Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

Mouvement d'un parachutiste initialement en chute libre après déploiement de son parachute

     On considère un parachutiste assimilable à un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m=100\,kg$, largué d'un point $\;O$, situé à une altitude $\;h_{1}=3000\,m\;$ du sol,
     On considère un parachutiste assimilable à un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ de masse $\;\color {transparent}{m=100\,kg}$, largage se faisant sans vitesse initiale par rapport au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen ;

     on admet que le champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ dans lequel le parachutiste chute est uniforme ;

     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par la résistance de l'air supposée quadratique
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}$, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «$\;{\overrightarrow {\mathcal {R_{\text{air}}}}}=-h'\,V_{M}^{2}\,{\vec {\tau }}_{M}\;$»,
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}$, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «$\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ étant le vecteur unitaire tangentiel dans le sens du mouvement,
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}$, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «$\;V_{M}\;$ la vitesse du parachutiste dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}$, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «$\;h'\;$ un cœfficient dépendant de la masse volumique de l'air $\;\mu _{\text{air}}\simeq 1,2\,kg\cdot m^{-3}$,
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}$, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «$\;\color {transparent}{h'}\;$ un cœfficient dépendant de l'aire $\;S\;$ du maître-couple du parachutiste et
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}$, le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «$\;\color {transparent}{h'}\;$ un cœfficient dépendant de $\;C_{x}\;$ cœfficient de traînée traduisant l'aérodynamisme du parachutiste $\;{\bigg [}$on a $\;h'={\dfrac {1}{2}}\,C_{x}\,\mu _{\text{air}}\,S{\bigg ]}$.

     Le but de cet exercice n'étant pas de refaire l'étude complète de la descente du parachutiste en chute libre ou à parachute déployé, mais
     Le but de cet exercice consistant à reprendre les résultats, établis en cours, du parachutiste en chute libre jusqu'à l'altitude $\;h_{2}=1000\,m\;$ pour étudier la suite de sa descente jusqu'au sol sachant qu'à l'altitude $\;h_{2}=1000\,m\;$ il ouvre son parachute ;

     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes $\succ \;$la descente du parachutiste est rectiligne verticale ,
     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes $\succ \;$en chute libre le parachutiste ayant un cœfficient de traînée $\;C_{x,\,1}=0,4\;$ et l'aire de son maître-couple valant $\;S_{1}=1\,m^{2}$,
     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes $\color {transparent}{\succ }\;$en chute libre le parachutiste acquiert pratiquement une vitesse limite $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,1}\simeq 64\,m\cdot s^{-1}\;$ après une chute de $\;16,3\,s\;$,
     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes $\color {transparent}{\succ }\;$en chute libre le parachutiste le trouvant à l'altitude de $\;2200\,m\;$ ;

     il continue alors à descendre à vitesse quasi limite pendant une durée de $\;19,5\,s\;$ pour atteindre l'altitude $\;h_{2}=1000\,m\;$ où il ouvre son parachute $\;{\big (}$déploiement du parachute supposé instantané${\big )}$ ;

     après ouverture du parachute, le parachutiste acquiert instantanément un cœfficient de traînée $\;C_{x,\,2}=1,4\;$ et l'aire de son maître-couple prend pour valeur $\;S_{2}=74\,m^{2}$.

Continuité et discontinuité à l'ouverture du parachute et conséquences

     Préciser comment varient les forces appliquées au parachutiste lors de l'ouverture du parachute, c.-à-d.
     Préciser comment varient les forces indiquer leur continuité ou discontinuité de 1^ère ou 2^ème espèce en faisant l'hypothèse de continuité de la vitesse lors de l'ouverture du parachute ;

     que peut-on déduire des affirmations précédentes sur la variation de l'accélération du parachutiste lors du déploiement du parachute, c.-à-d.
     que peut-on déduire des affirmations précédentes sur la variation de l'accélération indiquer sa continuité ou discontinuité de 1^ère ou 2^ème espèce  ?

     Vérifier que cette dernière affirmation valide l'hypothèse de continuité de la vitesse du parachutiste lors de l'ouverture du parachute.

Solution

     Les forces appliquées au parachutiste lors de l'ouverture du parachute à l'instant $\;t_{2}$, sont :

• le poids du parachutiste avec son matériel $\;m\;{\vec {g}}$, force continue et
• la résistance de l'air $\;{\overrightarrow {\mathcal {R_{\text{air}}}}}=-h'\,V_{M}^{2}\,{\vec {\tau }}_{M}$, force discontinue de 1^ère espèce car $\;V_{M}\;$ étant supposée continue il en est de même du 2^ème facteur $\;V_{M}^{2}$,
        la résistance de l'air $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {R_{\text{air}}}}}=-h'\,V_{M}^{2}\,{\vec {\tau }}_{M}}$, force discontinue de 1^ère espèce car le 3^ème facteur $\;{\vec {\tau }}_{M}={\vec {u}}_{z}\;$ étant constant et
        la résistance de l'air $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {R_{\text{air}}}}}=-h'\,V_{M}^{2}\,{\vec {\tau }}_{M}}$, force discontinue de 1^ère espèce car le 1^er facteur $\;h'={\dfrac {1}{2}}\,C_{x}\,\mu _{\text{air}}\,S\;$ discontinu de 1^ère espèce $\;{\bigg [}$ce facteur passant de la valeur $\;{\dfrac {1}{2}}\,C_{x,\,1}\,\mu _{\text{air}}\,S_{1}=$ ${\dfrac {1}{2}}\times 0,4\times 1,2\times 1=0,24\;kg\cdot m^{-1}\;$ à $\;{\dfrac {1}{2}}\,C_{x,\,2}\,\mu _{\text{air}}\,S_{2}={\dfrac {1}{2}}\times 1,4\times 1,2\times 74\simeq 62,2\;kg\cdot m^{-1}{\bigg ]}$,
        la résistance de l'air $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {R_{\text{air}}}}}=-h'\,V_{M}^{2}\,{\vec {\tau }}_{M}}$, force discontinue de 1^ère espèce en utilisant la propriété suivante « le produit de deux facteurs continus et d'un facteur discontinu de 1^ère espèce est discontinu de 1^ère espèce  » $\;{\bigg [}$la résistance de l'air est donc multipliée, lors du déploiement instantané du parachute, par un facteur $\;\simeq {\dfrac {62,2}{0,24}}\simeq 259\;$ correspondant à une force ascendante de norme égale à $\;259\;$ fois le poids du parachutiste ${\bigg ]}$ ;

     par utilisation de la propriété suivante « la somme d'un terme continu et d'un terme discontinu de 1^ère espèce est discontinue de 1^ère espèce  » , on en déduit que la somme des forces appliquées est discontinue de 1^ère espèce d'où, par utilisation de la r.f.d.n. du point, le vecteur accélération du parachutiste $\;{\vec {a}}_{M}\;$ égal à $\;{\vec {g}}+{\dfrac {\overrightarrow {\mathcal {R_{\text{air}}}}}{m}}\;$ est aussi discontinu de 1^ère espèce  ;

     de «$\;{\vec {a}}_{M}={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}\;$ discontinu de 1^ère espèce  » on induit $\;{\vec {V}}_{M}\;$ continu en utilisant la propriété suivante « l'intégration d'une grandeur discontinue de n^ème espèce diminue le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint sinon il y a stagnation du numéro d'espèce de discontinuité $\;{\big (}$une grandeur discontinue de 0^ème espèce étant une grandeur continue${\big )}\;$» ,
           de «$\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}}\;$ discontinu de 1^ère espèce » on induit $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}}\;$ continu ce qui valide l'hypothèse de continuité de la vitesse du parachutiste lors de l'ouverture du parachute.

 

Étude de la chute du parachutiste, parachute déployé, jusqu'au sol

     On choisit pour nouvelle origine des temps l'instant d'ouverture du parachute c.-à-d. que l'on pose $\;t'=t-t_{2}\;$ dans laquelle

• $\;t\;$ est l'instant compté à partir du largage du parachutiste à l'altitude $\;h_{1}=3000\,m\;$ et
• $\;t_{2}\simeq 16,3\,s+19,5\,s\simeq 35,8\,s\;$ l'instant d'arrivée à l'altitude $\;h_{2}=1000\,m\;$ repéré avec l'ancienne origine des temps ;

     on choisit la position d'ouverture du parachute comme nouvelle origine $\;O'\;$ du repère cartésien associé au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et on oriente l'axe vertical par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ descendant $\;{\big [}$bien sûr le mouvement de $\;M\;$ reste vertical après ouverture du parachute, la démonstration par récurrence restant valable ${\big ]}$.

Acquisition d'une nouvelle vitesse limite du parachutiste

     Montrer que le parachutiste va acquérir une nouvelle vitesse limite $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;$ que l'on exprimera en fonction de $\;m$, $\;g$, $\;\mu _{\text{air}}$, $\;S_{2}\;$ et $\;C_{x,\,2}$ ;

     faire l'application numérique $\;{\big (}$on prendra $\;g\simeq 9,8\;m\cdot s^{-2}\;$ comme valeur d'intensité de la pesanteur${\big )}$.

Solution

     Juste avant l'ouverture du parachute, la vitesse limite de la chute libre du parachutiste $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,1}\simeq 64\,m\cdot s^{-1}\;$ étant pratiquement atteinte,
     Juste avant l'ouverture du parachute, la vitesse limite de la chute libre ce dernier a un vecteur accélération quasi nul de composante sur l'axe vertical descendant
     Juste avant l'ouverture du parachute, la vitesse limite de la chute libre ce dernier a un vecteur accélération quasi nul de composante «$\;a_{M,\,z,\,1}(t'=0^{-})=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,1}(t'=0^{-})}{m}}\simeq 0\;$» et

     juste après l'ouverture du parachute, il acquiert instantanément un vecteur accélération dirigé vers le haut de composante sur l'axe vertical descendant
     juste après l'ouverture du parachute, il acquiert instantanément un vecteur accélération dirigé vers le haut de composante «$\;a_{M,\,z,\,2}(t'=0^{+})=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t'=0^{+})}{m}}\simeq -258\;g<0\;$» d'où,
     juste après l'ouverture du parachute, à partir de cet instant, la composante de la vitesse sur l'axe vertical descendant $\;V_{M,\,z,\,2}(t')>0\;\searrow \;$ à partir de sa valeur initiale $\;V_{M,\,z,\,2}(t'=0^{+})\simeq 64\;m\cdot s^{-1}$, d'où
     juste après l'ouverture du parachute, à partir de cet instant, la résistance de l'air $\;{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t')\searrow \;$ à partir de sa valeur initiale $\;{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t'=0^{+})\simeq 259\,m\,g\;$ et par suite
     juste après l'ouverture du parachute, à partir de cet instant, la composante de l'accélération sur l'axe vertical descendant $\;a_{M,\,z,\,2}(t')=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t')}{m}}\nearrow \;$ à partir de sa valeur initiale
     juste après l'ouverture du parachute, à partir de cet instant, la composante de l'accélération sur l'axe vertical descendant $\;\color {transparent}{a_{M,\,z,\,2}(t')=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t')}{m}}\nearrow }\;$ à partir de $\;a_{M,\,z,\,2}(t'=0^{+})\simeq -258\;g<0\;$ soit
     juste après l'ouverture du parachute, à partir de cet instant, une $\;\searrow \;$ de la décélération $\;\vert a_{M,\,z,\,2}(t')\vert ={\dfrac {{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t')}{m}}-g>0\;$ à partir de sa valeur initiale $\;\vert a_{M,\,z,\,2}(t'=0^{+})\vert \simeq 258\;g$ ;

     juste après l'ouverture du parachute, la $\;\searrow \;$ de la composante de la vitesse sur l'axe vertical descendant $\;V_{M,\,z,\,2}(t')>0\;$ se poursuivra tant que la composante du vecteur accélération sur ce même axe $\;a_{M,\,z,\,2}(t')$ $=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t')}{m}}\;$ restera $\;<0$, la décélération $\;\vert a_{M,\,z,\,2}(t')\vert ={\dfrac {{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t')}{m}}-g>0\;$ étant d'autant plus faible que $\;V_{M,\,z,\,2}(t')>0\;$ le sera $\;\ldots$

     juste après l'ouverture du parachute, Ainsi il est raisonnable de penser que la décélération du parachutiste finira par devenir pratiquement nulle, ceci s'accompagnant alors d'une stationnarité de la composante de la vitesse sur l'axe vertical descendant $\;V_{M,\,z,\,2}>0\;$ de valeur définissant une nouvelle vitesse limite $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{M,\,z,\,2}({t'}_{\text{lim}})=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}({t'}_{\text{lim}})}{m}}=0\;\;{\text{et}}\\{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}({t'}_{\text{lim}})={\dfrac {1}{2}}\;C_{x,\,2}\;\mu _{\text{air}}\;S_{2}\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}^{\,2}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit «$\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}={\sqrt {\dfrac {2\;m\;g}{C_{x,\,2}\;\mu _{\text{air}}\;S_{2}}}}={\sqrt {\dfrac {2\times 100\times 9,8}{1,4\times 1,2\times 74}}}\simeq 4,0\;m\cdot s^{-1}\;$».

 

Loi horaire de vitesse du parachutiste et conséquences

     Après avoir précisé l'équation différentielle en vitesse algébrique du parachutiste $\;V_{M,\,2,\,z}(t')\;$ sur son axe vertical descendant,

     déterminer sa loi horaire de vitesse en fonction du temps $\;t'\;$ et des autres paramètres $\;\succ$$\;V_{M,\,{\text{lim}},\,1}$, $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;$ et $\;g\;$ puis
     déterminer sa loi horaire de vitesse en fonction du temps $\;\color {transparent}{t'}\;$ et des autres paramètres $\;\succ$$\;\alpha ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}$, $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;$ et $\;g$ ;

     donner l'allure du diagramme horaire de vitesse $\;V_{M,\,z}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{M,\,z,\,1}(t)=V_{M,\,{\text{lim}},\,1}\;\tanh \!\left({\dfrac {g\;t}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}}}\right)&\;{\text{si }}t\leqslant t_{2}\\V_{M,\,z,\,2}(t)=V_{M,\,z,\,2}(t'+t_{2})&\;{\text{si }}t\geqslant t_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ sur toute la chute ;

     préciser à quel instant $\;{t'}_{\text{lim}}\;$ la nouvelle vitesse limite est atteinte à $\;1\;\%\;$ près et faire l'application numérique.

Solution

     Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur $\;{\vec {u}}_{z}$, on obtient «$\;m\;a_{M,\,z,\,2}(t')=m\;g-{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t')\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {R}}_{{\text{air}},\,2}(t')={h'}_{2}\;V_{M,\,z,\,2}^{\,2}(t')\;$», soit finalement, avec $\;a_{M,\,z,\,2}(t')={\dfrac {dV_{M,\,2,\,z}}{dt'}}(t')$,
           Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$, on obtient l'équation différentielle $\;{\big (}$non linéaire${\big )}\;$ du 1^er ordre en vitesse algébrique du parachutiste sur l'axe vertical descendant c.-à-d. en $\;V_{M,\,2,\,z}(t')$,
           Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$, on obtient «$\;{\dfrac {dV_{M,\,2,\,z}}{dt'}}(t')=g-{\dfrac {{h'}_{2}}{m}}\;V_{M,\,z,\,2}^{\,2}(t')\;$» avec «$\;{h'}_{2}={\dfrac {1}{2}}\;C_{x,\,2}\;\mu _{\text{air}}\;S_{2}\;$» ;

           Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$, on obtient pour éliminer $\;{\dfrac {{h'}_{2}}{m}}\;$ au profit de $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;$ on utilise la définition de cette dernière $\;g-{\dfrac {{h'}_{2}}{m}}\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}^{\,2}=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {{h'}_{2}}{m}}={\dfrac {g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}^{\,2}}}\;$ d'où
           Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$, on obtient l'équation différentielle réécrite selon «$\;{\dfrac {dV_{M,\,2,\,z}}{dt'}}(t')=g\left[1-{\dfrac {V_{M,\,z,\,2}^{\,2}(t')}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}^{\,2}}}\right]\;$» ou encore
           Appliquant au parachutiste la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$, on obtient l'équation différentielle réécrite selon «$\;{\dfrac {dV_{M,\,2,\,z}}{dt'}}(t')={\dfrac {g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}^{\,2}}}\left[V_{M,\,{\text{lim}},\,2}^{\,2}-V_{M,\,z,\,2}^{\,2}(t')\right]\;$» ;

