Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme
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Action d'un champ électrique uniforme sur une particule chargée : analyseur électrostatique modifier

 
Schéma descriptif d'un analyseur électrostatique permettant de séparer les isotopes d'un faisceau d'ions monocinétiques de sommet   par point de focalisation   différent suivant la nature de l'isotope

     Une particule   de masse   et de charge   est lancée avec un vecteur vitesse   d'un point   situé entre les armatures d'un condensateur plan ;

     le vecteur vitesse   est situé dans un plan   aux armatures et fait un angle orienté   avec le vecteur unitaire   de la direction   aux armatures,   étant dans le sens partant de l'armature reliée à la masse vers l'autre armature  c'est-à-dire le sens   de mesure de tension entre les deux armatures , le sens   de mesure des angles du plan   étant dans le sens trigonométrique rétrograde  sens horaire  défini par un vecteur unitaire     au plan   s'éloignant de vous[1]  non représenté ci-contre  ;

     nous supposerons que la totalité de la portion de trajectoire de la particule étudiée reste située à l'intérieur du condensateur  voir schéma ci-contre .

Détermination de la « portée » de la particule en fonction (entre autres) de sa vitesse initiale V0 et l'angle d'inclinaison α de son vecteur vitesse initiale modifier

     La tension algébrisée   imposée entre les armatures et la distance   séparant ces dernières ont été choisies de manière que la trajectoire de la particule   recoupe l'axe   en un point   situé au-delà de    par analogie avec la chute d'un point matériel lancé obliquement vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme, nous pourrons appeler « portée » la distance  .

     Exprimer l'abscisse du point   en fonction de  ,  ,  ,  ,   et  .

     Préciser les signes respectifs possibles de   et   pour que le point   ait une abscisse positive.

Condition de focalisation d'un pinceau de particules identiques monocinétiques issu de O et de faible ouverture modifier

     Montrer que pour un pinceau « bidimensionnel » de faible ouverture   dans le plan  , constitué de particules identiques issues du même point   et lancées avec un vecteur vitesse de même norme   au voisinage d'une direction particulière repérée par  , les trajectoires se recoupent toutes en un même point   d'abscisse  .

     Calculer   et exprimer   en fonction de  ,  ,  ,   et  .

Séparation isotopique par focalisation distincte d'un pinceau de particules moncinétiques et isotopiques issu de O et de faible ouverture autour de la direction particulière repérée par α0 modifier

     Le pinceau de particules de faible ouverture lancées de  , au voisinage de la direction  , est constitué maintenant de deux types de particules de masses   et  , de même charge   et de vitesses initiales de même norme  .

     Calculer   pour que les points de focalisation   et   soient séparés d'une distance de   dans le cas où les particules sont des ions argon, portant tous la même charge   et obtenues à partir des deux isotopes de l'argon de nombre de masse   et  .

     Données :  ,   et la constante d'Avogadro vaut  .

Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan modifier

     Voir cet exercice « Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan[15] » dans la série d'exercices n°  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Notes et références modifier

  1. Attention la base cartésienne orthonormée   est indirecte  voir le paragraphe « base directe (base indirecte) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , cette orientation n'ayant aucune conséquence dans la mesure où on ne définit pas de produit vectoriel.
  2. L'influence éventuelle du poids de la particule dans le cas où l'expérience se passe sur Terre étant négligeable, voir le paragraphe « comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de nrome modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  3. Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  4. 4,0 4,1 4,2 et 4,3 Condition(s) Initiale(s).
  5. On rappelle que le lien entre force électrique  conservative dans toutes les situations  et énergie potentielle électrique est       ceci entraînant que  , le champ électrique étant alors qualifié de « champ à circulation conservative » dérivant d'un potentiel   défini par   correspondant à    sans constante additive si la référence de l'énergie potentielle électrique est la même que la référence du potentiel électrique, la référence d'une grandeur définie à une constante additive près étant l'endroit où celle-ci est choisie nulle   voir les paragraphes « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » du chap.  ainsi que « définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative » et « détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » .
  6. On retiendra que dans un condensateur où le champ électrique est uniforme, la norme de ce dernier s'obtient en divisant la d.d.p. existant entre les armatures par la distance séparant ces dernières.
  7. En utilisant la formule de trigonométrie « ».
  8. 8,0 et 8,1 Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs (infiniment petit d'ordre un) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. 9,0 9,1 et 9,2 Développement Limité.
  10. Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. Mathématiquement le D.L. à l'ordre un en   de   au voisinage de   s'écrirait «  avec  ».
  12. Voir le paragraphe « notion de D.L. à l'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cn au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n (cas p = 2) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  13. Condition Nécessaire et Suffisante.
  14. On rappelle que si   est  , pour que   existe avec une particule de charge  , «  doit être aigu » et
                On rappelle que si U est > 0, pour que A existe avec une particule de charge  , «  doit être obtus »,
       les résultats étant inversés si   est  .
  15. Robert Andrews Millikan (1868 - 1953) physicien américain surtout connu pour ses mesures précises de la charge de l'électron, l'étude de l'effet photoélectrique et celle des rayons cosmiques ; il obtint le prix Nobel de physique en   pour ses travaux sur la charge élémentaire de l'électricité et l'effet photoélectrique.