Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Séparation isotopique des particules chargées d'un faisceau monocinétique par l'action d'un champ magnétostatique uniforme perpendiculaire au vecteur vitesse initiale des particules
Schéma du spectrographe de Bainbridge[1] permettant la séparation isotopique d'un faisceau monocinétique de particules de même charge par action d'un champ magnétostatique uniforme à leur vitesse d'entrée
Le spectrographe de Bainbridge[1] accélère préalablement les isotopes ionisés de même charge «» et «» d'un « même élément » Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement lesquels, après passage dans un filtre de vitesse, ressortent avec un même vecteur vitesse dans le référentiel d'étude lié au filtre, référentiel supposé galiléen, Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement pour pénétrer dans une chambre de déviation où règne un champ magnétostatique uniforme dont la direction est à la direction du vecteur vitesse initiale commun aux isotopes ionisés ;
après une trajectoire semi-circulaire dans la chambre de déviation, on mesure la « distance séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur une « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation voir figure ci-contre ;
pour l'exposé de la solution nous supposerons que représente le plus grande nombre de masse des deux isotopes c'est-à-dire «».
Justification du mouvement de chaque isotope ionisé dans la chambre de déviation
Justifier que le mouvement de chaque ion est plan, circulaire et uniforme en précisant les rayons et des différents isotopes ionisés.
Solution
L’application de la r.f.d.n[2]. dans le référentiel galiléen à l'isotope ionisé [3] soumise à la seule force magnétique de Lorentz[4] «»[5], étant le vecteur vitesse de l'isotope ionisé à l'instant dans le référentiel , soit «», conduit, sachant que le vecteur accélération de la particule à l'instant , , est la dérivée temporelle de son vecteur vitesse au même instant , à l’équation différentielle vectorielle du 1er ordre en «» ;
sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est à chacun de ses vecteurs[6], nous en déduisons que est à c'est-à-dire à vecteur unitaire colinéaire à et de sens contraire de façon à ce que la base cartésienne orthonormée soit directe avec ; projetant l'équation différentielle sur nous obtenons «» et la C.I[7]. imposant «» soit «» et projetant l'équation différentielle sur uz nous obtenons «» et la C.I[7]. en imposant «» soit «» ;
en 1re conclusion, le mouvement de l'isotope ionisé pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse à est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur est la force magnétique de Lorentz[4], plan, le plan du mouvement étant ;
la force magnétique de Lorentz[4] ne développant aucune puissance[8] en étant la seule force appliquée à la particule, l’énergie cinétique de cette dernière reste constante par application du théorème de la puissance cinétique[9] et par suite la norme de sa vitesse aussi soit «», la constante se déterminant par C.I[7]. «» d’où «» c'est-à-dire
en 2ème conclusion, le mouvement de l'isotope ionisé après pénétration dans l'espace champ magnétostatique uniforme est uniforme de norme de vitesse égale à ;
le mouvement de l'isotope ionisé [3] étant plan, dans le plan « le plan » et la particule entrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme en avec un vecteur vitesse étant aussi la vitesse instantanée[10] initiale de l'isotope ionisé si on choisit le sens sur la trajectoire dans le sens du mouvement, nous obtenons le schéma descriptif ci-dessus présenté dans l'énoncé, étant pour savoir de quel côté de la courbe s’amorce il convient de déterminer la force magnétique de Lorentz[4] initiale «»[5], de direction au plan ou c'est-à-dire portée par et de sens tel que soit direct «» de même sens que , la rotation de l'isotope ionisé se faisant dans le sens du plan défini par le vecteur unitaire colinéaire à et de sens contraire le sens de sur nous indique le sens du début de rotation mais le mouvement étant uniforme la rotation se poursuit dans le même sens ; pour déterminer la nature de la trajectoire nous utilisons le repérage local de Frenet[11] de base directe «»[12] et projetons l'équation différentielle «» sur , le vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet[11],[12], en utilisant
d'une part que « étant à et [6], donc à et , est porté par », « son sens se déterminant par direct est celui de » et
d'autre part que étant sa projection sur définit l'accélération normale de l'isotope ionisé [13] avec la vitesse instantanée de l'isotope ionisé [10] et le rayon de courbure de la trajectoire en la position de l'isotope ionisé à l'instant [14],
ce qui donne «» avec «» dans laquelle le mouvement se faisant dans le plan passant par et à et le sens étant choisi dans le sens du mouvement soit encore, étant et étant notée , «» «» ;
le mouvement de la particule étant uniforme , le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant se réécrit «» c'est-à-dire une constante et
le mouvement de la particule étant plan, la trajectoire suivie par l'isotope ionisé est circulairela seule courbe plane à rayon de courbure constant étant un cercle,
le rayon du cercle étant «».
En conclusion le rayon du cercle décrit par l'isotope ionisé « de masse » est «» et celui du cercle décrit par l'isotope ionisé « de masse » est «».
Établissement de l'expression de la distance séparant les deux points d'impact des isotopes ionisés sur la plaque photographique de la sortie de la chambre de déviation
Exprimer la « distance séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur la « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation Exprimer la distance « δ » en fonction de la constante d'Avogadro[15], la charge élémentaire , la norme du champ magnétostatique , la norme du vecteur vitesse d'entrée dans la chambre de déviation , les masses molaires atomiques et des isotopes de nombre de masse et .
Solution
Schéma du spectrographe de Bainbridge[1] permettant la séparation isotopique d'un faisceau monocinétique de deux isotopes ionisés de même charge par action d'un champ magnétostatique uniforme à leur vitesse d'entrée
Le rayon du cercle décrit par l'isotope ionisé « de masse » valant «» et celui du cercle décrit par l'isotope ionisé « de masse » «», transformons l'expression du rayon de chaque cercle en explicitant la masse «» et «» de chaque isotope ionisé en fonction de leur masse molaire atomique «» et «» ainsi que de la « constante d'Avogadro[15]» selon «» et «» «» et «» ;
le rayon du cercle décrit par chaque isotope ionisé étant à sa masse molaire atomique, c'est l'isotope ionisé ayant la plus grande masse molaire atomique c'est-à-dire correspondant au plus grand nombre de masse soit qui décrit le demi-cercle le plus extérieur, c'est donc celui-là dont l'impact sur la plaque photographique est le plus éloigné de son point d'entrée dans la chambre de déviation ;
les impacts sur la plaque photographique des isotopes ionisés «» et «» étant situés respectivement à la distance et de leur point d'entrée dans la chambre de déviation chaque distance correspondant au diamètre de chaque demi-cerclevoir figure ci-contre,
la distance séparant les deux impacts s'écrit «» ou encore «».
À partir de «», «», «» et «», déduire, de la mesure de «», la nature de l'autre isotope de carbone sachant que l'un des deux est l'isotope le plus fréquent le «».
Solution
De la relation «» établie précédemment nous déduisons «» le sens sur les trajectoires ayant été choisi dans le sens du mouvement la vitesse instantanée[10] s'identifie à la norme du vecteur vitesse soit numériquement «» ou «» ce qui correspond à une différence de nombres de masse des isotopes de soit «» ;
l'un des isotopes étant le «» ou vaut et par suite
si , vaut correspondant à l'isotope «» peu fréquent mais existant alors que
si , vaut lequel correspond à un isotope «» n'existant pas à l'état naturel.
Les isotopes du carbone déterminés par séparation isotopique sont le «» et le «».
Actions simultanées d'un champ électrostatique et d'un champ magnétostatique perpendiculaires entre eux sur une particule chargée pénétrant perpendiculaire aux deux champs, mouvement cycloïdal, filtre de vitesse
Description d'un champ électromagnétique uniforme à composantes électrostatique et magnétostatique respectivement avec choix des axes cartésiens tel que et
À l'instant pris pour origine des temps, une particule de masse et de charge est d'abord considérée immobile dans le vide en un point représentant l'origine des espaces ;
nous établissons à cet instant un champ magnétostatique uniforme et un champ électrostatique également uniforme, de direction perpendiculaire à celle du champ magnétique et
nous choisissons un repérage cartésien de base orthonormée directe tel que avec , le vecteur unitaire permettant l'orientation des angles du plan voir figure ci-contre.
Le référentiel d'étude lié au champ électromagnétique est supposé galiléen.
Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme
Après application de la r.f.d.n[2]. à la particule chargée de masse dans le référentiel d'étude , déduire les trois équations différentielles en composantes cartésiennes du vecteur vitesse de cette particule dans l'espace champ électromagnétique uniforme, puis
simplifier ces équations en introduisant la pulsation cyclotron de la particule soit, pour une particule de charge positive «».
Solution
L'application de la r.f.d.n[2]., dans le référentiel d'étude galiléen, à la particule chargée de masse soumis à la seule force de Lorentz[4] «» dans laquelle est le vecteur vitesse de la particule à l'instant dans donne « avec le vecteur accélération de la particule au même instant dans » soit encore l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule en son vecteur vitesse «» ;
sachant que «», «» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «» nous en déduisons les composantes cartésiennes «» en effectuant les calculs suivants[16] : , et «»[17] et par suite
les équations différentielle scalaires du mouvement de la particule en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de celle-ci en projetant l'équation différentielle vectorielle du mouvement de cette dernière sur chacun des axes du repère cartésien soit «» ou, en normalisant, «» et enfin, en introduisant la pulsation cyclotron de la particule «» c'est-à-dire, pour une particule de charge positive, «»
«».
Détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme
Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire de la particule dans le champ électromagnétique uniforme en résolvant le système d'équations différentielles trouvées à la question précédente et
présenter ces équations paramétriques en utilisant, entre autres, la grandeur homogène à une longueur «».
Solution
L'équation différentielle «» s'intègre en «», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» d'où «» puis, intégrant «» en «», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» d'où «» d'où la nature plane du mouvement de la particule dans le « plan ».
Les équations différentielles «» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la vitesse complexe «» et en formant la C.L[18]. «» «» «»[19],[20] soit finalement l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en « vitesse complexe » hétérogène
«» ;
la solution de cette équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en «» hétérogène s'écrit «» dans laquelle « est la solution libre » c'est-à-dire la « solution générale de l'équation différentielle homogène » et « la solution forcée » c'est-à-dire la « solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme si elle existe que l'excitation constante de cette dernière » d'où «» avec constante complexe d'intégration[21] et «»[22] d'où «», se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» la particule étant initialement immobile «» d'où finalement
prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon «» ou encore, « étant homogène à une vitesse » et « à une vitesse angulaire », « le rapport est homogène à une longueur notée » «» et
prenant la partie imaginaire de nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon «» voir justification ci-dessus ;
les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan sont «».
La vitesse complexe «» étant la dérivée temporelle de la position complexe «» «»[23] qui s'intègre selon «», se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» la particule étant initialement en d'où «» et nous déduisons finalement
la loi horaire de position complexe «» ou avec «», «» ;
prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon «» ou encore, «» et
prenant la partie imaginaire de nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon «» ;
les lois horaires de position de la particule dans le plan sont «».
Allure de la trajectoire de la particule ainsi que de l'hodographe de pôle O du mouvement de cette dernière
Préciser l'allure de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme.
Établir les équations paramétriques de l'hodographe de pôle du mouvement de la particule [24] soumis au champ électromagnétique uniforme puis
préciser son allure.