     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;V_{M,\,z,\,2}(t')\;$ se résout en séparant les variables selon «$\;{\dfrac {dV_{M,\,2,\,z}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}^{\,2}-V_{M,\,z,\,2}^{\,2}}}={\dfrac {g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}^{\,2}}}\;dt'\;$» ,
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre le 1^er membre s'intègre en décomposant la fonction rationnelle en éléments simples selon
           cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre le 1^er membre s'intègre en décomposant la fonction rationnelle ${\dfrac {1}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}^{\,2}-V_{M,\,z,\,2}^{\,2}}}={\dfrac {1}{2\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\,\left[{\dfrac {1}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}-V_{M,\,z,\,2}}}+{\dfrac {1}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}+V_{M,\,z,\,2}}}\right]\;$,
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre le 1^er membre l'équation à variables séparées se réécrivant, après avoir multiplié chaque membre par $\;2\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}$,
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre le 1^er membre l'équation à variables séparées se réécrivant, «$\;{\dfrac {dV_{M,\,z,\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}-V_{M,\,z,\,2}}}+{\dfrac {dV_{M,\,z,\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}+V_{M,\,z,\,2}}}={\dfrac {2\;g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;dt'\;$» ou
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre le 1^er membre l'équation à variables séparées se réécrivant, «$\;-{\dfrac {d\left[V_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\right]}{V_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}+{\dfrac {d\left[V_{M,\,{\text{lim}},\,2}+V_{M,\,z,\,2}\right]}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}+V_{M,\,z,\,2}}}={\dfrac {2\;g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;dt'\;$» soit
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\displaystyle \int _{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}}^{V_{M,\,z,\,2}}-{\dfrac {d\left[{V'}_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\right]}{{V'}_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}+\displaystyle \int _{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}}^{V_{M,\,z,\,2}}{\dfrac {d\left[{V'}_{M,\,z,\,2}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\right]}{{V'}_{M,\,z,\,2}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}=\displaystyle \int _{0}^{t'}-{\dfrac {2\;g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;d{t''}\;$» d'où
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;-\ln \!\left[{\dfrac {V_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]+\ln \!\left[{\dfrac {V_{M,\,z,\,2}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]={\dfrac {2\;g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;t'\;$» que l'on peut écrire encore selon
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ : $\;{\dfrac {2\;g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;t'=\ln \!\left[{\dfrac {V_{M,\,z,\,2}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]-\ln \!\left[{\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]\;$» ou
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ : «$\;\ln \!\left[{\dfrac {V_{M,\,z,\,2}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]=\ln \!\left[{\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]+{\dfrac {2\;g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;t'\;$» que l'on inverse selon
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ : «$\;{\dfrac {V_{M,\,z,\,2}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;\exp \!\left({\dfrac {2\;g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;t'\right)\;$» ou «$\;{\dfrac {V_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,z,\,2}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {2\;g}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;t'\right)\;$»
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ : soit enfin, en posant «$\;\tau _{2}={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{2\;g}}\;$» et «$\;\beta ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;$»,
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ : «$\;{\dfrac {V_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,z,\,2}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}=\beta \;\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;V_{M,\,z,\,2}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}=\left[V_{M,\,z,\,2}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\right]\,\beta \;\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)\;$» ou
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ : «$\;V_{M,\,z,\,2}\left[1-\beta \;\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)\right]=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left[1+\beta \;\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)\right]\;$» soit «$\;V_{M,\,z,\,2}=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;{\dfrac {1+\beta \;\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)}{1-\beta \;\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)}}\;$» ; finalement
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ : la loi horaire de vitesse du parachutiste après déploiement du parachute s'écrit «$\;V_{M,\,z,\,2}(t')=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;{\dfrac {\alpha +\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)}{\alpha -\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)}}\;$» avec
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ : la loi horaire de vitesse du parachutiste après déploiement du parachute s'écrit «$\;\alpha ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}={\dfrac {1}{\beta }}\;$» et «$\;\tau _{2}={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{2\;g}}\;$» ;
     cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre «$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ : numériquement on obtient $\;\alpha \simeq {\dfrac {64+4,0}{64-4,0}}\simeq 1,13\;$ et $\;\tau _{2}\simeq {\dfrac {4,0}{2\times 9,8}}\simeq 0,204\;s$.

Tracé du diagramme horaire de vitesse d'un parachutiste tombant d'abord en chute libre puis avec parachute déployé

Tracé du diagramme horaire de vitesse d'un parachutiste tombant d'abord en chute libre puis avec parachute déployé avec effet de loupe autour de l'instant d'ouverture du parachute

     Voir ci-contre à droite le tracé du diagramme horaire de vitesse sur toute la chute et

     Voir ci-contre à gauche le tracé du diagramme de vitesse autour de l'instant d'ouverture du parachute :

     on vérifie que «$\;V_{M,\,z,\,2}(t'=0)=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;{\dfrac {\alpha +1}{\alpha -1}}=V_{M,\,{\text{lim}},\,1}\;$» car $\;{\dfrac {\alpha +1}{\alpha -1}}={\dfrac {{\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}+1}{{\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}-1}}={\dfrac {{\cancel {2}}\;V_{M,\,{\text{lim}},\,1}}{{\cancel {2}}\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;$ et

     on vérifie que «$\;\lim \limits _{t'\,\rightarrow \;\infty }V_{M,\,z,\,2}(t')=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;$» utilisant $\;\lim \limits _{t'\,\rightarrow \;\infty }\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)=0\;$ d'où « le diagramme horaire de vitesse admet comme asymptote $\;\parallel \;$ à l'axe des temps $\;V_{M,\,z,\,2\,{\text{asympt}}}=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;$».

     Instant à partir duquel la vitesse limite à parachute ouvert est pratiquement atteinte $\;{t'}_{\text{lim}}$ : reprenant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ en y reportant $\;\tau _{2}={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{2\;g}}\;$ et $\;\alpha ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}$, on obtient $\;{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}=$ $\ln \!\left[{\dfrac {V_{M,\,z,\,2}(t')+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,z,\,2}(t')-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]-\ln(\alpha )\;$ soit, avec $\;{t'}_{\text{lim}}\;$ tel que $\;V_{M,\,z,\,2}({t'}_{\text{lim}})=1,01\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}$, l'équation suivante $\;{\dfrac {{t'}_{\text{lim}}}{\tau _{2}}}=\ln \!\left[{\dfrac {2,01\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{0,01\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]-\ln(\alpha )=\ln(201)-\ln(1,13)\simeq$ $5,18\;$ c.-à-d. $\;{t'}_{\text{lim}}\simeq 5\;\tau _{2}$, la nouvelle vitesse limite est donc atteinte à moins de $\;1\;\%\;$ près après une durée de $\;\simeq 5\;\tau _{2}\simeq 1\;s\;$ soit quasi instantanément.

 

Loi horaire de position du parachutiste et conséquences

     Déterminer la loi horaire de position $\;{z'}_{M,\,2}(t')\;$ du parachutiste comptée à partir de la nouvelle origine $\;O'\;$ du repère cartésien associé au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, $\;{\big [}$c.-à-d. telle que $\;{z'}_{M,\,2}=$ $z_{M,\,2}-\left(h_{1}-h_{2}\right)\;$ dans laquelle $\;z_{M,\,2}\;$ est la cote du parachutiste comptée à partir de sa position de largage${\big ]}$,
     Déterminer la loi horaire de position $\;\color {transparent}{{z'}_{M,\,2}(t')}\;$ en fonction du temps $\;t'\;$ ainsi que des paramètres $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}$, $\;\alpha ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;$ et $\;g$ ;

     donner l'allure du diagramme horaire de position $\;z_{M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}z_{M,\,1}(t)=2\;V_{M,\,{\text{lim}},\,1}\;\tau _{1}\;\ln \!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau _{1}}}\right)\right]&\;{\text{si }}t\leqslant t_{2}\\z_{M,\,2}(t)={z'}_{M,\,2}(t'+t_{2})+\left(h_{1}-h_{2}\right)&\;{\text{si }}t\geqslant t_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ sur toute la chute ;

     préciser l'équation permettant de déterminer l'instant $\;{t'}_{\text{sol}}\;$ auquel le parachutiste atteint le sol en fonction des paramètres $\;\alpha ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}$, $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}$, $\;g$ et $\;h_{2}$ ;
     préciser l'équation obtenue étant « transcendante » n'admet pas de résolution algébrique, sa résolution nécessiterait d'être numérique ou, à défaut,
           préciser l'équation obtenue étant « transcendante » n'admet pas de résolution algébrique, sa résolution nécessiterait d'être approchée par une équation algébrique, c'est l'option choisie ci-après ;

     dans l'hypothèse où $\;{t'}_{\text{sol}}\;$ est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, le mouvement du parachutiste s'identifie à son mouvement à vitesse limite $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;$ et
     dans l'hypothèse où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut confondre sa loi horaire de position avec l'expression asymptotique de cette dernière ; en faisant cela,
     dans l'hypothèse où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut trouver l'équation algébrique approchée pour déterminer la date $\;{t'}_{\text{sol}}\;$ où le parachutiste atteint le sol
     dans l'hypothèse où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut trouver l'équation en fonction des paramètres $\;\alpha ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}$, $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}$, $\;g$ et $\;h_{2}$, puis
     dans l'hypothèse où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, faire l'application numérique.

Solution

     On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert $\;{z'}_{M,\,2}(t')$, comptée à partir de la nouvelle origine $\;O'\;$ d'espace située à l'altitude d'ouverture du parachute,
     On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert $\;\color {transparent}{{z'}_{M,\,2}(t')}$, en intégrant, par rapport à $\;t'$, la loi horaire de vitesse $\;V_{M,\,z,\,2}(t')={\dfrac {d{z'}_{M,\,2}}{dt'}}(t')=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;{\dfrac {\alpha +\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)}{\alpha -\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)}}\;$
     On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert $\;\color {transparent}{{z'}_{M,\,2}(t')}$, ou, avec la transformation suivante permettant une intégration plus aisée,
     On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert $\;\color {transparent}{{z'}_{M,\,2}(t')}$, en intégrant, $\;{\dfrac {d{z'}_{M,\,2}}{dt'}}(t')=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left[1+{\dfrac {2\;\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)}{\alpha -\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)}}\right]=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left\lbrace 1+2\;\tau _{2}\;{\dfrac {{\dfrac {d}{dt'}}\left[\alpha -\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)\right]}{\alpha -\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)}}\right\rbrace \;$
On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert d'où $\;{z'}_{M,\,2}(t')=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left\lbrace t'+2\;\tau _{2}\;\left[\ln \!{\bigg \vert }\alpha -\exp \!\left(-{\dfrac {t''}{\tau _{2}}}\right){\bigg \vert }\right]_{0}^{t'}\right\rbrace \;$ soit finalement
     On obtient la loi horaire de position du parachutiste à parachute ouvert «$\;{z'}_{M,\,2}(t')=V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left\lbrace t'+2\;\tau _{2}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\bigg \vert }\alpha -\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right){\bigg \vert }}{\vert \alpha -1\vert }}\right]\right\rbrace \;$» avec $\;\alpha ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;$ et $\;\tau _{2}={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{2\;g}}$.

Tracé du diagramme horaire de position d'un parachutiste tombant d'abord en chute libre puis avec parachute déployé

Tracé du diagramme horaire de position d'un parachutiste tombant d'abord en chute libre puis avec parachute déployé avec effet de loupe autour de l'instant d'ouverture du parachute

     Voir ci-contre à droite le tracé du diagramme horaire de position sur toute la chute et

     Voir ci-contre à gauche le tracé du diagramme de position autour de l'instant d'ouverture du parachute :

     On détermine le comportement asymptotique de $\;{z'}_{M,\,2}(t')\;$ en faisant tendre $\;t'\;$ vers l'infini soit, avec $\;\lim \limits _{t'\,\rightarrow \,+\infty }\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau _{2}}}\right)=0$, «$\;{z'}_{M,\,2}(t')\;$ ${\stackrel {t'\,\rightarrow \,\infty }{\simeq }}\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left\lbrace t'+2\;\tau _{2}\;\ln \!\left[{\dfrac {\vert \alpha \vert }{\vert \alpha -1\vert }}\right]\right\rbrace \;$» ou, avec $\;{\dfrac {\alpha }{\alpha -1}}={\dfrac {\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}{{\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,1}-V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}-1}}\;$ qui se simplifie encore selon $\;{\dfrac {\alpha }{\alpha -1}}={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{2\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\;$ soit «$\;{z'}_{M,\,2}(t')\;$ ${\stackrel {t'\,\rightarrow \,\infty }{\simeq }}\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left\lbrace t'+2\;\tau _{2}\;\ln \!\left[{\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{2\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]\right\rbrace \;$» ou encore, en explicitant $\;2\;\ln \!\left[{\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}},\,1}+V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}{2\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}\right]\simeq 2\times \ln \!\left[{\dfrac {64+4}{2\times 4}}\right]\simeq 4,28$,
     On détermine l'équation de l'asymptote en variables adaptées «$\;{z'}_{M,\,2,\,{\text{asympt}}}(t')\simeq V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left(t'+4,28\;\tau _{2}\right)\;$» ou, avec $\;\tau _{2}\simeq 0,2\;s\;$ et $\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\simeq 4,0\;m\cdot s^{-1}$,
     On détermine l'équation de l'asymptote en variables adaptées «$\;{z'}_{M,\,2,\,{\text{asympt}}}(t')\simeq 4,0\times \left(t'+0,86\right)\;$ en $\;m\;$» .

     Instant de contact du parachutiste avec le sol$\;{t'}_{\text{sol}}$ : cet instant est défini par l'équation «$\;{z'}_{M,\,2}({t'}_{\text{sol}})=h_{2}\;$» soit, en explicitant la loi horaire de position du parachutiste
     Instant de contact du parachutiste avec le sol $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}$ : cet instant est défini par l'équation «$\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left\lbrace {t'}_{\text{sol}}+2\;\tau _{2}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\bigg \vert }\alpha -\exp \!\left(-{\dfrac {{t'}_{\text{sol}}}{\tau _{2}}}\right){\bigg \vert }}{\vert \alpha -1\vert }}\right]\right\rbrace =h_{2}\;$» ou
     Instant de contact du parachutiste avec le sol $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}$ : cet instant est défini par l'équation «$\;{\dfrac {h_{2}}{2\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\;\tau _{2}}}-{\dfrac {{t'}_{\text{sol}}}{2\;\tau _{2}}}=\ln \!\left[{\dfrac {{\bigg \vert }\alpha -\exp \!\left(-{\dfrac {{t'}_{\text{sol}}}{\tau _{2}}}\right){\bigg \vert }}{\vert \alpha -1\vert }}\right]\;$» équation transcendante $\;{\big (}$elle n'admet donc pas de résolution algébrique mais la résolution doit être numérique ou à défaut être approchée par une équation algébrique${\big )}$ $\;\ldots$

     Instant de contact du parachutiste avec le sol$\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}$ : dans la mesure où $\;{t'}_{\text{sol}}\;$ serait $\;\gtrsim 5\;\tau _{2}\simeq 1,0\;s\;$ on peut affirmer que $\;{z'}_{M,\,2}({t'}_{\text{sol}})\simeq {z'}_{M,\,2,\,{\text{asympt}}}({t'}_{\text{sol}})\;$ et en déduire
           Instant de contact du parachutiste avec le sol$\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}$ : dans la mesure où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ serait $\;\color {transparent}{\gtrsim 5\;\tau _{2}\simeq 1,0\;s}\;$ l'équation algébrique approchée de définition de $\;{t'}_{\text{sol}}\;$ «$\;V_{M,\,{\text{lim}},\,2}\left\lbrace {t'}_{\text{sol}}+2\;\tau _{2}\;\ln \!\left[{\dfrac {\alpha }{\alpha -1}}\right]\right\rbrace \simeq h_{2}\;$»
           Instant de contact du parachutiste avec le sol$\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}$ : dans la mesure où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ serait $\;\color {transparent}{\gtrsim 5\;\tau _{2}\simeq 1,0\;s}\;$ d'où «$\;{t'}_{\text{sol}}\simeq {\dfrac {h_{2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}-2\;\tau _{2}\;\ln \!\left[{\dfrac {\alpha }{\alpha -1}}\right]\;$» ou «$\;{t'}_{\text{sol}}\simeq {\dfrac {h_{2}}{V_{M,\,{\text{lim}},\,2}}}-4,28\;\tau _{2}\;$» ,
           Instant de contact du parachutiste avec le sol$\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}$ : dans la mesure où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ serait $\;\color {transparent}{\gtrsim 5\;\tau _{2}\simeq 1,0\;s}\;$ donnant numériquement «$\;{t'}_{\text{sol}}\simeq {\dfrac {1000}{4,0}}-4,28\times 0,2\simeq 249,1\;s\;$» ,
           Instant de contact du parachutiste avec le sol$\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}$ : dans la mesure où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ serait $\;\color {transparent}{\gtrsim 5\;\tau _{2}\simeq 1,0\;s}\;$ soit une durée de chute depuis la position de largage
           Instant de contact du parachutiste avec le sol$\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}$ : dans la mesure où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ serait $\;\color {transparent}{\gtrsim 5\;\tau _{2}\simeq 1,0\;s}\;$ soit une durée de chute «$\;\Delta t_{\text{sol}}\simeq 35,8\;s+249,1\;s\simeq 284,9\;s\simeq 285\;s=4\;min\;45\;s\;$»,
           Instant de contact du parachutiste avec le sol$\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}$ : dans la mesure où $\;\color {transparent}{{t'}_{\text{sol}}}\;$ serait $\;\color {transparent}{\gtrsim 5\;\tau _{2}\simeq 1,0\;s}\;$ la chute avec parachute étant de durée huit fois plus grande que celle de la chute libre .

