Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement

Glissement sur un plan incliné en présence de frottement solide

     Un objet de masse $\;m\;$ est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté $\;\alpha \;$ avec l'horizontale ;

     le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de coefficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée $\;f$.

Durée écoulée avant l'arrêt et distance parcourue correspondante

     À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter au bout d'une certaine durée ;

     déterminer cette durée ainsi que

     Déterminer la distance parcourue pendant cette dernière.

Solution

Schéma d'un solide en liaison unilatérale avec un plan incliné sur lequel le contact est avec frottement solide et représentation des forces appliquées au solide quand ce dernier glisse vers le haut

     L'objet étant en translation est assimilé à son C.D.I. noté $\;M$, son mouvement le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné est repéré par son équation horaire scalaire $\;x(t)\;$ où $\;x\;$ est l'abscisse de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ dont la direction est la ligne de plus grande pente et dont le sens est ascendant, l'origine $\;O\;$ de l'axe étant la position du C.D.I. à l'instant de lancement de l'objet avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}$, l'instant de lancement étant choisi comme origine des temps.

     Les forces extérieures s'exerçant sur l'objet de C.D.I. $\;M\;$ étant

• son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant selon «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$» où $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est le vecteur unitaire orientant $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}$, le vecteur unitaire normal au plan incliné choisi dans le sens des altitudes $\;\nearrow \;$ ainsi que
• la réaction du plan «$\;{\vec {R}}={\vec {R}}_{\tau }+R_{n}\;{\vec {n}}\;$» avec $\;{\vec {n}}$, le vecteur unitaire normal au plan, de sens opposé à celui de la pénétration $\;{\big (}$susceptible de se produire${\big )}\;$ de l'objet dans le plan $\;{\big [}\Rightarrow R_{n}>0{\big ]}\;$ correspondant encore à $\;{\vec {n}}={\vec {u}}_{y}$,

     l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen nous conduit à «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» soit, en projection sur chaque axe, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}-m\;g\;\sin(\alpha )+R_{\tau ,\,x}!\!&=&\!\!m\;a_{M,\,x}(t)\\-m\;g\;\cos(\alpha )+R_{n}!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» et, en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement «$\;\vert R_{\tau ,\,x}\vert =f\;R_{n}\;$» où $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ étant de sens contraire au mouvement de $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{\tau ,\,x}<0\;$ d'où la réécriture de la loi de frottement de Coulomb avec glissement «$\;R_{\tau ,\,x}=-f\;R_{n}\;$» et par suite les deux équations se réécrivent «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}-m\;g\;\sin(\alpha )-f\;R_{n}\!\!&=&\!\!m\;a_{M,\,x}(t)\\R_{n}\!\!&=&\!\!m\;g\;\cos(\alpha )\end{array}}\right\rbrace \;$» puis, en reportant l'expression de $\;R_{n}\;$ dans l'équation différentielle du mouvement de $\;M\;$ et après simplification évidente «$\;{\ddot {x}}(t)=-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]<0\;$» ;      on en déduit, par intégration, la loi horaire scalaire de vitesse de l'objet «$\;V_{M,\,x}(t)=-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t+cste\;$» soit, en déterminant la constante d'intégration par la C.I. $\;V_{M,\,x}(0)=V_{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=V_{0}$, la réécriture de la loi horaire de vitesse de l'objet selon «$\;V_{M,\,x}(t)=V_{0}-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t\;$» et par suite, l'arrêt de l'objet étant caractérisé par une vitesse nulle, l'instant d'arrêt $\;t_{\text{arrêt}}\;$ de ce dernier est défini par «$\;V_{M,\,x}(t_{\text{arrêt}})=V_{0}-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t_{\text{arrêt}}=0\;$» soit «$\;t_{\text{arrêt}}={\dfrac {V_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;$» correspondant à une durée de parcours de l'objet avant son arrêt égale à «$\;\left[\Delta t\right]_{\text{arrêt}}=t_{\text{arrêt}}-0={\dfrac {V_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;$» ;      intégrant la loi horaire scalaire de vitesse de l'objet $\;{\dot {x}}(t)=V_{M,\,x}(t)=V_{0}-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t\;$ on en déduit sa loi horaire scalaire de position «$\;x(t)=V_{0}\;t-{\dfrac {g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}{2}}\;t^{2}+cste'\;$» soit, en déterminant la constante d'intégration par la C.I. $\;x(0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;cste'=0$, la réécriture de la loi horaire de position de l'objet suivant «$\;x(t)=V_{0}\;t-{\dfrac {g}{2}}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t^{2}\;$» et par suite, l'abscisse de la position d'arrêt $\;x_{\text{arrêt}}\;$ de ce dernier étant défini par son abscisse à l'instant d'arrêt «$\;x_{\text{arrêt}}=x(t_{\text{arrêt}})=V_{0}\;t_{\text{arrêt}}-{\dfrac {g}{2}}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t_{\text{arrêt}}^{\,2}\;$» soit, en reportant l'expression précédemment déterminée de $\;t_{\text{arrêt}}={\dfrac {V_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}$, on trouve «$\;x_{\text{arrêt}}=V_{0}\;{\dfrac {V_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}-{\dfrac {g}{2}}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,{\dfrac {V_{0}^{2}}{g^{2}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]^{2}}}={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;$» correspondant à une distance parcourue par l'objet avant son arrêt égale à «$\;d=x_{\text{arrêt}}-0={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;$».

 

Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt

     À quelle condition sur $\;\alpha \;$ l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ?

Solution

     Il convient bien sûr de refaire un schéma de situation en représentant les forces.

     À partir de l'état final de repos précédent, « la force tendant à faire redescendre l'objet de C.D.I. $\;M\;$ est la composante de $\;m\;{\vec {g}}\;$ le long du plan incliné, composante qui est dans le sens descendant » $\;{\big [}$de norme égale à $\;m\;g\;\sin(\alpha ){\big ]}\;$ et par suite « la force de frottement $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est maintenant dans le sens ascendant », s'opposant à la composante de $\;m\;{\vec {g}}\;$ le long du plan incliné ;

     s'il n'y a pas glissement c'est que ces deux composantes se compensent soit «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =m\;g\;\sin(\alpha )\;$» et

     comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. $\;M\;$ au-dessus du plan incliné, on a encore « les deux composantes $\;\perp \;$ au plan incliné qui se compensent » c.-à-d. «$\;R_{n}\;{\vec {n}}\;$» ${\big [}$dirigée vers le haut $\;\Rightarrow \;R_{n}>0{\big ]}\;$ et « la composante du poids $\;\perp \;$ au plan incliné $\;-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$» $\;{\big [}$dirigée vers le bas${\big ]}\;$ d'où «$\;R_{n}=m\;g\;\cos(\alpha )\;$» ;

     l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement s'écrivant «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert <f\;R_{n}\;$» devient ici «$\;m\;g\;\sin(\alpha )<f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;$» soit, après simplification évidente «$\;\tan(\alpha )<f\;$» ou,
en introduisant l'angle limite de frottement $\;\varphi =\arctan(f)\;$,
«$\;\alpha <\varphi \;$».

 

Pendule élastique horizontal et frottement solide

Schéma d'un P.E.H. constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté $\;M\;$ pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe $\;\parallel \;$ à l'axe du ressort

     Un solide, assimilé à son C.D.I. noté $\;M\;$ de masse $\;m$, est reliée à un ressort idéal , à spires non jointives , de longueur à vide $\;l_{0}\;$ et de raideur $\;k$ ;

     un dispositif $\;{\big (}$non représenté${\big )}\;$ ne permet le déplacement du solide que le long de l'axe horizontal $\;x'x\;$ du ressort orienté selon le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de la gauche vers la droite $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$.

     Lorsque le ressort présente sa longueur à vide $\;l_{0}$, le C.D.I. du solide se trouve en $\;M_{0}\;$ de l'axe et sa position à l'instant $\;t\;$ est repérée relativement à $\;M_{0}\;$ selon $\;{\overrightarrow {M_{0}M}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}$.

     La liaison du solide avec le support plan horizontal le soutenant est unilatérale et avec frottement solide de cœfficients statique et dynamique confondus de valeur commune constante $\;f=\tan(\varphi )\;$ où $\;\varphi \;$ est la valeur commune des angles limites de frottement statique et dynamique confondus  ;

     nous admettrons que la réaction du support plan horizontal sur le solide se réduit à une force unique «$\;{\vec {R}}=N\;{\vec {u}}_{y}+{\vec {R}}_{\tau }\;$» avec «$\;N>0\;$» et «$\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ porté par l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$», $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant le vecteur unitaire ascendant normal au support plan horizontal, « la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ obéissant aux lois expérimentales de Coulomb du frottement de glissement dans le cas d'équilibre ou dans celui de glissement effectif  ».

Recherche des positions initiales d'équilibre du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide

     Sachant que la position initiale du C.D.I. du solide $\;M_{i}\;$ est repérée par son abscisse $\;x_{i}\;$ avec absence de vitesse initiale,

     Sachant que montrer qu'il existe un intervalle ouvert $\;\left]-a_{1}\,,\,+a_{1}\right[\;$ de valeurs $\;x_{i}\;$ correspondant à un état d'équilibre du solide et

     Sachant que expliciter la valeur de $\;a_{1}\;$ en fonction de $\;m$, $\;g\;$ ${\big (}$intensité de la pesanteur${\big )}$, $\;k\;$ et $\;f$.