Solution
Cycloïde droiteou roulette de Pascal[25] engendrée par le mouvement d'un point d'un cercle de rayon roulant sans glisser sur l'axe , à la vitesse angulaire en étant du côté La courbe fixe sur laquelle roule sans glisser le cercle appelé « roulante » étant la droite et le point mobile un point du cercle, la courbe que ce point engendre de la famille des « roulettes » est la cycloïde droiteou roulette de Pascal[25] de directrice
Les lois horaires de position de la particule dans le plan «» étant aussi les équations paramétriques de la trajectoire de cette dernière dans le référentiel d'étude , les « coordonnées de la particule » et le «paramètre lié à sa position » sont liés entre eux par
l'équation cartésienne d'un « cercle du plan de rayon dont le centre se déplace sur la droite à l'axe d'équation » en rouge sur le tracé ci-contre, ce cercle roulant sans glisser sur l'axe car
d'une part il y est toujours tangent et
d'autre part le point lié au cercle en contact avec l'axe à l'instant étant confondu avec , il a tourné sur le cercle à l'instant de dans le sens horaire soit, en notant la position du point de contact du cercle sur l'axe , une longueur d'arc «» décrit sur le cercle égale à la distance de déplacement du point de contact sur l'axe «»,
«» caractérisant le roulement sans glissement du cercle « la roulante » sur l'axe « la courbe fixe » sur laquelle « la roulante » roule sans glisser, la courbe engendrée « la roulette » étant une « cycloïde droite de directrice l'axe » ;
la trajectoire de la particule dans le référentiel d'étude est donc une cycloïde droite de directrice voir tracé ci-dessus à droite, elle est périodique de « période spatiale » correspondant à la « période temporelle commune de et de la partie périodique de égale à » pendant laquelle « reprend sa valeur de début d'intervalle » et « de » ou encore, avec «», la période spatiale de la trajectoire de «» avec «».
Tracé de l'hodographe de pôle du mouvement cycloïdal d'une particule initialement immobile dans un champ électromagnétique à composantes électrique et magnétique
Les équations cartésiennes paramétriques de l'hodographe de pôle du mouvement de dans le plan du référentiel défini comme l'ensemble des positions dans le plan du tel que «»[27] sont aussi
les lois horaires de vitesse de dans le plan , elles s'écrivent donc «[27] », ses dernières établissant que l'hodographe de pôle du mouvement de dans le plan du référentiel est
le cercle du plan de « centre [27] », de « rayon [27] »[28] passant par ,
le cercle décrit d'un mouvement uniforme à la « vitesse angulaire de valeur absolue » dans le sens horaire car le point générique de partant de à l'instant poursuit avec jusqu'à pendant que jusqu'à puis jusqu'à pendant que jusqu'à suivi de jusqu'à pendant que jusqu'à et enfin jusqu'à pendant que jusqu'à rotation dans le sens horaire d'où
le cercle décrit d'un mouvement uniforme une vitesse angulaire négative «» correspondant à une «période » laquelle est aussi la période de variation de ainsi que celle de la partie périodique de .
Remarque : Les points de contact d'une cycloïde droite avec sa directrice sont des points de rebroussement de 1re espèce[29]en effet ces points sont effectivement singuliers car ils correspondent au passage par du point de l'hodographe de pôle du mouvement du point sur la cycloïde droite et les dérivées 2ndes des coordonnées de par rapport au paramètre étant aussi les dérivées 1ères des coordonnées de par rapport au même paramètre au choix de l'échelle des vitesses près ces points sont de rebroussement de 1re espèce si, étant la valeur du paramètre les définissant, «» ce qui est réalisé car l'hodographe de pôle du mouvement du point sur la cycloïde droite est symétrique relativement à l'axe [30] ;
Remarque : dans le cas présent les pentes des demi-tangentes à en ou celles des demi-tangentes à la trajectoire cycloïdale de en ses points de contact avec la directrice de la cycloïde droite sont infinies avec, étant la valeur du paramètre définissant ces points de contact, et une même demi-droite tangente à la trajectoire de en ces points de contact à assurant que ces derniers sont effectivement des points rebroussement de 1re espèce pour la trajectoire[31].
Explicitation de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t
Déduire de ce qui précède la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant en fonction de , , et puis,
calculer la valeur de celle-ci pour «».
Solution
La norme du vecteur vitesse de la particule se déduit des équations cartésiennes paramétriques de l'hodographe de pôle du mouvement de selon «»[27] soit ici ou, après développement et simplification sous le radical, puis, en utilisant la relation trigonométrique «», l'expression finale de la norme du vecteur vitesse de la particule
«» car ;
la norme du vecteur vitesse de prend donc pour sa valeur maximale «», cette vitesse correspondant au point de la trajectoire représentée dans la solution de la question précédente ou aux points qui se déduisent de par translation de avec et la période spatiale de la trajectoire le point ainsi que tous les points se déduisant de par translation de correspond au point de sur l'axe .
Détermination de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t par utilisation du théorème de l'énergie cinétique appliqué à cette dernière
Retrouver les résultats de la question précédente en utilisant le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la particule soumis au champ électromagnétique uniforme.
Solution
En appliquant, entre les instants initial et quelconque, le théorème de l'énergie cinétique à la particule dans l'espace champ électromagnétique uniforme à composantes électrostatique et magnétostatique , nous obtenons, compte tenu du fait que « la composante magnétique de Lorentz[4] ne travaille pas seule la composante électrique travaillant» et que « les C.I[7]. de la particule sont en et », «» la force électrique étant constante soit, avec , «» ou, la loi horaire de la position de la particule sur l'axe étant , «» «» en utilisant la formule de trigonométrie «» ou encore, avec «» et, avec «» , «» soit finalement
«» car ;
nous en déduisons la valeur de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant , sachant que ,
«».
Cas d'une particule pénétrant dans l'espace champ électromagnétique uniforme avec un vecteur vitesse respectivement perpendiculaire aux deux composantes électrostatique et magnétostatique du champ, notion de filtre de vitesse
Une autre particule, identique à la précédente, pénètre, à un instant pris comme nouvelle origine des temps, avec un vecteur vitesse initiale avec donc aux deux composantes électrostatique et magnétostatique du champ et tel que le trièdre soit direct.
Déterminer les nouvelles équations paramétriques de la trajectoire et
montrer que « les particules ayant une vitesse initiale à préciser en fonction de et ne sont pas déviées » c'est-à-dire que, parmi toutes les valeurs de vitesse initiale, il en existe une et une seule pour laquelle le mouvement de la particule est rectiligne uniforme lui permettant de ressortir par un diaphragme judicieusement positionné sur l'axe , toutes les autres particules à vitesses initiales différentes ne pouvant pas traverser ce diaphragme sont absentes dans le faisceau de sortie situé au-delà du diaphragme, nous avons donc un filtre de vitesse connu sous le nom de « filtre de Wien »[32].
Solution
Comme la seule modification relativement à la question « explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme » de cet exercice concerne les C.I[7]. et que celles-ci n'interviennent pas dans les équations différentielles du mouvement de la particule nous pouvons affirmer que ces dernières sont rigoureusement identiques à celles qui ont été établies dans la solution de la question précitée à savoir «» ou, en introduisant la pulsation cyclotron de la particule «» pour une particule de charge positive,
Les équations différentielles «» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la vitesse complexe «» comme cela a été fait dans la question « détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme (mouvement dans le plan xOy) » de cet exercice, ce qui nous donne l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en « vitesse complexe » hétérogène
«» ;
la solution de cette même équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en «» hétérogène est de même forme que celle de la solution de la question précitée à savoir, «», se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» le vecteur vitesse initiale de la particule étant soit «» d'où finalement
prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon «» ou encore, « étant homogène à une vitesse » et « à une vitesse angulaire », « le rapport est homogène à une longueur notée » «» et
prenant la partie imaginaire de nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon «» voir justification ci-dessus ;
les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan sont «».
La vitesse complexe «» étant la dérivée temporelle de la position complexe «» «»[23] qui s'intègre selon «», se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «»la particule étant initialement en d'où «» et nous déduisons finalement
la loi horaire de position complexe «» ou avec «», «» ;
prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon «» soit «» ou encore, «» et
prenant la partie imaginaire de nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon «» soit «» ;
les lois horaires de position de la particule dans le plan sont «».
Schéma explicatif du roulement d'un cercle avec glissement sur un axe , le roulement étant dans le sens horaire et le glissement dans le sens de l'axe
Les lois horaires de position de la particule dans le plan «» étant aussi les équations paramétriques de la trajectoire de cette dernière dans le référentiel d'étude , les « coordonnées de la particule » et le « paramètre lié à sa position » sont liés entre eux par
l'équation cartésienne d'un « cercle du plan de rayon dont le centre se déplace sur la droite à l'axe d'équation », ce cercle roulant en glissant sur l'axe avec le vecteur vitesse pour la justification ci-dessous nous supposons « à » « le rayon du cercle s'écrivant alors » voir schéma ci-contre en effet,
d'une part il y est toujours tangent et
d'autre part le point lié au cercle en contact avec l'axe à l'instant étant confondu avec , il a tourné sur le cercle à l'instant de dans le sens horaire considéré comme sens soit, en notant la position du point de contact du cercle sur l'axe , une longueur d'arc «» décrit sur le cercle dans laquelle l'abscisse de est la somme de la distance de déplacement du point de contact sur l'axe due au roulement du cercle en absence de glissement «» et de la distance parcourue par le cercle lors de son glissement sur l'axe «» le vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe est donc ;
Schéma explicatif du roulement d'un cercle avec glissement sur un axe , le roulement étant dans le sens anti-horaire et le glissement dans le sens de l'axe
Les lois horairesdans le cas où « est à », « le rayon du cercle s'écrit » et l'« ordonnée de son centre étant » le roulement du cercle se fait dans le sens anti-horaire considéré comme sens «» et une longueur d'arc «» décrit sur le cercle dans laquelle l'abscisse de devant être la somme de la distance de déplacement du point de contact sur l'axe due au roulement du cercle en absence de glissement «» et de la distance parcourue par le cercle lors de son glissement sur l'axe «» le vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe est égal à dans le schéma ci-contre est à , les modifications par rapport au cas précédent étant donc le sens du roulement, le positionnement du centre du cercle par rapport à l'axe et l'expression de la vitesse de glissement du cercle dans le cas où est à la seule modification par rapport au cas représenté sur le schéma ci-contre est le sens du vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe ;
Exemple de mouvement d'une particule entrant dans un filtre de vitesse de Wien[32] suivant sa vitesse d'entrée
Les lois horaires en conclusion le roulement d'un cercle « la roulante » sur un axe « la courbe fixe » sur laquelle « la roulante » roule, se fait avec glissement si, étant le point de contact du cercle sur l'axe et le point fixe du cercle au contact de l'axe à l'instant initial, « suivant que la rotation du cercle est dans le sens horaire ou anti-horaire », étant le point de contact hypothétique du cercle sur l'axe en absence de glissement, tel que «» avec le vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe,
Les lois horaires en conclusion la courbe « la roulette » engendrée par le cercle « la roulante » roulant en glissant sur l'axe « la courbe fixe » étant une « trochoïde de directrice l'axe »[34]voir quelques tracés ci-contre.