 

Chute d'une boule lancée verticalement vers le bas avec résistance d'avancement de forme quadratique

     Une boule de masse $\;m$, assimilable à un point matériel $\;M$, est lancée verticalement vers le bas avec une vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen ;

     le frottement de l'air agissant sur la boule en mouvement dans l'air globalement immobile relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ est modélisable par un vecteur force de norme $\;\Vert {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\Vert =k\;S\;V_{M}^{2}\;$ dans laquelle $\;k\;$ est un cœfficient dépendant de l'aérodynamisme de la boule ainsi que de la compacité du fluide dans lequel elle se déplace $\;{\bigg [}$plus précisément $\;k={\dfrac {1}{2}}\,C_{x}\,\mu _{\text{air}}\;$ avec $\;C_{x}\;$ cœfficient de traînée de la boule et $\;\mu _{\text{air}}\;$ masse volumique de l'air${\bigg ]}$, $\;S\;$ l'aire de son maître-couple et $\;V_{M}\;$ la norme de son vecteur vitesse dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$.

     Initialement la boule étant soumise à deux forces verticales, nous admettrons que le mouvement reste vertical  ;

     après une durée de chute suffisamment longue , elle tombe alors avec une vitesse limite $\;V_{M,\,{\text{lim}}}$.

Dans ce qui suit l'axe vertical est orienté dans le sens descendant et l'origine des cotes choisie en la position de lancer de la boule.

Introduction de variables sans dimension

     On introduit les variables sans dimension suivantes $\succ \;$vitesse relative $\;u_{M}={\dfrac {V_{M}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}$,
     On introduit les variables sans dimension suivantes $\succ \;$temps relatif $\;\xi ={\dfrac {t}{\tau }}\;$ avec $\;\tau ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$ constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée par résistance de l'air quadratique et
     On introduit les variables sans dimension suivantes $\succ \;$cote relative $\;\zeta _{M}={\dfrac {z_{M}}{\lambda }}\;$ avec $\;\lambda ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}^{\,2}}{2\;g}}\;$ constante de longueur du portrait de phase de chute freinée par résistance de l'air quadratique .

     On introduit les variables sans dimension Quel intérêt présentent ces changements de variables ?

Solution

     L'intérêt de l'utilisation de ces grandeurs sans dimension est d'obtenir un problème unique indépendant de l'objet, de la planète créant le champ de pesanteur et des conditions de lancement de l'objet car faisant intervenir une vitesse, un temps et une longueur relatifs, respectivement $\;u_{M}$, $\;\xi \;$ et $\;\zeta _{M}$, c.-à-d. une vitesse, un temps et une longueur exprimés respectivement en unités de vitesse $\;V_{M,\,{\text{lim}}}$, de temps $\;\tau \;$ et de longueur $\;\lambda =V_{M,\,{\text{lim}}}\;\tau \;$ caractérisant le problème particulier ;

     après avoir fait ceci on obtient, en grandeurs relatives, des équations différentielles et des équations horaires toutes identiques quel que soit le problème.

     Complément : En raisonnant sur la vitesse, nous savons que la vitesse limite correspond à $\;m\;g=k\;S\;V_{M,\,{\text{lim}}}^{\,2}\;$ $\Rightarrow$ $\;V_{M,\,{\text{lim}}}={\sqrt {\dfrac {m\;g}{k\;S}}}\;$ $\Rightarrow \;$ cette vitesse limite dépend de la masse $\;m\;$ de l'objet, de l'aire $\;S\;$ de son maître-couple , de $\;k\;$ ${\big (}$ou encore de la masse volumique du fluide ainsi que du cœfficient de traînée de l'objet${\big )}\;$ et de l'intensité $\;g\;$ de la pesanteur créée par la planète ;

     Complément : $\succ \;$un objet en chute dans l'atmosphère terrestre sur laquelle l'intensité de la pesanteur $\;g_{\text{♁}}=9,8\;m\!\cdot s^{-1}$, la masse volumique de l'air $\;\mu _{\text{air}}=1,3\;kg\!\cdot m^{-3}$, de masse $\;m=1\;kg$, d'aire du maître-couple $\;S=1\;m^{2}$, de cœfficient de traînée $\;C_{x}=0,4\;$ et

     Complément : $\succ \;$un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne sur laquelle l'intensité de la pesanteur $\;g_{\text{♀}}=8,9\;m\!\cdot s^{-1}$, la masse volumique de l'atmosphère $\;\mu _{\text{atm}}=70\,kg\!\cdot m^{-3}\;$, de masse $\;m=5\;kg$, d'aire du maître-couple $\;S=3\;m^{2}$, de cœfficient de traînée $\;C_{x}=2,0\;$

     Complément : $\color {transparent}{\succ }\;$un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne n'ont pas, a priori, la même vitesse limite et l'étude de leur chute constitue deux problèmes différents avant d'avoir fait ce changement de variables ;

     Complément : $\color {transparent}{\succ }\;$un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne néanmoins nous pourrons affirmer que l'objet sur Terre aura atteint sa vitesse limite $\;V_{\text{lim (objet sur Terre)}}={\sqrt {\dfrac {m\;g_{\text{♁}}}{\dfrac {C_{x}\;\mu _{\text{air}}\;S}{2}}}}={\sqrt {\dfrac {1\times 9,8}{\dfrac {0,4\times 1,3\times 1}{2}}}}\simeq$ $4,3\;m\!\cdot s^{-1}\;$ à moins de $\;1\;\%\;$ près à l'instant $\;t\simeq 5\;\tau _{\text{(objet sur Terre)}}=5\;{\dfrac {V_{\text{lim (objet sur Terre)}}}{2\,g_{\text{♁}}}}\simeq 2,5\times {\dfrac {4,3}{9,8}}\simeq 1,1\;s\;$ et

     Complément : $\color {transparent}{\succ }\;$un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne néanmoins nous pourrons affirmer que l'objet sur Vénus aura atteint sa vitesse limite $\;V_{\text{lim (objet sur Vénus)}}={\sqrt {\dfrac {m\;g_{\text{♀}}}{\dfrac {C_{x}\;\mu _{\text{atm}}\,S}{2}}}}={\sqrt {\dfrac {5\times 8,9}{\dfrac {2,0\times 70\times 3}{2}}}}$ $\simeq 0,46\;m\!\cdot s^{-1}\;$ à moins de $\;1\;\%\;$ près à l'instant $\;t\simeq 5\;\tau _{\text{(objet sur Vénus)}}=5\;{\dfrac {V_{\text{lim (objet sur Vénus)}}}{2\;g_{\text{♀}}}}\simeq 2,5\times {\dfrac {0,46}{8,9}}\simeq 0,13\;s$ ;

     Complément : $\color {transparent}{\succ }\;$un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne ces résultats différents sont en fait identiques en valeurs relatives,
     Complément : $\color {transparent}{\succ }\;$un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne néanmoins nous pourrons affirmer que l'objet sur Terre et celui sur Vénus ont atteint la vitesse limite relative $\;u_{\text{lim}}=1\;$ à moins de $\;1\;\%\;$ près
     Complément : $\color {transparent}{\succ }\;$un objet en chute dans l'atmosphère vénusienne néanmoins nous pourrons affirmer que l'objet sur Terre et celui sur Vénus ont atteint la vitesse limite relative au temps relatif $\;\xi =5$.

 

Détermination de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif u_M(ξ) du mouvement de la boule et résolution

     Déterminer l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif $\;u_{M}(\xi )\;$ ;

     en déduire la vitesse relative de la boule $\;u_{M}\;$ en fonction du temps relatif $\;\xi$, puis

     en déduire la vitesse de la boule $\;V_{M}\;$ en fonction du temps $\;t$.

Solution

     L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;M\;$ donne : «$\;m\;{\vec {g}}-k\;S\;V_{M}^{2}(t)\;{\vec {u}}_{z}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$» ;

           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ projetée sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ on obtient, avec $\;V_{M,\,z}(t)\;$ égale à $\;V_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;$ compte-tenu du sens du mouvement de $\;M\;$ sur la verticale descendante :
           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : «$\;m\;g-k\;S\;V_{M}^{2}(t)=m\;{\dot {V}}_{M}(t)\;$» ou encore «$\;{\dot {V}}_{M}(t)+{\dfrac {k\;S}{m}}\;V_{M}^{2}(t)=g\;$», équation différentielle du 1^er ordre en $\;V_{M}(t)\;$ non linéaire.

           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : Posant alors $\;V_{M,\,{\text{lim}}}={\sqrt {\dfrac {m\;g}{k\;S}}}\;$ correspondant à la vitesse limite de chute de l'objet selon sa définition obéissant à $\;m\;g=k\;S\;V_{M,\,{\text{lim}}}^{\,2}\;$ et
           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : introduisant sa vitesse relative $\;u_{M}(t)={\dfrac {V_{M}(t)}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\;$ à l'instant $\;t\;$ $\Rightarrow$ $\;V_{M}(t)=V_{M,\,{\text{lim}}}\;u_{M}(t)\;$ que l'on reporte dans l'équation différentielle ci-dessus d'où
           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : «$\;V_{M,\,{\text{lim}}}\;{\dot {u}}_{M}(t)+{\dfrac {k\;S}{m}}\;V_{M,\,{\text{lim}}}^{\,2}\;u_{M}^{2}(t)=g\;$» ou, en reconnaissant dans le cœfficient de $\;u_{M}^{2}(t)\;$ le quotient $\;{\dfrac {{\mathcal {R}}_{air}(V_{M,\,{\text{lim}}})}{m}}=g$,
           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : «$\;V_{M,\,{\text{lim}}}\;{\dot {u}}_{M}(t)+g\;u_{M}^{2}(t)=g\;$» soit, en divisant de part et d'autre par $\;V_{M,\,{\text{lim}}}\;$ pour normalisation,
           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : «$\;{\dot {u}}_{M}(t)+{\dfrac {g}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\;u_{M}^{2}(t)={\dfrac {g}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\;$» ;

           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : posant ensuite $\;\tau ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$ constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée par résistance de l'air quadratique et
           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : introduisant le temps relatif $\;\xi ={\dfrac {t}{\tau }}\;$ $\Rightarrow$ $\;t=\tau \;\xi \;$ ainsi que $\;dt=\tau \;d\xi \;$ que l'on reporte dans l'équation différentielle précédemment transformée d'où
           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : «$\;{\dfrac {du_{M}}{\tau \,d\xi }}(\tau \;\xi )+{\dfrac {1}{2\;\tau }}\;u_{M}^{2}(\tau \;\xi )={\dfrac {1}{2\;\tau }}\;$» ou, en multipliant de part et d'autre par $\;\tau \;$ et
           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : «$\;\color {transparent}{{\dfrac {du_{M}}{\tau \,d\xi }}(\tau \;\xi )+{\dfrac {1}{2\;\tau }}\;u_{M}^{2}(\tau \;\xi )={\dfrac {1}{2\;\tau }}}\;$» ou, en notant par la même lettre $\;u_{M}\;$ la fonction composée de $\;t(\xi )=\tau \;\xi \;$ et la fonction directe de $\;\xi \;$,
           L'application de la r.f.d.n. à l'objet $\;\color {transparent}{M}\;$ donne : «$\;{\dfrac {du_{M}}{d\xi }}(\xi )+{\dfrac {1}{2}}\;u_{M}^{2}(\xi ]={\dfrac {1}{2}}\;$» équation différentielle du 1^er ordre en $\;u_{M}(\xi )\;$ non linéaire.

     Cette équation différentielle s'intègre par séparation des variables selon «$\;{\dfrac {du_{M}}{1-u_{M}^{2}}}={\dfrac {d\xi }{2}}\;$»  ;

     Cette équation différentielle s'intègre on décompose alors $\;{\dfrac {1}{1-u_{M}^{2}}}\;$ en éléments simples selon «$\;{\dfrac {1}{1-u_{M}^{2}}}={\dfrac {\alpha }{1-u_{M}}}+{\dfrac {\beta }{1+u_{M}}}\;$» ,
     Cette équation différentielle s'intègre on décompose alors $\;\color {transparent}{\dfrac {1}{1-u_{M}^{2}}}\;$ en éléments simples selon $\;\alpha \;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;1-u_{M}\;$ et en faisant $\;u_{M}=1\;$ soit «$\;\alpha ={\dfrac {1}{2}}\;$»,
     Cette équation différentielle s'intègre on décompose alors $\;\color {transparent}{\dfrac {1}{1-u_{M}^{2}}}\;$ en éléments simples selon $\;\beta \;$ en multipliant de part et d'autre par $\;1+u_{M}\;$ et en faisant $\;u_{M}=-1\;$ soit «$\;\beta ={\dfrac {1}{2}}\;$» d'où
     Cette équation différentielle s'intègre on décompose alors $\;\color {transparent}{\dfrac {1}{1-u_{M}^{2}}}\;$ en éléments simples selon «$\;{\dfrac {1}{1-u_{M}^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\left[{\dfrac {1}{1-u_{M}}}+{\dfrac {1}{1+u_{M}}}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {du_{M}}{1-u_{M}^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\left[-{\dfrac {d(1-u_{M})}{1-u_{M}}}+{\dfrac {d(1+u_{M})}{1+u_{M}}}\right]\;$» ;

     Cette équation différentielle s'intègre l'équation à intégrer se réécrit, après simplification : «$\;-{\dfrac {d(1-u_{M})}{1-u_{M}}}+{\dfrac {d(1+u_{M})}{1+u_{M}}}=d\xi \;$» ;

     Cette équation différentielle s'intègre on intègre entre «$\;u_{0}={\dfrac {v_{0}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\;$ et $\;u_{M}\;$» d'une part et entre «$\;0\;$ et $\;\xi \;$» d'autre part soit :
     Cette équation différentielle s'intègre «$\;\left[\ln {\bigg |}{\dfrac {1+{u'}_{M}}{1-{u'}_{M}}}{\bigg |}\right]_{u_{0}}^{u_{M}}=\xi \;$» ou «$\;\xi =\ln {\Bigg |}{\dfrac {(1+u_{M})(1-u_{0})}{(1-u_{M})(1+u_{0})}}{\Bigg |}\;$» ou encore, en inversant partiellement «$\;{\bigg |}{\dfrac {1+u_{M}}{1-u_{M}}}{\bigg |}={\bigg |}{\dfrac {1+u_{0}}{1-u_{0}}}{\bigg |}\;\exp(\xi )\;$» ;

     Cette équation différentielle s'intègre on peut alors lever les valeurs absolues, $\;{\dfrac {1+u_{M}}{1-u_{M}}}\;$ et $\;{\dfrac {1+u_{0}}{1-u_{0}}}\;$ étant de même signe $\;{\big (}$les numérateurs sont $\;>0\;$ et les dénominateurs simultanément $\;>0\;$ ou $\;<0{\big )}\;$ ;

     Cette équation différentielle s'intègre finalement on peut écrire «$\;{\dfrac {1+u_{M}}{1-u_{M}}}={\dfrac {1+u_{0}}{1-u_{0}}}\;\exp(\xi )\;$» ou encore «$\;{\dfrac {1+u_{M}}{1-u_{M}}}=A\;\exp(\xi )\;$» en posant «$\;A={\dfrac {1+u_{0}}{1-u_{0}}}\;$», soit
     Cette équation différentielle s'intègre finalement on peut écrire «$\;1+u_{M}=\left(1-u_{M}\right)\,A\;\exp(\xi )\;$» dont on tire $\;u_{M}\,\left[1+A\;\exp(\xi )\right]=A\;\exp(\xi )-1\;$ soit «$\;u_{M}(\xi )={\dfrac {A\;\exp(\xi )-1}{A\;\exp(\xi )+1}}\;$» ou,
     Cette équation différentielle s'intègre finalement on peut écrire en réinjectant l'expression de $\;A={\dfrac {1+u_{0}}{1-u_{0}}}\;$ et en multipliant haut et bas par $\;1-u_{0}$,
     Cette équation différentielle s'intègre finalement on peut écrire l'expression de la loi horaire de vitesse relative en fonction du temps relatif «$\;u_{M}(\xi )={\dfrac {(1+u_{0})\;\exp(\xi )-(1-u_{0})}{(1+u_{0})\;\exp(\xi )+(1-u_{0})}}\;$» ou encore
     Cette équation différentielle s'intègre finalement on peut écrire l'expression de la loi horaire de vitesse relative en fonction du temps relatif «$\;u_{M}(\xi )={\dfrac {1+u_{0}+(u_{0}-1)\;\exp(-\xi )}{1+u_{0}-(u_{0}-1)\;\exp(-\xi )}}\;$» .

     En revenant à $\;V_{M}\;$ et $\;t\;$ on obtient «$\;{\dfrac {V_{M}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}={\dfrac {1+{\dfrac {V_{0}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}+\left({\dfrac {V_{0}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}-1\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}{1+{\dfrac {V_{0}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}-\left({\dfrac {V_{0}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}-1\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}}={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}+V_{0}+\left(V_{0}-V_{M,\,{\text{lim}}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}{V_{M,\,{\text{lim}}}+V_{0}-\left(V_{0}-V_{M,\,{\text{lim}}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}}\;$» soit finalement
     En revenant à $\;\color {transparent}{V_{M}}\;$ et $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient «$\;V_{M}(t)=V_{M,\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}+V_{0}+\left(V_{0}-V_{M,\,{\text{lim}}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}{V_{M,\,{\text{lim}}}+V_{0}-\left(V_{0}-V_{M,\,{\text{lim}}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}}\;$» avec $\;\tau ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$ constante de temps de chute freinée de la boule.