Solution

Schéma de situation initiale d'un P.E.H. constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté $\;M\;$ pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe $\;\parallel \;$ à l'axe du ressort avec ajout des forces extérieures s'exerçant sur le solide

     Le C.D.I. $\;M\;$ du solide étant écarté de $\;x_{i}\;$ de sa position initiale $\;M_{0}\;$ correspondant au ressort à vide et lâché sans vitesse initiale, on se place, a priori, dans une C.N. d'équilibre dont une C.N. est la nullité de la somme des forces extérieures appliquées ;

     $\succ \;$nullité de la somme des forces extérieures verticales c.-à-d. le poids du solide $\;m\;{\vec {g}}\;$ et la composante normale de la réaction du plan support $\;{\vec {N}}\;$ d'où, en projection sur $\;{\vec {u}}_{y}$, «$\;N-m\;g=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;N=m\;g\;$» ;

     $\succ \;$nullité de la somme des forces extérieures horizontales c.-à-d. la force que le ressort exerce sur le solide $\;{\vec {T}}=-k\;x_{i}\;{\vec {u}}_{x}\;$ et la composante tangentielle de réaction du plan support $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau ,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'où, en projection $\;{\vec {u}}_{x}$, «$\;-k\;x_{i}+R_{\tau ,\,x}=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;R_{\tau ,\,x}=k\;x_{i}\;$» ;

     il reste à écrire la loi de frottement de Coulomb dans le cas d'un non glissement «$\;\vert R_{\tau ,\,x}\vert <f\;N\;$» soit ici
          il reste à écrire la loi de frottement de Coulomb dans le cas d'un non glissement «$\;k\;\vert x_{i}\vert <f\;m\;g\;$» ou «$\;-f\;m\;g<k\,x_{i}<f\;m\;g\;$» soit enfin «$\;-{\dfrac {f\;m\;g}{k}}<x_{i}<{\dfrac {f\;m\;g}{k}}\;$».

     Il existe donc bien un intervalle ouvert $\;\left]-a_{1}\,,\,+a_{1}\right[\;$ de valeurs de $\;x_{i}$, abscisse de la position initiale du C.D.I. du solide sans vitesse initiale, correspondant à un état d'équilibre du solide, la valeur absolue commune des bornes étant «$\;a_{1}={\dfrac {f\;m\;g}{k}}\;$».

 

Étude du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide quand il est initialement hors état d'équilibre

     On se place dans le cas où les C.I. sont «$\;x_{i}=\beta \;a_{1}\;$ avec $\;\beta >1\;$» et «$\;\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)_{\!i}=0\;$».

Étude de la 1^ère phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide

     Après avoir vérifié que les C.I. ont placé $\;M\;$ hors plage d'équilibre, préciser dans quel sens le mouvement peut s'effectuer et
         Après avoir vérifié que les C.I. ont placé $\;\color {transparent}{M}\;$ hors plage d'équilibre, préciser la conséquence que cela a sur la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ de la réaction $\;{\big (}$sens et norme${\big )}$ ;

         Après avoir vérifié que les C.I. ont placé $\;\color {transparent}{M}\;$ hors plage d'équilibre, en déduire l'équation différentielle du mouvement de $\;M\;$ dans l'hypothèse où ce dernier s'effectue effectivement dans le sens prédit ;

         Après avoir vérifié que les C.I. ont placé $\;\color {transparent}{M}\;$ hors plage d'équilibre, résoudre cette équation différentielle et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;

         Après avoir vérifié que les C.I. ont placé $\;\color {transparent}{M}\;$ hors plage d'équilibre, à partir de quel instant $\;t_{1}\;$ cette hypothèse n'est-elle plus valable ?

Solution

Schéma de situation instantanée d'un P.E.H. constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté $\;M\;$ pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe $\;\parallel \;$ à l'axe du ressort avec ajout des forces extérieures s'exerçant sur le solide à un instant $\;t\;$ quelconque

     Les C.I. placent effectivement $\;M\;$ hors plage d'équilibre, «$\;x_{i}=\beta \;a_{1}\;$ avec $\;\beta >1\;$» étant $\;>a_{1}$, le mouvement s'effectuera tout d'abord dans le sens des $\;x\searrow \;$ c.-à-d. avec $\;{\dot {x}}(t)<0$ ;

     le sens de la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ de la réaction du plan support est alors dans le sens contraire de celui du mouvement du solide c.-à-d. le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et sa norme, selon la loi de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement, s'écrit selon «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =f\;N\;$»  ;

     compte-tenu de l'absence de mouvement vertical on a toujours «$\;N-m\;g=0\;$» ou encore «$\;N=m\;g\;$» permettant de réécrire la force de frottement solide selon «$\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau ,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;R_{\tau ,\,x}=f\;m\;g\;$» ${\big [}$expression restant valable tant que $\;{\dot {x}}(t)\;$ reste $\;<0{\big ]}$ ;

     l'application du théorème du mouvement du C.D.I. au solide et sa projection sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne «$\;T_{x}+R_{\tau ,\,x}=m\;{\ddot {x}}(t)\;$» ou, avec «$\;T_{x}=-k\;x(t)\;$», l'équation différentielle en $\;x(t)\;$ suivante «$\;-k\;x(t)+f\;m\;g=m\;{\ddot {x}}(t)\;$» ou finalement, en ordonnant et normalisant «$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;x(t)=f\;g\;$»
c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ hétérogène sans terme du 1^er ordre ;

     la solution générale $\;x(t)\;$ de l'équation ci-dessus étant la somme de la solution libre $\;x_{l}(t)\;$ ${\big (}$c.-à-d. la solution générale de l'équation homogène${\big )}\;$ et de la solution forcée $\;x_{f}(t)\;$ ${\big (}$c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène cherchée de même forme que l'excitation${\big )}$, nous commençons par les déterminer individuellement :

• solution forcée : l'excitation $\;f\;g\;$ étant constante, nous cherchons $\;x_{f}\;$ sous forme d'une constante $\Rightarrow {\ddot {x}}_{f}=0\;$ d'où $\;{\dfrac {k}{m}}\;x_{f}=f\;g\;$ ou «$\;x_{f}={\dfrac {f\;m\;g}{k}}=a_{1}\;$» ;
• solution libre : solution générale de l'équation «$\;{\ddot {x}}_{l}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;x_{l}(t)=0\;$» $\;{\bigg [}$équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}{\bigg ]}$, ou encore «$\;{\ddot {x}}_{l}(t)+\omega _{0}^{2}\;x_{l}(t)=0\;$», la solution libre s'écrivant alors «$\;x_{l}(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$», $\;A\;$ et $\;B\;$ étant des constantes réelles d'intégration à déterminer par C.I. sur la solution générale de l'équation hétérogène ;

     solution générale$\;x(t)\;$de l'équation hétérogène  : on en déduit «$\;x(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)+a_{1}\;$» et on détermine $\;A\;$ et $\;B\;$ en utilisant les C.I. «$\;x(0)=x_{i}=\beta \;a_{1}\;$ et $\;{\dot {x}}(0)=0\;$» soit :
           solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit «$\;\color {transparent}{x(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)+a_{1}}\;$» et on détermine $\succ \;$«$\;x(0)=A+a_{1}=\beta \;a_{1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;A=\left(\beta -1\right)\,a_{1}\;$» et
           solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit «$\;\color {transparent}{x(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)+a_{1}}\;$» et on détermine $\succ \;$«$\;{\dot {x}}(0)=B\;\omega _{0}=0\;$» ${\big [}$car $\;{\dot {x}}(t)=-A\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)+B\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t){\big ]}\;$
           solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit «$\;\color {transparent}{x(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)+a_{1}}\;$» et on détermine $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {x}}(0)=B\;\omega _{0}=0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;B=0\;$» ;

           solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit la loi horaire de position de $\;M\;$ dans cette 1^ère phase de son mouvement «$\;x(t)=\left(\beta -1\right)\,a_{1}\;\cos(\omega _{0}\;t)+a_{1}\;$» ou encore
           solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit la loi horaire de position de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans cette 1^ère phase de son mouvement «$\;x(t)=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -1\right)\,\cos(\omega _{0}\;t)\right]\;$».

     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;{\dot {x}}(t)\;$ est $\;<0$, il reste donc à valider $\;{\big (}$ou non${\big )}\;$ cette hypothèse et pour cela
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;{\dot {x}}(t)\;$ soit «$\;{\dot {x}}(t)=-\left(\beta -1\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$»

     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)}\;$ qui est «$\;<0\;$» si «$\;\left(\beta -1\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ est $\;>0\;$» ou, comme $\;\beta \;$ est $\;>1$,
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)}\;$ qui est «$\;\color {transparent}{<0}\;$» si «$\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ est $\;>0\;$ à partir de $\;t=0\;$» soit pour «$\;\omega _{0}\;t\in \left]0\,,\,\pi \right[\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{\omega _{0}}}\right[\;$» ou,
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)}\;$ en définissant la période propre de l'oscillateur non amorti «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$»,
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)}\;$ qui est «$\;\color {transparent}{<0}\;$» si «$\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\right[\;$» ;

     l'instant $\;t_{1}\;$ à partir duquel l'équation du mouvement précédent «$\;x(t)=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -1\right)\,\cos(\omega _{0}\;t)\right]\;$» n'est plus valable est donc «$\;t_{1}={\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$».

 

Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 1^ère phase

     Quelle doit-être la condition sur $\;\beta \;$ pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase soit dans la plage d'équilibre ?

