Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

Exemple de mouvement rectiligne défini par son abscisse horaire

     Un point matériel se déplace le long de l'axe $\;Ox$, son abscisse étant donnée en fonction du temps par la loi horaire : $\;x=3\,t^{3}-t\;$ ${\big (}t\;\in \;\mathbb {R} {\big )}$.

Explicitation des grandeurs cinématiques du mouvement du point

     Calculer, en fonction du temps $\;t$, la vitesse $\;v=V_{x}(t)\;$ et l'accélération $\;a=a_{x}(t)\;$ du point le long de l'axe $\;Ox$.

Solution

     La vitesse $\;v=V_{x}(t)\;$ du point $\;M\;$ le long de l'axe $\;Ox\;$ s'obtient par $\;v={\dot {x}}(t)=9\,t^{2}-1$.

     L'accélération $\;a=a_{x}(t)\;$ du point $\;M\;$ le long de l'axe $\;Ox\;$ s'obtient par $\;a={\dot {v}}(t)=18\,t$.

 

Tracé des diagrammes horaires de vitesse et de position

     Tracer les diagrammes horaires

• de vitesse à savoir le graphe de l'équation horaire de vitesse $\;v=V_{x}(t)\;$ en fonction du temps et
• de position à savoir le graphe de l'équation horaire de position $\;x=x(t)\;$ en fonction du temps ;

     Préciser la nature accélérée ou retardée du mouvement suivant les valeurs de $\;t$.

Solution

Diagramme horaire de la vitesse $\;v(t)=9\,t^{2}-1$ : parabole d'axe $\;t=0$, de concavité tournée vers les $\;v>0$, coupant l'axe des temps pour $\;t=-{\dfrac {1}{3}}\;$ et $\;t=+{\dfrac {1}{3}}$

Diagramme horaire de l'abscisse $\;x(t)=3\,t^{3}-t$ : courbe de centre de symétrie $\;(t=0\,,\,x=0)$, extrémale pour $\;t=-{\dfrac {1}{3}}\;$ et $\;t=+{\dfrac {1}{3}}\;$ et s'annulant pour $\;t=-{\dfrac {1}{\sqrt {3}}}$, $\;t=0\;$ et $\;t=+{\dfrac {1}{\sqrt {3}}}$

     L'étude du signe de $\;a(t)\;$ nous conduit à

• $\;v\searrow \;$ pour $\;t<0$,
• $\;v\nearrow \;$ pour $\;t>0$ ;

     le graphe représentant le diagramme horaire de la vitesse $\;{\big (}$voir ci-contre à gauche${\big )}\;$ est une parabole d'axe $\;t=0\;$ et de concavité tournée vers les $\;v>0$, $\;v\;$ s'annulant pour $\;t=\pm {\dfrac {1}{3}}$.

     D'une part le graphe de $\;v=v(t)\;$ nous donne le signe de $\;{\dot {x}}(t)\;$ d'où :

• $\;x\nearrow \;$ pour $\;t<-{\dfrac {1}{3}}$,
• $\;x\searrow \;$ pour $\;-{\dfrac {1}{3}}<t<{\dfrac {1}{3}}\;$ et
• $\;x\nearrow \;$ pour $\;t>+{\dfrac {1}{3}}$

     d'autre part $\;x(t)\;$ s'annule pour $\;t=\pm {\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\;$ et pour $\;t=0\;$
     et enfin, $\;x(t)\;$ étant impaire, le point $\;(0,\,0)\;$ est centre de symétrie de ce diagramme horaire d'où
     le graphe représentant le diagramme horaire de l'abscisse $\;{\big (}$voir ci-contre à droite${\big )}$.

     Nature accélérée ou retardée du mouvement suivant les valeurs de$\;t$ : voir sur les diagrammes,

     Nature accélérée ou retardée du mouvement il suffit de se souvenir de la définition d'une phase accélérée réalisée si $\;a\,v>0\;$ ou

     Nature accélérée ou retardée du mouvement il suffit de se souvenir de la définition d'une phase retardée réalisée si $\;a\,v<0$.

 

Exemple de mouvement plan défini par ses positions horaires

     But de cet exercice : déterminer le rayon de courbure de la trajectoire plane d'un point en repérage cartésien en fonction de sa position sur la trajectoire.

     Un point $\;M\;$ a pour lois horaires cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=2\,t-2\\y=t^{2}-2\,t+3\\z=0\end{array}}\right\rbrace \;$ dans lesquelles $\;t\;$ représente la date en $\;s\;$ et les longueurs sont exprimées en $\;cm$.

Détermination de l'équation cartésienne de la trajectoire

     Vérifier que le mouvement est plan en précisant le plan dans lequel il se produit et

     déduire, des lois horaires cartésiennes du point, l'équation cartésienne de sa trajectoire.

Solution

Trajectoire d'équations paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=2\,t-2\\y=t^{2}-2\,t+3\end{array}}\right\rbrace \;$ parabolique dans le plan $\;(xOy)$, d'axe $\;Ox$, de concavité tournée vers les $\;y>0\;$ et de sommet $\;S\,\left(0,\,2\right)\;$ atteint à l'instant $\;t=1\,s$

     L'équation $\;z=0\;$ étant celle du plan $\;(xOy)$, on en conclut que la trajectoire du point $\;M\;$ est plane contenue dans le plan $\;(xOy)$ ;

     pour déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire dans le plan $\;(xOy)\;$ il suffit d'éliminer $\;t\;$ entre les deux 1^ères équations paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=2\,t-2\\y=t^{2}-2\,t+3\end{array}}\right\rbrace$, ce qui donne $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t={\dfrac {x}{2}}+1\\y=\left({\dfrac {x}{2}}+1\right)^{2}-2\left({\dfrac {x}{2}}+1\right)+3\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement
     pour déterminer l'équation cartésienne $\;y={\dfrac {x^{2}}{4}}+2\;$ caractérisant une parabole $\succ \;$d'axe $\;Ox$,
     pour déterminer l'équation cartésienne $\;\color {transparent}{y={\dfrac {x^{2}}{4}}+2}\;$ caractérisant une parabole $\succ \;$de concavité vers les $\;y>0\;$ et
     pour déterminer l'équation cartésienne $\;\color {transparent}{y={\dfrac {x^{2}}{4}}+2}\;$ caractérisant une parabole $\succ \;$de sommet $\;S\;\left(0\,,\,2\right)\;$ ${\bigg [}$le sommet $\;S\;$ étant tel que $\;x_{S}=0\;$ est atteint à l'instant $\;t_{S}={\dfrac {x_{S}}{2}}+1=1\,s{\bigg ]}$ :

     pour déterminer l'équation cartésienne $\;\color {transparent}{y={\dfrac {x^{2}}{4}}+2}\;$ caractérisant une parabole $\succ \;$de concavité vers les $\;y>0\;$ et
     pour déterminer l'équation cartésienne $\;\color {transparent}{y={\dfrac {x^{2}}{4}}+2}\;$ caractérisant une parabole $\color {transparent}{\succ }\;$voir tracé ci-contre.

 

Détermination des grandeurs cinématiques du mouvement du point

     Déterminer, en fonction du temps $\;t$, les grandeurs cinématiques vectorielles $\;{\big (}$par leurs composantes dans le plan du mouvement du point${\big )}\;$ ou scalaires ci-dessous :

• les composantes cartésiennes du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)$,
• la vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$,
• les composantes cartésiennes du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)$,
• l'accélération tangentielle $\;a_{\tau ,\,M}(t)\;$ et
• l'accélération normale $\;a_{n,\,M}(t)\;$.

Solution

     Composantes cartésiennes du vecteur vitesse : elles s'obtiennent par dérivation temporelle des lois horaires cartésiennes soit $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}(t)={\dot {x}}(t)=2\\V_{y}(t)={\dot {y}}(t)=2\;t-2\\V_{z}(t)={\dot {z}}(t)=0\end{array}}\right\rbrace$ ;

     vitesse instantanée  : sa valeur absolue s'identifie à la norme du vecteur vitesse soit $\;\vert v_{M}(t)\vert =\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{x}^{2}(t)+V_{y}^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}={\sqrt {4+4\,\left(t-1\right)^{2}}}=2\;{\sqrt {t^{2}-2\;t+2}}$ ;
         vitesse instantanée : cherchons les éventuels zéros de $\;\vert v_{M}(t)\vert$, le polynôme du 2^ème degré admettant pour discriminant réduit $\;\Delta '=(-1)^{2}-2=-1<0$, n'a pas de zéros réels et par suite, le mouvement ne change pas de sens sur la trajectoire, $\;v_{M}(t)\;$ sera donc $\;>0\;$ si on choisit le sens $\;+\;$ dans le sens du mouvement, à savoir dans le sens des $\;x\nearrow \;$ d'où $\;v_{M}(t)=2\;{\sqrt {t^{2}-2\;t+2}}$ ;

     composantes cartésiennes du vecteur accélération : elles s'obtiennent par dérivation temporelle des lois horaires cartésiennes de vitesse $\;{\big (}$ou en prenant les dérivées temporelles 2^ndes des lois horaires cartésiennes${\big )}\;$ soit $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}(t)={\dot {V_{x}}}(t)={\ddot {x}}(t)=0\\a_{y}(t)={\dot {V_{y}}}(t)={\ddot {y}}(t)=2\\a_{z}(t)={\dot {V_{z}}}(t)={\ddot {z}}(t)=0\end{array}}\right\rbrace$ ;

     accélération tangentielle  : elle s'obtient par dérivation temporelle de la vitesse instantanée soit $\;a_{\tau ,\,M}(t)={\dot {v}}_{M}(t)=2\;{\dfrac {1}{2}}\left(t^{2}-2\,t+2\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(2\,t-2\right)\;$ et finalement $\;a_{\tau ,\,M}(t)={\dfrac {2\left(t-1\right)}{\sqrt {t^{2}-2\,t+2}}}$ ;

     accélération normale  : utilisant $\;a_{n,\,M}(t)={\sqrt {\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ^{2}-a_{\tau ,\,M}^{2}(t)}}\;$, il faut commencer par déterminer $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert \;$ mais, sans calcul, on trouve $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =2$ ;
         accélération normale : on en déduit $\;a_{n,\,M}(t)={\sqrt {(2)^{2}-\left[{\dfrac {2\left(t-1\right)}{\sqrt {t^{2}-2\,t+2}}}\right]^{2}}}=2\;{\sqrt {\dfrac {\left(t^{2}-2\,t+2\right)-\left(t-1\right)^{2}}{t^{2}-2\,t+2}}}={\dfrac {2}{\sqrt {t^{2}-2\,t+2}}}$.

 

Détermination du rayon de courbure de la trajectoire du point en fonction de la position de ce dernier

     Déduire, de ce qui précède, l'expression du rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}(t)\;$ de la trajectoire du point quand ce dernier est positionné à la date $\;t$,

     évaluer le aux dates $\;t_{0}=0\;$ et $\;t_{1}=1\;s\;$ puis

     commenter les résultats obtenus.

Solution

     On utilise $\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {\left[v_{M}(t)\right]^{2}}{{\mathcal {R}}_{M}(t)}}\;$ soit $\;{\mathcal {R}}_{M}(t)={\dfrac {\left[v_{M}(t)\right]^{2}}{a_{n,\,M}(t)}}={\dfrac {4\left(t^{2}-2\,t+2\right)}{\dfrac {2}{\sqrt {t^{2}-2\,t+2}}}}=2\,\left(t^{2}-2\,t+2\right)^{\frac {3}{2}}$.

     Évaluation du rayon de courbure de la parabole à des instants particuliers : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {R}}(t=0)=4\,{\sqrt {2}}\\{\mathcal {R}}(t=1)=2\end{array}}\right\rbrace \;$ nous conduit à $\;{\mathcal {R}}(t=1)<{\mathcal {R}}(t=0)$ ;

          Évaluation du rayon de courbure de la parabole à des instants particuliers : ceci est en accord avec le fait que $\;M\;$ est au sommet de la parabole à $\;t=1\,s\;$ et
          Évaluation du rayon de courbure de la parabole à des instants particuliers : ceci est en accord avec le fait que c'est au sommet que le rayon de courbure est minimal sur une parabole.

 

Lancement d'une torpille sur un navire

Schéma de situation initiale lorsqu'un sous-marin immobile, stationnant en surface, lance une torpille en direction d'un navire en mouvement rectiligne uniforme

     Un navire $\;N\;$ est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ le long d'une droite $\;(D)$.

     Un sous-marin immobile $\;S\;$ ${\big (}$que nous supposerons en surface pour simplifier l'étude et bien sûr en dehors de la trajectoire du navire${\big )}\;$ tire une torpille $\;T\;$ à l'instant où l'angle $\;{\widehat {({\vec {V}},\,{\overrightarrow {NS}})}}\;$ a la valeur $\;\alpha \;$ ${\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$.

Détermination de la valeur de l'angle de tir θ pour que la torpille coule le navire

     La torpille lancée $\;T\;$ étant animée d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse de norme $\;U$, quelle doit être la valeur de l'angle de tir $\;\theta ={\widehat {({\overrightarrow {SN}},\,{\vec {U}})}}\;$ si le commandant du sous-marin veut couler le navire $\;N$.