 

Détermination de l'équation différentielle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative du mouvement de la boule et résolution

     Déduire, de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif $\;u_{M}(\xi )$, celle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative $\;u_{M}^{2}(\zeta _{M})$ ;

     par résolution de cette nouvelle équation différentielle en $\;u_{M}^{2}(\zeta _{M})$, déterminer la vitesse relative de la boule $\;u_{M}\;$ en fonction de la cote relative $\;\zeta _{M}$, puis

     par résolution de cette nouvelle équation différentielle en $\;\color {transparent}{u_{M}^{2}(\zeta _{M})}$, déterminer la vitesse de la boule $\;V_{M}\;$ en fonction de la cote $\;z_{M}$.

Solution

     Les constantes de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée par résistance de l'air quadratique étant définie par $\;\tau ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$ et
     les constantes de longueur du portrait de phase de même chute freinée définie par $\;\lambda ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}^{\,2}}{2\;g}}$, on en déduit le lien entre ces deux constantes du mouvement de chute freinée «$\;\lambda =V_{M,\,{\text{lim}}}\;\tau \;$» ;

     la vitesse $\;V_{M}(t)\;$ étant définie par «$\;V_{M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ la vitesse relative «$\;u_{M}(t)={\dfrac {V_{M}(t)}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}={\dfrac {1}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\;{\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)\;$» ou, avec le temps relatif $\;\xi ={\dfrac {t}{\tau }}\;$ $\Rightarrow$ $\;t=\tau \;\xi \;$ et «$\;dt=\tau \;d\xi \;$» ainsi que
     la vitesse $\;\color {transparent}{V_{M}(t)}\;$ étant définie par «$\;\color {transparent}{V_{M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la vitesse relative «$\;\color {transparent}{u_{M}(t)={\dfrac {V_{M}(t)}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}={\dfrac {1}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\;{\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)}\;$» ou, avec la cote relative $\;\zeta _{M}={\dfrac {z_{M}}{\lambda }}\;$ $\Rightarrow$ $\;z_{M}=\lambda \;\zeta \;$ et «$\;dz_{M}=\lambda \;d\zeta _{M}\;$»,
     la vitesse $\;\color {transparent}{V_{M}(t)}\;$ étant définie par «$\;\color {transparent}{V_{M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la vitesse relative «$\;\color {transparent}{u_{M}(t)={\dfrac {V_{M}(t)}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}={\dfrac {1}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\;{\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)}\;$» ou, avec ${\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {\lambda \;d\zeta _{M}}{\tau \;d\xi }}(\tau \;\xi )={\dfrac {\lambda }{\tau }}\;{\dfrac {d\zeta _{M}}{d\xi }}(\tau \;\xi )=V_{M,\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {d\zeta _{M}}{d\xi }}(\tau \;\xi )\;$ d'où
     la vitesse $\;\color {transparent}{V_{M}(t)}\;$ étant définie par «$\;\color {transparent}{V_{M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la vitesse relative se réécrit «$\;u_{M}(\tau \;\xi )={\dfrac {d\zeta _{M}}{d\xi }}(\tau \;\xi )\;$» ou plus simplement «$\;u_{M}(\xi )={\dfrac {d\zeta _{M}}{d\xi }}(\xi )\;$» c.-à-d.
     la vitesse $\;\color {transparent}{V_{M}(t)}\;$ étant définie par «$\;\color {transparent}{V_{M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la vitesse relative est la dérivée de la cote relative par rapport au temps relatif.

     Souhaitant obtenir une équation différentielle en $\;u_{M}(\zeta _{M})$, on part de «$\;{\dfrac {du_{M}}{d\xi }}={\dfrac {1-u_{M}^{2}}{2}}\;$» et
     Souhaitant obtenir une équation différentielle en $\;\color {transparent}{u_{M}(\zeta _{M})}$, on « multiplie membre à membre par $\;{\dfrac {d\xi }{d\zeta _{M}}}={\dfrac {1}{u_{M}}}\;$» pour faire apparaître dans le membre de gauche «$\;{\dfrac {du_{M}}{d\xi }}\times {\dfrac {d\xi }{d\zeta _{M}}}={\dfrac {du_{M}}{d\zeta _{M}}}\;$» avec
Souhaitant obtenir une équation différentielle en $\;\color {transparent}{u_{M}(\zeta _{M})}$, on « multiplie membre à membre par $\;\color {transparent}{{\dfrac {d\xi }{d\zeta _{M}}}={\dfrac {1}{u_{M}}}}\;$» pour faire apparaître dans pour membre de droite «$\;{\dfrac {1-u_{M}^{2}}{2}}\times {\dfrac {1}{u_{M}}}={\dfrac {1-u_{M}^{2}}{2\;u_{M}}}\;$» d'où
     Souhaitant obtenir une équation différentielle en $\;\color {transparent}{u_{M}(\zeta _{M})}$, on part de «$\;{\dfrac {du_{M}}{d\zeta _{M}}}={\dfrac {1-u_{M}^{2}}{2\;u_{M}}}\;$» ou encore «$\;2\;u_{M}\;{\dfrac {du_{M}}{d\zeta _{M}}}=1-u_{M}^{2}\;$» soit finalement, avec $\;2\;u_{M}\;{\dfrac {du_{M}}{d\zeta _{M}}}={\dfrac {d(u_{M}^{2})}{d\zeta _{M}}}$,
     Souhaitant obtenir une équation différentielle en $\;\color {transparent}{u_{M}(\zeta _{M})}$, on part de «$\;{\dfrac {d(u_{M}^{2})}{d\zeta _{M}}}=1-u_{M}^{2}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {d(u_{M}^{2})}{d\zeta _{M}}}(\zeta _{M})+u_{M}^{2}(\zeta _{M})=1\;$» c.-à-d.
     Souhaitant obtenir une équation différentielle en $\;\color {transparent}{u_{M}(\zeta _{M})}$, on part de «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d(u_{M}^{2})}{d\zeta _{M}}}=1-u_{M}^{2}}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ une équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;u_{M}^{2}(\zeta _{M})\;$ à cœfficients réels constants hétérogène.

     La résolution de l'équation donne «$\;u_{M}^{2}(\zeta _{M})=1+A\;\exp(-\zeta _{M})\;$» avec $\;A\;$ se déterminant à l'aide de la « C.A.L. $\;u_{M}^{2}(\zeta _{M}=0)=u_{0}^{2}\;$» soit $\;u_{0}^{2}=1+A\;$ dont on tire «$\;A=u_{0}^{2}-1\;$» et par suite
     La résolution de l'équation donne «$\;u_{M}^{2}(\zeta _{M})=1+(u_{0}^{2}-1)\;\exp(-\zeta _{M})\;$» soit finalement «$\;u_{M}(\zeta _{M})={\sqrt {1+(u_{0}^{2}-1)\;\exp(-\zeta _{M})}}\;$».

     En revenant à $\;V_{M}\;$ et $\;z_{M}\;$ on obtient «$\;{\dfrac {V_{M}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}={\sqrt {1+\left[\left({\dfrac {V_{0}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\right)^{\!2}-1\right]\;\exp \!\left(-{\dfrac {z_{M}}{\lambda }}\right)}}\;$» soit $\;V_{M}(z_{M})=V_{M,\,{\text{lim}}}\;{\sqrt {1+\left[\left({\dfrac {V_{0}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\right)^{\!2}-1\right]\;\exp \!\left(-{\dfrac {z_{M}}{\lambda }}\right)}}\;$ ou
     En revenant à $\;\color {transparent}{V_{M}}\;$ et $\;\color {transparent}{z_{M}}\;$ on obtient «$\;V_{M}(z_{M})={\sqrt {V_{M,\,{\text{lim}}}^{\,2}+\left(V_{0}^{2}-V_{M,\,{\text{lim}}}^{\,2}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {z_{M}}{\lambda }}\right)}}\;$» avec «$\;\lambda ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}^{\,2}}{2\;g}}\;$ constante de longueur de chute freinée de la boule » .

 

Détermination de la distance parcourue pour que la boule acquiert pratiquement sa vitesse limite

     Admettant que la vitesse limite est acquise pratiquement par la boule si la vitesse de celle-ci atteint sa valeur limite à moins de $\;1\;\%\;$ près,
     Admettant que la vitesse limite est acquise pratiquement par la boule déterminer la distance parcourue correspondante en fonction de $\;u_{0}={\dfrac {V_{0}}{V_{M,\,{\text{lim}}}}}\;$ et de $\;\lambda \;$.

Solution

     La valeur de $\;V_{M}\;$ quand celle-ci atteint $\;V_{M,\,{\text{lim}}}\;$ à $\;1\;\%\;$ près étant $\;V_{M}(z_{M,\,{\text{prat lim}}})=\left\lbrace {\begin{array}{l}0,99\;V_{M,\,{\text{lim}}}\;\;{\text{pour }}V_{0}<V_{M,\,{\text{lim}}}\\1,01\;V_{M,\,{\text{lim}}}\;\;{\text{pour }}V_{0}>V_{M,\,{\text{lim}}}\end{array}}\right.\;$ dans laquelle $\;z_{M,\,{\text{prat lim}}}\;$ est la cote associée, on en déduit
     la valeur de sa vitesse relative «$\;u_{M}(\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}})=\left\lbrace {\begin{array}{l}0,99\;\;{\text{pour }}u_{0}<1\\1,01\;\;{\text{pour }}u_{0}>1\end{array}}\right.\;$» à la cote relative $\;\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}}={\dfrac {z_{M,\,{\text{prat lim}}}}{\lambda }}\;$ correspondante ou encore
     la valeur de sa vitesse relative «$\;u_{M}(\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}})=1+\mathrm {sgn} (u_{0}-1)\;10^{-2}\;$» avec la fonction «$\;\mathrm {sgn} (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}+1\;\;{\text{pour }}x>0\\-1\;\;{\text{pour }}x<0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     ayant trouvé «$\;u_{M}(\zeta _{M})={\sqrt {1+(u_{0}^{2}-1)\;\exp(-\zeta _{M})}}\;$» on en déduit l'équation en $\;\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}}\;$ suivante «$\;{\sqrt {1+(u_{0}^{2}-1)\;\exp(-\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}})}}=1+\mathrm {sgn} (u_{0}-1)\;10^{-2}\;$» ou, en élevant au carré,
           ayant trouvé «$\;\color {transparent}{u_{M}(\zeta _{M})={\sqrt {1+(u_{0}^{2}-1)\;\exp(-\zeta _{M})}}}\;$» on en déduit l'équation en $\;\color {transparent}{\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}}}\;$ suivante «$\;1+(u_{0}^{2}-1)\;\exp(-\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}})\simeq 1+2\;\mathrm {sgn} (u_{0}-1)\;10^{-2}\;$» soit encore
           ayant trouvé «$\;\color {transparent}{u_{M}(\zeta _{M})={\sqrt {1+(u_{0}^{2}-1)\;\exp(-\zeta _{M})}}}\;$» on en déduit l'équation en $\;\color {transparent}{\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}}}\;$ suivante «$\;\exp(-\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}})\simeq {\dfrac {2\;\mathrm {sgn} (u_{0}-1)\;10^{-2}}{u_{0}^{2}-1}}={\dfrac {2\;10^{-2}}{\vert u_{0}^{2}-1\vert }}\;$» et finalement
           ayant trouvé «$\;\color {transparent}{u_{M}(\zeta _{M})={\sqrt {1+(u_{0}^{2}-1)\;\exp(-\zeta _{M})}}}\;$» on en déduit l'équation en $\;\color {transparent}{\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}}}\;$ suivante «$\;\zeta _{M,\,{\text{prat lim}}}\simeq -\ln \!\left[{\dfrac {2\;10^{-2}}{\vert u_{0}^{2}-1\vert }}\right]=\ln(50)+\ln \!\vert u_{0}^{2}-1\vert \simeq 3,9+\ln \!\vert u_{0}^{2}-1\vert \;$» ;

     on en déduit donc la distance parcourue par la boule depuis l'endroit de son lancer pour que sa vitesse limite soit pratiquement acquise à moins de $\;1\;\%\;$ près «$\;z_{M,\,{\text{prat lim}}}\simeq \left[3,9+\ln \!\vert u_{0}^{2}-1\vert \right]\,\lambda \;$» avec $\;\lambda ={\dfrac {V_{M,\,{\text{lim}}}^{\,2}}{2\;g}}\;$ constante de longueur de chute freinée de la boule , soit

• pour $\;u_{0}=0\;$ ${\big [}$chute sans vitesse initiale${\big ]}$, $\;z_{M,\,{\text{prat lim}}}(u_{0}=0)\simeq 3,9\;\lambda \simeq 4\;\lambda$,
• pour $\;u_{0}=2\;$ ${\big [}$chute avec une vitesse initiale double de la vitesse limite${\big ]}$, $\;z_{M,\,{\text{prat lim}}}(u_{0}=2)\simeq 3,9\;\lambda \simeq 4\;\lambda \;$ ${\big (}$même résultat que celui trouvé pour une chute sans vitesse initiale${\big )}$,
• pour $\;u_{0}=3\;$ ${\big [}$chute avec une vitesse initiale triple de la vitesse limite${\big ]}$, $\;z_{M,\,{\text{prat lim}}}(u_{0}=3)\simeq \left[3,9+\ln(8)\right]\,\lambda \simeq 6\;\lambda$,
• pour $\;u_{0}=5\;$ ${\big [}$chute avec une vitesse initiale quintuple de la vitesse limite${\big ]}$, $\;z_{M,\,{\text{prat lim}}}(u_{0}=5)\simeq \left[3,9+\ln(24)\right]\,\lambda \simeq 7,1\;\lambda$, $\;{\big [}$distance parcourue d'autant plus grande que la vitesse initiale est éloignée de la vitesse limite par valeur supérieure${\big ]}$,
• pour $\;u_{0}=0,5\;$ ${\big [}$chute avec une vitesse initiale moitié de la vitesse limite${\big ]}$, $\;z_{M,\,{\text{prat lim}}}(u_{0}=0,5)\simeq \left[3,9+\ln(0,75)\right]\,\lambda \simeq 3,6\;\lambda$,
• pour $\;u_{0}=0,8\;$ ${\big [}$chute avec une vitesse initiale de $\;80\;\%\;$ de la vitesse limite${\big ]}$, $\;z_{M,\,{\text{prat lim}}}(u_{0}=0,8)\simeq \left[3,9+\ln(0,36)\right]\,\lambda \simeq 2,9\;\lambda \;$ et
• pour $\;u_{0}=0,9\;$ ${\big [}$chute avec une vitesse initiale de $\;90\;\%\;$ de la vitesse limite${\big ]}$, $\;z_{M,\,{\text{prat lim}}}(u_{0}=0,9)\simeq \left[3,9+\ln(0,19)\right]\,\lambda \simeq 2,25\;\lambda$ $\;{\big [}$distance parcourue d'autant plus petite que la vitesse initiale est proche de la vitesse limite par valeur inférieure${\big ]}$ $\;\ldots$

 

Modification des résultats des questions précédentes avec le rayon de la boule

     Comment les résultats des questions précédentes sont-ils modifiés pour une boule de même masse volumique, mais deux fois plus lourde ?

Solution

     Sachant qu'une boule de même masse volumique que la boule initiale mais deux fois plus lourde a un volume deux fois plus grand et que
     Sachant qu'une boule de même masse volumique que la boule initiale mais deux fois plus lourde a ce dernier est $\;\propto \;$ au cube de son rayon , on en déduit que
     Sachant qu'une boule de même masse volumique que la boule initiale mais deux fois plus lourde a le rayon de la boule nouvellement étudiée est multiplié par $\;{\sqrt[{3}]{2}}\simeq 1,26\;$ et par suite
     Sachant qu'une boule de même masse volumique que la boule initiale mais deux fois plus lourde a l'aire $\;S\;$ de son maître-couple $\;\propto \;$ au carré du rayon est multipliée par $\;\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)^{\!2}\simeq 1,587$ ;

     la vitesse limite de chute freinée d'une boule étant $\;V_{M,\,{\text{lim}}}={\sqrt {\dfrac {m\;g}{k\;S}}}\;$ avec $\;k={\dfrac {1}{2}}\;C_{x}\;\mu _{\text{air}}\;$ indépendant du rayon de la boule, est donc multipliée, lors de l'utilisation de la boule nouvellement étudiée,
     la vitesse limite de chute freinée d'une boule étant $\;\color {transparent}{V_{M,\,{\text{lim}}}={\sqrt {\dfrac {m\;g}{k\;S}}}}\;$ avec $\;\color {transparent}{k={\dfrac {1}{2}}\;C_{x}\;\mu _{\text{air}}}\;$ indépendant du rayon de la boule, est donc multipliée, par $\;{\sqrt {\dfrac {2}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)^{\!2}}}}={\dfrac {\sqrt {2}}{\sqrt[{3}]{2}}}={\dfrac {\sqrt[{6}]{2^{3}}}{\sqrt[{6}]{2^{2}}}}={\sqrt[{6}]{2}}\simeq 1,1225\simeq 1,12\;$ ;

     la constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée d'une boule par résistance de l'air quadratique étant $\;\tau ={\dfrac {v_{M,\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$ est donc aussi multipliée, lors de l'utilisation de la boule nouvellement étudiée,
     la constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée d'une boule par résistance de l'air quadratique étant $\;\color {transparent}{\tau ={\dfrac {v_{M,\,{\text{lim}}}}{2\;g}}}\;$ est donc aussi multipliée, par $\;{\sqrt[{6}]{2}}\simeq 1,1225\simeq 1,12\;$ et

     la constante de longueur du portrait de phase de la même chute freinée d'une boule étant $\;\lambda ={\dfrac {v_{M,\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$ est multipliée, lors de l'utilisation de cette même boule nouvellement étudiée,
          la constante de longueur du portrait de phase de la même chute freinée d'une boule étant $\;\color {transparent}{\lambda ={\dfrac {v_{M,\,{\text{lim}}}}{2\;g}}}\;$ est multipliée, par $\;\left({\sqrt[{6}]{2}}\right)^{\!2}={\sqrt[{3}]{2}}\simeq 1,26$.