Recherche de la vitesse d'entrée de la particule pour que cette dernière ne soit pas déviée : Nous pouvons vérifier, à partir des lois horaires de position du mouvement de la particule soumis à un champ électromagnétique uniforme à composantes électrique et magnétique , pénétrant dans cet espace avec un vecteur vitesse , mouvement localisé dans le plan de lois horaires de position «» que la particule n'est pas déviée Recherche de la vitesse d'entrée de la particule pour que cette dernière ne soit pas déviée : ssi «» ce qui est réalisé ssi le cœfficient de est nul c'est-à-dire ssi correspondant à une vitesse d'entrée de la particule égale à
«» on rappelle que ,
Recherche de la vitesse d'entrée de la particule pour que cette dernière ne soit pas déviée : toutes les autres particules ayant une vitesse d'entrée « avec » subissant une déviation voir les tracés de trajectoire ci-contre ne peuvent pas sortir par le diaphragme aligné avec sur et situé à une distance de non multiple de la période spatiale de la trochoïde ce dispositif est bien un filtre de vitesse, les particules pénétrant dans l'espace champ électromagnétique uniforme avec cette vitesse «» ayant pour loi horaire de position «» ont effectivement un mouvement rectiligne uniforme de vitesse égale à leur vitesse d'entrée.
trochoïde raccourcie de rapport engendrée par un point situé à une distance du centre d'un disque de rayon roulant sans glisser sur l'axe avec
Autre interprétation d'une trochoïde : L'équation cartésienne précédemment trouvée «» étant toujours celle d'un « cercle du plan de rayon dont le centre se déplace sur la droite à l'axe d'équation », ce cercle étant maintenant solidaire d'un autre cercle de même centre mais de rayon roulant sans glisser sur la droite à d'équation pour l'explication ci-dessous nous supposons « à » « le rayon du cercle s'écrit alors » en effet,
Autre interprétation d'une trochoïde : d'une part le cercle est toujours tangent à la droite d'équation et
Autre interprétation d'une trochoïde : d'autre part le point lié au cercle en contact avec la droite d'équation à l'instant a tourné sur à l'instant de dans le sens horaire considéré comme sens soit en notant la position du point de contact du cercle sur la droite d'équation une longueur d'arc sur «» égale à «» caractérisant le roulement sans glissement de sur la droite d'équation ou encore, le cercle étant solidaire du cercle en notant le point de aligné avec du même côté par rapport au centre commun et la position du point de contact du cercle sur l'axe une longueur d'arc sur le cercle «» d'où ou encore «» c'est-à-dire effectivement les lois horaires de position du point ;
trochoïde allongée de rapport engendrée par un point situé à une distance du centre d'un disque de rayon roulant sans glisser sur l'axe avec (le point étant rendu solidaire du disque à l'aide d'une manivelle)
Autre interprétation d'une trochoïde : dans le cas où « est à » « le rayon du cercle s'écrit alors », la droite à l'axe sur laquelle le cercle , de rayon , solidaire de et de même centre d'« ordonnée » roule sans glisser est d'équation , le centre de étant positionné au-dessous de cette droite, le roulement sans glissement de sur cette droite se fait dans le sens anti-horaire considéré comme sens «» d'où une longueur d'arc sur le cercle «» égale à «» caractérisant le roulement sans glissement de sur la droite d'équation dans le sens rétrograde ou encore, une longueur d'arc sur le cercle «» d'où ou, avec symétrique de par rapport à , «» c'est-à-dire effectivement les lois horaires de position du point , les modifications par rapport au cas précédent étant donc le sens du rotation des cercles, le positionnement du centre commun des deux cercles par rapport à l'axe et la nécessité de prendre le symétrique par rapport à cet axe de façon à avoir le même sens de rotation des cercles sur les schémas ci-contre la symétrie a déjà été effectuée, c'est donc le mouvement du point qui y apparaît directement.
Actions simultanées d'un champ électrostatique et d'un champ magnétostatique parallèles sur une particule chargée pénétrant perpendiculaire aux deux champs, spectrographe de J.J. Thomson
Description d'un couple de champs électrostatique et magnétostatique agissant sur une particule chargée entrant en avec une vitesse à la direction commune des champs et choix des axes cartésiens tel que , et
À l'instant pris pour origine des temps, une particule de masse et de charge pénètre dans un espace champ électromagnétique uniforme avec un vecteur vitesse initiale en un point représentant l'origine des espaces ;
l'espace champ électromagnétique résulte de la superposition d'un espace champ magnétostatique de champ uniforme et d'un espace champ électrostatique de champ également uniforme, de même direction perpendiculaire à celle du vecteur vitesse initiale de la particule et
nous choisissons un repérage cartésien de base orthonormée directe tel que avec voir figure ci-contre.
Le référentiel d'étude lié au champ électromagnétique est supposé galiléen.
Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis aux champs électrostatique et magnétostatique uniformes
Après application de la r.f.d.n[2]. à la particule chargée de masse dans le référentiel d'étude , déduire les trois équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de cette particule dans l'espace commun des champs électrostatique et magnétostatique uniformes.
Solution
L'application de la r.f.d.n[2]., dans le référentiel d'étude galiléen, à la particule chargée de masse soumis à la seule force de Lorentz[4] «» dans laquelle est le vecteur vitesse de la particule à l'instant dans donne « avec le vecteur accélération de la particule au même instant dans » soit encore l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule en son vecteur vitesse «» ;
sachant que «», «» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «» nous en déduisons les composantes cartésiennes «» en effectuant les calculs suivants[16] : , et «»[17] et par suite
les équations différentielle scalaires du mouvement de la particule en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de celle-ci en projetant l'équation différentielle vectorielle du mouvement de cette dernière sur chacun des axes du repère cartésien soit «» ou, en normalisant, «» et, en introduisant la pulsation cyclotron de la particule «» c'est-à-dire, pour une particule de charge positive, «»
«».
Détermination des lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement de la particule soumis aux champs électrostatique et magnétostatique uniformes
Déterminer les lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement de la particule dans les champs électrostatique et magnétostatique uniformes en résolvant le système d'équations différentielles trouvées à la question précédente.
Solution
L'équation différentielle «» s'intègre en «», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» d'où «» puis, intégrant «» en «», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» d'où «» d'où un mouvement uniformément accéléré du « projeté orthogonal de la particule sur l'axe ».
Les équations différentielles «» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la vitesse complexe «» et en formant la C.L[18]. «» «» «»[19],[20] soit finalement l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en « vitesse complexe » homogène
«» ;
la solution de cette équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en «» homogène s'écrit «» dans laquelle « est la solution libre » c'est-à-dire la « solution générale de l'équation différentielle homogène » d'où «» avec constante complexe d'intégration[21] se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» le vecteur vitesse initiale de la particule étant «» d'où finalement
la loi horaire de vitesse complexe «» ;
prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon «» et
prenant la partie imaginaire de nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon «» ;
les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan sont «», ces lois caractérisant un mouvement circulaire uniforme du point générique Px y de l'hodographe de pôle du mouvement du projeté orthogonal de la particule sur le plan [24].
Mouvement partiel d'une particule chargée , de masse , entrant en avec une vitesse à la direction commune du couple de champs électrostatique et magnétostatique uniformes, choix des axes cartésiens tel que , et , seul le mouvement de projeté de sur est représenté
La vitesse complexe «» étant la dérivée temporelle de la position complexe «» «» équation s'intégrant selon «», se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» la particule étant initialement en d'où «» et nous déduisons finalement
la loi horaire de position complexe «» ou avec «», «» ;
prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon «» soit finalement, «» et
prenant la partie imaginaire de nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon «» ;
les lois horaires de position de la particule dans le plan «» avec «» sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire du projeté orthogonal de la particule sur le plan , un cercle de rayon , de centre et décrit par d'un mouvement uniforme dans le sens horaire à la vitesse angulaire de valeur absolue [35].
Détermination du lieu des impacts des particules chargées d'un faisceau polycinétique sur un écran perpendiculaire à la direction du faisceau dans le cas simultané de faibles déviations électrostatique et magnétostatique des particules
Considérant maintenant un faisceau de particules chargées de masse de vecteur vitesse initiale à la direction commune des champs électrostatique et magnétostatique uniformes mais de norme quelconque et faisant l'hypothèse que la déviation magnétostatique reste faible, nous plaçons, à l'abscisse , un écran à la direction du faisceau c'est-à-dire au plan .
Après avoir précisé la signification de « la déviation magnétostatique reste faible », déterminer le lieu des impacts du faisceau polycinétique sur l'écran et vérifier qu'il s'agit d'une demi-parabole.
Solution
Nous supposons que « la déviation magnétostatique reste faible » c'est-à-dire que le mouvement du projeté orthogonal de la particule sur le plan , dont l'origine est l'action du champ magnétostatique, reste voisin de son mouvement impulsé initialement, ce qui signifie que « reste faible » soit « reste voisin de » soit finalement
«» «» avec « la période de rotation de sur sa trajectoire »[36] ;
« étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un »[37] nous pouvons en déduire une approche des lois horaires du mouvement de en faisant un D.L[38]. d'ordre deux en de ces dernières «»[39] et par suite « ωc t » étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons estimer l'instant de l'impact d'une particule sur l'écran d'abscisse soit «» dans la mesure où l'instant d'entrée de dans l'espace champ est puis « ωc t » étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons exprimer la déviation magnétostatique de c'est-à-dire l'ordonnée de l'impact de la particule sur l'écran «» ou encore, avec «», «» et « ωc t » étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons exprimer la déviation électrostatique de c'est-à-dire la cote de l'impact de la particule sur l'écran «» ou encore, avec «», «».
Particules chargées entrant en avec une vitesse de norme quelconque à la direction commune d'un couple de champs électrostatique et magnétostatique et uniformes et lieu de leurs impacts sur un écran à la direction initiale de la vitesse
Le lieu de sur l'écran d'abscisse dans l'hypothèse où la charge des particules est , la vitesse initiale de ces dernières ayant pour valeur quelconque, ayant pour équations cartésiennes paramétriques «» nous obtenons la 2ème équation cartésienne du lieu de la 1re étant en éliminant le paramètre entre les deux dernières équations paramétriques soit «» que l'on reporte dans « d'où » et finalement les deux équations cartésiennes du lieu de «»[40], c'est-à-dire
une « demi-parabole du plan du côté des de concavité vers les » voir ci-contre, deux isotopes de même charge positive se retrouvant sur deux courbes différentes quelle que soit avec le plus lourd sur la courbe la plus proche de l'axe [41], d'où le nom de « spectrographe de J.J. Thomson[42] » donné au dispositif ;
remarque : dans le cas où la charge de la particule est , les résultats précédemment obtenus sont remplacés par les suivants :
remarque : le système d'équations différentielles «» avec «»,
remarque : les lois horaires de position «» avec «»,
remarque : le mouvement de est uniformément accéléré vers les et remarque : celui de circulaire uniforme, de rayon , de centre décrit dans le sens anti-horaire,
remarque : l'impact sur l'écran d'abscisse dans le cas de faibles déviations magnétostatiques a pour coordonnées «» et
remarque : le lieu de sur l'écran d'abscisse a pour équations cartésiennes «», c'est-à-dire
une « demi-parabole du plan du côté des de concavité vers les » voir ci-dessus, deux isotopes de même charge négative se retrouvant sur deux courbes différentes quelle que soit avec le plus lourd sur la courbe la plus proche de l'axe [41], d'où le nom de « spectrographe de J.J. Thomson[42] » donné au dispositif.