Solution

     La condition sur $\;\beta \;$ pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase d'abscisse $\;x(t_{1}^{-})\;$ soit dans la plage d'équilibre «$\;-a_{1}<x(t_{1}^{-})<a_{1}\;$» avec «$\;x(t_{1}^{-})=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -1\right)\,\cos(\pi ^{-})\right]=a_{1}\,\left(2-\beta \right)\;$»,
      La condition sur $\;\color {transparent}{\beta }\;$ pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase d'abscisse $\;\color {transparent}{x(t_{1}^{-})}\;$ soit dans la plage se réécrit «$\;-a_{1}<a_{1}\,\left(2-\beta \right)<a_{1}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;1<\beta <3\;$» soit finalement
     La condition sur $\;\color {transparent}{\beta }\;$ pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase si «$\;\beta \in \left]1\,,\,3\right[\;$» le P.E.H. amorti par frottement solide s'arrête définitivement à l'instant «$\;t_{1}={\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$» en l'abscisse
          La condition sur $\;\color {transparent}{\beta }\;$ pour que la position d'arrêt de fin de 1^ère phase si «$\;\color {transparent}{\beta \in \left]1\,,\,3\right[}\;$» le P.E.H. amorti par frottement solide s'arrête définitivement à l'instant «$\;x(t_{1})=a_{1}\,\left(2-\beta \right)\left\lbrace {\begin{array}{c}\leqslant 0\;{\text{pour}}\;\beta \;\in \;\left[2\,,\,3\right[\\\geqslant 0\;{\text{pour}}\;\beta \;\in \;\left]1\,,\,2\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Étude de la 2^ème phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide sous condition de son existence

     La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; il est alors judicieux pour traiter la suite de faire un changement d'origine des temps en posant $\;t'=t-t_{1}$ ;

     La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; préciser dans quel sens le mouvement peut se poursuivre et
     La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; préciser la conséquence que cela a sur la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ de la réaction $\;{\big (}$sens et norme${\big )}$ ;

     La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; en déduire l'équation différentielle en $\;x(t')\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans l'hypothèse où ce dernier se poursuit dans le sens prédit ;

     La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; résoudre cette équation différentielle et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;

     La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement se poursuit ; à partir de quel instant $\;{t'}_{2}\;$ correspondant à $\;t_{2}=t_{1}+{t'}_{2}\;$ cette hypothèse n'est-elle plus valable ?

Solution

     Remarque préliminaire : En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple
     Remarque préliminaire : En physique la fonction « abscisse en fonction du temps $\;t\;$» dont la valeur est $\;x\;$ est notée $\;x(t)\;$ d'où la notation simplifiée $\;x=x(t)\;$ ;
     Remarque préliminaire : en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais,
     Remarque préliminaire : en physique, lors d'un changement de variable, par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple
     Remarque préliminaire : en physique, la fonction « abscisse en fonction du temps $\;t\;$» dont la valeur est $\;x\;$ et la fonction « abscisse en fonction du temps $\;t'=t-t_{1}\;$» de même valeur $\;x\;$ sont respectivement notées $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x(t)\\x(t')\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où la notation simplifiée $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=x(t)\\x=x(t')\end{array}}\right\rbrace \;$.

     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\beta \geqslant 3\;$», le mouvement se poursuit dans le sens des $\;x\nearrow \;$ correspondant à $\;{\dot {x}}(t)>0\;$ et
     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», la force de frottement $\;{\vec {R}}_{\tau }$, de sens opposé à celui du mouvement c.-à-d. opposé au sens de $\;{\vec {V}}_{M}(t)$, est dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{x}$,
     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», la force de frottement $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\tau }}$, sa norme étant toujours «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =f\;N=f\;m\;g\;$» d'où «$\;{\vec {R}}_{\tau }=-f\;m\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$» .

     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», Comme proposé dans le texte, on fait un changement d'origine des temps, posant «$\;t'=t-t_{1}\;$» ;

     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», l'application du théorème du mouvement du C.D.I. au solide et sa projection sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne «$\;T_{x}+R_{\tau ,\,x}=m\;{\ddot {x}}(t')\;$» ou, avec «$\;T_{x}$ $=-k\;x(t')\;$», l'équation différentielle en $\;x(t')\;$ suivante «$\;-k\;x(t')-f\;m\;g=m\;{\ddot {x}}(t')\;$» ou finalement, en ordonnant et normalisant «$\;{\ddot {x}}(t')+{\dfrac {k}{m}}\;x(t')=-f\;g\;$»
c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\;x(t')\;$ hétérogène sans terme du 1^er ordre ;

     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», la solution générale $\;x(t')\;$ de l'équation ci-dessus étant la somme de la solution libre $\;x_{l}(t')\;$ ${\big (}$c.-à-d. la solution générale de l'équation homogène${\big )}\;$ et de la solution forcée $\;x_{f}(t')\;$ ${\big (}$c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène cherchée de même forme que l'excitation${\big )}$, nous commençons par les déterminer individuellement :

     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», $\blacktriangleright \;$solution forcée : l'excitation $\;-f\;g\;$ étant constante, nous cherchons $\;x_{f}\;$ sous forme d'une constante $\Rightarrow {\ddot {x}}_{f}=0\;$ d'où
     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$solution forcée : l'excitation $\;\color {transparent}{-f\;g}\;$ étant constante, $\;{\dfrac {k}{m}}\;x_{f}=-f\;g\;$ ou «$\;x_{f}=-{\dfrac {f\;m\;g}{k}}=-a_{1}\;$» ;

     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», $\blacktriangleright \;$solution libre : solution générale de l'équation «$\;{\ddot {x}}_{l}(t')+{\dfrac {k}{m}}\;x_{l}(t')=0\;$» déjà déterminée dans la 1^ère phase d'où «$\;x_{l}(t')=$ $A'\;\cos(\omega _{0}\;t')+B'\;\sin(\omega _{0}\;t')\;$» avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ pulsation propre de l'oscillateur harmonique non amorti, $\;A'\;$ et $\;B'\;$ étant des constantes réelles d'intégration à déterminer par C.I. sur la solution générale de l'équation hétérogène ;

     La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», solution générale$\;x(t)\;$de l'équation hétérogène  : on en déduit «$\;x(t')=A'\;\cos(\omega _{0}\;t')+B'\;\sin(\omega _{0}\;t')-a_{1}\;$» et on détermine $\;A'\;$ et $\;B'\;$ en utilisant les C.I. «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l c l}x(t'=0^{+})\!\!&=&\!\!x(t_{1}^{+})\!\!&=&\!\!x(t_{1}^{-})\!\!&=&\!\!a_{1}\,\left(2-\beta \right)\\{\dot {x}}(t'=0^{+})\!\!&=&\!\!{\dot {x}}(t_{1}^{+})\!\!&=&\!\!{\dot {x}}(t_{1}^{-})\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big [}$en effet il y a continuité de la position et de la vitesse à l'instant du changement de phase de mouvement ${\big ]}$ soit :

           La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit $\succ \;$«$\;x(t'=0)=A'-a_{1}=a_{1}\,\left(2-\beta \right)\;$» soit
           La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{x(t'=0)}\;$ «$\;A'=a_{1}\,\left(3-\beta \right)=-a_{1}\,\left(\beta -3\right)\;$» et
           La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit $\succ \;$«$\;{\dot {x}}(t'=0)=B'\;\omega _{0}=0\;$» ${\big [}$découlant de ${\dot {x}}(t')=$
           La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t'=0)=B'\;\omega _{0}}$$-A\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t')+B\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t'){\big ]}\;$
           La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : on en déduit $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t'=0)=B'\;\omega _{0}=0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;B'=0\;$» d'où

           La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : la loi horaire de position de $\;M\;$ dans cette 2^ème phase de son mouvement
           La condition d'arrêt à la fin de 1^ère phase n'étant pas réalisée, on a «$\;\color {transparent}{\beta \geqslant 3}\;$», solution générale$\;\color {transparent}{x(t)}\;$de l'équation hétérogène : la loi horaire de position «$\;x(t')=-\left(\beta -3\right)\,a_{1}\;\cos(\omega _{0}\;t')-a_{1}\;$» ou encore «$\;x(t')=-a_{1}\,\left[1+\left(\beta -3\right)\,\cos(\omega _{0}\;t')\right]\;$».

     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;{\dot {x}}(t')\;$ est $\;>0$, il reste donc à valider $\;{\big (}$ou non${\big )}\;$ cette hypothèse et pour cela
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, il reste donc à évaluer $\;{\dot {x}}(t')\;$ soit «$\;{\dot {x}}(t')=\left(\beta -3\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t')\;$»

     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ qui est «$\;>0\;$» si «$\;\left(\beta -3\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t')\;$ est $\;>0\;$» ou, pour $\;\beta >3$,
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ qui est «$\;\color {transparent}{>0}\;$» pour $\;\sin(\omega _{0}\;t')\;>0\;$ à partir de $\;t'=0\;$ soit pour «$\;\omega _{0}\;t'\in \left]0\,,\,\pi \right[\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;t'\in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{\omega _{0}}}\right[\;$» ou,
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ en définissant la période propre de l'oscillateur non amorti «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$»,
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ qui est «$\;\color {transparent}{>0}\;$» pour «$\;t'\in \left]0\,,\,{\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;t=t'+t_{1}\in \left]{\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\,,\,T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\right[\;$» ;

     l'instant $\;{t'}_{2}\;$ à partir duquel l'équation du mouvement précédent «$\;x(t')=-a_{1}\,\left[1+\left(\beta -3\right)\,\cos(\omega _{0}\;t')\right]\;$» n'est plus valable est donc «$\;{t'}_{2}={\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$» soit «$\;t_{2}={t'}_{2}+t_{1}=T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$».