 

Skieur soumis à une résistance de l’air quadratique glissant sans puis avec frottement sur une piste inclinée

     Un skieur de masse $\;m=80\;kg$, assimilable à un solide de C.D.I. $\;G$, glisse sans frottement $\;{\big (}$solide${\big )}\;$ sur une piste rectiligne faisant un angle $\;\alpha =45\;{\text{°}}\;$ avec l'horizontale ;

     le skieur part sans vitesse initiale et

     le skieur subit, de la part de l'air globalement immobile dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen,
     le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme $\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}{\Big \Vert }={\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G}^{2}\;$ dans laquelle $\;k\simeq 0,8\;kg\cdot m^{-3}\;$ est un cœfficient dépendant de l'aérodynamisme du skieur ainsi que
     le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme $\;\color {transparent}{{\Big \Vert }{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}{\Big \Vert }={\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G}^{2}}\;$ dans laquelle $\;\color {transparent}{k\simeq 0,8\;kg\cdot m^{-3}}\;$ est un cœfficient dépendant de la compacité du fluide l'enveloppant ,
     le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme $\;\color {transparent}{{\Big \Vert }{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}{\Big \Vert }={\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G}^{2}}\;$ dans laquelle $\;S\simeq 0,4\;m^{2}\;$ l'aire de son maître-couple et
     le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme $\;\color {transparent}{{\Big \Vert }{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}{\Big \Vert }={\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G}^{2}}\;$ dans laquelle $\;V_{G}\;$ la norme du vecteur vitesse de son C.D.I. dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$.

Détermination de la vitesse limite du skieur glissant sur la pente inclinée

     En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de la ligne de plus grande pente de la piste inclinée ,
     En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne montrer qu'il acquiert, au bout d'une durée suffisamment longue , une vitesse limite $\;V_{G,\,{\text{lim}}}\;$ et
     En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne évaluer numériquement cette dernière sachant que l'intensité de la pesanteur terrestre est uniforme, égale à $\;9,81\;m\cdot s^{-2}$.

     Comparer au record mondial de vitesse à skis déterminé dans les mêmes conditions d'expérience de $\;210\;km\cdot h^{-1}$.

Solution

Schéma de situation d'un skieur glissant sans frottement $\;{\big (}$solide${\big )}\;$ ${\big \{}$et sans se déformer${\big \}}\;$ le long de la ligne de plus grande pente d'une piste inclinée

     Voir schéma de situation ci-contre avec $\;{\vec {u}}_{x}\;$ vecteur unitaire orienté dans le sens descendant de la ligne de plus grande pente de la piste incliné ainsi que $\;{\vec {u}}_{y}\;$ vecteur unitaire normal à la piste inclinée et orienté en sortant du sol :

     Le skieur étant soumis aux trois forces $\succ \;$son poids «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$»,
     Le skieur étant soumis aux trois forces $\succ \;$la réaction de la piste $\;{\vec {R}}\;$ ${\big (}\perp \;$ à cette dernière par absence de frottement solide${\big )}\;$ soit «$\;{\vec {R}}=R\;{\vec {u}}_{y}\;$» et
     Le skieur étant soumis aux trois forces $\succ \;$une force de résistance à l'avancement «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G}^{2}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$»
     Le skieur étant soumis aux trois forces $\color {transparent}{\succ }\;$une force de résistance à l'avancement${\big (}$le mouvement se faisant le long de la ligne de plus grande pente${\big )}$,

     l'application du théorème du mouvement du C.D.I. du skieur $\;{\big (}$assimilé à un solide${\big )}\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen, nous donne
           l'application du théorème du mouvement du C.D.I. du skieur «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}+{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$» ,

     sa projection sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ nous conduit à «$\;m\;g\;\sin(\alpha )-{\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G}^{2}(t)=m\;a_{G,\,x}(t)\;$» soit
     sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ nous conduit à une accélération le long de la ligne de plus grande comptée dans le sens descendant égale à «$\;a_{G,\,x}(t)=g\;\sin(\alpha )-{\dfrac {k\;S}{2\;m}}\;V_{G}^{2}(t)\;$»
     sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ nous conduit à une accélération de valeur initiale $\;a_{G,\,x}(0)=g\;\sin(\alpha )>0$ $\;{\big (}$la vitesse initiale du skieur étant nulle${\big )}$,
     sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ nous conduit à une accélération de valeur initiale $\;\color {transparent}{a_{G,\,x}(0)=g\;\sin(\alpha )>0}$ $\Rightarrow$ une $\;\nearrow \;$ de la vitesse à partir de sa valeur nulle et par suite
     sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ nous conduit à une accélération de valeur initiale $\;\color {transparent}{a_{G,\,x}(0)=g\;\sin(\alpha )>0}$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une $\;\searrow \;$ de $\;a_{G,\,x}(t)=g\;\sin(\alpha )-{\dfrac {k\;S}{2\;m}}\;V_{G}^{2}(t)$, ceci se poursuivant tant que cette dernière reste $\;>0$ ;

     sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ nous conduit à une accélération de valeur initiale $\;\color {transparent}{a_{G,\,x}(0)=g\;\sin(\alpha )>0}$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la $\;\nearrow \;$ de la vitesse cessera donc si elle atteint la valeur $\;V_{G,\,{\text{lim}}}\;$ telle que
     sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ nous conduit à une accélération de valeur initiale $\;\color {transparent}{a_{G,\,x}(0)=g\;\sin(\alpha )>0}$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de la vitesse cessera donc si «$\;m\;a_{G,\,x}(t_{V_{G,\,{\text{lim}}}})=m\;g\;\sin(\alpha )-{\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}=0\;$» c.-à-d. dans la mesure où il n'y a pas de limitation dans le temps du mouvement du skieur, ce dernier acquiert pratiquement
une vitesse limite égale à «$\;V_{G,\,{\text{lim}}}={\sqrt {\dfrac {2\;m\;g\;\sin(\alpha )}{k\;S}}}\;$»
donnant numériquement «$\;V_{G,\,{\text{lim}}}={\sqrt {\dfrac {2\times 80\times 9,81\times \sin(45\,{\text{°}})}{0,8\times 0,4}}}\simeq 58,9\;m\cdot s^{-1}\simeq 212\;km\cdot h^{-1}\;$»  ;

     en conclusion, le résultat théorique ci-dessus $\;V_{G,\,{\text{lim}},\,th}\simeq 212\;km\cdot h^{-1}\;$ est de même ordre de grandeur que le record mondial à skis mesuré dans les même conditions d'expérience $\;V_{G,\,{\text{lim}},\,exp}\simeq 210\;km\cdot h^{-1}$,
     en conclusion ceci prédit donc que l'influence des frottements des skis sur la neige doit être faible relativement à celle de la force de résistance à l'avancement due à l'air mais
     en conclusion ceci sera proposé à la validation dans la question « influence du cœfficient de frottement des skis sur la neige » plus bas dans l'exercice.

 

Détermination de la loi horaire de vitesse du skieur et conséquences

     Cherchant à déterminer la loi horaire de vitesse du skieur glissant sur la pente inclinée, on choisit un axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ le long de la ligne de plus grande pente dans le sens descendant
     Cherchant à déterminer la loi horaire de vitesse du skieur glissant sur la pente inclinée, on choisit avec $\;O\;$ position à partir de laquelle le skieur commence à glisser ;

     en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$, établir l'équation différentielle du 1^er ordre en $\;V_{G,\,x}=\Vert {\vec {V}}_{G}\Vert$,
          en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}\;$, simplifier son expression en utilisant $\;V_{G,\,{\text{lim}}}\;$ et
          en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}\;$, en déduire la loi horaire de vitesse du skieur sous la forme «$\;V_{G,\,x}=V_{G,\,{\text{lim}}}\;\tanh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\;$»
          en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}\;$, en déduire la loi horaire de vitesse du skieur avec $\;\tau ={\dfrac {V_{G,\,{\text{lim}}}}{2\;g\;\sin(\alpha )}}\;$ constante de temps caractérisant la loi horaire de vitesse
            en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}\;$, en déduire la loi horaire de vitesse du skieur avec $\;\color {transparent}{\tau =2\;g\;\sin(\alpha )}\;$${\big (}$constante dont on donnera une valeur numérique${\big )}$.

          en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}\;$, Quelle durée faut-il au skieur pour atteindre la vitesse limite au pour cent près ?

Solution

     L'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;V_{G,\,x}=\Vert {\vec {V}}_{G}\Vert \;$ se déduit de «$\;a_{G,\,x}(t)=g\;\sin(\alpha )-{\dfrac {k\;S}{2\;m}}\;V_{G,\,x}^{\,2}(t)\;$» en utilisant «$\;a_{G,\,x}(t)={\dfrac {dV_{G,\,x}}{dt}}(t)\;$» soit
     L'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}=\Vert {\vec {V}}_{G}\Vert }\;$ «$\;{\dfrac {dV_{G,\,x}}{dt}}(t)=g\;\sin(\alpha )-{\dfrac {k\;S}{2\;m}}\;V_{G,\,x}^{2}(t)\;$» ;

     L'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}=\Vert {\vec {V}}_{G}\Vert }\;$ il est souhaitable de la symétriser en introduisant la vitesse limite $\;V_{G,\,{\text{lim}}}\;$ par $\;g\;\sin(\alpha )={\dfrac {k\;S}{2\;m}}\;V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {k\;S}{2\;m}}={\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}}}\;$ d'où
     L'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}=\Vert {\vec {V}}_{G}\Vert }\;$ «$\;{\dfrac {dV_{G,\,x}}{dt}}(t)=g\;\sin(\alpha )-g\;\sin(\alpha )\;{\dfrac {V_{G,\,x}^{2}(t)}{V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}}}\;$» ou encore «$\;{\dfrac {dV_{G,\,x}}{dt}}(t)={\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}}}\,\left[V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}-V_{G,\,x}^{2}(t)\right]\;$».

     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;V_{G,\,x}\;$ étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon «$\;{\dfrac {dV_{G,\,x}}{V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}-V_{G,\,x}^{2}}}={\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}}}\;dt\;$»  ;

     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire l'intégration du membre de gauche en fonction de $\;V_{G,\,x}\;$ nécessite de décomposer la fonction rationnelle en éléments simples selon
     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire l'intégration du membre de gauche en fonction de $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ nécessite ${\dfrac {1}{V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}-V_{G,\,x}^{2}}}={\dfrac {1}{2\;V_{G,\,{\text{lim}}}}}\,\left[{\dfrac {1}{V_{G,\,{\text{lim}}}-V_{G,\,x}}}+{\dfrac {1}{V_{G,\,{\text{lim}}}+V_{G,\,x}}}\right]\;$
     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire l'intégration du membre de gauche en fonction de $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ nécessite permettant de réécrire l'équation à variables séparées selon
     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon «$\;{\dfrac {1}{2\;V_{G,\,{\text{lim}}}}}\,\left[{\dfrac {dV_{G,\,x}}{V_{G,\,{\text{lim}}}-V_{G,\,x}}}+{\dfrac {dV_{G,\,x}}{V_{G,\,{\text{lim}}}+V_{G,\,x}}}\right]={\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{V_{G,\,{\text{lim}}}^{\,2}}}\;dt\;$» ou
     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon «$\;-{\dfrac {d\left[V_{G,\,{\text{lim}}}-V_{G,\,x}\right]}{V_{G,\,{\text{lim}}}-V_{G,\,x}}}+{\dfrac {d\left[V_{G,\,{\text{lim}}}+V_{G,\,x}\right]}{V_{G,\,{\text{lim}}}+V_{G,\,x}}}={\dfrac {2\;g\;\sin(\alpha )}{V_{G,\,{\text{lim}}}}}\;dt\;$» s'intègrant de part et d'autre en
     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon «$\;\left[-\ln \!\left(V_{G,\,{\text{lim}}}-{V'}_{G,\,x}\right)+\ln \!\left(V_{G,\,{\text{lim}}}+{V'}_{G,\,x}\right)\right]_{0}^{V_{G,\,x}}={\dfrac {2\;g\;\sin(\alpha )}{V_{G,\,{\text{lim}}}}}\;t\;$» ou
     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon «$\;\ln \!\left[{\dfrac {V_{G,\,{\text{lim}}}+V_{G,\,x}}{V_{G,\,{\text{lim}}}-V_{G,\,x}}}\right]={\dfrac {2\;g\;\sin(\alpha )}{V_{G,\,{\text{lim}}}}}\;t\;$» soit finalement
     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon avec «$\;\tau ={\dfrac {V_{G,\,{\text{lim}}}}{2\;g\;\sin(\alpha )}}\;$» constante de temps caractérisant la vitesse du skieur sur la piste inclinée
     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon avec de valeur numérique «$\;\tau ={\dfrac {58,9}{2\times 9,81\times \sin(45\,{\text{°}})}}\simeq 4,2\;s\;$»,
     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire s'intègre en séparant les variables selon une forme de la loi horaire de vitesse de ce dernier «$\;t=\tau \;\ln \!\left[{\dfrac {V_{G,\,{\text{lim}}}+V_{G,\,x}}{V_{G,\,{\text{lim}}}-V_{G,\,x}}}\right]\;$» ;

     Cette équation différentielle du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{V_{G,\,x}}\;$ étant non linéaire on obtient l'expression de la vitesse en fonction du temps en inversant $\;t=t(V_{G,\,x})\;$ selon $\;{\dfrac {V_{G,\,{\text{lim}}}+V_{G,\,x}}{V_{G,\,{\text{lim}}}-V_{G,\,x}}}=\exp \!\left({\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ ou encore $\;V_{G,\,{\text{lim}}}+V_{G,\,x}=\left(V_{G,\,{\text{lim}}}-V_{G,\,x}\right)\,\exp \!\left({\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ soit «$\;V_{G,\,x}=V_{G,\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {\exp \!\left({\dfrac {t}{\tau }}\right)-1}{\exp \!\left({\dfrac {t}{\tau }}\right)+1}}\;$» et finalement, en divisant haut et bas par $\;\exp \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\;$ pour faire apparaître une fonction « tangente hyperbolique » selon «$\;V_{G,\,x}=V_{G,\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {\exp \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}{\exp \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)+\exp \!\left(-{\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}\;$», d'où la loi horaire de vitesse sous sa forme usuelle «$\;V_{G,\,x}=V_{G,\,{\text{lim}}}\;\tanh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\;$ ».

     L'instant $\;t_{99\,\%}\;$ auquel la vitesse du skieur atteint sa vitesse limite à $\;1\,\%\;$ près est défini par l'équation «$\;t_{99\,\%}=\tau \;\ln \!\left[{\dfrac {1+(1-10^{-2})}{1-(1-10^{-2})}}\right]=\tau \;\ln(199)\simeq 5,3\;\tau \;$» soit numériquement
     L'instant $\;\color {transparent}{t_{99\,\%}}\;$ auquel la vitesse du skieur atteint sa vitesse limite à $\;\color {transparent}{1\,\%}\;$ près est défini par l'équation «$\;t_{99\,\%}\simeq 5,3\times 4,2\;$ en $\;s\;$» et finalement «$\;t_{99\,\%}\simeq 22,3\;s\;$».

 

Détermination de la loi horaire de position du skieur

     Déduire de ce qui précède la loi horaire de position du C.D.I. $\;G\;$ du skieur c.-à-d. $\;x_{G}=x_{G}(t)\;$ et

     commenter.

Solution

     Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I. du skieur on intègre «$\;{\dot {x}}_{G}(t)=V_{G,\,x}(t)=V_{G,\,{\text{lim}}}\;\tanh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\;$» par rapport $\;t\;$ soit
          Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I. du skieur on intègre «$\;{\dfrac {dx_{G}}{dt}}(t)=V_{G,\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {\sinh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}{\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}\;$» ou «$\;dx_{G}=V_{G,\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {\sinh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)dt}{\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}=V_{G,\,{\text{lim}}}\;2\;\tau \;{\dfrac {d\!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]}{\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}\;$» d'où,
          Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I. du skieur on intègre en reconnaissant dans la fraction $\;{\dfrac {d\!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]}{\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}\;$ la différentielle de $\;\ln \!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]\;$ et
          Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I. du skieur on intègre en prenant pour origine des $\;x_{G}\;$ la position initiale du C.D.I. du skieur,
          Pour obtenir la loi horaire de position du C.D.I. du skieur on intègre la loi horaire de position du C.D.I. du skieur «$\;x_{G}(t)=2\;V_{G,\,{\text{lim}}}\;\tau \;\ln \!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {V_{G,\,{\text{lim}}}}{2\;g\;\sin(\alpha )}}\;$».