Solution

Schéma de situation initiale lorsqu'un sous-marin immobile, stationnant en surface, lance une torpille en direction d'un navire en mouvement rectiligne uniforme avec choix d'une base cartésienne et d'une origine des espaces

     On choisit un repérage de la position du navire à l'instant $\;t\;$ que l'on note $\;N_{t}\;$ et
     On choisit un repérage de celle de la torpille au même instant que l'on note $\;T_{t}\;$
     On choisit un repérage de façon à faire apparaître aisément les angles $\;\alpha \;$ et $\;\theta \;$ ${\big (}$voir figure ci-contre${\big )}\;$
     On choisit un repérage $\Rightarrow$ le choix $\succ \;$de la base cartésienne $\;({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y})\;$ et
     On choisit un repérage $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le choix $\succ \;$de l'origine $\;O\;$ en $\;N_{0}$, position du navire à l'instant $\;0$, la position de la torpille au même instant $\;T_{0}\;$ étant confondue avec celle du sous-marin $\;S\;$ située à la distance $\;d\;$ de $\;N_{0}$.

     La torpille $\;T_{t}\;$ atteindra son objectif $\;N_{t}\;$ si elle arrive au même endroit $\;I\;$ au même instant $\;t_{I}$,
     La torpille $\;\color {transparent}{T_{t}}\;$ atteindra son objectif $\;\color {transparent}{N_{t}}\;$ pour cela il est nécessaire de connaître les lois horaires des mouvements de $\;T_{t}\;$ et $\;N_{t}$ :

• lois horaires du mouvement de$\;N_{t}$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{N}(t)=\left[V\,\cos(\alpha )\right]\,t\\y_{N}(t)=\left[V\,\sin(\alpha )\right]\,t\end{array}}\right\rbrace \;$ et
• lois horaires du mouvement de$\;T_{t}$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{T}(t)=-\left[U\,\cos(\theta )\right]\,t+d\\y_{T}(t)=\left[U\,\sin(\theta )\right]\,t\end{array}}\right\rbrace$ ;

     transcrivons que $\;T_{t}\;$ et $\;N_{t}$ ont même position $\;I\;$ au même instant $\;t_{I}\;$ soit $\;I\,\left\lbrace {\begin{array}{l}\left[V\,\cos(\alpha )\right]\,t_{I}=-\left[U\,\cos(\theta )\right]\,t_{I}+d\\\left[V\,\sin(\alpha )\right]\,t_{I}=\left[U\,\sin(\theta )\right]\,t_{I}\end{array}}\right\rbrace$ ;
     $\;\succ \;$la 2^nde équation nous fournit la relation cherchée $\;V\,\sin(\alpha )=U\,\sin(\theta )\;\;({\mathfrak {a}})\;$ et
     $\;\succ \;$la 1^ère la durée $\;t_{I}\;$ nécessaire pour que la torpille atteigne son but $\;t_{I}={\dfrac {d}{V\,\cos(\alpha )+U\,\cos(\theta )}}\;\;({\mathfrak {b}})$ ;

     il est possible, à partir de $\;({\mathfrak {a}})$, de déduire $\;\theta \;$ en fonction de $\;\alpha$, $\;U\;$ et $\;V\;$ d'où «$\;\sin(\theta )={\dfrac {V}{U}}\;\sin(\alpha )\;$» $\Rightarrow$ «$\;\theta =\arcsin \!\left[{\dfrac {V}{U}}\;\sin(\alpha )\right]\;$».

 

Détermination de la valeur de l'angle α pour minimaliser la durée de tir de la torpille

     Le commandant du sous-marin souhaitant que la torpille $\;T\;$ atteigne le navire $\;N\;$ en un temps minimal, attend que l'angle $\;\alpha \;$ acquiert une valeur $\;\alpha _{0}\;$ ;

     déterminer la valeur $\;\alpha _{0}\;$ de $\;\alpha \;$ pour qu'il en soit ainsi ;

     calculer alors la valeur de l'angle de tir $\;\theta _{0}\;$ correspondant ;

     discuter suivant les normes des vitesses comparées du navire et de la torpille.

Solution

     On souhaite maintenant que $\;t_{I}\;$ soit minimal ; pour cela il faut que le sous-marin $\;S\;$ attende que $\;N\;$ occupe une position telle que la distance $\;SI\;$ soit minimale c.-à-d. $\;\perp \;$ à la direction du mouvement de $\;N\;$ ;
     on en déduit que $\;\alpha _{0}+\theta _{0}={\dfrac {\pi }{2}}\;$ d'où $\;\theta _{0}={\dfrac {\pi }{2}}-\alpha _{0}\;$ que l'on reporte dans $\;({\mathfrak {a}})\;$ soit $\;V\,\sin(\alpha _{0})=U\,\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\alpha _{0}\right)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;V\,\sin(\alpha _{0})=U\,\cos(\alpha _{0})\;$ et finalement «$\;\tan(\alpha _{0})={\dfrac {U}{V}}\;$» ou, en inversant, «$\;\alpha _{0}=\arctan \!\left[{\dfrac {U}{V}}\right]\;$».      Valeur de l'angle de tir$\;\theta _{0}\;$correspondant : $\;\theta _{0}={\dfrac {\pi }{2}}-\alpha _{0}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha _{0}={\dfrac {\pi }{2}}-\theta _{0}\;$ avec $\;\tan(\alpha _{0})={\dfrac {U}{V}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\theta _{0}\right)={\dfrac {U}{V}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\cot(\theta _{0})={\dfrac {U}{V}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {1}{\tan(\theta _{0})}}={\dfrac {U}{V}}\;$ et par suite «$\;\tan(\theta _{0})={\dfrac {V}{U}}\;$» ou, en inversant, «$\;\theta _{0}=\arctan \left[{\dfrac {V}{U}}\right]\;$».

     Discussion : si $\;U\gg V$, $\;\alpha _{0}\simeq {\dfrac {\pi }{2}}\;$ et $\;\theta _{0}\ll 1\;$ $\Rightarrow$ la moindre petite erreur sur la direction de lancement de la torpille fera que cette dernière manquera son but  ;

     Discussion : si $\;U\simeq V\;$, $\;\alpha _{0}\simeq {\dfrac {\pi }{4}}\;$ et $\;\theta _{0}\simeq {\dfrac {\pi }{4}}$, $\;\theta _{0}\;$ n'étant plus très petit, la réussite du tir autorise une petite erreur sur la direction de lancement de la torpille.

     Remarque : On pouvait aussi écrire la condition pour que $\;t_{I}\;$ fonction de $\;\alpha \;$ et de $\;\theta (\alpha )\;$, soit minimale par la C.N. $\;{\dfrac {dt_{I}}{d\alpha }}=0\;$ voir exposé ci-dessous :

     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;({\mathfrak {b}})\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {a}})\;$ $\ldots$ mais la distance $\;d\;$ n'est pas constante dans $\;({\mathfrak {b}})$, mais fonction de $\;\alpha$,
     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\color {transparent}{\ldots }$ mais la distance $\;\color {transparent}{d}\;$ n'est pas constante ${\bigg [}$ce qui reste constant c'est la distance orthogonale $\;h\;$ entre $\;S\;$ et la trajectoire de $\;N\;$ c.-à-d.
     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\color {transparent}{\ldots }$ mais la distance $\;\color {transparent}{d}\;$ n'est pas constante $\color {transparent}{\bigg [}$ce qui reste constant $\;h=d\,\sin(\alpha )\;$ $\Leftrightarrow$ $\;d={\dfrac {h}{\sin(\alpha )}}{\bigg ]}$ ;

     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\color {transparent}{\ldots }$ il convient donc de commencer par éliminer $\;d\;$ au profit de $\;h\;$ d'où la nouvelle expression $\;({\mathfrak {b'}})\;$ de $\;t_{I}\;$ en fonction de $\;\alpha \;$ et $\;\theta$ :
     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\color {transparent}{\ldots }$ il convient donc de commencer par éliminer $\;\color {transparent}{d}\;$ au profit de $\;\color {transparent}{h}\;$ d'où «$\;t_{I}={\dfrac {h}{\sin(\alpha )\left[V\,\cos(\alpha )+U\,\cos(\theta )\right]}}\;\;({\mathfrak {b'}})\;$» ;

     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\;t_{I}\;$ s'écrivant $\;{\dfrac {h}{D\!\left[\alpha ,\,\theta (\alpha )\right]}}\;$ avec $\;h\;$ constant et le dénominateur $\;D\!\left[\alpha ,\,\theta (\alpha )\right]=\sin(\alpha )\left[V\,\cos(\alpha )+U\,\cos(\theta )\right]\;\;({\mathfrak {c}})\;$ variable,
     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\;t_{I}\;$ sera minimal si $\;D\!\left[\alpha ,\,\theta (\alpha )\right]\;$ est maximal, il serait donc plus judicieux d'écrire cette dernière exigence par la C.N. $\;{\dfrac {dD}{d\alpha }}=0\;$ et
     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\;\color {transparent}{t_{I}}\;$ sera minimal si $\;\color {transparent}{D\!\left[\alpha ,\,\theta (\alpha )\right]}\;$ est maximal, il serait donc plus judicieux pour cela de différencier $\;({\mathfrak {c}})\;$ ${\big \{}$au lieu de $\;({\mathfrak {b}}){\big \}}\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {a}})$ :

     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\;d({\mathfrak {c}})\;{\text{:}}\;dD=\cos(\alpha )\,d\alpha \left[V\,\cos(\alpha )+U\,\cos(\theta )\right]+\sin(\alpha )\left[-V\,\sin(\alpha )\,d\alpha -U\,\sin(\theta )\,d\theta \right]\;$ se réécrivant, après regroupement,
     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\;d({\mathfrak {c}})\;{\text{:}}\;dD=\left\lbrace V\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]+U\,\cos(\alpha )\,\cos(\theta )\right\rbrace d\alpha -U\,\sin(\alpha )\,\sin(\theta )\,d\theta \;$ ainsi que
     Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ $\;d({\mathfrak {a}})\;{\text{:}}\;V\,\cos(\alpha )\,d\alpha =U\,\cos(\theta )\,d\theta \;$ dont on tire $\;d\theta \;$ en fonction de $\;d\alpha \;$ selon «$\;d\theta ={\dfrac {V\,\cos(\alpha )}{U\,\cos(\theta )}}\;d\alpha \;$» puis,
      Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ en reportant dans $\;d({\mathfrak {c}})$, on obtient «$\;dD=\left\lbrace V\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]+U\,\cos(\alpha )\,\cos(\theta )\right\rbrace d\alpha -U\,\sin(\alpha )\,\sin(\theta )\,{\dfrac {V\,\cos(\alpha )}{U\,\cos(\theta )}}\,d\alpha \;$»,
                                                                            Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ en reportant dans $\;\color {transparent}{d({\mathfrak {c}})}$, on obtient $\Downarrow$
      Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ ainsi que $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ en reportant dans $\;\color {transparent}{d({\mathfrak {c}})}$, on obtient «$\;{\dfrac {dD}{d\alpha }}=V\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]+U\,\cos(\alpha )\,\cos(\theta )-V\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )\,\tan(\theta )\;$» ;

     Remarque : il faut maintenant éliminer $\;\cos(\theta )\;$ et $\;\tan(\theta )\;$ au profit de $\;\alpha \;$ à l'aide de la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$, d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\theta )={\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}\\\tan(\theta )={\dfrac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\dfrac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et,
     Remarque : il faut maintenant en y reportant l'expression de $\;\sin(\theta )\;$ en fonction de $\;\sin(\alpha )\;$ c.-à-d. $\;\sin(\theta )={\dfrac {V}{U}}\,\sin(\alpha )\;$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\theta )={\sqrt {1-{\dfrac {V^{2}}{U^{2}}}\sin ^{2}(\alpha )}}={\dfrac {\sqrt {U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}{U}}\\\tan(\theta )={\dfrac {{\dfrac {V}{U}}\sin(\alpha )}{\sqrt {1-{\dfrac {V^{2}}{U^{2}}}\sin ^{2}(\alpha )}}}={\dfrac {V\,\sin(\alpha )}{\sqrt {U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}}\end{array}}\right\rbrace$, on en déduit
     Remarque : il faut maintenant en y reportant l'expression de $\;\color {transparent}{\sin(\theta )}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{\sin(\alpha )}\;$ «$\;{\dfrac {dD}{d\alpha }}=V\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]+\cos(\alpha )\,{\sqrt {U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}-{\dfrac {V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\sqrt {U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}}\;$» ou
     Remarque : il faut maintenant en y reportant l'expression de $\;\color {transparent}{\sin(\theta )}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{\sin(\alpha )}\;$ «$\;{\dfrac {dD}{d\alpha }}=V\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]-{\dfrac {\left[2\,V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )-U^{2}\right]\cos(\alpha )}{\sqrt {U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}}\;$» ;

     Remarque : la C.N. de maximum de $\;D\;$ à savoir $\;{\dfrac {dD}{d\alpha }}=0\;$ s'écrit donc «$\;V\left[\cos ^{2}(\alpha _{0})-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]{\sqrt {U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})}}=\left[2\,V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})-U^{2}\,\right]\cos(\alpha _{0})\;$» ou encore
          Remarque : la C.N. de maximum de $\;\color {transparent}{D}\;$ à savoir $\;\color {transparent}{{\dfrac {dD}{d\alpha }}=0}\;$ s'écrit donc «$\;{\sqrt {U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})}}={\dfrac {\left[2\,V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})-U^{2}\right]\cos(\alpha _{0})}{V\left[\cos ^{2}(\alpha _{0})-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]}}\;$» soit, en élevant au carré
          Remarque : la C.N. de maximum de $\;\color {transparent}{D}\;$ à savoir $\;\color {transparent}{{\dfrac {dD}{d\alpha }}=0}\;$ s'écrit donc «$\;U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})={\dfrac {\left[2\,V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})-U^{2}\right]^{2}\cos ^{2}(\alpha _{0})}{V^{2}\left[\cos ^{2}(\alpha _{0})-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}}}\;$», puis en multipliant par le dénominateur du 2^nd membre
          Remarque : la C.N. de maximum de $\;\color {transparent}{D}\;$ à savoir $\;\color {transparent}{{\dfrac {dD}{d\alpha }}=0}\;$ s'écrit donc «$\;\left[U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]V^{2}\left[\cos ^{2}(\alpha _{0})-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}=\left[2\,V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})-U^{2}\right]^{2}\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$» ;

