbrace \;$ en traits tiretés », nous constatons :

     La superposition des graphes $\blacktriangleright \;$si «$\;V_{0}>V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {3\;g\;l_{0}}}\;$», étude déjà faite $\;{\big [}$cas $\;({\mathfrak {1}})\;$ ou $\;({\mathfrak {2}})\;$ sur diagramme ci-dessus à droite${\big ]}\;$ et
     La superposition des graphes $\blacktriangleright \;$si «$\;V_{0}<V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {3\;g\;l_{0}}}\;$», la droite $\;\parallel \;$ à l'axe des abscisses et d'ordonnée $\;l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}\;$ coupant le graphe de $\;f(\theta )\;$ une 1^ère fois en un point d'abscisse $\;\theta _{s}\in \left]0\,,\,\pi \right[$, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ s'annule en cette position $\;{\big (}$si toutefois le fil y est tendu${\big )}\;$ suivi d'un changement de sens du mouvement $\;{\big [}$cas $\;({\mathfrak {3}})\;$ ou $\;({\mathfrak {4}})\;$ sur le diagramme ci-contre${\big ]}\;$ mais la même droite $\;\parallel \;$ à l'axe des abscisses et d'ordonnée $\;l_{0}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}\;$ coupant aussi le graphe de $\;h(\theta )\;$ une 1^ère fois en un point d'abscisse $\;\theta _{\mathit {l}}\;$ en lequel la tension $\;T(t)\;$ s'annule, il convient d'envisager les deux possibilités $\;\theta _{\mathit {l}}<\theta _{s}\;$ et $\;\theta _{\mathit {l}}>\theta _{s}$ :
     La superposition des graphes $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$si «$\;\color {transparent}{V_{0}<V_{0,\,{\text{min}}}}$ $\succ \;$si «$\;V_{0}<V_{0,\,{\text{crit}}'}\;$» 2^ème vitesse critique pour laquelle $\;\theta _{\mathit {l}}=\theta _{s}\;$ de valeur commune $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ correspondant à $\;l_{0}-{\dfrac {V_{0,\,{\text{crit}}'}^{\,2}}{2\;g}}=a={\dfrac {l_{0}}{2\;\pi }}\;$ soit «$\;V_{0,\,{\text{crit}}'}={\sqrt {2\;g\left(l_{0}-a\right)}}={\sqrt {2\;g\;l_{0}\left(1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\right)}}\;$» ${\big [}$cas $\;({\mathfrak {3}})\;$ sur le diagramme ci-contre${\big ]}$, $\;\theta _{\mathit {l}}\;$ est $\;<\;$ à $\;\theta _{s}$, le fil cesse d’être tendu pour$\;\theta =\theta _{\mathit {l}}\;$ ${\big (}$le point $\;I\;$ y ayant encore une vitesse angulaire positive${\big )}\;$ alors que
     La superposition des graphes $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$si «$\;\color {transparent}{V_{0}<V_{0,\,{\text{min}}}}$ $\succ \;$si «$\;V_{0}\in \left]V_{0,\,{\text{crit}}'}={\sqrt {2\;g\;l_{0}\left(1-{\dfrac {1}{2\;\pi }}\right)}}\;,\;<V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {3\;g\;l_{0}}}\right[\;$» ${\big [}$cas $\;({\mathfrak {4}})\;$ sur le diagramme ci-contre${\big ]}$, $\;\theta _{s}\;$ est $\;<\;$ à $\;\theta _{\mathit {l}}$, la vitesse angulaire du point$\;I\;$s'annule pour$\;\theta =\theta _{s}\;$ ${\big (}$le fil y étant encore tendu${\big )}\;$ et par suite le mouvement continue en sens inverse, le fil restant toujours tendu.
     La superposition des graphes Si $\;l_{0}\;$ est quelconque avec «$\;V_{0}<V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {2\;g\left(2\;l_{0}-a\;\pi \right)}}\;$», le traitement se faisant de façon identique
     La superposition des graphes Si $\;\color {transparent}{l_{0}}\;$ est quelconque avec «$\;\color {transparent}{V_{0}<V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {2\;g\left(2\;l_{0}-a\;\pi \right)}}}\;$», le traitement $\Rightarrow$ les mêmes conclusions
     La superposition des graphes Si $\;\color {transparent}{l_{0}}\;$ est quelconque $\succ \;$si «$\;V_{0}<V_{0,\,{\text{crit}}'}={\sqrt {2\;g\left(l_{0}-a\right)}}\;$», $\;\theta _{\mathit {l}}\;$ est $\;<\;$ à $\;\theta _{s}$, le fil cesse d’être tendu pour$\;\theta =\theta _{\mathit {l}}\;$ ${\big (}$le point $\;I\;$ y ayant encore une vitesse angulaire positive${\big )}\;$ et
     La superposition des graphes Si $\;\color {transparent}{l_{0}}\;$ est quelconque $\succ \;$si «$\;V_{0}\in \left]V_{0,\,{\text{crit}}'}={\sqrt {2\;g\left(l_{0}-a\right)}}\;,\;V_{0,\,{\text{min}}}={\sqrt {2\;g\left(2\;l_{0}-a\;\pi \right)}}\right[\;$», la vitesse angulaire du point$\;I\;$s'annule pour$\;\theta =\theta _{s}\;$ ${\big (}$le fil y étant encore tendu${\big )}\;$ et par suite le mouvement continue en sens inverse, le fil restant toujours tendu $\;\ldots$