     Commentaire : au-delà de $\;t\gtrsim t_{99\,\%}\simeq 5\;\tau \simeq 21\;s\;$ le skieur a pratiquement un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse limite,
          Commentaire : au-delà de $\;\color {transparent}{t\gtrsim t_{99\,\%}\simeq 5\;\tau \simeq 21\;s}\;$ le skieur a pratiquement un mouvement correspondant à une loi horaire de position asymptotique que l'on va déterminer ;

          Commentaire : au-delà de $\;\color {transparent}{t\gtrsim t_{99\,\%}\simeq 5\;\tau \simeq 21\;s}\;$ tout d'abord $\;t\rightarrow +\infty \Rightarrow \cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\sim {\dfrac {\exp \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\ln \!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]\;{\stackrel {t\,\rightarrow \,\infty }{\simeq }}\;{\dfrac {t}{2\;\tau }}-\ln(2)\;$ d'où
          Commentaire : au-delà de $\;\color {transparent}{t\gtrsim t_{99\,\%}\simeq 5\;\tau \simeq 21\;s}\;$ la loi horaire de position asymptotique suivante «$\;x_{G,\,{\text{asymp}}}=V_{G,\,{\text{lim}}}\,\left[t-2\,\ln(2)\,\tau \right]\simeq V_{G,\,{\text{lim}}}\,\left[t-1,4\,\tau \right]\;$» .

 

Influence du cœfficient de frottement des skis sur la neige

     Le cœfficient de frottement des skis sur la neige n'est plus considéré comme nul mais vaut $\;f=0,05$ ;

     en considérant que ce frottement $\;{\big (}$solide${\big )}\;$ suit la loi empirique de Coulomb avec glissement , montrer que le skieur acquiert, lors de sa descente sur la pente inclinée,
                 en considérant que ce frottement $\;\color {transparent}{\big (}$solide$\color {transparent}{\big )}\;$ suit la loi empirique de Coulomb avec glissement, montrer que le skieur acquiert, une nouvelle vitesse limite $\;V_{G,\,{\text{lim}},\,{\text{air et neige}}}\;$ et
                  en considérant que ce frottement $\;\color {transparent}{\big (}$solide$\color {transparent}{\big )}\;$ suit la loi empirique de Coulomb avec glissement, montrer que le skieur acquiert, une nouvelle vitesse limite l'évaluer numériquement.

     Conclure : le record de vitesse est-il un problème de glisse ou d’aérodynamique ?

Solution

     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur «$\;{\vec {R}}\;$ n'est plus $\;\perp \;$ à la piste » mais a maintenant deux composantes, une normale et une tangentielle,
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste la normale $\;R_{n}\;{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;R_{n}>0\;$ assurant le maintien du contact du skieur sur la piste,
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste la tangentielle $\;-R_{\tau }\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;R_{\tau }=f\;R_{n}>0\;$ traduisant les frottements solides de la neige sur les skis selon
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste la tangentielle $\;\color {transparent}{-R_{\tau }\;{\vec {u}}_{x}}\;$ avec $\;\color {transparent}{R_{\tau }=f\;R_{n}>0}\;$ traduisant la loi empirique de Coulomb avec glissement  soit
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur «$\;{\vec {R}}=-f\;R_{n}\;{\vec {u}}_{x}+R_{n}\;{\vec {u}}_{y}\;$»,
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur «$\;\color {transparent}{\vec {R}}$ les autres forces agissant sur le skieur restant les mêmes à savoir
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur «$\;\color {transparent}{\vec {R}}$ les autres forces $\succ \;$son poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$ et
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, la réaction de la piste sur le skieur «$\;\color {transparent}{\vec {R}}$ les autres forces $\succ \;$la résistance à l'avancement du skieur dans l'air $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G}^{2}(t)\;{\vec {u}}_{x}$ ;

     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, le théorème du mouvement du C.D.I. du skieur $\;{\big (}$assimilé à un solide${\big )}\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen conduit à
          Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, le théorème du mouvement du C.D.I. du skieur «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}+{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$» ,
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\succ \;$sa projection sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ donne, en absence de mouvement normal à la piste, $\;-m\;g\;\cos(\alpha )+R_{n}=0\;$ soit «$\;R_{n}=m\;g\;\cos(\alpha )\;$» et
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\succ \;$sa projection sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne $\;m\;g\;\sin(\alpha )-f\;R_{n}-{\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G}^{2}(t)=m\;a_{G,\,x}(t)\;$ ou, par report de $\;R_{n}=m\;g\;\cos(\alpha )$,
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$sa projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ donne $\;m\;g\;\sin(\alpha )-f\;m\;g\;\cos(\alpha )-{\dfrac {1}{2}}\;k\;S\;V_{G}^{2}(t)=m\;a_{G,\,x}(t)\;$ soit
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$une accélération le long de la ligne de plus grande comptée dans le sens descendant égale à
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$une accélération «$\;a_{G,\,x}(t)=g\,\left[\sin(\alpha )-f\;\cos(\alpha )\right]-{\dfrac {k\;S}{2\;m}}\;V_{G}^{2}(t)\;$»
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$de valeur initiale «$\;a_{G,\,x}(0)=g\,\left[\sin(\alpha )-f\;\cos(\alpha )\right]>0\;$» en présence de glissement , la vitesse initiale étant nulle,
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$de valeur initiale $\;\color {transparent}{a_{G,\,x}(0)=g\,\left[\sin(\alpha )-f\;\cos(\alpha )\right]>0}\;$ $\Rightarrow$ une $\;\nearrow \;$ de la vitesse à partir de sa valeur nulle et
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$de valeur initiale $\;\color {transparent}{a_{G,\,x}(0)=g\,\left[\sin(\alpha )-f\;\cos(\alpha )\right]>0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une $\;\searrow \;$ de $\;a_{G,\,x}(t)=g\,\left[\sin(\alpha )-f\;\cos(\alpha )\right]-{\dfrac {k\;S}{2\;m}}\;V_{G}^{2}(t)$,
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$de valeur initiale $\;\color {transparent}{a_{G,\,x}(0)=g\,\left[\sin(\alpha )-f\;\cos(\alpha )\right]>0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ ceci se poursuivant tant que cette dernière reste $\;>0$ ;

     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$la $\;\nearrow \;$ de la vitesse cessera si elle atteint la valeur $\;V_{G,\,{\text{lim}},\,{\text{air et neige}}}\;$ telle que
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$la $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de la vitesse cessera si «$\;a_{G,\,x}(t_{V_{G,\,{\text{lim}},\,{\text{air et neige}}}})=g\left[\sin(\alpha )-f\;\cos(\alpha )\right]-{\dfrac {k\;S}{2\;m}}\;V_{G,\,{\text{lim}},\,{\text{air et neige}}}^{\;2}=0\;$» c.-à-d.
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$la $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de la vitesse cessera dans la mesure où il n'y a pas de limitation dans le temps du mouvement du skieur,
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$la $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de la vitesse cessera la vitesse limite du skieur devient «$\;V_{G,\,{\text{lim}},\,{\text{air et neige}}}={\sqrt {\dfrac {2\;m\;g\,\left[\sin(\alpha )-f\;\cos(\alpha )\right]}{k\;S}}}\;$»
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$la $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de la vitesse cessera donnant numériquement «$\;V_{G,\,{\text{lim}},\,{\text{air et neige}}}={\sqrt {\dfrac {2\times 80\times 9,81\times \left[\sin(45\,{\text{°}})-0,05\times \cos(45\,{\text{°}})\right]}{0,8\times 0,4}}}$
     Avec l'existence d'un frottement solide entre les skis du skieur et la piste, $\color {transparent}{\succ }\;$la $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de la vitesse cessera donnant numériquement «$\;\color {transparent}{V_{G,\,{\text{lim}},\,{\text{air et neige}}}}$ $\simeq 57,4\;m\cdot s^{-1}\simeq 207\;km\cdot h^{-1}\;$» .

     Conclusion : nous constatons donc que l'influence du cœfficient de frottement est très réduite puisqu'elle ne diminue la vitesse limite que de $\;5\;km\cdot h^{-1}\;$ soit approximativement une diminution de $\;2,5\;\%$, aussi le record de vitesse est-il un problème d'aérodynamique et non de glisse, pour l'améliorer il convient donc de faciliter la pénétration du skieur dans l'air $\;{\big [}$en tentant de diminuer le cœfficient aérodynamique $\;{\big (}$travail sur les matériaux et les formes du casque, des chaussures et des combinaisons${\big )}{\big ]}$.

 

Ralentissement d'une voiture, moteur débrayé sur route horizontale, dû aux frottements solides sur le sol et à la résistance de l'air de forme quadratique

     On assimile une voiture de masse $\;m\;$ se déplaçant sur route horizontale à un solide de C.D.I. $\;G\;$ en translation sur cette route horizontale ;

                sur cette voiture s'exerce, parmi d'éventuelles autres forces,
                sur cette voiture s'exerce $\succ \;$une force de frottement solide $\;{\vec {F}}_{\text{frott solide}}$, au contact avec le sol, obéissant aux lois empiriques de Coulomb
                sur cette voiture s'exerce $\color {transparent}{\succ }\;$une force de frottement solide $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{frott solide}}}$, de norme, sur route horizontale, $\;\Vert {\vec {F}}_{\text{frott solide}}\Vert =f\;m\;g\;$ avec «$\;f\;$ cœfficient de frottement solide entre pneus et route »
                sur cette voiture s'exerce $\color {transparent}{\succ }\;$une force de frottement solide $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{frott solide}}}$, de norme, sur route horizontale, $\;\color {transparent}{\Vert {\vec {F}}_{\text{frott solide}}\Vert =f\;m\;g}\;$ avec et «$\;g\;$ intensité de la pesanteur terrestre locale » ainsi que
                sur cette voiture s'exerce $\succ \;$une résistance de l'air $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\;$ de forme quadratique
                sur cette voiture s'exerce $\color {transparent}{\succ }\;$une résistance de l'air $\;\color {transparent}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\;$ de norme $\;\Vert {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\Vert =k\;m\;V_{G}^{2}\;$ avec «$\;k\;m\;$ cœfficient de frottement fluide dépendant de l'aérodynamisme de la voiture ainsi que
                     sur cette voiture s'exerce $\color {transparent}{\succ }\;$une résistance de l'air $\;\color {transparent}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\;$ de norme $\;\color {transparent}{\Vert {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\Vert =k\;m\;V_{G}^{2}}\;$ avec «$\;\color {transparent}{k\;m}\;$ cœfficient de frottement fluide dépendant de la compacité du fluide l'enveloppant » et
                     sur cette voiture s'exerce $\color {transparent}{\succ }\;$une résistance de l'air $\;\color {transparent}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\;$ de norme $\;\color {transparent}{\Vert {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\Vert =k\;m\;V_{G}^{2}}\;$ avec «$\;V_{G}\;$ la norme de la vitesse du C.D.I. $\;G\;$ de la voiture » ;

     à l'instant $\;t=0$, le moteur est débrayé et la norme de la vitesse du C.D.I. $\;G\;$ de la voiture vaut $\;V_{0}$.

Détermination de l'instant d'arrêt de la voiture

     Déterminer à quel instant la voiture s'arrête.

Solution

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation avec représentation de toutes les forces extérieures appliquées ;
    Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation avec représentation de seules les composantes horizontales, c.-à-d. les forces de frottement solide et fluide, ont une influence sur la modification du mouvement,
    Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation avec représentation de seules les composantes verticales, c.-à-d. le poids et la composante normale de la réaction du sol se compensant ;

     la projection du théorème du mouvement du C.D.I. de la voiture sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big [}$vecteur unitaire le long de la route horizontale dans le sens du mouvement${\big ]}\;$
                  la projection du théorème du mouvement du C.D.I. de la voiture sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ s'écrivant «$\;-f\;m\;g-k\;m\;V_{G}^{2}(t)=m\;a_{G,\,x}(t)\;$» dans laquelle $\;V_{G}(t)=\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert \;$ ou,
                  la projection du théorème du mouvement du C.D.I. de la voiture sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ avec utilisation de la définition de l'accélération $\;a_{G,\,x}(t)={\dfrac {dV_{G,\,x}}{dt}}(t)={\dfrac {dV_{G}}{dt}}(t)\;$ et après simplification évidente,
                  la projection du théorème du mouvement du C.D.I. de la voiture sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ l'équation différentielle du mouvement du C.D.I. de la voiture s'écrit selon «$\;{\dfrac {dV_{G}}{dt}}(t)=-\left[f\;g+k\;V_{G}^{2}(t)\right]\;$»,
                  la projection du théorème du mouvement du C.D.I. de la voiture sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ l'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;V_{G}(t)$ ;

     l'équation différentielle ci-dessus s'intègre par séparation des variables selon «$\;{\dfrac {dV_{G}}{f\;g+k\;V_{G}^{2}}}=-dt\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {dV_{G}}{1+{\dfrac {k}{f\;g}}\,V_{G}^{2}}}=-f\;g\;dt\;$» et,
     l'équation différentielle ci-dessus s'intègre en introduisant la « nouvelle variable $\;\varpi _{G}=V_{G}\;{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}\;$» dont on tire le lien entre les différentielles «$\;dV_{G}=d\varpi _{G}\;{\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;$»,

     l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «$\;{\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-f\;g\;dt\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-{\sqrt {f\;g\;k}}\;dt\;$» s'intégrant en «$\;\arctan(\varpi _{G})=-{\sqrt {f\;g\;k}}\;t+cste\;$» ,
     l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «$\;\color {transparent}{{\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-f\;g\;dt}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-{\sqrt {f\;g\;k}}\;dt}\;$» la constante d'intégration se déterminant à l'aide de la C.I. $\;V_{G}(0)=V_{0}\;$ $\Rightarrow$
     l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «$\;\color {transparent}{{\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-f\;g\;dt}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-{\sqrt {f\;g\;k}}\;dt}\;$» $\;\varpi _{G}(0)=\varpi _{0}=V_{0}\;{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}\;$ d'où $\;cste=$ $\arctan(\varpi _{0})\;$ et par suite
     l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «$\;\color {transparent}{{\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-f\;g\;dt}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-{\sqrt {f\;g\;k}}\;dt}\;$» s'intégrant en «$\;\arctan(\varpi _{G})=-{\sqrt {f\;g\;k}}\;t+\arctan(\varpi _{0})\;$» ou,
     l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «$\;\color {transparent}{{\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-f\;g\;dt}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-{\sqrt {f\;g\;k}}\;dt}\;$» s'intégrant en en revenant à la variable d'origine
     l'équation différentielle à variables séparées se réécrit «$\;\color {transparent}{{\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-f\;g\;dt}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\varpi _{G}}{1+\varpi _{G}^{2}}}=-{\sqrt {f\;g\;k}}\;dt}\;$» s'intégrant en «$\;\arctan \!\left[V_{G}(t)\,{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}\right]=-{\sqrt {f\;g\;k}}\;t+\arctan \!\left[V_{0}\;{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}\right]\;$» ;

     inversant la relation ci-dessus on obtient «$\;V_{G}(t)={\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;\tan \!\left[\arctan \!\left(V_{0}\;{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}\right)-{\sqrt {f\;g\;k}}\;t\right]\;$» et la vitesse devient nulle à l'instant $\;t_{\text{arrêt}}\;$ tel que
          inversant la relation ci-dessus on obtient «$\;\color {transparent}{V_{G}(t)={\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;\tan \!\left[\arctan \!\left(V_{0}\;{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}\right)-{\sqrt {f\;g\;k}}\;t\right]}\;$» et la vitesse devient nulle à l'instant«$\;t_{\text{arrêt}}={\dfrac {1}{\sqrt {f\;g\;k}}}\;\arctan \!\left(V_{0}\;{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}\right)\;$» .

     Remarque : L'expression de la loi horaire de vitesse peut se réécrire à l'aide de $\;t_{\text{arrêt}}\;$ selon «$\;V_{G}(t)={\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;\tan \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]\;$».

 

Détermination de la distance parcourue par la voiture moteur débrayé

     Quelle est alors la distance parcourue depuis le débrayage du moteur jusqu'à l'arrêt de la voiture ?

Solution

     Pour cela il faut intégrer «$\;{\dot {x_{G}}}(t)=V_{G}(t)={\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;\tan \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]\;$» soit, en séparant les variables , «$\;dx_{G}={\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;{\dfrac {\sin \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]dt}{\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]}}\;$» ou,
       Pour cela il faut intégrer «$\;\color {transparent}{{\dot {x_{G}}}(t)=}$ en reconnaissant au numérateur la différentielle du dénominateur à un facteur près, «$\;dx_{G}={\sqrt {\dfrac {f\;g}{k}}}\;{\dfrac {1}{\sqrt {f\;g\;k}}}\;{\dfrac {d\!\left\lbrace \cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]\right\rbrace }{\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]}}\;$» se simplifiant selon
       Pour cela il faut intégrer «$\;\color {transparent}{{\dot {x_{G}}}(t)=}$ en reconnaissant au numérateur la différentielle du dénominateur à un facteur près, «$\;dx_{G}={\dfrac {1}{k}}\;{\dfrac {d\!\left\lbrace \cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]\right\rbrace }{\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]}}\;$» et s'intégrant en
       Pour cela il faut intégrer «$\;x_{G}(t)={\dfrac {1}{k}}\;\ln \!{\Big \vert }\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]\!{\Big \vert }+cste\;$», la constante d'intégration se déterminant avec choix de l'origine de l'axe au point de départ $\;x_{G}(0)=0\;$ $\Rightarrow$
       Pour cela il faut intégrer «$\;\color {transparent}{x_{G}(t)={\dfrac {1}{k}}\;\ln \!{\Big \vert }\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]\!{\Big \vert }+cste}\;$», $\;0={\dfrac {1}{k}}\;\ln \!{\Big \vert }\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;t_{\text{arrêt}}\right]\!{\Big \vert }+cste\;$ $\Rightarrow$ $\;cste={\dfrac {1}{k}}\;\ln \!\left[{\dfrac {1}{{\Big \vert }\cos \!\left({\sqrt {f\;g\;k}}\;t_{\text{arrêt}}\right)\!{\Big \vert }}}\right]\;$ d'où la loi horaire de position selon
       Pour cela il faut intégrer «$\;x_{G}(t)={\dfrac {1}{k}}\;\ln \!\left\lbrace {\dfrac {{\Big \vert }\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]{\Big \vert }}{{\Big \vert }\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;t_{\text{arrêt}}\right]{\Big \vert }}}\!\right\rbrace \;$».