     Remarque : après développement et simplification on obtient «$\left[U^{2}-V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]V^{2}\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})-2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]=\left[4\,Y^{4}\,\sin ^{4}(\alpha _{0})+U^{4}-4\,U^{2}\,V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$» ou
     Remarque : «$\;U^{2}\,V^{2}\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})-2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]-V^{4}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})-2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]=\cdots$
                                                                                                                                                                                    Remarque : $\;\cdots \;4\,V^{4}\,\sin ^{4}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})+U^{4}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})-4\,U^{2}\,V^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$» soit
     Remarque : «$\;U^{2}\,V^{2}\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})+2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]-V^{4}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})+2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]=U^{4}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$» et,
     Remarque : en reconnaissant le développement de $\;\left[\sin ^{2}(\alpha _{0})+\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}=1\;$ dans l'expression $\;\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})+2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$ on obtient
     Remarque : «$\;U^{2}\,V^{2}-V^{4}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})=U^{4}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$» ; pour terminer, on peut diviser par $\;\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$ pour faire apparaître $\;\tan ^{2}(\alpha _{0})\;$ soit «$\;{\dfrac {U^{2}\,V^{2}}{\cos ^{2}(\alpha _{0})}}-V^{4}\,\tan ^{2}(\alpha _{0})=U^{4}\;$» ou,

     Remarque : en utilisant $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha _{0})}}=1+\tan ^{2}(\alpha _{0})$, l'équation se réécrit «$\;U^{2}\,V^{2}\left[1+\tan ^{2}(\alpha _{0})\right]-V^{4}\tan ^{2}(\alpha _{0})=U^{4}\;$» ou «$\;V^{2}\,\tan ^{2}(\alpha _{0})\left[U^{2}-V^{2}\right]=U^{2}\left[U^{2}-V^{2}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\tan ^{2}(\alpha _{0})={\dfrac {U^{2}}{V^{2}}}\;$» ;

l'angle $\;\alpha _{0}\;$ algébrisé étant choisi aigu, on en déduit «$\;\tan(\alpha _{0})={\dfrac {U}{V}}\;$» .

 

Vol d'insecte

Schéma de situation, à l'instant $\;t$, du vol d'un insecte $\;M\;$ à norme de vecteur vitesse constante et à angle entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux $\;O\;$ constant, le repérage de $\;M\;$ étant polaire de pôle $\;O$

     Un insecte assimilé un point mobile $\;M\;$ en mouvement plan dans le plan $\;xOy$,
     Un insecte vole à vitesse de norme constante $\;\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert =v_{0}$,
     Un insecte vole de sorte que l'angle $\;\alpha \;$ entre $\;{\vec {V}}_{M}\;$ et la visée d'un point lumineux $\;O\;$ ${\big (}$visée de l'insecte définie par $\;{\overrightarrow {MO}}{\big )}\;$ soit constant ;

     on suppose $\;{\widehat {({\vec {V}}_{M},\,{\overrightarrow {MO}})}}=\alpha >0\;$ ${\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$.

Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse de l'insecte et de la loi horaire donnant la distance séparant ce dernier de son point de visée

     Exprimer, en fonction de $\;v_{0}\;$ et $\;\alpha$, les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ de l'insecte ;

     sachant qu'à l'instant initial $\;t=0$, la distance $\;\rho \;$ séparant l'insecte de son point de visée vaut $\;\rho _{0}\;$ et
     Sachant que l'on choisit l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passant par la position initiale de l'insecte c.-à-d.
     Sachant que l'angle polaire de l'insecte vaut $\;\theta _{0}=0$,
     déduire, de l'expression de la vitesse radiale, la loi horaire $\;\rho =\rho (t)\;$ en fonction de $\;v_{0}$, $\;\rho _{0}$, $\;\alpha \;$ et $\;t$.

Solution

Schéma de situation, à l'instant $\;t$, du vol d'un insecte $\;M\;$ à norme de vecteur vitesse constante et à angle entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux $\;O\;$ constant, le repérage de $\;M\;$ étant polaire de pôle $\;O\;$ et de base polaire représentée en rouge

     Les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ s'obtiennent par projection de ce dernier sur la base polaire $\;({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta })$,
     Les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant de norme $\;v_{0}\;$ constante et faisant un angle $\;\alpha \;$ constant avec $\;{\overrightarrow {MO}}=-\rho \,{\vec {u}}_{\rho }$, on en tire,
     Les composantes polaires du vecteur vitesse d'une part, par projection, les composantes polaires de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)=-v_{0}\,\cos(\alpha )\\V_{\theta }(t)=v_{0}\,\sin(\alpha )\end{array}}\right\rbrace \;$ et
     Les composantes polaires du vecteur vitesse d'autre part, par définition du vecteur vitesse, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)={\dot {\rho }}(t)\\V_{\theta }(t)=\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c r}V_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!{\dot {\rho }}(t)\!\!&=&\!\!-v_{0}\,\cos(\alpha )\\V_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!v_{0}\,\sin(\alpha )\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Pour déterminer la loi horaire $\;\rho =\rho (t)$, il suffit d'intégrer l'expression de $\;{\dot {\rho }}=-v_{0}\,\cos(\alpha )\;$ soit $\;\rho (t)=-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t+cste\;$ ou,
     Pour déterminer la loi horaire $\;\color {transparent}{\rho =\rho (t)}$, il suffit d'intégrer avec la C.I. adaptée à savoir $\;\rho (0)=\rho _{0}$,
     Pour déterminer la loi horaire se réécrit selon «$\;\rho =\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t\;$».

 

Détermination des composantes polaires du vecteur accélération de l'insecte

     Exprimer les composantes polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}\;$ de l'insecte

• en fonction de $\;v_{0}$, $\;\alpha \;$ et $\;\rho \;$ puis
• en fonction de $\;v_{0}$, $\;\rho _{0}$, $\;\alpha \;$ et $\;t$.

Solution

     Les composantes polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ s'obtiennent par $\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)={\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{\!2}\\a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\,{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]}{dt}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, avec $\;{\dot {\rho }}(t)=-v_{0}\,\cos(\alpha )=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {\rho }}(t)=0\;$ ainsi que
                                                                     Les composantes polaires du vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ s'obtiennent par $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ ou, avec $\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)=v_{0}\,\sin(\alpha )=cste'\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho (t)\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{\!2}={\dfrac {\left[v_{0}\,\sin(\alpha )\right]^{2}}{\rho (t)}}\\\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)=\rho (t)\,v_{0}\,\sin(\alpha )\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où
     Les composantes polaires du vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ s'obtiennent par $\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c l c r}a_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!0-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t)}}\!\!&=&\!\!-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t)}}\\a_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{\rho (t)}}\,{\dfrac {d\!\left[\rho (t)\,v_{0}\,\sin(\alpha )\right]}{dt}}\!\!&=&\!\!v_{0}\,\sin(\alpha )\,{\dfrac {{\dot {\rho }}(t)}{\rho (t)}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et enfin, en remplaçant $\;{\dot {\rho }}(t)\;$ par sa valeur,
     Les composantes polaires du vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ s'obtiennent par $\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)=-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t)}}\\a_{\theta }(t)=-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\rho (t)}}\end{array}}\right\rbrace$ ;

     en reportant l'expression de $\;\rho =\rho (t)\;$ dans les composantes polaires du vecteur accélération, on détermine les nouvelles expressions cherchées soit «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)=-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}\\a_{\theta }(t)=-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Détermination de la loi horaire donnant l'angle polaire de l'insecte puis de la trajectoire de celui-ci

     Déterminer la 2^ème loi horaire du mouvement de l'insecte donnant l'angle polaire de ce dernier $\;\theta =\theta (t)\;$ puis

     déduire des deux lois horaires de $\;M\;$ l'équation polaire de la trajectoire de l'insecte ;

     terminer en traçant cette dernière.

Solution

Différentes trajectoires du vol d'insecte à norme de vecteur vitesse constante et à angle $\;\alpha \;$ entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux $\;O\;$ constant, les trajectoires "des spirales logarithmiques de centre asymptotique $\;O$" ayant été tracées par calculateur numérique pour les valeurs de $\;\alpha \;$ égales à $\;60\,{\text{°}}\;$ ${\big (}$en gras${\big )}$, $\;45\,{\text{°}}\;$ ${\big (}$en continu${\big )}\;$ et $\;30\,{\text{°}}\;$ ${\big (}$en tiretés${\big )}$

     La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant $\;\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)=v_{0}\,\sin(\alpha )\;$ soit, en isolant $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et en y reportant $\;\rho (t)$, l'expression à intégrer
     La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {v_{0}\,\sin(\alpha )}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}$ ; pour cela on sépare les variables selon

     La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant $\;d\theta ={\dfrac {v_{0}\,\sin(\alpha )\,dt}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}=-{\dfrac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}\,{\dfrac {d\left[\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t\right]}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}\;$ que l'on intègre en
     La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant «$\;\theta =-\tan(\alpha )\,\ln \!\vert \rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t\vert +A\;$», $\;A\;$ constante à déterminer par la C.I. $\;\theta (0)=0$,
     La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant «$\;\color {transparent}{\theta =-\tan(\alpha )\,\ln \!\vert \rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t\vert +A}\;$», $\;0=-\tan(\alpha )\,\ln(\rho _{0})+A$ $\Rightarrow$ $A=\tan(\alpha )\,\ln(\rho _{0})$,
     la 2^nde loi horaire s'écrivant finalement selon «$\;\theta (t)=\tan(\alpha )\;\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {\rho _{0}}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}{\bigg \vert }\;$».

     Nous disposons des deux équations polaires paramétriques de la trajectoire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t\\\theta =\tan(\alpha )\;\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {\rho _{0}}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}{\bigg \vert }\end{array}}\right\rbrace \;$ et
     Nous obtenons l'équation polaire en éliminant le paramètre $\;t\;$ entre ces deux équations selon «$\;\theta =\tan(\alpha )\;\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {\rho _{0}}{\rho }}{\bigg \vert }\;$» ou en inversant
          Nous obtenons l'équation polaire en éliminant le paramètre $\;\color {transparent}{t}\;$ entre ces deux équations selon «$\;{\dfrac {\rho _{0}}{\rho }}=\exp \left[\theta \,\cot(\alpha )\right]\;$» soit finalement
     Nous obtenons l'équation polaire «$\;\rho =\rho _{0}\,\exp \left[-\theta \,\cot(\alpha )\right]\;$» c.-à-d. l'équation polaire d'une spirale logarithmique.

     Ci-dessus à droite les tracés de la trajectoire de l'insecte réalisés à l'aide d'un calculateur numérique pour des valeurs particulières de l'angle $\;\alpha$ :
     Ci-dessus à droite en traits gras $\;\alpha =60\,{\text{°}}$, en traits continus $\;\alpha =45\,{\text{°}}\;$ et en tiretés $\;\alpha =30\,{\text{°}}$.

 

Détermination de la durée nécessaire à l'insecte pour atteindre le point de visée O ainsi que la norme de son vecteur accélération

     Au bout de combien de temps, l'insecte atteint-il le point de visée $\;O$ ?

     Que vaut la norme de son vecteur accélération $\;\Vert {\vec {a}}_{M}\Vert \;$ à cet instant ?

Solution

     Pour calculer la durée $\;\Delta t_{O}=t_{O}-0\;$ pour que l'insecte atteigne le point $\;O$, il suffit d'écrire $\;\rho (t_{O})=0\;$ soit $\;t_{O}={\dfrac {\rho _{0}}{v_{0}\,\cos(\alpha )}}\;$ et par suite «$\;\Delta t_{O}={\dfrac {\rho _{0}}{v_{0}\,\cos(\alpha )}}\;$».

     La valeur de $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t_{O})\Vert \;$ s'obtient par $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t_{O})\Vert ={\sqrt {a_{\rho }^{2}(t_{O})+a_{\theta }^{2}(t_{O})}}={\sqrt {\left[-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t_{O})}}\right]^{2}+\left[-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\rho (t_{O})}}\right]^{2}}}={\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )}{\rho (t_{O})}}\;$ laquelle $\;\rightarrow \infty \;$ quand $\;t\rightarrow t_{O}\;$ d'où «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t_{O})\Vert \sim \infty \;$».

 

Détermination de l'angle polaire de l'insecte quand ce dernier est encore à la distance ρ_f du point de visée

     De quel angle $\;\theta _{f}\;$ l'insecte aura-t-il tourné entre l'instant initial $\;t=0\;$ et l'instant $\;t_{f}\;$ où il se trouve encore à la distance $\;\rho _{f}\;$ de son point de visée $\;O$ ?

     Commenter le cas où $\;\rho _{f}=0$.

Solution

     L'angle $\;\theta _{f}\;$ dont $\;M\;$ a tourné entre $\;t=0\;$ et $\;t_{f}\;$ où il se trouve à la distance $\;\rho _{f}\;$ de son point de visée $\;O\;$ se calcule par utilisation de l'équation polaire écrite sous la forme $\;\theta =\tan(\alpha )\;\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {\rho _{0}}{\rho (t)}}{\bigg \vert }\;$ soit «$\;\theta _{f}=\tan(\alpha )\;\ln \!\left({\dfrac {\rho _{0}}{\rho _{f}}}\right)\;$» ;

     cas où$\;\rho _{f}=0$ : $\;\theta _{f}\sim \infty \;$ en accord avec le fait que $\;O\;$ est le point asymptote de la spirale.