     Remarque : le cas $\;\beta =3\;$ permettant a priori un glissement du solide dans une 2^ème phase de mouvement s'avère fournir une amplitude nulle pour cette 2^ème phase oscillatoire ,
     Remarque : le cas $\;\color {transparent}{\beta =3}\;$ ainsi, en théorie, c'est encore un cas d'arrêt définitif après la 1^ère phase mais cela suppose les cœfficients de frottement statique et dynamique confondus, sinon il y a mouvement $\;\ldots$

 

Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 2^ème phase

     Quelle doit-être la condition sur $\;\beta \;$ pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase soit dans la plage d'équilibre ?

Solution

     La condition sur $\;\beta \;$ pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase d'abscisse $\;x({t'}_{2}^{-})\;$ soit dans la plage d'équilibre «$\;-a_{1}<x({t'}_{2}^{-})<a_{1}\;$» avec «$\;x({t'}_{2}^{-})=-a_{1}\,\left[1+\left(\beta -3\right)\,\cos(\pi ^{-})\right]=a_{1}\,\left(\beta -4\right)\;$»,
      La condition sur $\;\color {transparent}{\beta }\;$ pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase d'abscisse $\;\color {transparent}{x({t'}_{2}^{-})}\;$ soit dans la plage se réécrit «$\;-a_{1}<a_{1}\,\left(\beta -4\right)<a_{1}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;3<\beta <5\;$» soit finalement
     La condition sur $\;\color {transparent}{\beta }\;$ pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase si «$\;\beta \in \left]3\,,\,5\right[\;$» le P.E.H. amorti par frottement solide s'arrête définitivement à la date «$\;t_{2}=T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$» à l'abscisse
          La condition sur $\;\color {transparent}{\beta }\;$ pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase si «$\;\color {transparent}{\beta \in \left]3\,,\,5\right[}\;$» le P.E.H. amorti par frottement solide s'arrête définitivement à la date «$\;x({t'}_{2})=a_{1}\,\left(\beta -4\right)\left\lbrace {\begin{array}{c}\leqslant 0\;{\text{pour}}\;\beta \,\in \,\left[4\,,\,5\right[\\\geqslant 0\;{\text{pour}}\;\beta \,\in \,\left]3\,,\,4\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Remarque : Comme il a été vu avec $\;\beta =3\;$ qui devait être considéré comme un cas d'arrêt théorique après la fin de la 1^ère phase , il en sera de même de $\;\beta =5\;$ qui devra aussi être considéré comme un cas d'arrêt théorique après la fin de la 2^ème phase car l'amplitude des oscillations d'une 3^ème phase serait nulle .

 

Application au cas β = 5,5

     Appliquer l'étude précédente au cas $\;\beta =5,5\;$ et

     tracer, sur un même graphe, le diagramme horaire $\;x=x(t)\;$ pour chacune des phases effectivement décrites.

Solution

     Remarque préliminaire : revoir celle de la solution de la question « étude de la 2^ème phase du mouvement du P.E.H. amorti par frottement solide sous condition de son existence » plus haut dans cet exercice.

     Nous sommes donc dans le cas $\;\beta >5$, il y a donc une 3^ème phase dans le sens des $\;x\searrow$ ;

     Nous sommes donc dans le cas $\;\color {transparent}{\beta >5}$, pour faciliter la résolution $\;{\big (}$à calquer sur celle de la 1^ère phase aux C.I. près${\big )}$, on fait le changement d'origine des temps suivant «$\;t''=t-t_{2}=t'-t'_{2}\;$» ;

     Nous sommes donc dans le cas $\;\color {transparent}{\beta >5}$, l'équation différentielle en $\;x(t'')\;$ est «$\;{\ddot {x}}(t'')+{\dfrac {k}{m}}\;x(t'')=f\;g\;$» et sa résolution conduit à «$\;x(t'')=A''\;\cos(\omega _{0}\;t'')+B''\;\sin(\omega _{0}\;t'')+a_{1}\;$» avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ pulsation propre de l'oscillateur harmonique non amorti, les C.I. étant maintenant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l c l}x(t''=0^{+})\!\!&=&\!\!x({t'}_{2}^{+})\!\!&=&\!\!x({t'}_{2}^{-})\!\!&=&\!\!a_{1}\,\left(\beta -4\right)\\{\dot {x}}(t''=0^{+})\!\!&=&\!\!{\dot {x}}({t'}_{2}^{+})\!\!&=&\!\!{\dot {x}}({t'}_{2}^{-})\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big [}$en effet il y a continuité de la position et de la vitesse à l'instant du changement de phase de mouvement ${\big ]}\;$ soit :
     Nous sommes donc dans le cas $\;\color {transparent}{\beta >5}$, $\succ \;$«$\;x(t''=0)=A''+a_{1}=a_{1}\,\left(\beta -4\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;A''=a_{1}\,\left(\beta -5\right)\;$» et
     Nous sommes donc dans le cas $\;\color {transparent}{\beta >5}$, $\succ \;$«$\;{\dot {x}}(t''=0)=B''\;\omega _{0}=0\;$» ${\big [}$en utilisant $\;{\dot {x}}(t'')=-A''\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t'')+B''\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t''){\big ]}\;$ soit finalement «$\;B''=0\;$» ;

     Nous sommes donc dans le cas $\;\color {transparent}{\beta >5}$, on en déduit la loi horaire de position de $\;M\;$ dans cette 3^ème phase de son mouvement «$\;x(t'')=\left(\beta -5\right)\,a_{1}\;\cos(\omega _{0}\;t')+a_{1}\;$» ou encore «$\;x(t'')=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -5\right)\,\cos(\omega _{0}\;t'')\right]\;$».

     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;{\dot {x}}(t')\;$ est $\;<0$, il reste donc à valider $\;{\big (}$ou non${\big )}\;$ cette hypothèse et pour cela
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;{\dot {x}}(t'')\;$ soit «$\;{\dot {x}}(t'')=-\left(\beta -5\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t'')\;$»

     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t'')}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t')}\;$ qui est «$\;<0\;$» si «$\;\left(\beta -5\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t'')\;$ est $\;>0\;$» ou, pour $\;\beta >5$,
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t'')}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t'')}\;$ qui est «$\;\color {transparent}{<0}\;$»pour $\;\sin(\omega _{0}\;t'')\;>0\;$ à partir de $\;t''=0\;$ soit «$\;\omega _{0}\;t''\in \left]0\,,\,\pi \right[\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;t'(\in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{\omega _{0}}}\right[\;$» ou,
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t'')}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t'')}\;$ en définissant la période propre de l'oscillateur non amorti «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$»,
     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t'')}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, il reste donc à évaluer $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t'')}\;$ qui est «$\;\color {transparent}{<0}\;$»pour «$\;t''\in \left]0\,,\,{\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;t\in \left]T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\,,\,{\dfrac {3\;T_{0}}{2}}=3\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\right[\;$»  ;

     l'instant $\;{t''}_{3}\;$ à partir duquel l'équation du mouvement précédent «$\;x(t'')=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -5\right)\,\cos(\omega _{0}\;t'')\right]\;$» n'est plus valable est donc «$\;{t''}_{3}={\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$» soit «$\;t_{3}={t''}_{3}+t_{2}={\dfrac {3\;T_{0}}{2}}=3\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$».

     L'abscisse du C.D.I. $\;M\;$ de l'objet ayant, à l'instant $\;t_{3}^{-}$, pour valeur «$\;x({t''}_{3}^{-})=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -5\right)\,\cos(\pi ^{-})\right]=a_{1}\,\left(6-\beta \right)\;$» soit, avec $\;\beta =5,5\;$ la valeur numérique «$\;x({t''}_{3}^{-})=0,5\;a_{1}\;\in \,\left]-a_{1}\,,\,a_{1}\right[\;$», nous en concluons que l'objet a atteint une « position d'équilibre à l'instant $\;t_{3}={\dfrac {3\;T_{0}}{2}}=3\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ de la fin de la 3^ème phase » et qu'il restera indéfiniment en «$\;x_{\text{éq}}={\dfrac {a_{1}}{2}}\;$» sans perturbations extérieures.

Diagramme horaire de position d'un P.E.H. constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté $\;M\;$ pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe $\;\parallel \;$ à l'axe du ressort, $\;M\;$ étant initialement écarté de sa position à ressort à vide de $\;5,5\;a_{1}\;$ et lâché sans vitesse initiale, $\;a_{1}\;$ étant l'écart maximal compatible avec l'équilibre

Diagramme horaire de position d'un P.E.H. constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté $\;M\;$ pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe $\;\parallel \;$ à l'axe du ressort, $\;M\;$ étant initialement écarté de sa position à ressort à vide de $\;19,5\;a_{1}\;$ et lâché sans vitesse initiale, $\;a_{1}\;$ étant l'écart maximal compatible avec l'équilibre

     Tracé du diagramme horaire de position pour$\;\beta =5,5\;$ ${\big (}$ci-contre à gauche${\big )}$.

• 1^ère phase : loi horaire de position «$\;x(t)=a_{1}\,\left[1+4,5\;\cos(\omega _{0}\;t)\right]\;$» correspondant à une demi-oscillation autour de $\;x=a_{1}\;$ d'amplitude de $\;4,5\;a_{1}$,
• 2^ème phase : loi horaire de position «$\;x(t')=$ $-a_{1}\,\left[1+2,5\;\cos(\omega _{0}\;t')\right]\;$» correspondant à une demi-oscillation autour de $\;x=-a_{1}\;$ d'amplitude de $\;2,5\;a_{1}$,
• 3^ème phase : loi horaire de position «$\;x(t'')=$ $a_{1}\,\left[1+0,5\;\cos(\omega _{0}\;t'')\right]\;$» correspondant à une demi-oscillation autour de $\;x=a_{1}\;$ d'amplitude de $\;0,5\;a_{1}$,
• position d'arrêt à l'abscisse $\;x_{\text{éq}}=0,5\;a_{1}$.