     Remarque : en posant «$\;\varphi ={\sqrt {f\;g\;k}}\;t_{\text{arrêt}}=\arctan \!\left(V_{0}\;{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}\right)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\tan(\varphi )=V_{0}\;{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}\;$ et $\;\varphi \in \left]0\,;\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$», on peut simplifier $\;\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;t_{\text{arrêt}}\right]=\cos(\varphi )>0\;$ à l'aide de «$\;\cos(\varphi )=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\varphi )}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+V_{0}^{2}\,{\dfrac {k}{f\;g}}}}}={\sqrt {\dfrac {f\;g}{f\;g+k\;V_{0}^{2}}}}\;$» d'une part et

     Remarque : en utilisant «$\;\sin(\varphi )=\cos(\varphi )\;\tan(\varphi )={\dfrac {\tan(\varphi )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\varphi )}}}={\dfrac {V_{0}\;{\sqrt {\dfrac {k}{f\;g}}}}{\sqrt {1+V_{0}^{2}\;{\dfrac {k}{f\;g}}}}}\;$» on en déduit «$\;\sin(\varphi )={\sqrt {\dfrac {k\;V_{0}^{2}}{f\;g+k\;V_{0}^{2}}}}\;$» d'autre part ;

     Remarque : dans «$\;\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]=\cos \!\left[\varphi -{\sqrt {f\;g\;k}}\;t\right]=\cos(\varphi )\;\cos({\sqrt {f\;g\;k}}\;t)+\sin(\varphi )\;\sin({\sqrt {f\;g\;k}}\;t)\;$» on réinjecte les expressions de $\;\cos(\varphi )\;$ et $\;\sin(\varphi )\;$ précédemment établies, soit
     Remarque : dans «$\;\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]={\sqrt {\dfrac {f\;g}{f\;g+k\;V_{0}^{2}}}}\;\cos({\sqrt {f\;g\;k}}\;t)+{\sqrt {\dfrac {k\;V_{0}^{2}}{f\;g+k\;V_{0}^{2}}}}\;\sin({\sqrt {f\;g\;k}}\;t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;\left(t_{\text{arrêt}}-t\right)\right]}{\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;t_{\text{arrêt}}\right]}}=\cos({\sqrt {f\;g\;k}}\;t)+{\sqrt {\dfrac {k\;V_{0}^{2}}{f\;g}}}\;\sin({\sqrt {f\;g\;k}}\;t)\;$»
     Remarque : d'où une autre expression de la loi horaire de position du C.D.I. de la voiture «$\;x_{G}(t)={\dfrac {1}{k}}\;\ln \!{\Bigg \vert }\cos({\sqrt {f\;g\;k}}\;t)+{\sqrt {\dfrac {k\;V_{0}^{2}}{f\;g}}}\;\sin({\sqrt {f\;g\;k}}\;t){\Bigg \vert }\;$».

     La distance parcourue depuis le débrayage du moteur jusqu'à l'arrêt de la voiture est l'abscisse «$\;x_{G}(t_{\text{arrêt}})={\dfrac {1}{k}}\;\ln \!\left\lbrace {\dfrac {1}{{\Big \vert }\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;t_{\text{arrêt}}\right]{\Big \vert }}}\!\right\rbrace \;$» en utilisant la 1^ère expression de la loi horaire de position, ou,
     La distance parcourue depuis le débrayage du moteur jusqu'à l'arrêt de la voiture en utilisant le changement de variable introduit dans la remarque ci-dessus $\Rightarrow$ $\;\cos \!\left[{\sqrt {f\;g\;k}}\;t_{\text{arrêt}}\right]=\cos(\varphi )={\sqrt {\dfrac {f\;g}{f\;g+k\;V_{0}^{2}}}}\;$
     La distance parcourue depuis le débrayage du moteur jusqu'à l'arrêt de la voiture est l'abscisse «$\;x_{G}(t_{\text{arrêt}})={\dfrac {1}{k}}\;\ln \!\left[{\sqrt {\dfrac {f\;g+k\;V_{0}^{2}}{f\;g}}}\right]\;$» ou encore «$\;x_{G}(t_{\text{arrêt}})={\dfrac {1}{2\;k}}\;\ln \!\left[1+{\dfrac {k}{f\;g}}\;V_{0}^{2}\right]\;$».

 

Comparaison des résultats précédents avec ceux que l'on obtiendrait sans frottement solide

     Que deviendraient les résultats précédents si la résistance de l'air entrait seule en jeu ?

Solution

     Si on suppose que la résistance de l'air est seule c.-à-d. si $\;f=0$, les résultats précédents ne s'appliquent plus tels quels et nécessitent d'être redéterminés ;

     Si on suppose que la résistance de l'air est seule l'équation différentielle en $\;V_{G}(t)\;$ devient «$\;{\dot {V}}_{G}(t)=-k\;V^{2}(G)(t)\;$» c.-à-d. toujours une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;V_{G}(t)\;$
     Si on suppose que la résistance de l'air est seule l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{V_{G}(t)}\;$ devient «$\;\color {transparent}{{\dot {V}}_{G}(t)=-k\;V^{2}(G)(t)}\;$» qui s'intègre en séparant les variables selon «$\;-{\dfrac {dV_{G}}{V_{G}^{2}}}=k\;dt\;$» soit,
     Si on suppose que la résistance de l'air est seule l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{V_{G}(t)}\;$ devient «$\;\color {transparent}{{\dot {V}}_{G}(t)=-k\;V^{2}(G)(t)}\;$» en intégrant à gauche entre $\;V_{0}\;$ et $\;V_{G}(t)$, et à droite entre $\;0\;$ et $\;t$,
     Si on suppose que la résistance de l'air est seule une 1^ère forme de la loi horaire de vitesse de la voiture «$\;{\dfrac {1}{V_{G}(t)}}-{\dfrac {1}{V_{0}}}=k\;t\;$» ;

     Si on suppose que la résistance de l'air est seule l'instant de l'arrêt $\;t_{\text{arrêt}}\;$ étant défini par $\;V_{G}(t_{\text{arrêt}})=0\;$ et $\;V_{G}(t)\;$ se trouvant au dénominateur d'une fraction à numérateur constant, nous en déduisons que
     Si on suppose que la résistance de l'air est seule la voiture s'arrête à l'instant «$\;t_{\text{arrêt}}=\infty \;$» .

     Si on suppose que la résistance de l'air est seule On poursuit l'intégration en explicitant «$\;V_{G}(t)={\dfrac {V_{0}}{1+k\;V_{0}\;t}}={\dfrac {dx_{G}}{dt}}(t)\;$» soit, en séparant les variables «$\;dx_{G}={\dfrac {V_{0}\;dt}{1+k\;V_{0}\;t}}={\dfrac {1}{k}}\;{\dfrac {d\!\left(1+k\;V_{0}\;t\right)}{1+k\;V_{0}\;t}}\;$»
     Si on suppose que la résistance de l'air est seule On poursuit l'intégration en explicitant «$\;\color {transparent}{V_{G}(t)={\dfrac {V_{0}}{1+k\;V_{0}\;t}}={\dfrac {dx_{G}}{dt}}(t)}\;$» soit, qu'on intègre à gauche entre $\;0\;$ et $\;x_{G}(t)$, et à droite entre $\;0\;$ et $\;t$, d'où
     Si on suppose que la résistance de l'air est seule la loi horaire de position de la voiture «$\;x_{G}(t)={\dfrac {1}{k}}\,\ln(1+k\;V_{0}\;t)\;$» ;

     Si on suppose que la résistance de l'air est seule en conclusion la voiture acquiert, en théorie, une « vitesse nulle à l'instant $\;t_{\text{arrêt}}=\infty \;$» et
     Si on suppose que la résistance de l'air est seule en conclusion la voiture s'arrête, toujours en théorie, à l'« abscisse $\;x_{G}(t_{\text{arrêt}})=\infty \;$» .

 

Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan

     Introduction : L'expérience de Millikan réalisée au début du XX^ème siècle a permis, pour la 1^ère fois, d'établir que la charge de gouttelettes d'huile électrisées par rayons X est toujours quantifiée et
           Introduction : L'expérience de Millikan réalisée au début du XX^ème siècle a permis, pour la 1^ère fois, de donner une 1^ère valeur du « quantum de charge », connu de nos jours sous le nom de
           Introduction : L'expérience de Millikan réalisée au début du XX^ème siècle a permis, pour la 1^ère fois, de donner une 1^ère valeur du « charge élémentaire ».

     Des gouttelettes d'huile sphériques électrisées se déplacent dans l'espace champ de pesanteur terrestre $\;{\big (}$de vecteur champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme${\big )}\;$ et
     Des gouttelettes d'huile sphériques électrisées se déplacent dans l'espace champ électrostatique d'un condensateur plan $\;{\big (}$de vecteur champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ vertical et uniforme${\big )}$.

     Entre les deux plaques, il y a de l'air et par suite une gouttelette d'huile de rayon $\;r\;$ se déplaçant avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}(t)\;$ dans l'air
     Entre les deux plaques, il y a de l'air et par suite une gouttelette d'huile de rayon $\;\color {transparent}{r}\;$ subit de la part de ce dernier une « résistance à l'avancement $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)=-6\;\pi \;\eta _{\text{air}}\;r\;{\vec {V}}(t)\;$» avec
     Entre les deux plaques, il y a de l'air et par suite une gouttelette d'huile de rayon $\;\color {transparent}{r}\;$ subit de la part de ce dernier une « résistance à l'avancement $\;\eta _{\text{air}}\;$ le cœfficient de viscosité dynamique de l'air.

     De plus la gouttelette subit, de la part de l'air, une autre force appelée « poussée d'Archimède » , force résultant de la variation de pression exercée par l'air sur la surface limitant la gouttelette
          De plus la gouttelette subit, de la part de l'air, une autre force appelée « poussée d'Archimède », de direction verticale ascendante et de norme égale au poids d’« air déplacé » .

     Dans la suite on notera $\;\mu _{\text{air}}\;$ la masse volumique de l'air dans les conditions de température et de pression de l'expérience, $\;\mu _{\text{huile}}\;$ celle de l'huile et $\;q\;$ la charge de la gouttelette.

     La d.d.p. entre les armatures du condensateur est notée $\;U>0\;$ ${\big (}$le potentiel $\;\nearrow \;$ selon la verticale ascendante${\big )}\;$ et
     La différence de potentiels entre ces dernières étant séparées de $\;d$, la norme du vecteur champ électrostatique se calcule par $\;\Vert {\vec {E}}\Vert ={\dfrac {U}{d}}$.

Observation du mouvement vertical des gouttelettes d'huile à l'aide d'un microscope

     On observe le mouvement vertical des gouttelettes à l'aide d'un microscope d'axe horizontal muni d'un micromètre oculaire.

     Faire un schéma succinct du dispositif d'observation $\;{\big (}$en particulier indiquer l'objectif et l'oculaire du microscope, placer le micromètre par rapport à l'oculaire pour que l'œil observe sans accommoder et
     Faire un schéma succinct du dispositif d'observation $\;\color {transparent}{\big (}$en particulier positionner le plan d'observation par rapport au micromètre et à l'objectif${\big )}$.

     Le grandissement transverse de l'objectif étant égal à $\;G_{t}=50$, qu'observe-t-on dans le plan du micromètre pour une goutte qui se déplace de $\;50\;\mu m\;$ en $\;1\;s$.

Solution

Schéma de placement du microscope pour observer la chute des gouttelettes d'huile dans l'expérience de Millikan

     Le micromètre doit être dans le plan focal objet de l'oculaire $\;{\big (}$plan transverse passant par $\;F_{o}{\big )}\;$ pour que son image, par ce dernier, soit rejetée à l'infini et par suite que l'œil la voit nette sans accommoder ;

     le plan focal objet de l'oculaire doit être conjugué, par l'objectif, du plan d’observation et par suite l'image, par l'objectif, de la gouttelette d'huile suivie se superposant au micromètre enverra son image, par l'oculaire, à l'infini et son image définitive, par l'œil n'accommodant pas, sur la rétine de ce dernier.

     Avec un grandissement transverse de $\;G_{t}=50\;$ pour l'objectif, on en déduit qu'une distance de $\;50\;\mu m\;$ du plan d'observation correspond à une distance image de $\;50\times 50\;\mu m=2,5\;mm\;$ et ainsi on voit l'image de la goutte, par l'objectif, se déplacer de $\;2,5\;mm\;$ en $\;1\;s\;$ dans le plan focal objet de l'oculaire.

     Remarque : Pour ne pas être obligé de tenir compte du grandissement transverse de l'objectif, il serait judicieux de graduer le micromètre avec une échelle $\;{\dfrac {1}{50}}\;$ soit pour $\;1\;mm\;$ réel du micromètre, de graduer $\;0,02\;mm=20\;\mu m\;$ mais, ce n'est pas ce qui a été fait $\;\ldots$

 

Établissement de l'équation différentielle du mouvement d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales

     On s'intéresse plus précisément au mouvement de la gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales.

     Déterminer l'équation différentielle de son mouvement en fonction de $\;r$, $\;\mu _{\text{huile}}$, $\;\mu _{\text{air}}$, $\;\eta _{\text{air}}$, $\;q$, $\;g\;$ intensité de la pesanteur terrestre, $\;U$, $\;d\;$ et $\;{\vec {V}}(t)\;$ vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant $\;t\;$ ainsi que de sa dérivée temporelle.

Solution

     Bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation en représentant les forces appliquées sur la gouttelette d'huile étudiée ainsi que le repère cartésien associé au référentiel terrestre supposé galiléen.

     Le vecteur champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ à l'intérieur du condensateur plan à armatures horizontales y étant uniforme et $\;\perp \;$ aux armatures
     Le vecteur champ électrostatique est vertical et dans le sens descendant $\;{\big (}{\vec {E}}\;$ étant dans le sens $\;\searrow \;$ des potentiels et la d.d.p. entre les armatures $\;U>0\;$ comptée positivement dans le sens ascendant${\big )}\;$ d'où,
     Le vecteur champ électrostatique «$\;{\vec {E}}=\Vert {\vec {E}}\Vert \;{\vec {u}}_{z}\;$» avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire de la verticale dans le sens descendant, ou encore, sachant que $\;\Vert {\vec {E}}\Vert ={\dfrac {U}{d}}$, «$\;{\vec {E}}={\dfrac {U}{d}}\;{\vec {u}}_{z}\;$».

     Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : $\succ \;$son poids «$\;m_{\text{goutte}}\;{\vec {g}}=\mu _{\text{huile}}\;{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;r^{3}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
     Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : $\succ \;$la poussée d'Archimède «$\;{\vec {\Pi }}_{\text{Archimède}}=-m_{\text{air déplacé}}\;{\vec {g}}$
           Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : $\color {transparent}{\succ }\;$la poussée d'Archimède «$\;\color {transparent}{{\vec {\Pi }}_{\text{Archimède}}}$ $=-\mu _{\text{air}}\;{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;r^{3}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
     Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : $\succ \;$la force électrostatique «$\;q\;{\vec {E}}=q\;{\dfrac {U}{d}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
     Bilan des forces appliquées sur une gouttelette d'huile électrisée entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : $\succ \;$la résistance à l'avancement dans l'air «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)=-6\;\pi \;\eta _{\text{air}}\;r\;{\vec {V}}(t)\;$» .

     Application de la r.f.d.n. à la gouttelette d'huile électrisée se déplaçant entre les deux armatures horizontales du condensateur plan : «$\;m_{\text{goutte}}\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}_{\text{Archimède}}+q\;{\vec {E}}+{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)=m_{\text{goutte}}\;{\vec {a}}(t)\;$» dans laquelle $\;{\vec {a}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}}{dt}}(t)\;$ est le vecteur accélération de la gouttelette à l'instant $\;t$, soit finalement l'équation différentielle en $\;{\vec {V}}(t)\;$ cherchée «$\;\mu _{\text{huile}}\;{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;r^{3}\;{\dfrac {d{\vec {V}}}{dt}}(t)+6\;\pi \;\eta _{\text{air}}\;r\;{\vec {V}}(t)=\left[\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;r^{3}\;g+q\;{\dfrac {U}{d}}\right]{\vec {u}}_{z}\;$» ou,
en normalisant, «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}}{dt}}(t)+{\dfrac {9\;\eta _{\text{air}}}{2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}}\;{\vec {V}}(t)=\left[\left(1-{\dfrac {\mu _{\text{air}}}{\mu _{\text{huile}}}}\right)\,g+{\dfrac {3\;q}{4\;\mu _{\text{huile}}\;\pi \;r^{3}}}\;{\dfrac {U}{d}}\right]{\vec {u}}_{z}\;$».