 

Étude du mouvement plan d'un point de trajectoire connue par son équation polaire et de loi de variation de vitesse angulaire connue en fonction de l'angle polaire de ce dernier

     Un point mobile $\;M\;$ a un mouvement dans le plan $\;xOy\;$ de trajectoire connue $\;({\mathcal {C}})\;$ par son équation polaire $\;\rho =2\,R\,\cos(\theta )$, $\;R\;$ étant une constante positive homogène à une longueur.

     Au cours de ce mouvement, l'angle polaire $\;\theta \;$ varie en étant lié à sa vitesse angulaire par la loi de variation $\;{\dot {\theta }}={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left(\theta \right)}}\;$ avec $\;\Omega \;$ constante positive homogène à une vitesse angulaire,
     Au cours de ce mouvement, l'angle polaire $\;\theta \;$ décrivant l'intervalle $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,;\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}\;$ n'étant pas définie pour $\;\theta =\pm {\dfrac {\pi }{2}}$.

Nature de la trajectoire

     Déterminer la nature de la trajectoire $\;({\mathcal {C}})\;$ du point puis

     tracer la courbe correspondante.

Solution

Mouvement d'un point $\;M\;$ se déplaçant sur une courbe d'équation polaire $\;\rho =2\,R\,\cos(\theta )$, à vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left(\theta \right)}}\;$ où $\;\theta \;$ est l'abscisse angulaire de $\;M$

     L'équation polaire de $\;({\mathcal {C}})\;$ étant $\;\rho =2\,R\,\cos(\theta )$, et les liens entre les coordonnées polaires et cartésiennes du point générique $\;M\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=\rho \,\cos(\theta )\\y=\rho \,\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace$,
     L'équation polaire de $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ étant $\;\color {transparent}{\rho =2\,R\,\cos(\theta )}$, on cherche d'abord à éliminer $\;\cos(\theta )\;$ dans l'équation polaire et pour cela
     L'équation polaire de $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ étant $\;\color {transparent}{\rho =2\,R\,\cos(\theta )}$, on la multiplie de part et d'autre par $\;\rho \;$ de façon à faire apparaître $\;x\;$ dans le membre de droite d'où :
     L'équation polaire de $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ étant $\;\color {transparent}{\rho =2\,R\,\cos(\theta )}$, $\;\rho ^{2}=2\,R\left[\rho \,\cos(\theta )\right]\;$ ou, avec $\;\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$, l'équation cartésienne «$\;x^{2}+y^{2}=$ $2\,R\,x\;$» soit encore
     L'équation polaire de $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ étant $\;\color {transparent}{\rho =2\,R\,\cos(\theta )}$, $\;\color {transparent}{\rho ^{2}=2\,R\left[\rho \,\cos(\theta )\right]}\;$ ou, avec $\;\color {transparent}{\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$, l'équation cartésienne «$\;\left(x-R\right)^{2}+y^{2}=R^{2}\;$», c.-à-d.
     L'équation polaire de $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ étant $\;\color {transparent}{\rho =2\,R\,\cos(\theta )}$, l'équation cartésienne du cercle de centre $\;C\,(R,\,0)\;$ et de rayon $\;R\;$ ${\big (}$voir courbe ci-contre${\big )}$ ;

     Remarque : on vérifie que le cercle de diamètre $\;OB\;$ a effectivement pour équation polaire $\;\rho =2\,R\,\cos(\theta )\;$ car $\;{\dfrac {OM}{OB}}=\cos(\theta )$, le triangle $\;OMB\;$ étant rectangle en $\;M$, avec $\;OM=\rho \;$ et $\;OB=2\,R\;\ldots$
     Remarque : on vérifie que $M\;$ passe par toutes les positions de $\;({\mathcal {C}})$, car si «$\;\vert \theta \vert \nearrow \;$ continûment à partir de $\;0\;$», «$\;\rho \searrow \;$ continûment de $\;2\,R\;$ jusqu'à $\;0\;$»,
     Remarque : on vérifie que $\color {transparent}{M}\;$ passe par toutes les positions de $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}$, en effet $\succ \;$pour $\;\theta \,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,;\,0\right[$, $\;M\;$ se déplace au-dessous de $\;Ox\;$ de $\;O_{\text{inf}}\;$ à $\;B\;$ et
     Remarque : on vérifie que $\color {transparent}{M}\;$ passe par toutes les positions de $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}$, en effet $\succ \;$pour $\;\theta \,\in \,\left]0\,;\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, $\;M\;$ se déplace au-dessus de $\;Ox\;$ de $\;B\;$ à $\;O_{\text{sup}}$.

 

Propriétés des grandeurs cinématiques du point

     Déterminer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ du point mobile, en repérage polaire, en fonction de $\;\Omega$, $\;R\;$ et $\;\theta$ ;

     montrer que le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}\;$ du point mobile est centripète $\;{\big (}$c.-à-d. colinéaire et de même sens que $\;{\overrightarrow {MO}}{\big )}$.

Solution

     Les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c r}V_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!{\dot {\rho }}(t)\!\!&=&\!\!-2\,R\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right])}}\\V_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!2\,R\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c r}V_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!-2\,R\,\Omega \,{\dfrac {\sin \!\left[\theta (t)\right]}{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\\V_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!2\,R\,\Omega \,{\dfrac {1}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Pour montrer que $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est central $\;{\big [}$c.-à-d. colinéaire à $\;{\overrightarrow {OM}}(t){\big ]}$, il suffit de montrer que $\;a_{\theta }(t)=0\;\;\forall \;t$ et pour cela
     Pour montrer que $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est central $\;\color {transparent}{\big [}$c.-à-d. colinéaire à $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t){\big ]}}$, il suffit de calculer la composante orthoradiale de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ par sa forme semi-intégrée $\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]}{dt}}\;$ avec
     Pour montrer que $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est central $\;\color {transparent}{\big [}$c.-à-d. colinéaire à $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t){\big ]}}$, il suffit de calculer la composante orthoradiale de $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ $\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)=\left\lbrace 2\,R\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}{\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}=4\,R^{2}\,\Omega \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]}{dt}}=0\;$
     Pour montrer que $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est central $\;\color {transparent}{\big [}$c.-à-d. colinéaire à $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t){\big ]}}$, il suffit de calculer la composante orthoradiale de $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ d'où «$\;a_{\theta }(t)=0\;\;\forall \;t\;$», c.-à-d. le caractère central du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)$ ;

     il reste à montrer que $\;a_{\rho }(t)\;$ est $\;<0\;\;\forall \;t\;$ pour en déduire que $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est centripète soit avec $\;a_{\rho }(t)={\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}(t)={\dot {V}}_{\rho }-{\dfrac {V_{\theta }^{2}(t)}{\rho (t)}}\;$ on obtient
     il reste à montrer que $\;\color {transparent}{a_{\rho }(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0\;\;\forall \;t}\;$ pour en déduire que $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est centripète soit avec $\;a_{\rho }(t)=-2\,R\,\Omega \,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]-\sin \!\left[\theta (t)\right]\left\lbrace -2\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{\cos ^{4}\!\left[\theta (t)\right]}}\,{\dot {\theta }}(t)-{\dfrac {\left\lbrace 2\,R\,\Omega \,{\dfrac {1}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}}\right\rbrace ^{2}}{2\,R\,\cos \!\left[\theta (t)\right]}}\;$
     il reste à montrer que $\;\color {transparent}{a_{\rho }(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0\;\;\forall \;t}\;$ pour en déduire que $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est centripète ou, reportant l'expression de $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et réduisant au même dénominateur, on trouve
     il reste à montrer que $\;\color {transparent}{a_{\rho }(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0\;\;\forall \;t}\;$ pour en déduire que $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est centripète soit avec $\;a_{\rho }(t)=-2\,R\,\Omega ^{2}\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]+2\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]+\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}{\cos ^{5}\!\left[\theta (t)\right]}}\;$ soit finalement
     il reste à montrer que $\;\color {transparent}{a_{\rho }(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0\;\;\forall \;t}\;$ pour en déduire que $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est centripète soit avec «$\;a_{\rho }(t)={\dfrac {-4\,R\,\Omega ^{2}}{\cos ^{5}\!\left[\theta (t)\right]}}<0\;\;\forall \;t\;$» laquelle,
     il reste à montrer que $\;\color {transparent}{a_{\rho }(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0\;\;\forall \;t}\;$ pour en déduire que $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est centripète soit avec $\;a_{\theta }(t)=0\;\;\forall \;t$, permet d'affirmer le caractère centripète du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)$.

 

Établissement de la nature périodique du mouvement du point et évaluation de sa période

     Montrer que le mouvement du point est périodique sur sa trajectoire et simultanément

     évaluer la période de parcours c.-à-d. la durée nécessaire pour un parcours complet de cette trajectoire.

Solution

     La vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\;$ étant toujours $\;>0$, le mouvement se poursuit indéfiniment dans le sens des $\;\theta \nearrow \;$ et celle-ci
     La vitesse angulaire $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}}\;$ ne s'annulant jamais $\;{\bigg [}$elle est en effet minorée par $\;\Omega \;$ car $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\geqslant \Omega {\bigg ]}$, on observe successivement des tours complets de cercle ;

     pour montrer le caractère « périodique » du mouvement il suffit d'évaluer la durée du n^ème tour et de constater que cette durée est indépendante de $\;n$ ;

     à partir de $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\;$ inversé en $\;{\dfrac {dt}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{\Omega }}\;$ que l'on va intégrer après séparation des variables selon «$\;dt={\dfrac {1}{\Omega }}\,\cos ^{2}(\theta )\,d\theta \;$»,
         }à partir de $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}}\;$ inversé en $\;\color {transparent}{{\dfrac {dt}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{\Omega }}}\;$ le n^ème tour complet correspondant à une variation de $\;\theta \;$ de $\;(2\,n-3)\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à $\;(2\,n-1)\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$, on en déduit
         }à partir de $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}}\;$ inversé en $\;\color {transparent}{{\dfrac {dt}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{\Omega }}}\;$ la durée du n^ème tour complet «$\;\left(\Delta t\right)_{n}=\displaystyle \int _{\frac {(2\,n-3)\,\pi }{2}}^{\frac {(2\,n-1)\,\pi }{2}}{\dfrac {1}{\Omega }}\;\cos ^{2}(\theta )\;d\theta \;$» ou, en utilisant $\;2\,\cos ^{2}(\theta )=1+\cos \!\left(2\,\theta \right)\;$ pour linéariser,
         }à partir de $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}}\;$ inversé en $\;\color {transparent}{{\dfrac {dt}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{\Omega }}}\;$ la durée du n^ème tour complet «$\;\left(\Delta t\right)_{n}=\displaystyle \int _{\frac {(2\,n-3)\,\pi }{2}}^{\frac {(2\,n-1)\,\pi }{2}}{\dfrac {1}{2\,\Omega }}\,\left[1+\cos \left(2\,\theta \right)\right]\,d\theta ={\dfrac {1}{2\,\Omega }}\,\left[\theta +{\dfrac {\sin \!\left(2\,\theta \right)}{2}}\right]_{\frac {(2\,n-3)\,\pi }{2}}^{\frac {(2\,n-1)\,\pi }{2}}={\dfrac {\pi }{2\,\Omega }}\;$» soit
         }à partir de $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}}\;$ inversé en $\;\color {transparent}{{\dfrac {dt}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{\Omega }}}\;$ une durée indépendante de$\;n\;$ établissant le caractère périodique du mouvement de $\;M\;$ sur sa trajectoire ;
         }à partir de $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}}\;$ inversé en $\;\color {transparent}{{\dfrac {dt}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{\Omega }}}\;$ la période du mouvement valant donc «$\;\left(\Delta t\right)_{\cancel {n}}={\dfrac {\pi }{2\,\Omega }}\;$».

 

Exemple de mouvement hélicoïdal uniforme, détermination du rayon de courbure de l'hélice

Schéma de situation de mouvement uniforme d'un point sur une hélice circulaire droite $\;{\big (}$non tracée mais simplement évoquée${\big )}$

     Un point mobile $\;M\;$ décrit l'hélice « circulaire » « droite » définie par ses équations paramétriques cartésiennes
               Un point mobile $\;\color {transparent}{M}\;$ décrit l'hélice « circulaire » « droite » définie par «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c r}x\!\!&=&\!\!R\,\cos \left(\theta \right)\!\!&=&\!\!R\,\cos \left(\omega \,t\right)\\y\!\!&=&\!\!R\,\sin \left(\theta \right)\!\!&=&\!\!R\,\sin \left(\omega \,t\right)\\z&=&h\;\theta &=&h\,\times \left(\omega \,t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$»,
               Un point mobile $\;\color {transparent}{M}\;$ décrit l'hélice « circulaire » « droite » avec la vitesse angulaire $\;\omega =cste>0\;$ $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$.

Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe Oz de la trajectoire du point

     Déterminer, en fonction de $\;t$, les coordonnées cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}\;$ d'axe $\;Oz\;$ du point $\;M\;$ quand il décrit sa trajectoire hélicoïdale.