     Remarque : Si $\;\beta \;$ est nettement plus grand de façon à ce qu'on puisse observer beaucoup plus de demi-oscillations successives, on observerait un amortissement qui, pratiquement, pourrait être qualifié de « linéaire » voir ci-contre à droite avec le cas $\;\beta =19,5\;a_{1}$.

 

Condition de propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal comprimé (principe de la catapulte verticale)

Principe de la propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme

     Un objet assimilable à un point matériel $\;A$, de masse $\;m$, est posé sur un plateau horizontal assimilable à son C.D.I. $\;P$, de masse $\;M$, soutenu par des ressorts verticaux équivalents à un ressort unique idéal de raideur $\;k\;$et de longueur à vide $\;l_{0}$ ;

     l'ensemble « ressort, plateau, objet posé » est guidé verticalement, dans un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, par un système non représenté sur le schéma ci-contre ;

     la liaison entre l'objet posé et le plateau est unilatérale avec ou sans frottement solide, l'existence d'un éventuel frottement solide ne jouant aucun rôle dans la mesure où toutes les forces actives qui interviennent dans le problème étant verticales , les réactions tangentielles que le plateau exerce sur l'objet ou que l'objet exerce sur le plateau sont nulles.

     On appuie sur le plateau qui se déplace verticalement d'une longueur $\;a\;$ comptée à partir de sa position d'équilibre initiale, et on le lâche sans vitesse initiale.

     À partir de quelle valeur de $\;a\;$ l'objet assimilé au point matériel $\;A\;$ quittera-t-il le plateau au cours du mouvement ?

Solution

Schémas à l'équilibre et à l'instant $\;t\;$ relatifs à la propulsion verticale d'un objet posé sur un plateau lié à un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme, avec représentation des forces extérieures appliquées à l'ensemble « objet - plateau » à l'instant $\;t\;$ si le contact entre les deux est effectif

     Toutes les études sont faites dans le référentiel lié au sol, référentiel supposé galiléen.

     Tant que la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;P\;$ sur $\;A\;$ existe et est $\;\neq 0$, le point $\;A\;$ reste solidaire du plateau de C.D.I. $\;P\;$, c'est dans cette hypothèse que nous nous plaçons dans la suite ;

     pour déterminer $\;{\vec {R}}\;$ on appliquera la r.f.d.n. à $\;A\;$ ce qui permettra d'exprimer $\;{\vec {R}}\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\vec {a}}_{A}(t)\;$ accélération éventuelle de $\;A$, laquelle est égale à celle de $\;P\;$ ou de l'ensemble $\;A\cup P\;$ tant que $\;A\;$ n'a pas quitté le plateau ;

     pour déterminer le mouvement éventuel de $\;A\;$ ou de $\;P\;$ ou de l'ensemble $\;A\cup P\;$ dans l'hypothèse où $\;A\;$ n'a pas quitté le plateau, on appliquera le théorème du mouvement du C.D.I. à l'ensemble $\;A\cup P\;$ , ce qui permettra d'exprimer l'accélération éventuelle commune en fonction des données.

     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : soit $\;C_{\text{éq}}=l_{0}-l_{\text{éq}}\;$ la compression du ressort à l'équilibre de l'ensemble $\;A\cup P\;$, l'étude de l'équilibre de ce dernier nous fournit «$\;C_{\text{éq}}={\dfrac {(M+m)\;g}{k}}\;$»  ;

     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : cette position d'équilibre servant d'origine pour le repérage du C.D.I. de l'ensemble « objet - plateau » , la force $\;{\vec {T}}(t)\;$ que le ressort exerce sur $\;A\cup P\;$ à l'instant $\;t\;$ est dirigée vers le haut tant que le ressort est comprimé et la compression totale à cet instant s'écrivant $\;C_{t}=C_{\text{éq}}+x(t)\;$ avec $\;x\;$ abscisse de $\;A\cup P$, on en déduit «$\;{\vec {T}}(t)=-k\;C_{t}\;{\vec {u}}_{x}=-k\,\left[C_{\text{éq}}+x(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}\;$» ;

     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : la seule autre force extérieure s'exerçant sur l'ensemble « objet - plateau » étant le poids de ce dernier «$\;\left(M+m\right)\,{\vec {g}}=\left(M+m\right)\,g\;{\vec {u}}_{x}\;$», l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à $\;A\cup P\;$ donne, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}$, l'équation différentielle en $\;x(t)\;$ suivante «$\;-k\,\left[C_{\text{éq}}+x(t)\right]+\left(M+m\right)\,g=\left(M+m\right)\,{\ddot {x}}(t)\;$», soit, après simplification utilisant la condition d'équilibre «$\;C_{\text{éq}}=$ ${\dfrac {(M+m)\;g}{k}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left(M+m\right)\,g=k\;C_{\text{éq}}\;$» et normalisation, la réécriture de l'équation différentielle en $\;x(t)\;$ selon
     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : «$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k}{M+m}}\;x(t)=0\;$»
     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ sans terme du 1^er ordre ou encore
     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : c.-à-d. une équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de « pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{M+m}}}\;$» ;

     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : on en déduit la forme de la solution «$\;x(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$» avec $\;A\;$ et $\;B\;$ constantes d'intégration se déterminant par utilisation des C.I. «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x(0)=a\\{\dot {x}}(0)=0\end{array}}\right\rbrace \;$», la 1^ère conduisant à «$\;A=a\;$» et la 2^nde à $\;B\;\omega _{0}=0\;$ soit «$\;B=0\;$» d'où finalement
     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : «$\;x(t)=a\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$» et par suite l'accélération de $\;A\cup P\;$ et aussi celle de $\;A\;$ :
     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : «$\;a_{x,\,A\,\cup \,P}(t)=a_{x,\,A}(t)={\ddot {x}}(t)=-\omega _{0}^{2}\;x(t)=-{\dfrac {k}{M+m}}\;x(t)=-{\dfrac {k\;a}{M+m}}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$».

Schéma à l'instant $\;t\;$ relatif à la propulsion verticale d'un objet posé sur un plateau lié à un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme, avec représentation des forces appliquées à l'objet à l'instant $\;t\;$ dans l'hypothèse où le contact entre l'objet et le plateau est effectif

     Détermination de la réaction que le plateau exerce sur l'objet : $\;A\;$ étant soumis à deux forces, son poids «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$» et la réaction du plateau $\;{\vec {R}}\;$ de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet dans le plateau susceptible de se produire à savoir de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'où «$\;{\vec {R}}=-R_{n}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;R_{n}>0\;$ pour un contact effectif » $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, la r.f.d.n. appliquée à $\;A\;$ et projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne «$\;-R_{n}(t)+m\;g=m\;{\ddot {x}}(t)\;$» ou, en reportant l'expression «$\;{\ddot {x}}(t)=-{\dfrac {k\;a}{M+m}}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$» précédemment trouvée on en déduit l'expression de la composante normale de la réaction «$\;R_{n}(t)=m\,\left[g-{\ddot {x}}(t)\right]=m\,\left[g+{\dfrac {k\;a}{M+m}}\;\cos(\omega _{0}\;t)\right]\;$».

     Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau : Cette condition s'écrit «$\;R_{n}(t)>0,\;\;\forall \;t\;$» avec «$\;R_{n}(t)\;$ fonction continue $\;\searrow \;$ de $\;t\in \left[0\,,\,{\dfrac {T_{0}}{2}}\right]\;$» dans lequel «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {M+m}{k}}}\;$ est la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble lié $\;A\cup P\;$ fixé au ressort » ;
     Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau : on utilise alors la C.N. de positivité d'une fonction continue d'une variable sur un intervalle, c.-à-d. « minimum de cette fonction sur cet intervalle positif » soit ici $\;R_{n}(t)>0,\;\;\forall \;t\;$ réalisé si «$\;\min \limits _{t\in \left[0\,,\,{\frac {T_{0}}{2}}\right]}\left\lbrace m\,\left[g+{\dfrac {k\;a}{M+m}}\;\cos(\omega _{0}\;t)\right]\right\rbrace =m\,\left[g-{\dfrac {k\;a}{M+m}}\right]>0\;$» $\Rightarrow$

     Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau : la condition de maintien du contact entre l'objet et le plateau «$\;a<{\dfrac {\left(M+m\right)\,g}{k}}=C_{\text{éq}}\;$» .

     Conclusion : Le point $\;A\;$ décollera donc du plateau pour une compression initiale supplémentaire relativement à la compression à l'équilibre de «$\;a\geqslant {\dfrac {(M+m)\;g}{k}}=C_{\text{éq}}\;$» d'où

     Conclusion : il n'y a plus contact entre $\;A\;$ et le plateau à l'instant où le ressort cesse d'être comprimé dans le mouvement de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble supposé lié $\;A\cup P\;$ fixé au ressort .

 

Condition de maintien de contact d'un objet lors de son passage, à vitesse constante, sur une bosse

Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle

     Une automobile, assimilée à un point matériel, circule à la vitesse instantanée $\;v\;$ uniforme, sur une piste au profil accidenté, l'assimilation de l'automobile à un point matériel ayant pour conséquence que son mouvement peut être considéré comme un glissement ;

     la liaison entre l'automobile et la piste est unilatérale avec frottement solide mais la composante tangentielle de la réaction de la piste sur l'automobile ne jouera aucun rôle car la force motrice $\;{\big (}$tangentielle${\big )}\;$ s'exerçant sur cette dernière est adaptée pour compenser toutes les autres composantes tangentielles de façon que l'accélération tangentielle soit nulle et donc la vitesse instantanée constante.