Vues de dessus et de face d'un cyclotron montrant les dés hémicylindriques et et le faible écartement entre eux
Un cyclotron est un accélérateur de particules constitué, comme il est représenté sur la figure ci-contre, par deux demi cylindres à surfaces métalliques[43] appelés « dés » et , de même direction d'axe étant l'axe commun du cylindre[43] constitué des deux « dés » avant que ceux-ci ne soient écartés de part et d'autre de d'une faible distance suivant la direction non représenté sur la figure, placés dans le vide, à l'intérieur desquels règne un champ magnétostatique uniforme «», l'« interface tridimensionnel» entre les deux « dés » étant un espace champ électrique uniforme alternatif de champ électrique dirigé suivant non représenté sur la figure mais tel que la base cartésienne soit orthonormée directe créé en appliquant entre et une tension alternative «» délivrée par un générateur haute fréquence le sens de définition de la tension étant dans le sens de c'est-à-dire de et sur le schéma ci-contre.
Une particule de masse et de charge est injectée dans l'un des « dés » au voisinage de , perpendiculairement à la surface plane limitant le « dé », à la vitesse instantanée [10], l'action du champ magnétostatique sur la particule injectée communiquant à cette dernière une trajectoire semi circulaire centrée en et de rayon [44].
Dès que la particule sort d'un « dé », elle est soumise, avant de pénétrer dans l'autre « dé », à l'action du champ électrique existant dans l'« interface tridimensionnel étroit » séparant les deux « dés », correspondant à la valeur maximale ou minimale de la tension délivrée par le générateur de façon à accélérer la particule maximale ou minimale suivant le signe de la charge de la particule et le sens de passage.
Nous admettrons que la durée de chaque passage entre et est négligeable par rapport à celle de chaque traversée de « dé» et
Nous admettrons que l'étude peut être effectuée dans le cadre de la dynamique newtonienne, le référentiel d'étude lié au cyclotron étant galiléen.
Détermination de la fréquence de la tension accélératrice imposée entre les « dés »
Déterminer, en fonction de , et , la fréquence qu'il convient de donner à la tension accélératrice imposée entre les surfaces planes de chaque « dé » pour que les particules chargées soient effectivement accélérées chaque fois qu'elles traversent l'« interface tridimensionnel étroit » séparant les deux « dés ».
A.N.[45] : les particules à accélérer étant des protons avec une « norme de champ magnétostatique », «charge élémentaire» et «».
Solution
La particule injectée décrivant un mouvement circulaire uniforme à l'intérieur de chaque « dé » ou de vitesse angulaire égale à la pulsation cyclotron de la particule «», la durée pour parcourir un demi-cercle quelconque étant indépendante de ce dernier égale à «» et la particule devant accélérer lors de sa traversée de l'« interface tridimensionnel étroit » séparant les deux « dés » ce qui nécessite que la tension accélératrice prenne l'une ou l'autre de ses valeurs de crête positive ou négative suivant le signe de la charge de la particule et le sens de passage, nous en déduisons que «» doit correspondre à une demi période de la tension accélératrice, soit «» «» dont nous déduisons la fréquence de la tension accélératrice
«».
A.N.[45] : Cas de protons avec «», «charge élémentaire» et «», «» soit «».
Détermination du rayon de la nème trajectoire lors du passage de la particule dans l'un ou l'autre des « dés »
Sachant que la trajectoire d'une particule est formée d'une suite de demi cercles centrés au voisinage de , de rayons successifs «, , , avec »[46] reliés, dans l'« interface tridimensionnel » séparant les deux « dés », par des éléments de trajectoires rectilignes aux surfaces planes de ces deux « dés », déterminer le rayon en fonction de , , , , et l'amplitude de la tension accélératrice.
Solution
Description du mouvement d'une particule de charge à l'intérieur d'un cyclotron
Le rayon «» dépendant de la vitesse instantanée «»[10]ou norme du vecteur vitesse d'entrée sur le nème demi-cercle si l'orientation de la trajectoire est faite dans le sens du mouvement selon «» à connaître, il faut donc auparavant déterminer «» ;
lors de la 1re accélération c'est-à-dire à la sortie de la 1re trajectoire semi-circulaire de rayon on détermine en fonction de par application du théorème de l'énergie cinétique à la particule entre le point de sortie de la 1re trajectoire semi-circulaire de rayon et le point d'entrée de la 2ème trajectoire semi-circulaire de rayon dans le référentiel lié au cyclotron galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne ou par conservation de l'énergie mécanique newtonienne de la particule dans l'espace champ électromagnétique entre les mêmes points et dans le même référentiel soit : [47] «» ;
lors de la 2ème accélération c'est-à-dire à la sortie de la 2ème trajectoire semi-circulaire de rayon on détermine en fonction de par application du théorème de l'énergie cinétique à la particule entre le point de sortie de la 2ème trajectoire semi-circulaire de rayon et le point d'entrée de la 3ème trajectoire semi-circulaire de rayon dans le référentiel lié au cyclotron galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne ou par conservation de l'énergie mécanique newtonienne de la particule dans l'espace champ électromagnétique entre les mêmes points et dans le même référentiel soit : [48] «» ou, avec «» «» ;
hypothèse de récurrence : la vitesse instantanée [10] de la particule à la sortie de la pème trajectoire semi-circulaire de rayon est liée à celle sur la 1re trajectoire semi-circulaire de rayon par «» : hypothèse de récurrence : lors de la pème accélération c'est-à-dire à la sortie de la pème trajectoire semi-circulaire de rayon on détermine en fonction de par application du théorème de l'énergie cinétique à la particule entre le point de sortie de la pème trajectoire semi-circulaire de rayon et le point d'entrée de la (p + 1)ème trajectoire semi-circulaire de rayon dans le référentiel lié au cyclotron galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne ou par conservation de l'énergie mécanique newtonienne de la particule dans l'espace champ électromagnétique entre les mêmes points et dans le même référentiel soit : [49] «» ou, avec «» «», ce qui valide l'hypothèse de récurrence ;
en conclusion la propriété «» est établie par récurrence car elle est « démontrée pour » et «».
Nous en déduisons «» ou encore, en factorisant par , «» soit, en introduisant « le rayon du 1er demi-cercle suivi par la particule », l'expression du « rayon du nème demi-cercle suivi par la particule avant son éjection
».
Évaluation de la vitesse maximale atteinte par la particule à la sortie du cyclotron, du nombre de tours qu'elle a effectué et de son temps de transit dans l'accélérateur
Des protons étant injectés dans le cyclotron précédemment décrit sur une trajectoire de rayon «», la norme du champ magnétostatique ayant pour valeur «», le diamètre utile du cyclotron étant «» et l'amplitude de la tension accélératrice valant «», calculer :
la vitesse maximale atteinte par les protons sortant tangentiellement du cyclotron,
le nombre de tours effectués par les particules dans l'appareil et
leur temps de transit «» dans l'accélérateur.
Solution
Données : Injection de protons de charge «charge élémentaire», de masse «» sur une trajectoire initiale de rayon «» dans un des « dés » dans lesquels règne un champ magnétostatique de norme «», la tension accélératrice entre les « dés » étant d'amplitude «», chaque « dé » étant de rayon utile «» :
Données :Vitesse maximale atteinte par les protons sortant tangentiellement du cyclotron : le rayon utile des « dés » du cyclotron s'identifiant au plus grand rayon possible des trajectoires semi-circulaires des protons soit «» nous en déduisons la vitesse maximale de sortie des protons «» soit «» ou approximativement «» c'est-à-dire ce qui valide l'utilisation de la dynamique newtonienne.
Données :Nombre de tours effectuée par les protons dans l'appareil avant éjection : de «», nous en déduisons la vitesse d'injection des protons sur leur 1re trajectoire semi-circulaire dans l'un des « dés » «»[50] dont nous tirons aisément que «» et par suite la possibilité de déterminer par «» soit «» d'où «»[51] et numériquement «» soit finalement un maximum de demi-tours correspondant à « tours ».
Données :Temps de transit des protons dans l'accélérateur : le temps de transit «» des protons dans l'accélérateur correspond à leur durée de séjour dans l'ensemble des « dés » car la largeur de l'interface tridimensionnel entre les « dés » étant faible, la durée de séjour des protons dans cet interface est négligeable devant celle dans les deux « dés » c'est-à-dire «» soit numériquement «» et finalement «».
Freinage d'une particule dans une chambre à bulles
Considérons une particule chargée de masse pénétrant en dans une région où règne un champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse initiale au champ ; la particule se déplace dans un milieu qui exerce sur elle une force de frottement fluide linéaire «» dans laquelle « est le vecteur vitesse de la particule à l'instant » et « est une constante réelle positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique[52] et de la densité du fluide ainsi que de la dimension de la particule » en plus de la particule se déplace dans un milieu qui exerce sur elle la force magnétique de Lorentz[4] due à son déplacement dans l'espace champ magnétostatique uniforme.
Nous admettrons que l'étude peut être faite dans le cadre de la dynamique newtonienne et que le référentiel d'étude est galiléen.
Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme
Pour définir le repère cartésien lié au référentiel d'étude , on choisit l'origine en , le vecteur unitaire colinéaire à et de même sens avec , le vecteur unitaire colinéaire à et de même sens avec et le vecteur unitaire tel que la base soit orthonormée directe .
Après application de la r.f.d.n[2]. à la particule chargée de masse dans le référentiel d'étude , déduire les trois équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de cette particule soumise un frottement fluide linéaire dans l'espace champ magnétostatique uniforme on vérifiera que deux des trois équations différentielles forment un système d'équations différentielles couplées puis,
les réécrire en introduisant la pulsation cyclotron « algébrisée » de la particule «»[53] ainsi que la constante de temps d'amortissement de celle-ci dans le fluide «».
Solution
L'application de la r.f.d.n[2]., dans le référentiel d'étude galiléen, à la particule chargée de masse se déplaçant dans un milieu matériel visqueux où règne un champ magnétostatique uniforme , nous donne, sachant que est soumis
à la force magnétique de Lorentz[4] «» avec le vecteur vitesse de la particule à l'instant dans et
à la force de frottement fluide linéaire «» avec « une constante réelle positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique[52] et de la densité du fluide ainsi que de la dimension de la particule,
« avec le vecteur accélération de la particule au même instant dans » soit encore
l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule en «» ;
sachant que «» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «» nous en déduisons les composantes cartésiennes «» en effectuant les calculs suivants[16] : , et «»[17] et par suite
les équations différentielle scalaires du mouvement de la particule en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de celle-ci en projetant l'équation différentielle vectorielle du mouvement de cette dernière sur chacun des axes du repère cartésien soit «» ou, en normalisant, «» et enfin, en introduisant la pulsation cyclotron « algébrisée » de la particule «»[53] et la constante de temps d'amortissement de celle-ci dans le fluide «»
«» les équations et étant couplées.
Détermination des lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme
Déterminer la loi horaire de vitesse puis de position de la particule suivant la direction et résolvant l'équation différentielle non couplée aux deux autres.
Découpler les deux autres équations différentielles en introduisant la vitesse complexe «» et déterminant l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en homogène,
en déduire la loi horaire de vitesse complexe puis les deux lois horaires de vitesse selon et ;
enfin introduire la position complexe «» et déduire de la loi horaire de vitesse complexe celle de position complexe puis les deux lois horaires de position selon et .
Solution
L'équation différentielle «» étant linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre homogène s'intègre en «»[21], la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» d'où «» puis, intégrant «» en «», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» d'où «» d'où
la nature plane du mouvement de la particule dans le « plan » plan passant par et à .