Solution

     On évalue $\;\rho \;$ en fonction de $\;t\;$ en formant $\;{\sqrt {x^{2}(t)+y^{2}(t)}}\;$ soit $\;\rho (t)={\sqrt {\left[R\,\cos \!\left(\omega \,t\right)\right]^{2}+\left[R\,\sin \!\left(\omega \,t\right)\right]^{2}}}\;$ ou finalement «$\;\rho ({\cancel {t}})=R\;$», 1^ère loi horaire cylindro-polaire, laquelle est aussi une 1^ère équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire  ;

     on évalue $\;\theta \;$ en fonction de $\;t\;$ à partir de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l c r}\cos(\theta )\!\!&=&\!\!{\dfrac {x(t)}{\rho (t)}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {R\,\cos \!\left(\omega \,t\right)}{R}}\!\!&=&\!\!\cos(\omega \,t)\\\sin(\theta )\!\!&=&\!\!{\dfrac {y(t)}{\rho (t)}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {R\,\sin \!\left(\omega \,t\right)}{R}}\!\!&=&\!\!\sin(\omega \,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement «$\;\theta (t)=\omega \,t\;$», 2^ème loi horaire cylindro-polaire, laquelle est aussi une 2^ème équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire et

     l'évaluation de $\;z\;$ en fonction de $\;t\;$ est fournie par le texte soit «$\;z(t)=h\,\omega \,t\;$», 3^ème loi horaire cylindro-polaire, laquelle est aussi une 3^ème équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire.

     Remarque : l'élimination de $\;t\;$ entre les deux dernières lois horaires $\;{\big (}$lesquelles sont aussi les dernières équations cylindriques paramétriques de la trajectoire${\big )}\;$
      Remarque : l'élimination de $\;\color {transparent}{t}\;$ entre les deux dernières lois horaires donnant «$\;z=h\,\theta \;$» c.-à-d. la 2^ème équation cylindro-polaire de la trajectoire appelée « nappe en colimaçon » ,
      Remarque : l'élimination de $\;\color {transparent}{t}\;$ entre les deux dernières lois horaires donnant «$\;\color {transparent}{z=h\,\theta }\;$» laquelle associée avec «$\;\rho =R\;$» c.-à-d. la 1^ère équation cylindro-polaire de la trajectoire,
      Remarque : l'élimination de $\;\color {transparent}{t}\;$ entre les deux dernières lois horaires donnant «$\;\color {transparent}{z=h\,\theta }\;$» laquelle associée avec «$\;\color {transparent}{\rho =R}\;$» justifie que la trajectoire est bien une hélice ${\big (}$circulaire droite d'axe $\;Oz{\big )}\;$
      Remarque : l'élimination de $\;\color {transparent}{t}\;$ entre les deux dernières lois horaires donnant «$\;\color {transparent}{z=h\,\theta }\;$» laquelle associée avec «$\;\color {transparent}{\rho =R}\;$» justifie que la trajectoire est bien une hélice de « pas égal à $\;h\;2\,\pi \;$».

 

Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis l'angle d'inclinaison de la tangente à l'hélice en M relativement à Oz

     Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis

     montrer que l'angle $\;\alpha \;$ que fait le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ avec $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est constant et enfin

     calculer $\;\tan \!\left(\alpha \right)$.

Solution

Schéma de situation de mouvement uniforme du point $\;M\;$ sur une hélice circulaire droite $\;{\big (}$non tracée mais simplement évoquée${\big )}\;$ avec représentation du vecteur vitesse de $\;M\;$ dans la base cylindro-polaire liée à $\;M$

     Les composantes cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}\;$ du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point courant $\;M\;$ sur sa trajectoire hélicoïdale se calculent par
   Les composantes cylindro-polaires $\;\color {transparent}{\big (}$ou cylindriques$\color {transparent}{\big )}\;$ du vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c l c r}V_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!{\dot {\rho }}(t)\!\!&=&\!\!0\\V_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!R\,\omega \\V_{z}(t)\!\!&=&\!\!{\dot {z}}(t)\!\!&=&\!\!h\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$» .

     Notant $\;\alpha ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u}}_{z},{\overrightarrow {V}}_{M}(t)\right\rbrace }}\;$ l'angle que fait le vecteur vitesse du point $\;M\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$,
     Notant $\;\color {transparent}{\alpha ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u}}_{z},{\overrightarrow {V}}_{M}(t)\right\rbrace }}}\;$ on évalue son cosinus par $\;\cos(\alpha )={\dfrac {V_{z}(t)}{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }}\;$ avec $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{\theta }^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}={\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega =cste\;$
     Notant $\;\color {transparent}{\alpha ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u}}_{z},{\overrightarrow {V}}_{M}(t)\right\rbrace }}}\;$ on évalue son cosinus par $\;\color {transparent}{\cos(\alpha )={\dfrac {V_{z}(t)}{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }}}\;$ ainsi que $\;V_{z}(t)=h\;\omega =cste'\;$ et on en déduit que
     Notant $\;\color {transparent}{\alpha ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u}}_{z},{\overrightarrow {V}}_{M}(t)\right\rbrace }}}\;$ on évalue son $\;\cos(\alpha )=cste''\;$ $\Rightarrow$ α reste constant ;

     voir ci-contre la disposition du vecteur vitesse de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ relativement à la base cylindro-polaire $\;\left[{\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$ liée à $\;M$,
     voir ci-contre la disposition le vecteur vitesse étant contenu dans le plan tangent en $\;M\;$ au tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ c.-à-d. $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et
     voir ci-contre la disposition le vecteur vitesse étant contenu dans le plan tangent en $\;\color {transparent}{M}\;$ au tuyau cylindrique d'axe $\;\color {transparent}{Oz}\;$ de base $\;\left[{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right]$ ;

     voir ci-contre la valeur de la tangente de l'angle $\;\alpha \;$ se détermine par $\;\tan(\alpha )={\dfrac {V_{\theta }}{V_{z}}}={\dfrac {R\;\omega }{h\;\omega }}\;$ soit «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {R}{h}}\;$».

 

Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur accélération du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis du rayon de courbure de l'hélice en M

     Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}\;$ du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis

     en déduire le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de l'hélice en $\;M\;$ et enfin

     commenter le résultat.

Solution

     Les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ de $\;M\;$ sur sa trajectoire s'évaluent par «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c l c r}a_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}\!\!&=&\!\!-R\;\omega ^{2}\\a_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!0\\a_{z}(t)\!\!&=&\!\!{\ddot {z}}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» .

     Introduisant la base locale de Frenet dont le vecteur unitaire tangentiel de Frenet vérifie $\;{\vec {\tau }}_{M}={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{v_{M}(t)}}\;$ avec $\;v_{M}(t)\;$ vitesse instantanée du point $\;M\;$ sur sa trajectoire et
                       Introduisant la base locale de Frenet dont le vecteur unitaire tangentiel de Frenet vérifie $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}_{M}={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{v_{M}(t)}}}\;$ évaluant $\;\vert v_{M}(t)\vert \;$ par $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega =cste>0$, on en déduit que
                       Introduisant la base locale de Frenet dont le vecteur unitaire tangentiel de Frenet vérifie $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}_{M}={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{v_{M}(t)}}}\;$ le mouvement ne change pas de sens d'où, en choisissant le sens $\;+\;$ sur l'hélice dans le sens du mouvement $\;{\big (}$c.-à-d. dans le sens des $\;\theta \nearrow {\big )}\;$ on en déduit la positivité de la vitesse instantanée c.-à-d. «$\;v_{M}=\vert v_{M}\vert ={\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega \;$» et par suite l'accélération tangentielle du point $\;M\;$ est nulle selon «$\;a_{\tau ,\,M}={\dot {v}}_{M}=0\;$»  ;      le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ étant dans le plan osculateur de l'hélice en $\;M\;$, on en déduit que ce dernier contient $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ le 1^er vecteur de base cylindro-polaire lié à $\;M\;$ ainsi que
         le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }}\;$ étant dans le plan osculateur de l'hélice en $\;\color {transparent}{M}\;$, on en déduit que ce dernier contient $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ le 1^er vecteur de base de Frenet lié à $\;M$ ;
          le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }}\;$ étant dans le plan osculateur de l'hélice en $\;\color {transparent}{M}\;$, il contient aussi, par définition, $\;{\vec {n}}_{M}\;$ le vecteur unitaire normal principal de Frenet en $\;M\;$ et
          le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }}\;$ étant dans le plan osculateur de l'hélice en $\;\color {transparent}{M}\;$, il contient aussi, par propriété, le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}\;$ du point $\;M\;$
          le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }}\;$ étant dans le plan osculateur de l'hélice en $\;\color {transparent}{M}\;$, il contient aussi, par propriété, lequel se décompose sur la base locale de Frenet du plan osculateur
          le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }}\;$ étant dans le plan osculateur de l'hélice en $\;\color {transparent}{M}\;$, il contient aussi, par propriété, lequel se décompose selon «$\;{\vec {a}}_{M}={\cancel {a_{\tau ,\,M}\;{\vec {\tau }}_{M}\;+}}\;a_{n,\,M}\;{\vec {n}}_{M}\;$», on en déduit donc l'accélération normale $\;a_{n,\,M}>0\;$ de $\;M\;$ sur sa trajectoire par «$\;a_{n,\,M}=\Vert {\vec {a}}_{M}\Vert =R\;\omega ^{2}\;$» ;

     pour finir il reste à « identifier l'accélération normale $\;a_{n,\,M}\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire avec $\;{\dfrac {\left(v_{M}\right)^{2}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$» où $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ est le rayon de courbure de l'hélice au point $\;M\;$, d'où
           pour finir il reste à « identifier l'accélération normale $\;\color {transparent}{a_{n,\,M}}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ sur sa trajectoire avec $\;\color {transparent}{\dfrac {\left(v_{M}\right)^{2}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$» où $\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {\left(v_{M}\right)^{2}}{a_{n,\,M}}}={\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega \right)^{\!2}}{R\,\omega ^{2}}}\;$ soit finalement «$\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {R^{2}+h^{2}}{R}}\;$».

     Conclusion : Le rayon de courbure de l'hélice « circulaire » est constant ;
     Conclusion : il y a deux courbes à rayon de courbure constant : $\succ \;$une courbe plane « le cercle » et
          Conclusion : il y a deux courbes à rayon de courbure constant : $\succ \;$une courbe non plane « l'hélice ».

Schéma de situation de mouvement uniforme du point $\;M\;$ sur une hélice circulaire droite $\;{\big (}$non tracée mais simplement évoquée${\big )}\;$ avec représentation de la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ ainsi que de la base de Frenet et le centre de courbure $\;C_{M}\;$ de l'hélice en $\;M$

     Remarques : Le rayon de courbure de l'hélice $\;{\mathcal {R}}={\dfrac {R^{2}+h^{2}}{R}}\;$ est $\;\neq \;$ du rayon $\;R\;$ du tuyau cylindrique de révolution sur lequel elle est tracée et ceci d'autant plus que son pas $\;h\;2\,\pi \;$ est grand ;

     Remarques : on peut écrire $\;{\mathcal {R}}=R\,{\dfrac {R^{2}+h^{2}}{R^{2}}}>R\;$ et
     Remarques : on peut l'exprimer en utilisant $\;\alpha \;$ l'angle d'inclinaison de la tangente à l'hélice relativement à l'axe du cylindre,
     Remarques : on peut l'exprimer en utilisant $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ sachant que $\;\sin(\alpha )={\dfrac {V_{\rho }}{\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert }}={\dfrac {R\,\omega }{{\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega }}={\dfrac {R}{\sqrt {R^{2}+h^{2}}}}\;$ d'où
     Remarques : on peut écrire $\;{\mathcal {R}}={\dfrac {R}{\sin ^{2}(\alpha )}}>R$, d'autant plus grand que $\;\alpha \;$ est petit, c.-à-d. que l'hélice est étirée ou
     Remarques : on peut écrire $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}={\dfrac {R}{\sin ^{2}(\alpha )}}>R}$, d'autant plus grand que $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ est petit, c.-à-d. que son pas est grand .

     Remarques : De «$\;{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }=a_{n,\,M}\;{\vec {n}}_{M}\;$ avec $\;a_{n,\,M}=R\;\omega ^{2}\;$» on en déduit «$\;{\vec {n}}_{M}=-{\vec {u}}_{\rho }\;$» et avec

     Remarques : De «$\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }=a_{n,\,M}\;{\vec {n}}_{M}}\;$ avec $\;\color {transparent}{a_{n,\,M}=R\;\omega ^{2}}\;$» on en déduit «$\;{\vec {\tau }}_{M}=\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{\theta }+\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{z}\;$»
     Remarques : on en déduit «$\;{\vec {b}}_{M}={\vec {\tau }}_{M}\wedge {\vec {n}}_{M}=\left[\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{\theta }+\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{z}\right]\wedge \left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]=-\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{\theta }+\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

     Remarques : Voir ci-contre le positionnement de la base locale de Frenet liée au point courant $\;M\;$ de l'hélice relativement à la base cylindro-polaire liée au même point ainsi que
     Remarques : Voir ci-contre le positionnement du centre de courbure $\;C_{M}\;$ de l'hélice en $\;M$.

 

Détermination de la trajectoire décrite par le centre de courbure C_M de l'hélice en M

     Déterminer les coordonnées cylindro-polaires du centre de courbure $\;C_{M}\;$ de la trajectoire hélicoïdale au point $\;M\;$ puis

     en déduire que la trajectoire suivie par $\;C_{M}\;$ est aussi une hélice $\;{\big (}$circulaire${\big )}\;$ droite d'axe $\;Oz\;$ en précisant le rayon du tuyau cylindrique sur lequel elle est tracée ainsi que son pas.