     À un instant considéré comme instant origine, la voiture franchit, dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, une bosse modélisée par deux portions rectilignes raccordées par un arc de cercle de rayon $\;l\;$ et d'ouverture angulaire $\;2\;\alpha \;$ ${\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$.

     À quelle condition de vitesse l'automobile garde-t-elle le contact avec le sol ?

     Données : $\alpha =10\,{\text{°}}$, $\;l=5\;m\;$ et l'intensité de la pesanteur terrestre est prise égale à $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$,
     Données : déterminer numériquement la vitesse instantanée minimale pour que l'automobile décolle de la piste et
     Données : préciser à quel endroit le décollage se produit.

Solution

Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle avec représentation des forces extérieures appliquées et base locale de Frenet

     Le référentiel terrestre dans lequel on étudie le mouvement de la voiture assimilée à un point matériel $\;M\;$ lors du passage sur la bosse est supposé galiléen et on y utilisera la base locale de Frenet liée à $\;M\;$ à savoir $\;\left({\vec {\tau }}\,,\,{\vec {n}}\right)\;$ $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$ ;

     bilan des forces appliquées à $\;M\;$ simulant la voiture : $\blacktriangleright \;$son poids «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;\sin(\theta )\;{\vec {\tau }}+m\;g\;\cos(\theta )\;{\vec {n}}\;$»,
     bilan des forces appliquées à $\;\color {transparent}{M}\;$ simulant la voiture : $\blacktriangleright \;$la force motrice «$\;{\vec {F}}_{\text{mot}}=F_{{\text{mot}},\,\tau }\;{\vec {\tau }}\;$» et
     bilan des forces appliquées à $\;\color {transparent}{M}\;$ simulant la voiture : $\blacktriangleright \;$la réaction de la piste «$\;{\vec {R}}=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}-R_{n}\;{\vec {n}}\;$»,
     bilan des forces appliquées à $\;\color {transparent}{M}\;$ simulant la voiture : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la composante normale étant « de sens contraire à celui de la pénétration de la voiture dans la piste » qui est susceptible de se produire c.-à-d. « de sens contraire à $\;{\vec {n}}\;$» ce qui a pour conséquence «$\;R_{n}>0\;$ tant que le contact est maintenu » et
     bilan des forces appliquées à $\;\color {transparent}{M}\;$ simulant la voiture : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la composante tangentielle $\;{\big (}$ou force de frottement solide${\big )}\;$ « de sens contraire au mouvement » c.-à-d. « de sens contraire à $\;{\vec {\tau }}\;$» ce qui a pour conséquence «$\;R_{\tau }<0\;$» avec la loi de frottement de Coulomb avec glissement $\;\vert R_{\tau }\vert =$ $f\;R_{n}\;$ dans laquelle $\;f\;$ est le cœfficient commun de frottement solide statique et dynamique  ;

     la condition de maintien de contact du véhicule sur la piste lors du passage de la bosse étant «$\;R_{n}(\theta )>0,\;\;\forall \;\theta \in \left[-\alpha \,,\,+\alpha \right]\;$», il convient de déterminer $\;R_{n}(\theta )\;$ en appliquant la r.f.d.n. au point $\;M\;$ simulant la voiture et en la projetant sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet soit «$\;-R_{n}(\theta )+m\;g\;\cos(\theta )=m\;a_{n}=m\;{\dfrac {v^{2}}{l}}\;$» dont on tire la composante normale scalaire de la réaction «$\;R_{n}(\theta )=m\left[g\;\cos(\theta )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]\;$» ;

     $\;R_{n}(\theta )\;$ étant une fonction paire de $\;\theta$, elle sera «$\;>0,\;\;\forall \;\theta \in \left[-\alpha \,,\,+\alpha \right]\;$» si «$\;R_{n}(\theta )>0,\;\;\forall \;\theta \in \left[0\,,\,+\alpha \right]\;$» ce qui sera réalisé si «$\;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\alpha \right]}R_{n}(\theta )=R_{n}(\alpha )>0\;$» ou «$\;m\left[g\;\cos(\alpha )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]>0\;$» et finalement le contact du véhicule sur la piste est maintenu si la vitesse instantanée de l'automobile est telle que «$\;v<{\sqrt {g\;l\;\cos(\alpha )}}\;$».

     Numériquement on obtient $\;v<{\sqrt {9,81\times 5\times \cos(10\,{\text{°}})}}\simeq 6,95\;m\cdot s^{-1}\;$ soit «$\;v\lesssim 25,0\;km\cdot h^{-1}\;$» .

     Pour que le véhicule décolle de la piste « il suffit qu'il existe une valeur de $\;\theta \;$ pour laquelle $\;R_{n}(\theta )=m\left[g\;\cos(\theta )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]\;$ soit $\;\lesssim 0\;$ sur l'intervalle $\;\left[-\alpha \,,\,+\alpha \right]\;$» c.-à-d.,
     Pour que le véhicule décolle de la piste «$\;R_{n}(\theta )\;$ étant une fonction $\;\nearrow \;$ sur $\;\left[-\alpha \,,\,0\right]\;$ puis $\;\searrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,+\alpha \right]$, il suffit que «$\;R_{n}(-\alpha )=m\left[g\;\cos(\alpha )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]\lesssim 0\;$» soit finalement
     Pour que le véhicule décolle de la piste « le véhicule décollera de la piste pour «$\;\theta =-\alpha \;$ si $\;v\gtrsim {\sqrt {g\;l\;\cos(\alpha )}}\simeq 25,0\;km\cdot h^{-1}\;$».

     Remarque : Les trois composantes tangentielles à savoir la force motrice, la composante tangentielle du poids et la force de frottement solide se compensent car la vitesse instantanée étant constante, l'accélération tangentielle est nulle, soit $\;F_{{\text{mot}},\,\tau }+m\;g\;\cos(\theta )-\vert R_{\tau }\vert =0\;$ ou $\;F_{{\text{mot}},\,\tau }=f\;R_{n}(\theta )-m\;g\;\cos(\theta )\;$ soit finalement «$\;F_{{\text{mot}},\,\tau }=m\left\lbrace f\left[g\;\cos(\theta )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]-g\;\cos(\theta )\right\rbrace \;$».

 

Corde idéale enroulée sur une tige avec présence de frottement solide entre la corde et la tige

Schéma descriptif d'une corde idéale enroulée sur une tige horizontale avec frottement solide entre la corde et la tige

     Une corde idéale passe autour d'une tige cylindrique de rayon $\;R$, horizontale, immobile, en faisant exactement un demi-tour sur la tige comme on peut le voir sur le schéma ci-contre.

     Npus nous proposons de calculer la valeur minimale $\;F_{0}\;$ de la norme de la force $\;{\vec {F}}\;$ verticale descendante qu’il faut exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour empêcher la charge $\;{\mathcal {P}}$, de masse $\;m$, accrochée à l’autre extrémité $\;B\;$ de la corde, de tomber, le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ étant uniforme d'intensité $\;g$ ;

     nous supposons que le coefficient de frottement de glissement de la corde sur la tige est égal à $\;f\;$ et

     nous supposons que la corde est tendue c.-à-d. qu'elle est rectiligne quand elle ne repose pas sur la tige et circulaire de rayon $\;R\;$ quand elle y est en contact.

     En appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. à un élément de corde en contact avec la tige, puis
     en intégrant l’équation obtenue, évaluer «$\;{\dfrac {F_{0}}{m\;g}}\;$» et

     en intégrant l'équation obtenue, faire l'A.N. pour $\;f=0,2$.

     Supposant maintenant que la corde est enroulée de $\;n\;$ tours sur la tige en plus du demi-tour, établir comment «$\;{\dfrac {F_{0}}{m\;g}}\;$» varie avec $\;n\;$ et

     Supposant maintenant que la corde est enroulée de $\;\color {transparent}{n}\;$ tours sur la tige en plus du demi-tour, reprendre l'A.N. avec $\;f=0,2\;$ pour $\;n=1\;$ puis $\;2$.

Solution

Bilan de forces appliquées à un élément de idéale enroulée sur une tige horizontale avec frottement solide entre la corde et la tige

     Considérons l’élément «$\;{\overset {\frown }{II'}}\;$ de longueur $\;R\;d\theta \;$», de la corde au contact de la tige,
     Considérons l'élément «$\;I\;$ étant repéré par l’angle polaire $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Cx}}\,,\,{\overrightarrow {CI}}\right)}}=\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\;$» et
     Considérons l'élément «$\;I'\;$ repéré par l'angle polaire $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Cx}}\,,\,{\overrightarrow {CI'}}\right)}}=\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\;$»,
     les forces extérieures exercées sur cet élément $\;{\big (}$dans la mesure où le poids de l'élément est nul, sa masse l'étant de par l'une des propriétés d'une corde idéale ${\big )}\;$ sont