Les équations différentielles «» étant « couplées par produit vectoriel » se découplent en introduisant la vitesse complexe «» et en formant la C.L[18]. «» «» se réécrivant selon «»[19],[54] soit finalement l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en « vitesse complexe » homogène
«» ;
la solution de cette équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en «» homogène s'écrit «» avec constante complexe d'intégration[21], se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» le vecteur vitesse initiale étant «» d'où finalement
la loi horaire de vitesse complexe «» ;
prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon «» ou encore, quel que soit le signe de la charge , «» avec « la pulsation cyclotron de la particule » et
prenant la partie imaginaire de nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon «» ou encore, suivant le signe de la charge , «» avec « la pulsation cyclotron de la particule » ;
les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan sont «» avec « la pulsation cyclotron de la particule ».
La vitesse complexe «» étant la dérivée temporelle de la position complexe «» «» qui s'intègre selon «», se déterminant à l'aide de la C.I[7]. «» la particule étant initialement en d'où «» et nous déduisons finalement
la loi horaire de position complexe «» ou avec «» et «», «» ;
prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon «» ou encore, «» avec «»[55] et
prenant la partie imaginaire de nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon «» ou encore, «» avec «»[56] ;
les lois horaires de position de la particule dans le plan sont «» avec «», «» et «» «», s'écrivant encore selon le signe de , «»[57] avec « la pulsation cyclotron de », «», «» et «».
Tracé de la courbe suivie par la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme avec existence d'un point asymptotique sur la trajectoire
Représenter la trajectoire de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme dans le cas où la charge de la particule est 0 et
montrer que la trajectoire admet un point asymptotique «».
Solution
Tracé de la trajectoire d'un proton entrant en avec une vitesse initiale le long de dans un milieu visqueux où règne un champ magnétostatique uniforme orienté selon , le frottement fluide étant linéaire à viscosité modéréeTracé de la trajectoire d'un proton entrant en avec une vitesse initiale le long de dans un milieu visqueux où règne un champ magnétostatique uniforme orienté selon , le frottement fluide étant linéaire à faible viscosité
Les lois horaires de position de dans le plan étant
d'une part les équations cartésiennes paramétriques de sa trajectoire dans ce plan et
d'autre part celles-ci étant pseudo-périodiques à amortissement exponentiel de même pseudo-période se réécrivant «» la particule étant de charge positive,
nous en déduisons le caractère « spiralant » de la trajectoire, la spirale étant décrite dans le sens horaire du plan pour une particule de charge positive elle serait décrite dans le sens anti-horaire pour une particule de charge négative autour d'un point asymptotique , la particule effectuant d'autant plus de tours avant d'atteindre « pratiquement »[58] ce dernier, voir ci-contre :
L'existence d'un point asymptotique pour la trajectoire de la particule dans le plan résulte de celle d'une limite finie des coordonnées de quand , cette limite finie définissant chaque coordonnée de soit «» «» ou encore «» soit, après simplification et multiplication par de façon à exprimer les coordonnées de en fonction de «» rayon de la trajectoire en absence de frottement fluide et du paramètre sans dimension «» au cœfficient caractéristique de la viscosité dynamique[52] et de la densité du fluide ainsi que de la dimension de la particule dans la force de frottement fluide linéaire,
«» avec «» et «» s'écrivant encore «».
Remarque : Nous constatons que la limite du « point asymptotique de la trajectoire de la particule dans le plan » quand le cœfficient «» caractérisant la viscosité dynamique[52] et la densité du fluide ainsi que la dimension de la particule dans la force de frottement fluide linéaire «» est le centre de la trajectoire circulaire de la particule soumise à la seule force magnétique de Lorentz[4] dans le plan .
Positionnement du point asymptotique de la trajectoire de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme
Déterminer la distance séparant le point asymptotique «» de la trajectoire de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme de sa position initiale «» soit «» et
Déterminer l'angle que fait la direction du point asymptotique «» à partir de la position initiale «» de la particule avec le vecteur vitesse initiale de cette dernière «».
Solution
La distance séparant la position initiale «» de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme, du point asymptotique «» de la trajectoire suivie par la particule, est définie selon «» soit finalement
«» avec «» et «»[61] ou encore «» avec « la pulsation cyclotron de » et « la constante de temps d'amortissement de dans le fluide » ;
l'angle que fait la direction du point asymptotique «» à partir de la position initiale «» de la particule avec le vecteur vitesse initiale «» de cette dernière, est défini selon «» soit finalement
«» avec «»[62] ou encore «» avec « la pulsation cyclotron de » et « la constante de temps d'amortissement de dans le fluide ».
Actions simultanées, sur une particule chargée pénétrant en O dans un espace champ magnétostatique uniforme constitué d'un milieu matériel, de la force magnétique de Lorentz due au champ magnétostatique et des interactions électriques avec le milieu matériel environnant modélisées par une force de rappel de centre O, la particule pénétrant en O avec un vecteur vitesse perpendiculaire au champ
Un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «» étant repéré par le trièdre , de base cartésienne orthonormée directe «», étant colinéaire et de même sens que avec , une particule chargée «» de masse « pénètre à en » dans cet espace avec une « vitesse initiale au champ », étant colinéaire et de même sens que avec ;
le milieu dans lequel pénètre la particule étant matériel, celle-ci subit, en plus d'une force magnétique de Lorentz[4] due à l'action du champ magnétostatique, le milieu dans lequel pénètre la particule étant matériel, celle-ci subit, une force due aux interactions électriques de la particule avec le milieu matériel modélisée par une force linéaire de rappel vers le point d'entrée dans le milieu soit «» étant une constante caractérisant l'évolution électrique du milieu par rapport à son point particulier .
Nous supposons que l'étude peut être faite dans le cadre de la dynamique newtonienne et que le référentiel d'étude est galiléen.
Détermination de l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule
Par application de la r.f.d.n[2]. à la particule chargée de masse dans le référentiel d'étude , déterminer l'équation différentielle vectorielle du mouvement de celle-ci.
Solution
L'application de la r.f.d.n[2]., dans le référentiel d'étude galiléen, à la particule chargée de masse soumis à la force magnétique de Lorentz[4] «» dans laquelle est le vecteur vitesse de la particule à l'instant dans et à une force d'interaction électrique avec le milieu matériel modélisée par la force linéaire de rappel vers le point de pénétration de la particule dans le milieu «» étant une constante caractérisant l'évolution électrique du milieu par rapport à son point particulier donne « avec le vecteur accélération de la particule au même instant dans » soit «» d'où l'équation différentielle vectorielle normalisée du mouvement de la particule en son vecteur position
«».
Établissement de la nature plane du mouvement de la particule
Montrer que le mouvement de la particule se fait dans le plan contenant le vecteur vitesse initiale et au champ magnétostatique , c'est-à-dire le « plan ».
Solution
Sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est à chacun de ses vecteurs[6], nous en déduisons que la force magnétique de Lorentz[4] «» est au champ magnétostatique uniforme c'est-à-dire à vecteur unitaire colinéaire à et de même sens d'où la projection de l'équation différentielle vectorielle sur «» correspondant à l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amortile long de [63] soit encore, avec « la pulsation propre de cet oscillateur harmonique », la réécriture de l'équation différentielle de ce dernier sous forme canonique «» ;
l'équation différentielle normalisée étant linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre, avec pour cœfficient de «»[64], la solution s'écrit «»[65], les constantes et se déterminant à l'aide des C.I[7]. «» et «» d'où
«» reporté dans impliquant «» «» et
«» reporté dans impliquant soit «» «»,
soit la nature plane du mouvement de la particule dans le plan contenant le vecteur vitesse initiale et au champ magnétostatique , c'est-à-dire le « plan ».
Détermination du système d'équations différentielles cartésiennes couplées du mouvement de la particule relativement aux deux directions x'x et z'z
Expliciter le système des deux équations différentielles cartésiennes couplées du mouvement de la particule relatives à « et » c'est-à-dire les lois horaires de l'abscisse et de la cote de cette dernière ;
faire une réduction canonique de ce système en posant «» et «».
Solution
Sachant que «» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule dans le plan selon «» nous en déduisons les composantes cartésiennes «» en effectuant les calculs suivants[16] :
les équations différentielle scalaires cartésiennes du mouvement de la particule dans le plan en projetant l'équation différentielle vectorielle du mouvement de cette dernière sur chacun des deux axes du plan soit «» ou, en posant «» et «»,
«».
Découplage des deux équations différentielles cartésiennes couplées du mouvement de la particule relativement aux deux directions x'x et z'z par introduction de la position complexe « x(t) + i z(t) » avec explicitation puis résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2ème ordre en cette position complexe
Découpler les deux équations différentielles cartésiennes du mouvement de la particule relativement aux deux directions et en introduisant la position complexe «» et
déterminer l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2ème ordre en homogène puis
la résoudre en explicitant la forme que doit suivre la loi horaire de position complexe «» de la particule étudiée
la résoudre en explicitantvérifier que celle-ci est de la forme «» avec « et grandeurs réelles vérifiant » à expliciter.
Solution
Les équations différentielles «» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la position complexe «» et en formant la C.L[18]. «» «» ou, en regroupant les termes de même ordre de dérivées temporelles « deux, un ou zéro », «»[67],[68] soit finalement l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2ème ordre en « position complexe » homogène
«» ;
la solution de cette équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2ème ordre en «» homogène s'obtient en résolvant, dans , l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle à savoir «»[69] de discriminant réduit «» les solutions de l'équation caractéristique «» ou «» soit la solution de l'équation différentielle à cœfficients complexes constants du 2ème ordre en «» homogène s'écrivant sous la forme
«» avec «» avec et des constantes à déterminer à l'aide des C.I[7]. « et », soit
«» d'où «» permettant de réécrire «» et
«» dans laquelle «» d'où «»
dont nous déduisons finalement la loi horaire de position complexe de la particule dans le plan
«» avec «» «».
Détermination des lois horaires de position de la particule relativement aux deux directions x'x et z'z
Déduire de la loi horaire de position complexe «» de la particule étudiée, celles de position de cette particule relativement aux deux directions et c'est-à-dire «» et «» en fonction de «, , et ».
Solution
Nous déterminons « et » en prenant respectivement les parties réelle et imaginaire de «» soit :
«» ou, avec la formule de trigonométrie «»[70] d'où la loi horaire de position de la particule le long de l'axe
«» avec « et » «» d'où «» avec «» et «» «» et » et
«» ou, avec la formule de trigonométrie «»[71] d'où la loi horaire de position de la particule le long de l'axe
«» avec « et » «» d'où «» avec «» et «» «» et ».
Étude de la variation en fonction du temps de la position de la particule relativement à chaque direction x'x et z'z, tracé l'allure de leur diagramme horaire puis de la trajectoire suivie par la particule étudiée
Vérifier que les lois horaires de position de la particule relativement aux directions et se mettent sous la forme «» dans lesquelles « et varient plus lentement que » «» et «» sont donc les « pseudo-amplitudes » respectives de et ;
tracer l'allure des diagrammes horaires de variation de «» et «», vérifier qu'elles ont même période et expliciter celle-ci puis,
tracer l'allure des diagrammes horaires de variation de «» et «», expliciter la pseudo-période commune et commenter l'évolution de et de en fonction du temps en termes de modulation d'amplitude de période à expliciter ;
tracer l'allure de la trajectoire de la particule sur une période de modulation d'amplitude et
comparer ce tracé à celui que suivrait la même particule en absence d'interactions électriques avec le milieu matériel c'est-à-dire sans force modélisée par «».