Solution

     Le centre de courbure $\;C_{M}\;$ de la trajectoire hélicoïdale au point $\;M\;$ étant sur la normale au tuyau cylindrique en $\;M\;$ à la distance $\;{\mathcal {R}}>R\;$ de ce dernier dans le sens de $\;{\vec {n}}_{M}\;$, on en déduit
     les « coordonnées orthoradiale et axiale de $\;C_{M}\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c r}\theta _{C_{M}}\!\!&=&\!\!\theta -\pi \!\!&&\!\!\\z_{C_{M}}\!\!&=&\!\!z\!\!&=&\!\!h\;\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left[\theta \,,\,z\right]\;$ les coordonnées orthoradiale et axiale de $\;M\;$»,
     la « coordonnée radiale de $\;C_{M}\;$ étant égale à $\;\rho _{C_{M}}=M_{z}C_{M}={\mathcal {R}}-R={\dfrac {R}{\sin ^{2}(\alpha )}}-R={\dfrac {R\left[1-\sin ^{2}(\alpha )\right]}{\sin ^{2}(\alpha )}}=R\;{\dfrac {\cos ^{2}(\alpha )}{\sin ^{2}(\alpha )}}={\dfrac {R}{\tan ^{2}(\alpha )}}\;$», d'où les « coordonnées cylindro-polaires de $\;C_{M}\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c r}\rho _{C_{M}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {R}{\tan ^{2}(\alpha )}}\!\!&&\!\!\\\theta _{C_{M}}\!\!&=&\!\!\theta -\pi \!\!&&\!\!\\z_{C_{M}}\!\!&=&\!\!h\;\theta \!\!&=&\!\!h\;\theta _{C_{M}}+h\;\pi \end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de $\;C_{M}$, à savoir «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho _{C_{M}}={\dfrac {R}{\tan ^{2}(\alpha )}}\\z_{C_{M}}=h\;\theta _{C_{M}}+h\;\pi \end{array}}\right\rbrace \;$», les équations d'une hélice$\;{\big (}$circulaire${\big )}\;$ droite
     on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de $\;\color {transparent}{C_{M}}$, $\succ \;$tracée sur un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ de rayon $\;{\dfrac {R}{\tan ^{2}(\alpha )}}={\dfrac {h^{2}}{R}}={\dfrac {h}{\tan(\alpha )}}\;$,
     on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de $\;\color {transparent}{C_{M}}$, $\succ \;$de même pas «$\;h\;2\,\pi \;$» que celui de la trajectoire de $\;M\;$ et
     on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de $\;\color {transparent}{C_{M}}$, $\succ \;$« en opposition avec cette dernière » .

 

Étude, en repérage polaire, du mouvement uniforme d'un point sur une spirale logarithmique et détermination du rayon de courbure de cette dernière en fonction du rayon polaire du point

     Un point $\;M$, de coordonnées polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)$, décrit une spirale logarithmique d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\,\exp \left[\theta \,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\;$ avec $\;\rho _{0}\;$ une constante homogène à une longueur et
     Un point $\;\color {transparent}{M}$, de coordonnées polaires $\;\color {transparent}{\left(\rho \,,\,\theta \right)}$, décrit une spirale logarithmique d'équation polaire $\;\color {transparent}{\rho =\rho _{0}\,\exp \left[\theta \,\cot \!\left(\alpha \right)\right]}\;$ avec $\;\alpha \;$ une constante angulaire $\;\in \left]0{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[$,
     Un point $\;\color {transparent}{M}$, de coordonnées polaires $\;\color {transparent}{\left(\rho \,,\,\theta \right)}$, la base polaire liée au point $\;M\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)$.

Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire et du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à ce point

     Exprimer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point dans la base polaire lié à ce dernier en fonction de $\;\rho _{0}$, $\;\alpha$, $\;\theta (t)\;$ et la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)$ ;

     choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des $\;\theta \;\nearrow$, déduire, de ce qui précède, $\succ \;$la vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$ du point sur sa trajectoire puis
     choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des $\;\color {transparent}{\theta \;\nearrow }$, déduire, de ce qui précède, $\succ \;$les composantes polaires du vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ au point $\;M\;$ ;

     choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des $\;\color {transparent}{\theta \;\nearrow }$, déduire, de ce qui précède, $\color {transparent}{\succ }\;$préciser l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ au point $\;M\;$
     choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des $\;\color {transparent}{\theta \;\nearrow }$, déduire, de ce qui précède, $\color {transparent}{\succ }\;$préciser l'angle avec le 1^er vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ lié au même point,

     choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des $\;\color {transparent}{\theta \;\nearrow }$, déduire, de ce qui précède, $\color {transparent}{\succ }\;$commenter le résultat obtenu caractéristique d'une spirale logarithmique.

Solution

     Bien sûr il convient de faire un schéma de situation en rappelant la base polaire.

     Expression du vecteur vitesse du point$\;M\;$sur sa trajectoire : Le point $\;M\;$ décrivant la spirale logarithmique d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\,\exp \!\left[\theta \,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\;$ dans laquelle l'abscisse angulaire suit la loi horaire $\;\theta =\theta (t)$, les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ se calculent selon $\;{\vec {V}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c l c r}V_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!{\dot {\rho }}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {d\rho }{d\theta }}\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\\V_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!\rho \left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\!\!&&\!\!\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)=\rho _{0}\,\cot(\alpha )\,\exp \left[\theta (t)\,\cot(\alpha )\right]\,{\dot {\theta }}(t)\\V_{\theta }(t)=\rho _{0}\,\exp \left[\theta (t)\,\cot(\alpha )\right]\,{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» .

     Expression de la vitesse instantanée du point$\;M\;$sur sa trajectoire quand celle-ci est orientée dans le sens des $\;\theta \nearrow$ : pour cela on utilise $\;\vert v_{M}(t)\vert =\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;$ soit, avec les composantes polaires de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ préalablement déterminées, $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {\left\lbrace \rho \left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\,\cot(\alpha )\right\rbrace ^{2}+\left\lbrace \rho \left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\right\rbrace ^{2}}}=\rho \left[\theta (t)\right]\,\vert {\dot {\theta }}(t)\vert \,{\sqrt {\cot ^{2}(\alpha )+1}}\;$ ou encore $\;\vert v_{M}(t)\vert ={\dfrac {\rho \left[\theta (t)\right]\,\vert {\dot {\theta }}(t)\vert }{\sin(\alpha )}}\;$ ;

         Expression de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire : la trajectoire étant orientée dans le sens des $\;\theta \nearrow$, «$\;v_{M}(t)\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ sont de même signe » d'où
         Expression de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire : la trajectoire étant orientée dans le sens des $\;\color {transparent}{\theta \nearrow }$, «$\;v_{M}(t)={\dfrac {\rho \left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)}{\sin(\alpha )}}={\dfrac {\rho _{0}\,\exp \left[\theta (t)\,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\,{\dot {\theta }}(t)}{\sin(\alpha )}}\;$».

     Expression du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié au point$\;M\;$de sa trajectoire quand celle-ci est orientée dans le sens des $\;\theta \nearrow$ :
                  Expression du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié au point$\;\color {transparent}{M}\;$de sa trajectoire le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}_{M}(t)\;$ lié au point $\;M\;$ sur la trajectoire de ce dernier se détermine à partir du vecteur vitesse du point $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ et de sa vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$ par $\;{\vec {\tau }}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{v_{M}(t)}}\;$ soit $\;{\vec {\tau }}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\tau _{\rho ,\,M}(t)={\dfrac {\rho _{0}\,\cot(\alpha )\,\exp \left[\theta (t)\,\cot(\alpha )\right]\,{\dot {\theta }}(t)}{\dfrac {\rho _{0}\,\exp \left[\theta (t)\,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\,{\dot {\theta }}(t)}{\sin(\alpha )}}}\\\tau _{\theta ,\,M}(t)={\dfrac {\rho _{0}\,\exp \left[\theta (t)\,\cot(\alpha )\right]\,{\dot {\theta }}(t)}{\dfrac {\rho _{0}\,\exp \left[\theta (t)\,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\,{\dot {\theta }}(t)}{\sin(\alpha )}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et au final «$\;{\vec {\tau }}_{M}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\tau _{\rho ,\,M}=\cos(\alpha )\\\tau _{\theta ,\,M}=\sin(\alpha )\end{array}}\right\rbrace \;$» .

     Angle entre le 1^er vecteur de base de Frenet et le 1^er vecteur de base polaire, tous deux liés au point$\;M\;$de sa trajectoire : de la composante radiale du vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ on en déduit «$\;{\vec {\tau }}_{M}\cdot {\vec {u}}_{\rho ,\,M}=\cos(\alpha )\;$» d'une part et d'autre part «$\;{\vec {\tau }}_{M}\cdot {\vec {u}}_{\rho ,\,M}=\Vert {\vec {\tau }}_{M}\Vert \;\Vert {\vec {u}}_{\rho ,\,M}\Vert \;\cos \!{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}\;$ $=\cos \!{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}\;$» d'où $\;{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}$ $=\pm \alpha$ ;

                  Angle entre le 1^er vecteur de base de Frenet et le 1^er vecteur de base polaire, tous deux liés au point$\;\color {transparent}{M}\;$de sa trajectoire : de la composante orthoradiale du vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ on en déduit «$\;{\vec {\tau }}_{M}\cdot {\vec {u}}_{\theta ,\,M}=\sin(\alpha )\;$» d'une part et d'autre part «$\;{\vec {\tau }}_{M}\cdot {\vec {u}}_{\theta ,\,M}=\Vert {\vec {\tau }}_{M}\Vert \;\Vert {\vec {u}}_{\theta ,\,M}\Vert \;\cos \!{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}\;$ $=\cos \!{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}\;$ $=\cos \!\left[{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}-{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ ${\big \{}{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$ étant directement $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\rho ,\,M}{\big \}}\;$ $=\sin \!{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}\;$» $\Rightarrow$ $\;\sin \!{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}=\sin(\alpha )\;$ d'où $\;{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}=\left[{\begin{array}{c}\alpha \;\;{\text{ou}}\\\pi -\alpha \end{array}}\right]$ ;

                  Angle entre le 1^er vecteur de base de Frenet et le 1^er vecteur de base polaire, tous deux liés au point$\;\color {transparent}{M}\;$de sa trajectoire : l'utilisation des deux informations nous conduise à «$\;{\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho ,\,M}\,,\,{\vec {\tau }}_{M}\right\rbrace }}=\alpha \;$» ;

conclusion : la tangente à une spirale logarithmique fait un angle constant avec le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}$.

 

Détermination du lien entre accélération et vitesse angulaires du point quand ce dernier décrit un mouvement uniforme sur sa trajectoire

     On suppose que le mouvement s'effectue à vitesse instantanée $\;v\;$ constante  ;

     déterminer l'expression de la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ du point en fonction de $\;v$, $\;\alpha \;$ et $\;\rho (t)$ ;

     en tenant compte de $\;v=cste\;$ et à partir de l'expression précédente de la vitesse angulaire, déduire une expression de l'accélération angulaire $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ en fonction de $\;\succ$$\;v$, $\;\alpha$, $\;\rho (t)\;$ et $\;{\dot {\rho }}(t)$, puis
     en tenant compte de $\;\color {transparent}{v=cste}\;$ et à partir de l'expression précédente de la vitesse angulaire, déduire une expression de l'accélération angulaire $\;\color {transparent}{{\ddot {\theta }}(t)}\;$ en fonction de $\;\succ$$\;v$, $\;\alpha$, $\;\rho (t)\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)$, et enfin
     en tenant compte de $\;\color {transparent}{v=cste}\;$ et à partir de l'expression précédente de la vitesse angulaire, déduire une expression de l'accélération angulaire $\;\color {transparent}{{\ddot {\theta }}(t)}\;$ en fonction de $\;\succ$$\;\alpha \;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)$.

Solution

     Expression de la vitesse angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : de l'expression de la vitesse instantanée «$\;v_{M}(t)={\dfrac {\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)}{\sin(\alpha )}}\;$» et
     Expression de la vitesse angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : de sa valeur constante égale à $\;v\;$
     Expression de la vitesse angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : on en déduit la vitesse angulaire cherchée «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {v\,\sin(\alpha )}{\rho (t)}}\;$».

     1^ère expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : on obtient cette expression en dérivant celle de la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ par rapport à $\;t\;$ soit
     1^ère expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : «$\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {-v\,\sin(\alpha )\,{\dot {\rho }}(t)}{\rho ^{2}(t)}}\;$» ;

     2^ème expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : pour cela on y reporte l'expression de la vitesse radiale déterminée dans la solution de la question précédente $\;{\dot {\rho }}(t)=V_{\rho }(t)=V_{\theta }(t)\,\cot(\alpha )=\rho (t)\,\cot(\alpha )\,{\dot {\theta }}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {-v\,\sin(\alpha )\,\rho (t)\,\cot(\alpha )\,{\dot {\theta }}(t)}{\rho (t)^{2}}}\;$ et finalement
     2^ème expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : «$\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {-v\,\cos(\alpha )\,{\dot {\theta }}(t)}{\rho (t)}}\;$» ;

     3^ème expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : il reste à « éliminer $\;v\;$ et $\;\rho (t)\;$ au profit de $\;\alpha \;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)\;$» par une nouvelle utilisation de l'expression de la vitesse instantanée «$\;v=v_{M}(t)={\dfrac {\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)}{\sin(\alpha )}}\;$» ou $\;{\dfrac {v}{\rho (t)}}={\dfrac {{\dot {\theta }}(t)}{\sin(\alpha )}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {\theta }}(t)=-\cos(\alpha )\,{\dot {\theta }}(t)\,{\dfrac {v}{\rho (t)}}=-\cos(\alpha )\,{\dot {\theta }}(t)\,{\dfrac {{\dot {\theta }}(t)}{\sin(\alpha )}}\;$ et finalement
     3^ème expression de l'accélération angulaire du point sur sa trajectoire quand le mouvement est uniforme : «$\;{\ddot {\theta }}(t)=-\cot(\alpha )\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» .