• les tensions $\;{\vec {T}}\;$ et $\;{\vec {T}}'\;$ exercées par le restant de la corde située respectivement avant l'extrémité $\;I\;$ et après l'extrémité $\;I'\;$ de l'élément de corde $\;{\overset {\frown }{II'}}$, avec «$\;{\vec {T}}=-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» et «$\;{\vec {T}}'=T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» dans lesquelles $\;T(\theta )\;$ est la norme de la tension de la corde au C.D.I. $\;G_{\overset {\frown }{II'}}\;$ de l'élément $\;{\overset {\frown }{II'}}$, $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ étant le vecteur unitaire orthoradial du repérage polaire de pôle $\;C\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ des points de la section droite de la tige contenant la corde $\;{\big (}{\vec {u}}_{r}\;$ étant le vecteur unitaire radial du même repérage${\big )}\;$ et
• la réaction $\;d{\vec {R}}\;$ de la tige sur l'élément de corde $\;{\overset {\frown }{II'}}$, $\;d{\vec {R}}\;$ se décomposant en « une composante normale $\;d{\vec {R}}_{n}=dR_{n}(\theta )\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;dR_{n}(\theta )>0\;$» et « une composante tangentielle $\;d{\vec {R}}_{\tau }={\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ avec $\;{\overline {dR_{\tau }}}>0\;$ si la corde tend à glisser dans le sens $\;-$ $\;{\big (}$cas de la figure${\big )}$ $\;{\big \{}{\overline {dR_{\tau }}}<0\;$ si la corde tend à glisser dans le sens $\;+{\big \}}\;$» ;

     appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. à l'élément de corde $\;{\overset {\frown }{II'}}\;$, nous obtenons «$\;{\vec {T}}+{\vec {T}}'+d{\vec {R}}_{n}+d{\vec {R}}_{\tau }=dm_{\overset {\frown }{II'}}\;{\vec {a}}(G_{\overset {\frown }{II'}})$ $={\vec {0}}\;$» car $\;dm_{\overset {\frown }{II'}}=0\;$ ${\big (}$selon une propriété d'une corde idéale ${\big )}\;$ soit, en projetant sur chaque vecteur de base polaire lié à $\;G_{\overset {\frown }{II'}}$,

• sur $\;{\vec {u}}_{r}$ : «$\;-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{r}(\theta )+T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{r}(\theta )+dR_{n}(\theta )=0\;$» et,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$ : en utilisant l'approximation linéaire d'une fonction $\;{\big (}$vectorielle${\big )}\;$ d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$ : en utilisant l'approximation linéaire «$\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )-{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(\theta )\;{\dfrac {d\theta }{2}}\;$» avec $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(\theta )=-{\vec {u}}_{r}(\theta )\;$ d'où «$\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{r}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{r}(\theta )\simeq {\dfrac {d\theta }{2}}\;$» et
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$ : en utilisant l'approximation linéaire «$\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(\theta )\;{\dfrac {d\theta }{2}}={\vec {u}}_{\theta }(\theta )-{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{r}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{r}(\theta )\simeq -{\dfrac {d\theta }{2}}\;$»,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$ : la réécriture de la projection du théorème du mouvement du C.D.I. sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ «$\;-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\dfrac {d\theta }{2}}+T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\left(-{\dfrac {d\theta }{2}}\right)+dR_{n}(\theta )=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;dR_{n}(\theta )\simeq {\dfrac {T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)+T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)}{2}}\;d\theta \;$» ou,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$ : en utilisant de nouveau l'approximation linéaire à la fonction en facteur de $\;d\theta \;$ «$\;dR_{n}(\theta )\simeq T(\theta )\;d\theta \;$» et
• sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$ : «$\;-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )=0\;$» et sachant que $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{r}(\theta )\\{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )-{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{r}(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(\theta )\simeq 1\\{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(\theta )\simeq 1\end{array}}\right\rbrace$,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : la réécriture de la projection du théorème du mouvement du C.D.I. sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ «$\;-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)+T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)+{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\simeq 0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\simeq T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» ou,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : en utilisant de nouveau l'approximation linéaire à la fonction $\;T(\theta )\;$ «$\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\simeq -{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )\;d\theta \;$»  ;
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\succ \;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;-$, «$\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\;$ étant $\;>0\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )<0\;$» correspondant à une tension de corde $\;\searrow \;$ de $\;I(\theta =0)\;$ à $\;I(\theta =\pi )$,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;{\Big \vert }{\overline {dR_{\tau }}}(\theta ){\Big \vert }=f\;\vert dR_{n}(\theta )\vert \;$» s'écrivant ici «$\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )=f\;dR_{n}(\theta )\;$»
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissementou «$\;-{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )\;d\theta =f\;T(\theta )\;d\theta \;$» et, en simplifiant et ordonnant, l'équation
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )+f\;T(\theta )=0\;$» s'intégrant en «$\;T(\theta )=A\;\exp \!\left(-f\;\theta \right)\;$» ,
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement $\;A\;$ constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.A.L.
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement $\;\color {transparent}{A}\;$ constante d'intégration à déterminer à l'aide de «$\;T(\theta =0)=T_{B}\;$»
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement où «$\;T_{B}\;$ est la tension de la corde exercée sur la charge $\;{\mathcal {P}}\;$» avec
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;T_{B}=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\;$» $\Rightarrow$ la réécriture de la C.A.L.
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;\color {transparent}{T_{B}=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la «$\;T(\theta =0)=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\;$»
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement donnant «$\;A=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\;$» et par suite
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;T(\theta )=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(-f\;\theta \right)\;$» $\;{\big (}a_{B,\,z}\;$ restant à déterminer${\big )}\;$ $\Rightarrow$
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;T(\theta =\pi )=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(-f\;\pi \right)\;$» avec «$\;T(\theta =\pi )=T_{A}\;$»
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement où «$\;T_{A}\;$ est la tension de la corde exercée sur l'extrémité $\;A\;$» avec
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;T_{A}=F\;$» et par suite «$\;F=T(\theta =\pi )$
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;\color {transparent}{T_{A}=F}\;$» et par suite «$\;\color {transparent}{F}\;$ $=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(-f\;\pi \right)\;$» $\Rightarrow$
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, l'accélération verticale descendante de $\;{\mathcal {P}}\;$ «$\;a_{B,\,z}=g-{\dfrac {F}{m}}\;\exp \!\left(f\;\pi \right)\;$» effectivement $\;>0\;$ si $\;m\,g>F\,\exp \!\left(f\,\pi \right)\;$ ou
              sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, l'accélération verticale descendante de $\;\color {transparent}{\mathcal {P}}\;$ «$\;\color {transparent}{a_{B,\,z}=g-F\;\exp \!\left(f\;\pi \right)}\;$» effectivement $\;\color {transparent}{>0}\;$ si «$\;F<m\,g\,\exp \!\left(-f\,\pi \right)\;$»  ;
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\succ \;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;-$, «$\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\;$ étant $\;>0\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )<0\;$» correspondant à une tension de corde $\;\searrow \;$ de $\;I(\theta =0)\;$ à $\;I(\theta =\pi )$,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement «$\;{\Big \vert }{\overline {dR_{\tau }}}(\theta ){\Big \vert }<f\;\vert dR_{n}(\theta )\vert \;$» s'écrivant ici
      sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement «$\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )<f\;dR_{n}(\theta )\;$» avec «$\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\simeq$
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement «$\;\color {transparent}{{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )<f\;dR_{n}(\theta )}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )}$$-{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )\;d\theta \;$»
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement $\Rightarrow$ «$\;-{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )\;d\theta <f\;T(\theta )\;d\theta \;$» et, dans le cas limite,
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;-{\dfrac {dT_{\text{non gliss., lim}}}{d\theta }}(\theta )\;d\theta =f\;T_{\text{non gliss., lim}}(\theta )\;d\theta \;$»
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, la loi empirique de frottement de Coulomb d'un non glissement $\color {transparent}{\Rightarrow }$ cas limite obtenu avec «$\;F_{(0,\,\downarrow )}=m\,g\,\exp \!\left(-f\,\pi \right)\;$» ,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, partant du cas limite de glissement avec accélération de charge nulle obtenu pour $\;F_{(0,\,\downarrow )}=m\,g\,\exp \!\left(-f\,\pi \right)\;$, il faut,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, pour passer au cas de non glissement, faire $\;\nearrow \;\Vert {\vec {F}}\Vert \;$ ${\big (}$sa $\;\searrow \;$ ayant pour effet de fournir une accélération de charge non nulle${\big )}$,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, d'où, en écrivant les C.N. d'équilibre de $\;A\;$ et de la charge $\;B$, «$\;T_{\text{non gliss.}}(\theta =0)=m\;g\;$ constante » et
        sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, d'où, en écrivant les C.N. d'équilibre de $\;\color {transparent}{A}\;$ et de la charge $\;\color {transparent}{B}$, «$\;T_{\text{non gliss.}}(\theta =\pi )=F\;$ $\nearrow \;$», nous en déduisons que
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, «$\;T_{\text{non gliss.}}(\theta )\;$ est $\;>\;$ à $\;T_{\text{non gliss., lim}}(\theta )=T_{{\text{gliss. avec }}a_{B,\,z}\,=\,0}(\theta )\;$» soit, en faisant $\;\theta =\pi$,
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, «$\;F=T_{\text{non gliss.}}(\theta =\pi )>T_{\text{non gliss., lim}}(\theta =\pi )=T_{{\text{gliss. avec }}a_{B,\,z}\,=\,0}(\theta =\pi )=F_{(0,\,\downarrow )}=m\,g\,\exp \!\left(-f\,\pi \right)\;$» d'où
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, il y a non glissement pour «$\;F>F_{(0,\,\downarrow )}=m\,g\,\exp \!\left(-f\,\pi \right)\;$» et
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;\color {transparent}{-}$, il y a non glissement à condition que $\;F\;$ ne soit pas trop grande pour engendrer un glissement dans le sens $\;+$ ;
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\succ \;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;+\;$, «$\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\;$ étant $\;<0\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )>0\;$» correspondant à une tension de corde $\;\nearrow \;$ de $\;I(\theta =0)\;$ à $\;I(\theta =\pi )$,
       sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;{\Big \vert }{\overline {dR_{\tau }}}(\theta ){\Big \vert }=f\;\vert dR_{n}(\theta )\vert \;$» s'écrivant ici «$\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )=-f\;dR_{n}(\theta )\;$»
      sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement ou «$\;-{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )\;d\theta =-f\;T(\theta )\;d\theta \;$» ou, en simplifiant et ordonnant,
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )-f\;T(\theta )=0\;$» qui s'intègre en «$\;T(\theta )=A'\;\exp \!\left(f\;\theta \right)\;$» ,
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement $\;A'\;$ constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.A.L. «$\;T(\theta =0)$
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement $=T_{B}\;$» où «$\;T_{B}\;$ est la tension de la corde exercée sur la charge $\;{\mathcal {P}}\;$» avec
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;T_{B}=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\;$» $\Rightarrow$ la réécriture de la C.A.L. «$\;T(\theta =0)=$
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement $m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\;$» donnant «$\;A'=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\;$» et par suite
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;T(\theta )=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(f\;\theta \right)\;$» $\;{\big (}$avec $\;a_{B,\,z}\;$ restant à déterminer${\big )}\;$
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement $\Rightarrow$ «$\;T(\theta =\pi )=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(f\;\pi \right)\;$» avec «$\;T(\theta =\pi )=T_{A}\;$»
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement où «$\;T_{A}\;$ est la tension de la corde exercée sur l'extrémité $\;A\;$» avec
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;T_{A}=F\;$» et par suite «$\;F=T(\theta =\pi )$
                 sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;\color {transparent}{T_{A}=F}\;$» et par suite «$\;\color {transparent}{F}\;$ $=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(f\;\pi \right)\;$» $\Rightarrow$
            sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, l'accélération verticale descendante de $\;{\mathcal {P}}\;$ «$\;a_{B,\,z}=g-{\dfrac {F}{m}}\;\exp \!\left(-f\;\pi \right)\;$» effectivement $\;<0\;$ si $\;m\,g<F\,\exp \!\left(-f\,\pi \right)\;$ ou
                   sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$cas d'un glissement effectif dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$, l'accélération verticale descendante de $\;\color {transparent}{\mathcal {P}}\;$ «$\;\color {transparent}{a_{B,\,z}=g-F\;\exp \!\left(-f\;\pi \right)}\;$» effectivement $\;\color {transparent}{<0}\;$ si «$\;F>m\,g\,\exp \!\left(f\,\pi \right)\;$»  ;
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\succ \;$en conclusion il y a non glissement de la corde sur la tige cylindrique pour une norme de $\;{\vec {F}}\;$ vérifiant «$\;\Vert {\vec {F}}\Vert =F\;\in \;\left]F_{(0,\,\downarrow )}=m\,g\,\exp \!\left(-f\,\pi \right)\;,\,F_{(0,\,\uparrow )}=m\,g\,\exp \!\left(f\,\pi \right)\right[\;$» soit encore pour
  sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : $\color {transparent}{\succ }\;$en conclusion il y a non glissement de la corde sur la tige cylindrique pour une norme de $\;\color {transparent}{\vec {F}}\;$ vérifiant $\color {transparent}{\Vert {\vec {F}}\Vert =}$«${\dfrac {F}{m\;g}}\;\in \;\left]{\dfrac {F_{(0,\,\downarrow )}}{m\;g}}=\exp \!\left(-f\,\pi \right)\;,\,{\dfrac {F_{(0,\,\uparrow )}}{m\;g}}=\exp \!\left(f\,\pi \right)\right[\;$» .