 

Détermination de l'équation horaire de la vitesse de chute (composante verticale descendante du vecteur vitesse) d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales

     Résoudre l'équation différentielle en $\;{\vec {V}}(t)\;$ vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant $\;t$, l'instant origine étant choisi au moment où la gouttelette étudiée démarre son mouvement de chute c.-à-d.
     Résoudre l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, l'instant origine étant choisi au moment où sa vitesse est nulle,

     en déduire la composante verticale descendante $\;v(t)\;$ du vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant $\;t\;$ en fonction des paramètres décrivant le problème et de $\;t$ ;

     A.N.  : $\;r=1\;\mu m$, $\;\mu _{\text{huile}}=900\;kg\cdot m^{-3}$, $\;\mu _{\text{air}}=1,2\;kg\cdot m^{-3}$, $\;\eta _{\text{air}}=1,8\;10^{-5}\;Pl\;$ et $\;g=9,8\;m\cdot s^{-2}$ ;
           A.N. : montrer que $\;v(t)\;$ atteint très rapidement une vitesse limite $\;v_{\text{lim}}\;$ que l'on exprimera littéralement.

Solution

     L'équation différentielle en $\;{\vec {V}}(t)\;$ «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}}{dt}}(t)+{\dfrac {9\;\eta _{\text{air}}}{2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}}\;{\vec {V}}(t)=\left[\left(1-{\dfrac {\mu _{\text{air}}}{\mu _{\text{huile}}}}\right)\,g+{\dfrac {3\;q}{4\;\mu _{\text{huile}}\;\pi \;r^{3}}}\;{\dfrac {U}{d}}\right]{\vec {u}}_{z}\;$» étant linéaire du 1^er ordre à cœfficients réels constants hétérogène se résout comme rappelé aux paragraphes « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène », « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène » et « 1^er ordre à excitation constante » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le fait que la fonction recherchée soit vectorielle ne changeant pas la méthode de résolution, la seule différence étant que les constantes d'intégration sont des vecteurs constants d'intégration d'où $\;{\vec {V}}(t)={\vec {V}}_{\text{libre}}(t)+{\vec {V}}_{\text{forcé}}\;$ avec respectivement $\;{\vec {V}}_{\text{libre}}(t)\;$ solution générale de l'équation homogène et $\;{\vec {V}}_{\text{forcé}}\;$ solution particulière de l'équation hétérogène choisie de même forme que l'excitation, à savoir sous forme d'un vecteur constant ;

     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ définissant «$\;\tau ={\dfrac {2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}\;$ constante de temps d'amortissement du régime libre », l'équation différentielle homogène se réécrit selon
     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\text{libre}}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;{\vec {V}}_{\text{libre}}(t)={\vec {0}}\;$» dont on déduit la solution libre «$\;{\vec {V}}_{\text{libre}}(t)={\vec {A}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» avec $\;{\vec {A}}\;$ vecteur constant d'intégration à déterminer et

     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ définissant «$\;\color {transparent}{\tau ={\dfrac {2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}}\;$ constante de temps d'amortissement du régime libre », l'équation différentielle hétérogène selon
     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;{\vec {V}}(t)=\left[\left(1-{\dfrac {\mu _{\text{air}}}{\mu _{\text{huile}}}}\right)\,g+{\dfrac {3\;q}{4\;\mu _{\text{huile}}\;\pi \;r^{3}}}\;{\dfrac {U}{d}}\right]{\vec {u}}_{z}\;$», la recherche d'une solution forcée de même forme que l'excitation nous conduit à
     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ «$\;{\cancel {{\dfrac {d{\vec {V}}_{\text{forcé}}}{dt}}(t)\;+}}\;{\dfrac {1}{\tau }}\;{\vec {V}}_{\text{forcé}}=\left[\left(1-{\dfrac {\mu _{\text{air}}}{\mu _{\text{huile}}}}\right)\,g+{\dfrac {3\;q}{4\;\mu _{\text{huile}}\;\pi \;r^{3}}}\;{\dfrac {U}{d}}\right]{\vec {u}}_{z}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{\text{forcé}}=\left[\left(1-{\dfrac {\mu _{\text{air}}}{\mu _{\text{huile}}}}\right)\,g+{\dfrac {3\;q}{4\;\mu _{\text{huile}}\;\pi \;r^{3}}}\;{\dfrac {U}{d}}\right]\tau \;{\vec {u}}_{z}\;$» ou encore
     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\cancel {{\dfrac {d{\vec {V}}_{\text{forcé}}}{dt}}(t)\;+}}\;{\dfrac {1}{\tau }}\;{\vec {V}}_{\text{forcé}}=\left[\left(1-{\dfrac {\mu _{\text{air}}}{\mu _{\text{huile}}}}\right)\,g+{\dfrac {3\;q}{4\;\mu _{\text{huile}}\;\pi \;r^{3}}}\;{\dfrac {U}{d}}\right]{\vec {u}}_{z}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\vec {V}}_{\text{forcé}}=\left[\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {2\,g\,r^{2}}{9\,\eta _{\text{air}}}}+{\dfrac {q}{6\,\pi \,\eta _{\text{air}}\,r}}\,{\dfrac {U}{d}}\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» en réinjectant l'expression de $\;\tau$ ;

     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ la solution générale de l'équation hétérogène s'écrit donc «$\;{\vec {V}}(t)={\vec {A}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)+{\vec {V}}_{\text{forcé}}\;$» avec «$\;{\vec {A}}\;$ se déterminant par C.I. $\;{\vec {V}}(0)={\vec {0}}\;$» soit $\;{\vec {0}}={\vec {A}}+{\vec {V}}_{\text{forcé}}\;$ ou
          L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ la solution générale de l'équation hétérogène s'écrit donc «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)={\vec {A}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)+{\vec {V}}_{\text{forcé}}}\;$» avec «$\;\color {transparent}{\vec {A}}\;$ se déterminant par C.I. $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(0)={\vec {0}}}\;$» soit $\;{\vec {A}}=-{\vec {V}}_{\text{forcé}}\;$ d'où
     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ la loi horaire vectorielle du vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}(t)={\vec {V}}_{\text{forcé}}\,\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}\;$» et «$\;{\vec {V}}_{\text{forcé}}=\left[\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {2\;g\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}+{\dfrac {q}{6\;\pi \;\eta _{\text{air}}\;r}}\;{\dfrac {U}{d}}\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» ;

     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ la composante verticale $\;{\big (}$descendante${\big )}\;$ du vecteur vitesse de chute de la gouttelette d'huile à l'instant $\;t\;$ étant
     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ la composante verticale $\;\color {transparent}{\big (}$descendante$\color {transparent}{\big )}\;$ «$\;v(t)={\vec {V}}(t)\cdot {\vec {u}}_{z}=\left[\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {2\;g\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}+{\dfrac {q}{6\;\pi \;\eta _{\text{air}}\;r}}\;{\dfrac {U}{d}}\right]\,\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}$»,

     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ on en déduit qu'« elle atteint sa valeur limite $\;v_{\text{lim}}=\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {2\;g\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}+{\dfrac {q}{6\;\pi \;\eta _{\text{air}}\;r}}\;{\dfrac {U}{d}}\;$ à $\;1\;\%\;$ près à l'instant $\;t_{\text{lim}}\simeq 5\;\tau \;$ »
     L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\vec {V}}(t)}\;$ on en déduit qu'avec la constante de temps d'amortissement du régime libre «$\;\tau ={\dfrac {2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}={\dfrac {2\times 900\times \left(1,0\;10^{-6}\right)^{2}}{9\times 1,8\;10^{-5}}}\simeq 1,1\;10^{-5}\;s\;$ soit $\;\tau \simeq 11\;\mu s\;$» et par suite «$\;t_{\text{lim}}\simeq 55\;\mu s\;$», ce qui est effectivement très rapide car non décelable par un simple humain.

 

Étude du mouvement de chute de la gouttelette d'huile précédente en absence de champ électrostatique créé dans le condensateur plan à armatures horizontales

     On supprime l'espace champ électrostatique entre les armatures horizontales du condensateur plan en imposant $\;U=0$ ;

     On supprime l'espace champ électrostatique en choisissant encore pour instant origine le moment où la gouttelette d'huile étudiée démarre son mouvement de chute,
     On supprime l'espace champ électrostatique montrer que $\;v'(t)$, la nouvelle composante verticale descendante de son vecteur vitesse de chute,
     On supprime l'espace champ électrostatique montrer que $\;\color {transparent}{v'(t)}$, atteint très rapidement une nouvelle vitesse limite $\;{v'}_{\text{lim}}\;$ que l'on exprimera aussi littéralement puis

     On supprime l'espace champ électrostatique vérifier que la détermination de $\;{v'}_{\text{lim}}\;$ permet de connaître le rayon $\;r\;$ de la gouttelette.

Solution

     Le mouvement de chute de la gouttelette d'huile en absence de champ électrostatique étant un cas particulier de son mouvement de chute en présence de champ électrostatique dans lequel $\;U=0$, on en déduit :

• l'équation différentielle en $\;{\vec {V}}'(t)\;$ vecteur vitesse de chute de la gouttelette «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}'}{dt}}(t)+{\dfrac {9\;\eta _{\text{air}}}{2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}}\;{\vec {V}}'(t)=\left(1-{\dfrac {\mu _{\text{air}}}{\mu _{\text{huile}}}}\right)\,g\;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
• la solution de cette équation différentielle «$\;{\vec {V}}'(t)={{\vec {V}}'}_{\text{forcé}}\,\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}\;$» et «$\;{{\vec {V}}'}_{\text{forcé}}=\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {2\;g\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
• la composante verticale $\;{\big (}$descendante${\big )}\;$ du vecteur vitesse de chute de la gouttelette «$\;v'(t)=\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {2\;g\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}\,\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {2\;\mu _{\text{huile}}\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}\;$» et
• l'existence d'une vitesse limite $\;{v'}_{\text{lim}}\;$ obtenue quasi instantanément après le début de la chute $\;{\big (}$l'instant d'atteinte de la vitesse limite à $\;1\,\%\;$ près étant $\;t_{\text{lim}}=5\;\tau \;$${\big )}$,
       l'existence la vitesse limite s'écrivant «$\;{v'}_{\text{lim}}=\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {2\;g\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}\;$»  ;

     de «$\;{v'}_{\text{lim}}=\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {2\;g\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}\;$» on en tire aisément le rayon de la gouttelette «$\;r={\sqrt {\dfrac {9\;\eta _{\text{air}}\;{v'}_{\text{lim}}}{2\,\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,g}}}\;$», ce qui montre que
     la détermination de $\;{v'}_{\text{lim}}\;$ permet d'en déduire le rayon de la gouttelette si la viscosité dynamique de l'air, les masses volumiques de l'huile et de l'air, ainsi que l'intensité de la pesanteur terrestre sont connues.

 

Détermination de la charge de la gouttelette d'huile dont on a déterminé le mouvement de chute en présence puis en absence de champ électrostatique et conséquence

     Déduire, des expressions de $\;v_{\text{lim}}\;$ et de $\;{v'}_{\text{lim}}\;$ de la gouttelette d'huile, l'expression de sa charge $\;q\;$ en fonction de $\;\mu _{\text{huile}}$, $\;\mu _{\text{air}}$, $\;\eta _{\text{air}}$, $\;g$, $\;U$, $\;d$, $\;v_{\text{lim}}\;$ et $\;{v'}_{\text{lim}}$.

     A.N.  : Sachant que $\;U=10\;V$, $\;d=5\;mm$, $\;v_{\text{lim}}=85,0\;\mu m\cdot s^{-1}\;$ et $\;{v'}_{\text{lim}}=88,2\;\mu m\cdot s^{-1}$,
           A.N. : Sachant que calculer numériquement la charge $\;q\;$ de la gouttelette d'huile puis

          A.N. : en admettant que l'électrisation de la gouttelette d'huile par rayons X s'est faite par apport ou retrait d'électrons $\;{\big (}$évidemment en nombre entier${\big )}\;$ vérifier que cette hypothèse est en accord avec la valeur de la charge de l'électron connue de nos jours $\;q_{\text{électron}}\simeq -1,602\;10^{-19}\;C\;$ et enfin

          A.N. : en déduire la mesure obtenue de la charge élémentaire par cette expérience ;

          A.N. : commenter la phrase affirmant que « l'expérience $\;{\big (}$de la gouttelette d'huile${\big )}\;$ de Millikan a permis d'obtenir la valeur de la charge élémentaire avec une très bonne précision » $\;{\big (}$par exemple en évaluant la précision de la mesure c.-à-d. l'écart relatif entre la mesure et la valeur admise de nos jours ${\big )}$.

Solution

     Reportant l'expression du rayon de la gouttelette en fonction de sa vitesse limite de chute en absence de champ électrostatique «$\;r={\sqrt {\dfrac {9\;\eta _{\text{air}}\;{v'}_{\text{lim}}}{2\,\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,g}}}\;$»
     Reportant l'expression du rayon de la gouttelette dans celle de sa vitesse de chute en présence du champ électrostatique «$\;v_{\text{lim}}=\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,{\dfrac {2\;g\;r^{2}}{9\;\eta _{\text{air}}}}+{\dfrac {q}{6\;\pi \;\eta _{\text{air}}\;r}}\;{\dfrac {U}{d}}\;$» on obtient
     Reportant l'expression du rayon de la gouttelette dans celle de sa vitesse de chute en présence du champ électrostatique «$\;v_{\text{lim}}={v'}_{\text{lim}}+{\dfrac {q}{6\;\pi \;\eta _{\text{air}}}}\;{\sqrt {\dfrac {2\,\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,g}{9\;\eta _{\text{air}}\;{v'}_{\text{lim}}}}}\;{\dfrac {U}{d}}\;$» dont on tire
     Reportant l'expression de la charge de la gouttelette «$\;q=18\;\pi \;\eta _{\text{air}}\,\left(v_{\text{lim}}-{v'}_{\text{lim}}\right)\,{\sqrt {\dfrac {\eta _{\text{air}}\;{v'}_{\text{lim}}}{2\,\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,g}}}\;{\dfrac {d}{U}}\;$» ou, après simplification, «$\;q={\dfrac {18\;\pi }{\sqrt {2}}}\;\eta _{\text{air}}^{\,{\frac {3}{2}}}\;{\dfrac {\left(v_{\text{lim}}-{v'}_{\text{lim}}\right)\;{\sqrt {{v'}_{\text{lim}}}}}{\sqrt {\left(\mu _{\text{huile}}-\mu _{\text{air}}\right)\,g}}}\;{\dfrac {d}{U}}\;$» ;

     avec les mesures de vitesse limite de chute de la gouttelette avec et sans champ électrostatique «$\;v_{\text{lim}}=85,0\;\mu m\cdot s^{-1}\;$» et «$\;{v'}_{\text{lim}}=88,2\;\mu m\cdot s^{-1}\;$» pour «$\;U=10\;V\;$ et $\;d=5\;mm\;$», on obtient
     Reportant l'expression de la charge de la gouttelette «$\;q={\dfrac {18\times \pi }{\sqrt {2}}}\times \left(1,8\;10^{-5}\right)^{\frac {3}{2}}\times {\dfrac {\left(85,0\;10^{-6}-88,2\;10^{-6}\right)\times {\sqrt {88,2\;10^{-6}}}}{\sqrt {\left(900-1,2\right)\times 9,8}}}\times {\dfrac {5\;10^{-3}}{10}}\simeq -4,889\;10^{-19}\;C\;$» ;

     Reportant l'expression de la charge de la gouttelette ce résultat étant de « valeur absolue pratiquement égale à $\;3\;$ fois la charge élémentaire » nous en déduisons une mesure de cette dernière
       Reportant l'expression de la charge de la gouttelette ce résultat étant de « valeur absolue pratiquement égale à $\;\color {transparent}{3}\;$ fois la charge élémentaire nous en déduisons «$\;e_{\text{exp}}\simeq {\dfrac {\vert q\vert }{3}}\simeq 1,630\;10^{-19}\;C\;$» ;

     Reportant l'expression de la charge de la gouttelette comparant la valeur expérimentale ci-dessus «$\;e_{\text{exp}}\simeq 1,630\;10^{-19}\;C\;$» à la valeur connue de nos jours «$\;e_{\text{actuel}}\simeq 1,602\;10^{-19}\;C\;$»,
     Reportant l'expression de la charge de la gouttelette comparant l'écart relatif de la mesure expérimentale obtenue par expérience de Millikan relativement à la valeur connue de nos jours s'évalue par
     Reportant l'expression de la charge de la gouttelette comparant l'écart relatif «$\;{\dfrac {e_{\text{exp}}-e_{\text{actuel}}}{e_{\text{actuel}}}}\simeq {\dfrac {1,630\;10^{-19}-1,602\;10^{-19}}{1,602\;10^{-19}}}\simeq 0,0175=1,75\,\%\;$» d'où
     Reportant l'expression de la charge de la gouttelette comparant l'écart relatif la mesure expérimentale de $\;e\;$ par expérience de Millikan peut effectivement être considérée comme une très bonne 1^ère mesure $\;\ldots$