 

Détermination des composantes polaires du vecteur accélération du point dans le cas précédent où ce dernier décrit un mouvement uniforme sur sa trajectoire

     Exprimer les composantes polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ du point dont le mouvement s'effectue à vitesse instantanée $\;v\;$ constante  ;

     préciser son orientation.

Solution

     On utilise les expressions des composantes polaires du vecteur accélération «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}a_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}(t)\!\!&=&\!\!{\dot {V}}_{\rho }(t)-{\dfrac {V_{\theta }^{2}(t)}{\rho (t)}}\\a_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!\rho (t)\left[-\cot(\alpha )\,{\dot {\theta }}^{2}(t)\right]+2\,V_{\rho }(t)\,{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» avec
     On utilise celle de la composante locale de Frenet du vecteur vitesse utilisant les composantes polaires du vecteur unitaire tangentiel de Frenet «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=v\,{\vec {\tau }}_{M}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)=v\,\cos(\alpha )\\V_{\theta }(t)=v\,\sin(\alpha )\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on tire d'une part «$\;{\dot {V}}_{\rho }(t)=0\;$» et d'autre part «$\;V_{\rho }(t)=V_{\theta }(t)\;\cot(\alpha )\;$» soit $\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l c l}a_{\rho }(t)\!\!\!&=&\!\!\!-{\dfrac {V_{\theta }^{2}(t)}{\rho (t)}}\!\!\!&=&\!\!\!-V_{\theta }(t)\,{\dfrac {V_{\theta }(t)}{\rho (t)}}\!\!\!&=&\!\!\!V_{\theta }(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\a_{\theta }(t)\!\!\!&=&\!\!\!-\left[\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,\cot(\alpha )\right]{\dot {\theta }}(t)+2\,V_{\rho }(t)\,{\dot {\theta }}(t)\!\!\!&=&\!\!\!-V_{\rho }(t)\,{\dot {\theta }}(t)+2\,V_{\rho }(t)\,{\dot {\theta }}(t)\!\!\!&=&\!\!\!V_{\rho }(t)\,{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c l}a_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!-v\,\sin(\alpha )\,{\dot {\theta }}(t)\\a_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!v\,\cos(\alpha )\,{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» ; finalement on obtient «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}a_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!-v\,\sin(\alpha )\,{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!-{\dfrac {v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t)}}\quad <0\\a_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!v\,\cos(\alpha )\,{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {v^{2}\,\sin(\alpha )\cos(\alpha )}{\rho (t)}}>0\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; on constate que le vecteur accélération a toujours une composante radiale $\;<0\;$ et une composante orthoradiale $\;>0$.

 

Détermination du rayon de courbure de la spirale logarithmique en fonction du rayon polaire du point

     Déduire, de la résolution de la question « détermination des composantes polaires du vecteur accélération du point dans le cas précédent où ce dernier décrit un mouvement uniforme sur sa trajectoire » plus haut dans cet exercice, le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de la trajectoire de $\;M\;$ en fonction de son rayon polaire $\;\rho \;$ et de l'angle $\;\alpha$ ;

     le résultat obtenu étant indépendant de la nature uniforme du mouvement, vérifiez-le sur l'expression finale.

Solution

     La vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$ étant constante égale à $\;v$, l'accélération tangentielle est nulle «$\;a_{\tau ,\,M}={\dot {v_{M}}}(t)=0\;$» et le vecteur accélération est normal, sa norme étant égale à l'accélération normale $\Rightarrow$ «$\;a_{n,\,M}$ $=\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {\left[-{\dfrac {v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t)}}\right]^{2}+\left[{\dfrac {v^{2}\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\rho (t)}}\right]^{2}}}={\dfrac {v^{2}\,\sin(\alpha )}{\rho (t)}}\;$» que l'on identifie à «$\;{\dfrac {v^{2}}{{\mathcal {R}}_{M}(t)}}\;$» d'où «$\;{\mathcal {R}}_{M}(\theta )={\dfrac {\rho (\theta )}{\sin(\alpha )}}\;$» .

Schéma exposant la propriété du centre de courbure $\;C_{M}\;$ d'une spirale logarithmique de centre asymptotique $\;O\;$ telle que sa tangente en $\;M\;$ fait l'angle $\;\alpha \;$ avec $\;OM$ : le projeté orthogonal de $\;C_{M}\;$ sur la direction $\;OM\;$ est le point asymptotique $\;O\;$ de la spirale logarithmique

     Remarques : Le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ faisant l'angle $\;\alpha \;$ avec $\;{\vec {u}}_{\rho ,\,M}$, il en est de même du vecteur unitaire normal principal de Frenet $\;{\vec {n}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$ ${\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
     Remarques : on peut placer le centre de courbure $\;C_{M}\;$ à la spirale logarithmique sur la normale principale en $\;M\;$ à la distance $\;MC_{M}={\mathcal {R}}_{M}\;$ de $\;M\;$ et, comme $\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {\rho (\theta )}{\sin(\alpha )}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\rho (\theta )={\mathcal {R}}_{M}\,\sin(\alpha )$, on en déduit que
     Remarques : le projeté orthogonal du centre de courbure$\;C_{M}\;$ sur la direction du vecteur position est le point asymptote$\;O\;$de la spirale logarithmique ;

     Remarques : d'après le schéma ci-contre on en déduit les coordonnées polaires du centre de courbure $\;C_{M}\;$, à savoir
     Remarques : d'après le schéma ci-contre on en déduit $\succ \;$son abscisse angulaire «$\;\theta _{C_{M}}=\theta _{M}+{\dfrac {\pi }{2}}\;$» et
     Remarques : d'après le schéma ci-contre on en déduit $\succ \;$son rayon $\;{\big (}$polaire${\big )}$ «$\;\rho _{C_{M}}=OC_{M}={\mathcal {R}}_{M}\;\cos(\alpha )={\dfrac {\rho _{M}}{\sin(\alpha )}}\;\cos(\alpha )=\rho _{M}\;\cot(\alpha )$ soit
     Remarques : d'après le schéma ci-contre on en déduit $\color {transparent}{\succ }\;$son rayon $\;\color {transparent}{\big (}$polaire$\color {transparent}{\big )}$ «$\;\rho _{C_{M}}=\rho _{0}\,\cot(\alpha )\,\exp \left[\theta _{M}\,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\;$» ;

     Remarques : l'équation polaire du centre de courbure s'écrit donc «$\;\rho _{C_{M}}=\rho _{C_{M},\,0}\,\exp \left[\left(\theta _{C_{M}}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\;$»
           Remarques : l'équation polaire du centre de courbure s'écrit donc avec «$\;\rho _{C_{M},\,0}=\rho _{0}\,\cot(\alpha )\;$ valeur de $\;OC_{M}\;$ quand $\;\theta _{M}=0\;$ ou $\;\theta _{C_{M}}={\dfrac {\pi }{2}}\;$» ;
     Remarques : nous en déduisons que le centre de courbure décrit aussi une spirale logarithmique de point asymptotique $\;O\;$
           Remarques : nous en déduisons que le centre de courbure décrit aussi une spirale logarithmique avec une même inclinaison de la tangente relativement au rayon vecteur que celle décrite par $\;M\;$$\;\ldots$

 

Étude, en repérage polaire, du mouvement à vitesse angulaire constante d'un point sur une demi cardioïde et détermination du rayon de courbure de cette dernière en fonction de l'angle polaire du point

Schéma de situation, à l'instant $\;t$, du déplacement d'un point $\;M\;$ à vitesse angulaire constante sur une demi cardioïde, l'abscisse angulaire variant de $\;0\;$ à $\;\pi$

     Un point $\;M$, de coordonnées polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)$, se déplace, d'un mouvement à vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}=\omega _{0}\;$ constante $\;>0$,
     Un point $\;\color {transparent}{M}$, de coordonnées polaires $\;\color {transparent}{\left(\rho \,,\,\theta \right)}$, se déplace, sur une cardioïde d'équation polaire «$\;\rho =a\left[1+\cos(\theta )\right]\;$» avec $\;a\;$ une constante homogène à une longueur ;

     l'origine des temps étant choisie quand l'abscisse angulaire du point est nulle, on en déduit la loi horaire angulaire «$\;\theta =\omega _{0}\;t\;$»,
        l'origine le temps $\;t\;$ évoluant de $\;0\;$ à $\;{\dfrac {\pi }{\omega _{0}}}\;$ ${\big (}$ce qui correspond à l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\pi {\big )}$,
        l'origine le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ évoluant de $\;\color {transparent}{0}\;$ à $\;\color {transparent}{\dfrac {\pi }{\omega _{0}}}\;$ le mobile ne décrit alors que la demi cardioïde représentée ci-contre.

Détermination de la vitesse instantanée du mobile sur sa trajectoire et déduction de la longueur de cette dernière

     Évaluer la vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$ du mobile sur la demi cardioïde en fonction de $\;a$, $\;\omega _{0}\;$ et du temps $\;t$ ;

     en déduire la longueur $\;{\mathcal {L}}\;$ de la trajectoire en l'exprimant sous forme d'une intégrale curviligne puis
     « transformer cette dernière en une intégrale d'une fonction du temps $\;t\;$ sur l'intervalle $\;\left[0\,;\,{\dfrac {\pi }{\omega _{0}}}\right]\;$» et la calculer.

Solution

     Détermination de la vitesse instantanée du point$\;M\;$sur sa trajectoire, la demi cardioïde : On évalue d'abord les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du mobile $\;M\;$ sur la demi cardioïde de façon à déterminer sa norme $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;$ s'identifiant à la valeur absolue de la vitesse instantanée $\;\vert v_{M}(t)\vert \;$ soit
         Détermination de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire, $\;{\vec {V}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l c l c l}V_{\rho }(t)\!\!\!&=&\!\!{\dot {\rho }}(t)\!\!\!&=&\!\!{\dfrac {d\rho }{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\,{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\!\!\!&=&\!\!-a\,\omega _{0}\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\!\!\!\!\!&=&\!\!\!\!-2\,a\,\omega _{0}\,\sin \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\,\cos \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\\V_{\theta }(t)\!\!\!&=&\!\!\rho \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\!\!\!&=&\!\!a\,\omega _{0}\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \!\!\!&=&\!\!2\,a\,\omega _{0}\,\cos ^{2}\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\!\!\!\!\!&&\!\!\!\!\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$
         Détermination de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire, «$\;\vert v_{M}(t)\vert =\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{\rho }^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)}}=a\,\omega _{0}\,{\sqrt {\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]+\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}}}=a\,\omega _{0}\,{\sqrt {2\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }}\;$» ou encore
         Détermination de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire, «$\;\vert v_{M}(t)\vert =2\,a\,\omega _{0}\,{\bigg \vert }\cos \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]{\bigg \vert }\;$»  ;

         Détermination de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire, comme $\;\theta \in \left[0\,;\,\pi \right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\theta }{2}}\in \left[0\,;\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\geqslant 0\;$ on en tire «$\;\vert v_{M}(t)\vert =2\,a\,\omega _{0}\,\cos \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\;$» ;

         Détermination de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire, constatant que $\;\vert v_{M}(t)\vert =2\,a\,\omega _{0}\,\cos \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\;$ ne s'annule qu'à la borne supérieure de l'intervalle de variation de $\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$ on en déduit que
         Détermination de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire, le mobile $\;M\;$ ne change pas de sens de déplacement sur sa trajectoire et par suite,
         Détermination de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire, si on choisit le sens $\;+\;$ sur cette dernière dans le sens du mouvement $\;{\big (}$c.-à-d. le sens des $\;\theta \nearrow {\big )}\;$,
         Détermination de la vitesse instantanée du point$\;\color {transparent}{M}\;$sur sa trajectoire, la vitesse instantanée s'écrit «$\;v_{M}(t)=2\,a\,\omega _{0}\,\cos \!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]=2\,a\,\omega _{0}\,\cos \!\left({\dfrac {\omega _{0}\;t}{2}}\right)\;$».