     A.N.  : avec $\;f=0,2$, la force minimale à exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour maintenir la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ en équilibre avec un demi-tour d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme «$\;F_{0}=m\;g\;\exp \!\left(-0,2\times \pi \right)\simeq 0,533\;m\;g\;$» soit «$\;{\dfrac {F_{0}}{m\;g}}\simeq 0,533\;$» .            A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force maximale à exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour maintenir la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ en équilibre avec un demi-tour d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme «$\;F_{(0,\,\uparrow )}=m\;g\;\exp \!\left(0,2\times \pi \right)\simeq 1,874\;m\;g\;$» soit «$\;{\dfrac {F_{(0,\,\uparrow )}}{m\;g}}\simeq 1,874\;$» .

     Cas de la corde enroulée de$\;n+{\dfrac {1}{2}}\;$tours sur la tige avec$\;n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}$ : la norme minimale de la force $\;F_{0,\,\downarrow ,\,n}\;$ à exercer pour que l'objet reste en équilibre s'établit exactement de la même manière qu'avec un demi-tour à la différence que la tension de la corde en $\;A\;$ ${\big [}=\;$ à $\;F{\big ]}\;$ s'obtient à partir de la tension $\;T(\theta )\;$ en faisant $\;\theta =\left(2\;n+1\right)\,\pi \;$ ${\big [}$et non plus $\;\theta =\pi {\big ]}$, la tension de la corde en $\;B\;$ étant toujours $\;=\;$ à $\;m\;g$ ;

       Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : on en déduit donc «$\;F_{(0,\,\downarrow ,\,n)}=m\,g\,\exp \!\left[-f\,\left(2\;n+1\right)\,\pi \right]\;$» soit «$\;{\dfrac {F_{(0,\,\downarrow ,\,n)}}{m\;g}}=\exp \!\left[-f\,\left(2\;n+1\right)\,\pi \right]\;$» ;

       Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : de même la norme maximale de la force $\;F_{0,\,\uparrow ,\,n}\;$ à exercer pour que l'objet reste en équilibre s'établit exactement de la même manière qu'avec un demi-tour à la même différence que celle de détermination de la norme minimale à savoir la tension de la corde en $\;A\;$ ${\big [}=\;$ à $\;F{\big ]}\;$ obtenue à partir de la tension $\;T(\theta )\;$ en faisant $\;\theta =\left(2\;n+1\right)\,\pi \;$ ${\big [}$et non plus $\;\theta =\pi {\big ]}\;$ et la tension de la corde en $\;B\;$ toujours $\;=\;$ à $\;m\;g$ ;

       Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : de même on en déduit donc «$\;F_{(0,\,\uparrow ,\,n)}=m\,g\,\exp \!\left[f\,\left(2\;n+1\right)\,\pi \right]\;$» soit «$\;{\dfrac {F_{(0,\,\uparrow ,\,n)}}{m\;g}}=\exp \!\left[f\,\left(2\;n+1\right)\,\pi \right]\;$» .

       Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N.  : avec $\;f=0,2$, la force minimale à exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour maintenir la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ en équilibre
            Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force minimale à exercer avec un tour et demi d'enroulement de corde frottant sur la tige
             Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force minimale est de norme «$\;F_{(0,\,\downarrow ,\,1)}=m\,g\,\exp \!\left[-f\,\left(3\,\pi \right)\right]=m\;g\;\exp \!\left(-0,2\times 3\;\pi \right)\simeq \left(0,533\right)^{3}\;m\;g$
             Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force minimale est de norme «$\;\color {transparent}{F_{(0,\,\downarrow ,\,1)}}$ $\simeq 0,152\;m\;g\;$» soit «$\;{\dfrac {F_{(0,\,\downarrow ,\,1)}}{m\;g}}\simeq 0,152\;$» ;

       Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N.  : avec $\;f=0,2$, la force minimale à exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour maintenir la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ en équilibre
            Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force minimale à exercer avec deux tours et demi d'enroulement de corde frottant sur la tige
             Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force minimale est de norme «$\;F_{(0,\,\downarrow ,\,2)}=m\,g\,\exp \!\left[-f\,\left(5\,\pi \right)\right]=m\;g\;\exp \!\left(-0,2\times 5\;\pi \right)\simeq \left(0,533\right)^{5}\;m\;g$
             Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force minimale est de norme «$\;\color {transparent}{F_{(0,\,\downarrow ,\,2)}}$ $\simeq 0,043\;m\;g\;$» soit «$\;{\dfrac {F_{(0,\,\downarrow ,\,2)}}{m\;g}}\simeq 0,043\;$»  ;

       Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N.  : avec $\;f=0,2$, la force maximale à exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour maintenir la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ en équilibre
            Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force maximale à exercer avec un tour et demi d'enroulement de corde frottant sur la tige
             Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force maximale est de norme «$\;F_{(0,\,\uparrow ,\,1)}=m\,g\,\exp \!\left[f\,\left(3\,\pi \right)\right]=m\;g\;\exp \!\left(0,2\times 3\;\pi \right)\simeq \left(1,874\right)^{3}\;m\;g$
             Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force maximale est de norme «$\;\color {transparent}{F_{(0,\,\uparrow ,\,1)}}$ $\simeq 6,586\;m\;g\;$» soit «$\;{\dfrac {F_{(0,\,\uparrow ,\,1)}}{m\;g}}\simeq 6,586\;$» ;

       Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N.  : avec $\;f=0,2$, la force maximale à exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour maintenir la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ en équilibre
            Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force maximale à exercer avec deux tours et demi d'enroulement de corde frottant sur la tige
             Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force maximale est de norme «$\;F_{(0,\,\uparrow ,\,2)}=m\,g\,\exp \!\left[f\,\left(5\,\pi \right)\right]=m\;g\;\exp \!\left(0,2\times 5\;\pi \right)\simeq \left(1,874\right)^{5}\;m\;g$
             Cas de la corde enroulée de$\;\color {transparent}{n+2}\;$tours sur la tige avec$\;\color {transparent}{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ : A.N. : avec $\;\color {transparent}{f=0,2}$, la force maximale est de norme «$\;\color {transparent}{F_{(0,\,\uparrow ,\,2)}}$ $\simeq 23,14\;m\;g\;$» soit «$\;{\dfrac {F_{(0,\,\uparrow ,\,2)}}{m\;g}}\simeq 23,14\;$» .