Solution
À partir de la loi horaire de position de le long de l'axe «» nous vérifions que «» dans laquelle «» de pulsation « varie plus lentement que » ; À partir de la loi horaire de position de M le long de l'axe x'x «» est donc une fonction pseudo-périodique du temps de « pseudo-période » avec, pour fonction du temps réalisant la modulation d'amplitude «» le signal modulant périodique de « période » qui est et en général à la pseudo-période du signal modulécomme le signal modulant est sinusoïdal et que la pseudo-amplitude du signal modulé est définie positivement, cette dernière s'écrit et sa périodicité définissant la période de modulation d'amplitude , celle-ci vaut donc «», voir ci-dessous à gauche la superposition du diagramme horaire du signal modulant en rouge et de celui du signal modulé en noir dans le cas où la période du signal modulant vaut fois la pseudo-période du signal modulé ;
Superposition du diagramme horaire du signal modulant (en rouge) et de celui du signal modulé (en noir) sur une période du signal modulant représentant pseudo-périodes du signal moduléSuperposition du diagramme horaire du signal modulant (en rouge) et de celui du signal modulé (en noir) sur une période du signal modulant représentant pseudo-périodes du signal modulé
à partir de la loi horaire de position de le long de l'axe «» nous vérifions que «» dans laquelle «» de pulsation « varie plus lentement que » ; à partir de la loi horaire de position de M le long de l'axe z'z «» est donc une fonction pseudo-périodique du temps de « pseudo-période » avec, pour fonction du temps réalisant la modulation d'amplitude «» le signal modulant périodique de « période » qui est et en général à la pseudo-période du signal modulécomme le signal modulant est sinusoïdal et que la pseudo-amplitude du signal modulé est définie positivement, cette dernière s'écrit et sa périodicité définissant la période de modulation d'amplitude , celle-ci vaut donc «», voir ci-dessus à droite la superposition du diagramme horaire du signal modulant en rouge et de celui du signal modulé en noir dans le cas où la période du signal modulant vaut fois la pseudo-période du signal modulé.
Commentaire : la pseudo-amplitude de étant initialement nulle la particule oscille initialement en restant proche de l'axe alors que Commentaire : la pseudo-amplit celle de étant initialement maximale les oscillations initiales de se font quasiment sur l'axe , Commentaire : ensuite et les pseudo-oscillations de se font pratiquement suivant une direction de plus en plus inclinée relativement à l'axe en se rapprochant de l'axe , la rotation de la direction des pseudo-oscillations se faisant dans le sens anti-horaire du plan le sens de mesure des angles orientés de ce plan étant défini par , Commentaire : puis plus tard, la pseudo-amplitude de étant maximale alors que celle de est nulle les pseudo-oscillations de se font quasiment sur l'axe , la direction des pseudo-oscillations ayant tourné de ou de dans le sens anti-horaire, Commentaire : par la suite et les pseudo-oscillations de se font pratiquement suivant une direction de plus en plus inclinée relativement à l'axe en se rapprochant de l'axe , la rotation de la direction des pseudo-oscillations se poursuivant dans le sens anti-horaire du plan , Commentaire : enfin plus tard relativement à l'instant initial, la pseudo-amplitude de étant de nouveau nulle alors que celle de est maximale les pseudo-oscillations de se font de nouveau quasiment sur l'axe , la direction des pseudo-oscillations ayant tourné de depuis l'instant initial ou de dans le sens anti-horaire les pseudo-oscillations de la particule se sont donc pratiquement effectuées sur toutes les directions du plan [72] ; Commentaire : en conclusion retrouvant approximativement le mouvement initial de à l'instant nous pouvons convenir que le mouvement de à l'instant se retrouve pratiquement à l'identique à l'instant et par suite en déduire que «car est étant la pulsation cyclotron de la particule» mesure la périodicité pratique du mouvement de la particule.
Début de trajectoire d'une particule injectée en dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ avec une vitesse initiale et soumise, en plus de la force magnétique de Lorentz[4], à une force de rappel linéaire vers le point d'injectionTrajectoire d'une particule injectée en dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ avec une vitesse initiale et soumise, en plus de la force magnétique de Lorentz[4], à une force de rappel linéaire vers le point d'injection, trajectoire tracée sur une période étant la pulsation cyclotron de la particule
Voir ci-contre à gauche le tracé du début de trajectoire de la particule , de masse , injectée en avec un vecteur vitesse initiale dans un milieu matériel baignant dans un champ magnétostatique uniforme , les interactions électriques de avec le milieu matériel étant modélisées par une force de rappel linéaire «», le tracé étant effectué sur le 1er cinquième de la « période pratique du mouvement de la particule car est étant la pulsation cyclotron de la particule» et
Voir ci-contre à droite le tracé de la trajectoire de la particule , de masse , injectée au même endroit dans les mêmes conditions avec les mêmes modélisations, le tracé étant maintenant sur la « période pratique du mouvement de la particule étant la pulsation cyclotron de la particule».
Remarques : L'étude du mouvement de la particule est effectué à partir de l'instant , à cet instant elle est en situé au centre de l'espace champ magnétostatique avec un vecteur vitesse , ce qu'a été son mouvement avant n'est théoriquement pas notre problème pratiquement nous pourrions supposer que sur la partie négative de l'axe ni l'espace champ magnétostatique ni le milieu matériel n'existaient pour , d'où la possibilité d'injecter la particule en avec un vecteur vitesse connu, avec pour conséquence l'impossibilité d'obtenir un tracé complet de la trajectoire sur une « période pratique de son mouvement » ou, si nous souhaitons obtenir le tracé complet, supposer que l'espace champ magnétostatique et le milieu matériel sont créés sur la partie négative de l'axe après injection de la particule ;
Remarques : en absence d'interactions électriques avec le milieu matériel c'est-à-dire sans force modélisée par «», la particule entrant en avec le vecteur vitesse initiale dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ décrirait, dans le plan , un « cercle de centre » dans le sens anti-horaire du plan le sens de mesure des angles orientés de ce plan étant défini par « à la vitesse angulaire », le rayon du cercle «» s'écrivant en fonction de l'« unité choisie sur les axes des deux tracés ci-dessus » soit, en notant «» cette unité, «» soit, avec les valeurs numériques proposées sur les tracés ci-dessus, «» ; Remarques : alors que l'absence d'interactions électriques entre le milieu matériel et la particule permet à de s'éloigner de jusqu'à une distance maximale de unités de longueur, l'intervention des interactions électriques avec le milieu matériel localise relativement à à l'intérieur d'un cercle de centre et de unité de longueur nette limitation de l'éloignement de la particule relativement à sa position d'entrée due à la modélisation des interactions électriques par une force de rappel linéaire.
↑ 4,004,014,024,034,044,054,064,074,084,094,104,114,124,13 et 4,14Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) est un physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en ; Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en . Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ 11,0 et 11,1Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
↑ 15,0 et 15,1Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémontrégion actuelle de l'Italie à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en et proposée indépendamment par Ampère en , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules » ; André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
↑ 17,017,1 et 17,2 Il est aussi possible d'effectuer, en ligne, le calcul du produit vectoriel de deux vecteurs à partir des composantes de ces derniers en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit ici «» soit encore, après factorisation scalaire, «» et le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs de base , «».
↑ 19,019,1 et 19,2 Comme le découplage par introduction de «» et C.L. «» est possible dès que le couplage résulte d'un produit vectoriel, il suffit de « mettre le cœfficient de en facteur commun » des termes à et , le facteur restant étant alors nécessairement «» ce qui est effectivement vérifié car le cœfficient de étant l'opposé du cœfficient de c'est-à-dire le cœfficient de multiplié par .
↑ 20,0 et 20,1 L'utilisation de la remarque de la note « 19 » précédente au cas présent donne «».
↑ 23,023,123,2 et 23,3 En effet se réécrit, en utilisant selon .
↑ 24,0 et 24,1 L'hodographe de pôle du mouvement de dans le référentiel est l'ensemble des positions dans tel que «» le symbole signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, il sous-entend le choix d'une échelle des vitesses, voir aussi le paragraphe « définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ 25,0 et 25,1Blaise Pascal (1623 - 1662) mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses premiers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1re machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de premier ordre il a publié à un traité de géométrie projective, a développé en une méthode de résolution du problème des partis ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des probabilités ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir LesProvinciales et les Pensées qui ne furent publiées qu'après sa mort.
↑ En effet de on tire «» et de on tire «» ; on élimine partiellement le paramètre en utilisant soit «».
↑ En effet de on tire «» et de on tire «» ; on élimine le paramètre en utilisant soit «».
↑ Pour une courbe paramétrée, un point de rebroussement est d'abord un point singulier point en lequel la dérivée 1re des coordonnées par rapport au paramètre s'annule simultanément c'est-à-dire, si est la valeur du paramètre définissant un point singulier de la courbe, et Pour une courbe paramétrée, un point de rebroussement est d'abord un point singulier pour lequel il existe deux demi-tangentes à la courbe de pentes distinctes sachant que la pente pour est le quotient de la dérivée 2nde de sur celle de pour soit «» et qu'il en est de même pour soit «», le point singulier est un point de rebroussement si «» ; Pour une courbe paramétrée, un point de rebroussement est d'abord un point singulier le point de rebroussement est dit de 1re espèce si les pentes des demi-tangentes à la courbe en ce point sont opposées soit «» «» sinon il est dit de 2ème espèce.
↑ L'hodographe de pôle du mouvement du point sur la cycloïde droite étant symétrique relativement à l'axe , les tangentes en des points de symétriques par rapport à ont des pentes opposées et en particulier, pour , la demi-tangente à en pour étant la symétrique de la demi-tangente à en pour , leurs pentes sont effectivement opposées
↑ Par contre on observe une même droite tangente à en à , n'étant d'ailleurs pas un point singulier pour bien que les points correspondants sur la trajectoire de en soient.
↑ 32,0 et 32,1Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien (1864 - 1928) physicien allemand qui publia la loi portant son nom en précisant la répartition spectrale du rayonnement du corps noir pour les courtes longueurs d'onde ; à partir de il mit au point des bases de spectrométrie de masse pour ses travaux des rayons anodiquessans doute est-ce la raison pour laquelle le filtre de vitesses porte son nom ; Wilhelm Wien reçut le prix Nobel de physique de pour ses découvertes sur les lois du rayonnement de la chaleur.
↑ En effet de on tire «» et de on tire «» ; on élimine partiellement le paramètre en utilisant soit «».
↑ En effet, à partir de où est en , pendant le 1er quart de période alors que sur le même quart de période, ce qui correspond effectivement à une rotation dans le sens horaire, la vitesse angulaire de rotation étant alors .
↑ Dans l'hypothèse où la trajectoire de resterait localisée dans l'espace champ magnétostatique, sinon sortant de ce dernier avant d'avoir effectué un tour complet, le caractère périodique de son mouvement n'a plus de signification.
↑ On rappelle que ces équations supposent et que l'ordonnée de l'impact s'écrivant correspond à «».
↑ 41,0 et 41,1 Avec une ordonnée pour un isotope donné d'autant plus grande en valeur absolue que la vitesse initiale est faible car «».
↑ 42,0 et 42,1Joseph John Thomson (1856 - 1940) physicien britannique, prix Nobel de physique en pour ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz lui ayant permis de prouver l'existence de l'électron en tant que particule ponctuelle.
↑ 43,0 et 43,1 Quand un « cylindre métallique » est vide de matière, on parle plutôt de « tuyau cylindrique métallique ».
↑ La vitesse instantanée d'injection étant faible et l'injection se faisant au voisinage de , nous admettrons que la trajectoire est de centre et que le rayon est petit.