     Détermination de la longueur de la trajectoire de$\;M$ $\;{\big (}$c.-à-d. la longueur de la demi cardioïde${\big )}$ : «$\;{\mathcal {L}}=\displaystyle \int _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{f}}{\overset {\curvearrowright }{dM}}\;$» où $\;({\mathcal {C}})\;$ est la trajectoire de $\;M\;$ c.-à-d. la demi cardioïde et
           Détermination de la longueur de la trajectoire de$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big (}$c.-à-d. la longueur de la demi cardioïde$\color {transparent}{\big )}$ : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}=\displaystyle \int _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M_{f}}{\overset {\curvearrowright }{dM}}}\;$» où $\;{\overset {\curvearrowright }{dM}}\;$ la longueur élémentaire algébrique définie à partir du point $\;M\;$ de la demi cardioïde orientée $\;{\Big (}{\overset {\curvearrowright }{dM}}\;$ s'identifiant à l'abscisse curviligne élémentaire $\;ds_{M}\;$ définie à partir du même point $\;M{\Big )}\;$
     Détermination de la longueur de la trajectoire de$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big (}$c.-à-d. la longueur de la demi cardioïde$\color {transparent}{\big )}$ : intégrale paramétrable en $\;t\;$ à l'aide de la vitesse instantanée $\;v_{M}(t)={\dot {s}}_{M}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overset {\curvearrowright }{dM}}=ds_{M}=v_{M}(t)\,dt\;$» soit finalement la « transformation de l'intégrale curviligne en l'intégrale de la fonction $\;v_{M}(t)\;$ sur l'intervalle $\;\left[0\,;\,{\dfrac {\pi }{\omega _{0}}}\right]\;$» suivante
     Détermination de la longueur de la trajectoire de$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big (}$c.-à-d. la longueur de la demi cardioïde$\color {transparent}{\big )}$ : «$\;{\mathcal {L}}=\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{\omega _{0}}}v_{M}(t)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{\omega _{0}}}2\,a\,\omega _{0}\,\cos \!\left({\dfrac {\omega _{0}\;t}{2}}\right)\;dt\;$» ou,
     Détermination de la longueur de la trajectoire de$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big (}$c.-à-d. la longueur de la demi cardioïde$\color {transparent}{\big )}$ : en faisant le changement de variable d'intégration $\;\theta =\omega _{0}\;t\;$ $\Rightarrow$ $\;d\theta =$ $\omega _{0}\;dt$,
     Détermination de la longueur de la trajectoire de$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big (}$c.-à-d. la longueur de la demi cardioïde$\color {transparent}{\big )}$ : le segment d'intégration sur $\;\theta \;$ devenant $\;\left[0\,;\,\pi \right]$, la longueur de la demi cardioïde se réécrit
     Détermination de la longueur de la trajectoire de$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big (}$c.-à-d. la longueur de la demi cardioïde$\color {transparent}{\big )}$ : «$\;{\mathcal {L}}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }2\,a\,\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;d\theta \;$» et se calcule selon
     Détermination de la longueur de la trajectoire de$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big (}$c.-à-d. la longueur de la demi cardioïde$\color {transparent}{\big )}$ : «$\;{\mathcal {L}}=\displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }4\,a\,\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)=\left[4\,a\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]_{0}^{\pi }\;$» donnant finalement
     Détermination de la longueur de la trajectoire de$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big (}$c.-à-d. la longueur de la demi cardioïde$\color {transparent}{\big )}$ : la longueur de la demi cardioïde égale à «$\;{\mathcal {L}}=4\;a\;$».

 

Détermination des composantes polaires du vecteur accélération du point sur la demi cardioïde

     Déterminer les composantes polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ du point sur sa trajectoire en fonction de $\;a$, $\;\omega _{0}\;$ et $\;\theta =\omega _{0}\,t$.

Solution

     Les composantes polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ du mobile $\;M\;$ sur la demi cardioïde sont «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}a_{\rho }(t)\!\!\!&=&\!\!{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}\!\!\!&=&\!\!{\dot {V_{\rho }}}(t)-\rho (t)\;\omega _{0}^{2}\\a_{\theta }(t)\!\!\!&=&\!\!{\cancel {\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\;+}}\;2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\!\!\!&=&\!\!2\,V_{\rho }(t)\,\omega _{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit encore
     Les composantes polaires du vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du mobile $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la demi cardioïde sont «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)=-a\,\omega _{0}^{2}\,\cos \!\left[\theta (t)\right]-a\,\omega _{0}^{2}\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \\a_{\theta }(t)=-2\,a\,\omega _{0}^{2}\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ou finalement, avec $\;\theta =\omega _{0}\;t$,
     Les composantes polaires du vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du mobile $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la demi cardioïde sont «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)=-a\,\omega _{0}^{2}\left[1+2\,\cos(\omega _{0}\,t)\right]\\a_{\theta }(t)=-2\,a\,\omega _{0}^{2}\,\sin(\omega _{0}\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Détermination du rayon de courbure de la demi cardioïde en fonction de l'abscisse angulaire du point

     Question préliminaire : Former le produit vectoriel $\;{\vec {V}}_{M}\wedge {\vec {a}}_{M}\;$ dans la base locale de Frenet lié au point $\;M\;$ et
     Question préliminaire : en déduire la norme $\;\Vert {\vec {V}}_{M}\wedge {\vec {a}}_{M}\Vert \;$ en fonction de la vitesse instantanée $\;v_{M}\;$ et de l'accélération normale $\;a_{n,\,M}\;$, puis
     Question préliminaire : en déduire la norme $\;\color {transparent}{\Vert {\vec {V}}_{M}\wedge {\vec {a}}_{M}\Vert }\;$ en fonction de $\;v_{M}\;$ et du rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ au point $\;M\;$ de la trajectoire suivie ;

     Question préliminaire : la norme d'un produit vectoriel étant indépendante de la base de calcul, $\;\Vert {\vec {V}}_{M}\wedge {\vec {a}}_{M}\Vert$ en fonction de $\;v_{M}\;$ et du rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ au point $\;M\;$ de la trajectoire suivie
     Question préliminaire : la norme d'un produit vectoriel étant indépendante de la base de calcul, $\;\color {transparent}{\Vert {\vec {V}}_{M}\wedge {\vec {a}}_{M}\Vert }$ garde la même valeur en calculant le produit vectoriel dans la base cylindro-polaire liée à $\;M$.

     Déduire, de la résolution de la question précédente « détermination des composantes polaires du vecteur accélération du point sur la demi cardioïde »
     Déduire, de la résolution de la question précédente avec utilisation du résultat de la question préliminaire exposée ci-dessus,
     Déduire, le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de la trajectoire de $\;M\;$ en fonction de son abscisse angulaire $\;\theta \;$ et de la longueur $\;a$.

Solution

     Préliminaire : on forme $\;{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\;$ en repérage de Frenet soit, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {V}}_{M}(t)\!\!&=&\!\!v_{M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}\\{\vec {a}}_{M}(t)\!\!&=&\!\!a_{\tau ,\,M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}+a_{n,\,M}(t)\;{\vec {n}}_{M}\end{array}}\right\rbrace \;$ où d'une part $\;v_{M}(t)\;$ est la vitesse instantanée , d'autre part $\;a_{\tau ,\,M}(t)\;$ et $\;a_{n,\,M}(t)\;$ sont respectivement les accélérations tangentielle et normale ,
     Préliminaire : l'évaluation du produit vectoriel $\;{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\;$ en base locale de Frenet donne $\;{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)=v_{M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}\wedge \left[a_{\tau ,\,M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}+a_{n,\,M}(t)\;{\vec {n}}_{M}\right]=v_{M}(t)\;a_{n,\,M}(t)\;{\vec {b}}\;$ soit au final
   Préliminaire : l'évaluation du produit vectoriel «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {v_{M}^{3}(t)}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;{\vec {b}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\dfrac {\vert v_{M}(t)\vert ^{3}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$» ;

     Préliminaire : la norme du produit vectoriel $\;{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\;$ étant indépendante de la base de calcul, on calcule ce dernier dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$
           Préliminaire : la norme du produit vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)}\;$ étant indépendante de la base de calcul, on calcule ce dernier pour en déduire $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\Vert \;$ qui peut alors être identifiée à $\;{\dfrac {\vert v_{M}(t)\vert ^{3}}{{\mathcal {R}}_{M}}}$.

Schéma de situation, à l'instant $\;t$, du déplacement d'un point $\;M\;$ à vitesse angulaire constante sur une demi cardioïde, l'abscisse angulaire variant de $\;0\;$ à $\;\pi$, avec positionnement des bases locales polaire et de Frenet

     Les composantes cylindro-polaires de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\;$ se déduisent de celles de ses vecteurs composants «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ $V_{\rho }(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» et
     Les composantes cylindro-polaires de $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)}\;$ se déduisent de celles de ses vecteurs composants «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=a_{\rho }(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+a_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$»
     Les composantes cylindro-polaires de $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)}\;$ se déduisent selon la règle de calcul suivante  :

• selon $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}&{\vec {V}}_{M}(t)&\wedge &{\vec {a}}_{M}(t)&=&{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }&V_{\rho }(t)&&a_{\rho }(t)&&V_{\theta }(t)\times 0-0\times a_{\theta }(t)=0\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }&V_{\theta }(t)&^{+}\searrow &a_{\theta }(t)&&\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}&0&_{-}\nearrow &0&&\end{array}}\right\rbrace$,
• selon $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}&{\vec {V}}_{M}(t)&\wedge &{\vec {a}}_{M}(t)&=&{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }&V_{\rho }(t)&&a_{\rho }(t)&&\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }&V_{\theta }(t)&&a_{\theta }(t)&&0\times a_{\rho }(t)-V_{\rho }(t)\times 0=0\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}&0&^{+}\searrow &0&&\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }&V_{\rho }(t)&_{-}\nearrow &a_{\rho }(t)&&\end{array}}\right\rbrace$,
• selon $\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}&{\vec {V}}_{M}(t)&\wedge &{\vec {a}}_{M}(t)&=&{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }&V_{\rho }(t)&^{+}\searrow &a_{\rho }(t)&&\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }&V_{\theta }(t)&_{-}\nearrow &a_{\theta }(t)&&\\{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}&0&&0&&V_{\rho }(t)\;a_{\theta }(t)-V_{\theta }(t)\;a_{\rho }(t)\end{array}}\right\rbrace$ et par suite,

     la seule composante cylindro-polaire non nulle de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\;$ est la composante axiale «$\;\left[{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\right]_{z}=V_{\rho }(t)\;a_{\theta }(t)-V_{\theta }(t)\;a_{\rho }(t)\;$»
     la seule composante cylindro-polaire non nulle de $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est la composante axiale se réécrivant, en réinjectant les expressions radiales et orhtoradiales des vecteurs composants ,
     la seule composante cylindro-polaire non nulle de $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est la composante axiale «$\;\left[{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\right]_{z}=\left[-a\,\omega _{0}\,\sin(\theta )\right]\left[-2\,a\,\omega _{0}^{2}\,\sin(\theta )\right]-\left[a\,\omega _{0}\left\lbrace 1+\cos(\theta )\right\rbrace \right]\left[-a\,\omega _{0}^{2}\left\lbrace 1+2\,\cos(\theta )\right\rbrace \right]\;$» ou,
     la seule composante cylindro-polaire non nulle de $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est la composante axiale «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\right]_{z}}$ $=2\,a^{2}\,\omega _{0}^{3}\,\sin ^{2}(\theta )+a^{2}\,\omega _{0}^{3}+2\,a^{2}\,\omega _{0}^{3}\,\cos ^{2}(\theta )+3\,a^{2}\,\omega _{0}^{3}\,\cos(\theta )\;$» soit finalement
     la seule composante cylindro-polaire non nulle de $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est la composante axiale «$\;\left[{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\right]_{z}=3\,a^{2}\,\omega _{0}^{3}\left[1+\cos(\theta )\right]=6\,a^{2}\,\omega _{0}^{3}\;\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$»  ;

     on en déduit «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\bigg \vert }\left[{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\right]_{z}{\bigg \vert }=6\,a^{2}\,\omega _{0}^{3}\;\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$ à identifier à $\;{\dfrac {\vert v_{M}(t)\vert ^{3}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$» soit finalement «$\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {\vert v_{M}(t)\vert ^{3}}{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\Vert }}\;$» ou,
     on en déduit avec le report de $\;\vert v_{M}(t)\vert =2\,a\,\omega _{0}\,\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$ dans l'expression du rayon de courbure simultanément à celui de la norme $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {a}}_{M}(t)\Vert \;$ du produit vectoriel précédemment déterminée,
     on en déduit «$\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {8\,a^{2}\,\omega _{0}^{3}\,\cos ^{3}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{6\,a^{3}\,\omega _{0}^{3}\;\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$» soit finalement un rayon de courbure de la demi cardioïde au point $\;M\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta \;$ valant «$\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {4}{3}}\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$» ; c'est pour $\;\theta =0\;$ que le rayon de courbure est le plus grand valant $\;{\dfrac {4\,a}{3}}\;$ et il devient nul $\;{\big (}$point anguleux${\big )}\;$ pour $\;\theta =\pi$.

     Remarque : On pouvait utiliser l'autre méthode cinématique en calculant l'accélération tangentielle $\;a_{\tau ,\,M}(t)={\dot {v_{M}}}(t)\;$ à partir de $\;v_{M}(t)=2\,a\,\omega _{0}\,\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$ soit $\;a_{\tau ,\,M}(t)=-2\,a\,\omega _{0}\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\dfrac {{\dot {\theta }}(t)}{2}}\;$ ou $\;a_{\tau ,\,M}(t)=-a\,\omega _{0}^{2}\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$ puis

     Remarque : On pouvait utiliser l'autre méthode cinématique en évaluant la norme du vecteur accélération $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {\left\lbrace -a\,\omega _{0}^{2}\,\left[1+2\,\cos(\theta )\right]\right\rbrace ^{2}+\left\lbrace -2\,a\,\omega _{0}^{2}\sin(\theta )\right\rbrace ^{2}}}$ que l'on simplifie aisément après développement en $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =a\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {5+4\,\cos(\theta )}}=a\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {9-8\,\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ et enfin

     Remarque : On pouvait utiliser l'autre méthode cinématique en déterminant l'accélération normale $\;a_{n,\,M}(t)\;$ par $\;a_{n,\,M}(t()={\sqrt {\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ^{2}-a_{\tau ,\,M}^{2}(t)}}\;$ donnant, après simplification évidente $\;a_{n,\,M}(t()=$ $3\,a\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}=3\,a\,\omega _{0}^{2}\,\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)$ ;

     Remarque : identifiant $\;a_{n,\,M}(t)\;$ à $\;{\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{a_{n,\,M}(t)}}={\dfrac {4\,a^{2}\,\omega _{0}^{2}\,\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{3\,a\,\omega _{0}^{2}\,\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ $\Rightarrow$ on retrouve effectivement le résultat précédent «$\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {4\,a}{3}}\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$».