↑ Nous supposons donc la suite de demi cercles comprend au moins trois demi cercles.
↑ En effet si est cas de la figure, l'accélération de la particule nécessite que « le champ électrique soit orienté de point de sortie de la 1re trajectoire vers point d'entrée sur la 2ème trajectoire » c'est-à-dire que « la d.d.p. soit » le potentiel étant noté pour éviter une éventuelle confusion avec la norme du vecteur vitesse notée d'où le travail de la force électrique entre et s'évaluant selon avec la d.d.p. égale à la valeur de crête positive «» et En effet si est , l'accélération de la particule nécessite que « le champ électrique soit orienté de point d'entrée sur la 2ème trajectoire vers point de sortie de la 1re trajectoire » c'est-à-dire que « la d.d.p. soit » d'où le travail de la force électrique entre et s'évaluant toujours selon car les deux facteurs sont , avec la d.d.p. égale à la valeur de crête négative soit «».
↑ En effet si est cas de la figure, l'accélération de la particule nécessite que « le champ électrique soit orienté de point de sortie de la 2ème trajectoire vers point d'entrée sur la 3ème trajectoire » c'est-à-dire que « la d.d.p. soit » d'où le travail de la force électrique entre et s'écrivant avec la d.d.p. égale à la valeur de crête positive «» et En effet si est , l'accélération de la particule nécessite que « le champ électrique soit orienté de point d'entrée sur la 3ème trajectoire vers point de sortie de la 2ème trajectoire » c'est-à-dire que « la d.d.p. soit » d'où le travail de la force électrique entre et s'évaluant toujours selon car les deux facteurs sont , avec la d.d.p. égale à la valeur de crête négative soit «».
↑ En effet si est cas de la figure, l'accélération de la particule nécessite que « le champ électrique soit orienté de point de sortie de la pème trajectoire vers point d'entrée sur la (p + 1)ème trajectoire » c'est-à-dire que « la d.d.p. soit » d'où le travail de la force électrique entre et , avec la d.d.p. égale à la valeur de crête positive «» et En effet si est , l'accélération de la particule nécessite que « le champ électrique soit orienté de point d'entrée sur la (p + 1)ème trajectoire vers point de sortie de la pème trajectoire » c'est-à-dire que « la d.d.p. soit » d'où le travail de la force électrique entre et s'écrivant toujours car les deux facteurs sont , avec la d.d.p. égale à la valeur de crête négative soit «».
↑ 52,052,152,2 et 52,3 La définition de la viscosité dynamique d'un fluide n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1re notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux c'est-à-dire qu'il « collera » au plan ; si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude car la couche inférieure à l'altitude tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la contrainte de cisaillementc'est-à-dire la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard que l'on notera s'exprimant en , étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique du fluide par avec le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude , ceci impliquant que la viscosité dynamique du fluide s'exprime en encore appelé « poiseuille » de symbole , ce nom ayant été donné en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques ; c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite c'est-à-dire les molécules les plus éloignées des parois de la conduite ont la vitesse maximale on définit aussi une autre viscosité appelée viscosité cinématique notée qui dépend de la viscosité dynamique du fluide ainsi que de sa masse volumique selon s'exprimant donc en mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole égal à ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.
↑ 53,0 et 53,1 La pulsation cyclotron d'une particule est toujours car définie selon , son utilisation est intéressante lorsque le signe de la charge est connu, ce qui n'est pas le cas ici, aussi, pour éviter cet inconvénient, nous introduisons la notion non normalisée de pulsation cyclotron « algébrisée » «».
↑ L'utilisation de la remarque de la note « 19 » au cas présent donne «».
↑ En effet «» soit, en posant «» «», la réécriture du terme entre crochets «».
↑ En effet «» soit, en posant «» «», la réécriture du terme entre crochets «».
↑ En effet pour , « étant , », « étant , » d'où «» «» et «» alors que En effet pour , « étant , », « étant , » d'où «» «» et «».
↑ En fait l'amortissement étant exponentiel, la particule effectue un nombre de tours théoriquement infini avant d'atteindre le point asymptotique mais nous estimons que ce point est « pratiquement » atteint lorsque la distance le séparant de la particule est inférieure au minimum détectable expérimentalement.
↑ Pour l'exemple de tracé représenté à gauche dans la solution de la question précédente «» «» et pour celui représenté à droite dans la solution de la question précédente «» «».
↑ Pour l'exemple de tracé représenté à gauche dans la solution de la question précédente «» «» et pour celui représenté à droite dans la solution de la question précédente «» «».
↑ Il est aussi possible d'effectuer, en ligne, le calcul du produit vectoriel de deux vecteurs à partir des composantes de ces derniers en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit en l'appliquant ici «» soit encore, après factorisation scalaire, «» et le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs de base , «».
↑ Comme le découplage par introduction de «» et C.L. «» est possible dès que le couplage résulte d'un produit vectoriel, il suffit de « mettre le cœfficient de en facteur commun » des termes à et , le facteur restant étant alors nécessairement «» ce qui est effectivement vérifié car le cœfficient de étant l'opposé du cœfficient de c'est-à-dire le cœfficient de multiplié par .
↑ L'utilisation de la remarque de la note « 67 » précédente au cas présent donne «» soit, en mettant en facteur, «».
↑ Cette formule résulte de «» dont on tire «» et finalement la relation citée en posant et « et ».
↑ Cette formule résulte de «» dont on tire «» et finalement la relation citée en posant et « et ».
↑ En effet une pseudo-oscillation autour de dans le plan suivant une direction donnée de ce plan se faisant de part et d'autre de , il suffit que l'angle de la direction de pseudo-oscillation par rapport à une direction fixe du plan balaie un intervalle de largeur pour que toutes les directions de pseudo-oscillation du plan aient été décrites.
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
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![{\displaystyle {\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fec8b8fd9f86cffa472e3222e479a5bb62de37f)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {V}}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]={\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72d774c86c1cab71c3628dc837b73df0fc0d6e4)
![{\displaystyle \;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace {\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92ad7463d26660d6304e37d67950f4c25c2dd25)
![{\displaystyle \;V_{M,\,x}(t)=R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf25ee82877fbff4c92542924b772560c00d6f8)
![{\displaystyle \;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace {\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {E}{B}}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)=R\;\omega _{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da44dac41e39dd1bf345c8e77dec0583ac11128e)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{M,\,x}(t)=R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\V_{M,\,y}(t)=R\;\omega _{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e80469d63a6aa72ce6d4e7a60e6590159d1626)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}}{dt}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]={\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850da6d272e2abd766c2c714fd671136406599d2)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\dfrac {E}{B}}\,\left[t-{\dfrac {\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)}{-i\;\omega _{c}}}\right]+{\underline {cste}}={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\,\left[\omega _{c}\;t-i\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+{\underline {cste}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf25d3116057142368ef771e4d8ba49ea8dc50a)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\,\left\lbrace \omega _{c}\;t+i\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d683f4ba71475b1a65349c73275bf43d3c17036)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=R\,\left\lbrace \omega _{c}\;t+i\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f264f69ed257762503d8f93e6cd4c2e2a426d44d)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace R\;\omega _{c}\;t+i\;R\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =R\;\omega _{c}\;t+i\;R\,\left[+i\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e195742fe251db59f044ea9a7482d735f1683c03)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)=R\,\left[\omega _{c}\;t-\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d95eea32e1e0a2699d96db0f475bd59910e15ee)
![{\displaystyle \;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace R\;\omega _{c}\;t+i\;R\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =R\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67be2bda8d790e26ea4bc5d9f965c430ad02feea)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\,\left[\omega _{c}\;t-\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\y_{M}(t)=R\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256dc6c2186c97032259c1e46c1d62dea833d55a)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}X_{P}(t)\;{\widehat {=}}\;V_{\!M,\,x}(t)=R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\,t\right)\right]\\Y_{P}(t)\;{\widehat {=}}\;V_{\!M,\,y}(t)=R\;\omega _{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\,t\right)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8171e79f343b71e7b0474d1ed8ef29823eb4d85d)
![{\displaystyle \;x_{M}(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac1919a1733542f76ee3ef5fb4c5118f8e82590)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =R\;\omega _{c}\;{\sqrt {\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]^{\,2}+\sin ^{2}(\omega _{c}\;t)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17040a7742a39d70bfbb2b046a30d20204960fe)
![{\displaystyle \;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =R\;\omega _{c}\;{\sqrt {2\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbba0794f29eea3c68b2a277483d180bcf4926d)
![{\displaystyle \,X'X{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff177cc308ae17e629092029119d2c4f71f57c4)
![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)-0=W_{\left[0\,,\,t\right]}\!\left({\vec {F}}_{\text{élec}}\right)=q\;{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {OM}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38178acee68e41b41485b8d8d4f84cc52f95e1d5)
![{\displaystyle \;y_{M}(t)=R\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2700e713fb26bd00dbbcb6db309b502d5daed5)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)=q\;E\;R\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322a7faad592939189615d2e584c111fd6bbcae9)
![{\displaystyle \;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert ={\sqrt {2\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;R\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]}}=2\;{\sqrt {{\dfrac {q}{m}}\;E\;R}}\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc4b8155bd3685b7f44b8a6f84bcfb7e86982e6)
![{\displaystyle \;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace \left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\right\rbrace =\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd4e2ea5eb8ce59c849026d6e70e47122afc47c)
![{\displaystyle \;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace \left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\right\rbrace =-\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)=-\left(V_{0}-R\;\omega _{c}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae72adb25a0577289f241cc0410b9a405562456)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=-i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\right)\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+{\dfrac {E}{B}}\;t\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1bb89dab871b006883ecee244dae4c8efa1efc)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=-i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+R\;\omega _{c}\;t\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f297d5af46cff8d6acc2f78a11c18ad8e7246ba2)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace -i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+R\;\omega _{c}\;t\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3427cca9060423ec8a6eaac12206e713d1f82dd)
![{\displaystyle R\;\omega _{c}\;t-i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[+i\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718d2b9860fc1b1ef832486924580cab0371beb4)
![{\displaystyle \;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace -i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+R\;\omega _{c}\;t\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ebfea4defe3f9616fc5beac2bd27d461b7a741)
![{\displaystyle =-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf6a1319f465a4e0da054bb8e55268ff720176b)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\;\omega _{c}\;t+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{M}(t)=-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7b476a16eeb7d0c27595e2efdf082dd1abb937)
![{\displaystyle \;\left[y_{M}-\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\right]^{2}+\left(x_{M}-R\;\theta \right)^{2}=\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)^{\!2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463b4fdc8cf5d1e8b210fe6d19ad43faeeaa781f)
![{\displaystyle \;R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2833322020f96cd7e70acf2caf6223d5646d04)
![{\displaystyle \;x'x{\Big \}}{\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852e677ce2c73cd5015a9124a43d45fbcf4ec71d)
![{\displaystyle \;\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730bb879d77705e500fa6b455e311b65bdf9dacf)
![{\displaystyle \;{\bigg [}X=2\;\pi \;R=2\;\pi \;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}=V_{\text{filtre}}\;{\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}=V_{\text{filtre}}\;{\dfrac {2\;\pi \;m}{q\;B}}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b56a903af7798eb58d99cd4232e221a39835353)
![{\displaystyle \;y=-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7622091e95c13a0655126c30fa23dc34ac8f760)
![{\displaystyle \;x'x{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0433a105dab8685822b12d4237e95529da0bc0fd)
![{\displaystyle \;A\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{A}(t)=R\;\omega _{c}\;t-\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{A}(t)=\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910861b2650f96f729c92fcdcac93f2241e8d951)
![{\displaystyle \;A\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}x_{A}(t)=x_{C}(t)+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\sin(\theta )\!\!&=&\!\!R\;\omega _{c}\;t+\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{A}(t)=y_{C}+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\cos(\theta )\!\!&=&\!\!-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2261d582d5892cee4ddb5734e3b58e50d99226c6)
![{\displaystyle \;A'\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{A'}(t)=x_{A}(t)=R\;\omega _{c}\;t-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{A'}(t)=-y_{A}(t)=\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679fd38dbc7bc47e9b9353edf2a7c03d98559847)
![{\displaystyle {\big )}{\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1f73c56c11caa77b39f9a05731a52e68d64661)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[V_{M,\,x}+i\;V_{M,\,y}\right]}{dt}}(t)=-i\;\omega _{c}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a294ffb928aa6f2c1e0321d45cf25a329cc5e33)
![{\displaystyle \;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left[V_{0}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]=V_{0}\;\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1453793727e9e1a45632b8fa1d340d6b2b1fbd1)
![{\displaystyle \;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left[V_{0}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]=-V_{0}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbca8e663dbbb09be6a3be6adcd04ef8649d1c8f)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=-i\;{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b04df40efd6c3980f020f3cd0a3bca1bfb5c939)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=-i\;{\mathcal {R}}_{c}\;\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dcb086c17801257e7677f63238b5ec9aa53eb03)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace -i\;{\mathcal {R}}_{c}\;\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b16d5b41ec2d848c5ff10c177b7fae2ee8985c1)
![{\displaystyle -i\;{\mathcal {R}}_{c}\,\left[+i\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d21d22b25e28608c71b8a0bad476639e5cf9ee)
![{\displaystyle \;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace -i\;{\mathcal {R}}_{c}\;\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43998504cfbdab7f1845e498572ee6739b016d3b)
![{\displaystyle -{\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d4ad7c115a9ea03aad0ea2f6e3de10dd1c6122)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\mathcal {R}}_{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{M}(t)=-{\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e2c9b9a0140c8c1bd193228ff82307adccdf40)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c}x_{M}(t)\!\!&=&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\!\!&&\!\!\!\!&\simeq &\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\omega _{c}\;t\\y_{M}(t)\!\!&=&\!\!-{\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\!\!&\simeq &\!\!-{\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\left(1-{\dfrac {(\omega _{c}\;t)^{2}}{2}}\right)\right]\!\!&=&\!\!-{\mathcal {R}}_{c}\;{\dfrac {\omega _{c}^{2}\;t^{2}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ada3023fd0f6428bfce3570656ef360e54d0830)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\mathcal {R}}_{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{M}(t)={\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\z_{M}(t)={\dfrac {q}{2\;m}}\;E\;t^{2}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c0461fb8ceae99e05afa06ee40093879b14380)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[V_{M,\,x}+i\;V_{M,\,y}\right]}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1d5d4dabc07c0099e29cb4aca565b4d11d9044)
![{\displaystyle -i\;{\overline {\omega }}_{c}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5619b7816985c0b8188d6c7b785f9d78ab4d4b3c)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {V}}}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38619ecc3ded536bb77f5d910ee93ddce945086f)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{0}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a0dffb0d7831020c3c094bfcf720543190592)
![{\displaystyle \;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace V_{0}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f6b4ce96b7a84bf8fdba9d537cdbb2fa933d01)
![{\displaystyle \;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace V_{0}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =-V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28c2221cd56053be9e6a56017f35e92f529045c)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}}{dt}}(t)=V_{0}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23911aaf6d1bbd0c59adc84d475d81c591c1799)
![{\displaystyle =V_{0}\;{\dfrac {\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]}{-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)}}+{\underline {cste}}=V_{0}\;{\dfrac {-{\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}}{{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}+{\overline {\omega }}_{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]+{\underline {cste}}=V_{0}\;\tau \;{\dfrac {-1+i\;{\overline {\omega }}_{c}\;\tau }{1+{\overline {\omega }}_{c}^{\,2}\;\tau ^{2}}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]+{\underline {cste}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e63a6f75fe1efa3fce94c57a2e70f72cf150e7)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=V_{0}\;\tau \;{\dfrac {1-i\;{\overline {\omega }}_{c}\;\tau }{1+{\overline {\omega }}_{c}^{\,2}\;\tau ^{2}}}\,\left\lbrace 1-\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f888bf0f47c94b41ebdef18b5ab05264548c394f)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left\lbrace 1-\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f880f8d61b059a65bc6c213d4013ca0e16bb14c)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace {\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace +\Re \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d9297a4a44feefacd6f88533d75d4b983f4ff0)
![{\displaystyle {\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}+\Re \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace \;\Re \!\left\lbrace \exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace -\Im \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace \;\Im \!\left\lbrace \exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace ={\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)+{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}^{\,2}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61652a87ee7f7202ebfeb5559532bd6d653b71c2)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)={\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left\lbrace 1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\left[\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)-{\overline {\xi }}\;\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t+{\overline {\varphi }}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9202dda8b148eacaf2a27957855f8baa658bc51c)
![{\displaystyle \;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace {\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace +\Im \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f380ce12e0524ed9dda439ac3c8a2596e0a5d6bb)
![{\displaystyle -{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}^{\,2}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}+\Re \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace \;\Im \!\left\lbrace \exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace +\Im \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace \;\Re \!\left\lbrace \exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}^{\,2}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}+{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)+{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}^{\,2}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44937993e5fc7c7e2c42e8ba62f5fcd2fa30759b)
![{\displaystyle \;y_{M}(t)=-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left\lbrace {\overline {\xi }}-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\left[{\overline {\xi }}\;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)+\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[{\overline {\xi }}-{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t+{\overline {\varphi }}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbc69ba19a65df19113aa83b4f3f1a90f3b1a79)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t+{\overline {\varphi }}\right)\right]\\y_{M}(t)=-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[{\overline {\xi }}-{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t+{\overline {\varphi }}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4468e6c29994ead4f744d9648ae9bd659cb132c7)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right],\;\;\forall \;{\text{le signe de }}q\\y_{M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}-{\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[\tau \;\omega _{c}-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right],\;\;{\text{pour }}q>0\\{\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[\tau \;\omega _{c}-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right],\;\;{\text{pour }}q<0\end{array}}\right.\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d32ce51b65524025fd5d3d8b5e8af0e4dd104b)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{l c c c}\lim \limits _{t\,\rightarrow \,\infty }\!\!&\!\!\left\lbrace {\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right]\right\rbrace \!\!&=&\!\!x_{\infty }\\\lim \limits _{t\,\rightarrow \,\infty }\!\!&\!\!\left\lbrace -{\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[\tau \;\omega _{c}-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right]\right\rbrace \!\!&=&\!\!y_{\infty }\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53dbc686049c09c22d6c0d2c7d3bd2edac0a827)
![{\displaystyle \;B=\Vert {\vec {B}}\Vert {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51f15da01f81966e517d806a9eb0a8f591b1b27)
![{\displaystyle \;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a041ceadb889e86ffd7ab3c6863fa4fbfd1aeb07)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}\!\left[x_{M}+i\;z_{M}\right]}{dt^{2}}}(t)-2\;i\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {d\!\left[x_{M}+i\;z_{M}\right]}{dt}}(t)+\omega _{0}^{\,2}\,\left[x_{M}(t)+i\;z_{M}(t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eff43223d8d335cb03a86431215e64a4a7a3674)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\underline {B}}\,\left[\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)-\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c22a5d67f6adcbea78ef6c48f3645f71b2b8ae6)
![{\displaystyle \;{\dot {\underline {\mathcal {X}}}}(t)={\underline {B}}\,\left[i\;\omega '\;\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)+i\;\omega \;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9b2e38123bcb92e276665ce23e72d4e0fbd4d9)
![{\displaystyle \;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\dfrac {V_{0}}{\omega '+\omega }}\,\left[\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)-\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806085c49aeb5955ea60d50debebde35346c36a8)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace {\dfrac {V_{0}}{\omega '+\omega }}\,\left[\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)-\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\left[\cos(\omega '\;t)-\cos(\omega \;t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244ace559ef3c63deffb2c5572508ee0db2b39dc)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)=-2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\;\sin \!\left[{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right]\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef22e4d39d64eea8429e4a78886fb8683b15481e)
![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)=-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\;\sin \!\left[\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\;t\right]\,\sin \!\left[\sigma \;\omega _{0}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8b122f578cfe94788650505e00171e6da6a17d)
![{\displaystyle \;z_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace {\dfrac {V_{0}}{\omega '+\omega }}\,\left[\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)-\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\left[\sin(\omega '\;t)+\sin(\omega \;t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe542128348d76a30cc78ffbffdf5e7ae98397c4)
![{\displaystyle \;z_{M}(t)=2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\;\sin \!\left[{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right]\,\cos \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643a471f075bd4836275e988e899f097134eada9)
![{\displaystyle \;z_{M}(t)={\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\;\sin \!\left[\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\;t\right]\,\cos \!\left[\sigma \;\omega _{0}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870aed59319b009ad084ce3d91039a73f3ee99d4)
![{\displaystyle {\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5009a1a3c1fcd7483273ceb0ed46bba07856fae5)
![{\displaystyle \;z(t){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a00f756d0b67ea91cf5b9db26d1523bd237372b)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)=-2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6d990dc6c1564a9eaed1c2f5afd1667c6e9032)
![{\displaystyle 2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce81d400b2feaac1d900a223c0cf5bac909e831)
![{\displaystyle \;X_{m}(t)=2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]={\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\,\sin \!\left[\sigma \;\omega _{0}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741abefa1ce0baadf08156128e010ea511b48685)
![{\displaystyle \;z_{M}(t)=2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\cos \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4c667d171d842bc3bc8ea888c863a50f767d40)
![{\displaystyle 2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\cos \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ae1ba701eb9040a160ddfe5e2e7c97c4a876e7)
![{\displaystyle \;Z_{m}(t)=2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\cos \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]={\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\,\cos \!\left[\sigma \;\omega _{0}\;t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d169287531be75fd0b0c20790dbfc2927ac4e44)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0f8470dabfd5d424afd3c227be5ffa029dffff)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}={\dfrac {\sqrt {1+\sigma ^{2}}}{2\;\sigma }}\,\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]={\dfrac {\omega '+\omega }{2\,\left(\omega '-\omega \right)}}\,\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee537e69a295b4afbdc4ee8fb5708ae6f5c577e9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}={\dfrac {2,1\;\omega _{0}+1,9\;\omega _{0}}{2\times \left(2,1\;\omega _{0}+1,9\;\omega _{0}\right)}}\,\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]=10\,\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4c3adce73c12637d53ff7f6adb1ae921ee0fe6)
![{\displaystyle 1886{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f056cb5e0634141126aab0838aae5d8bc568344b)
![{\displaystyle \;{\vec {b}}={\vec {u}}_{z}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1546a5a0b4d7b7de484698050de72add7d4e2b)
![{\displaystyle q\,\left[V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+V_{M,\,z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]\wedge B\;{\vec {u}}_{z}=q\,\left[V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}\wedge B\;{\vec {u}}_{z}+V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge B\;{\vec {u}}_{z}\;{\cancel {+\;V_{M,\,z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge B\;{\vec {u}}_{z}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c1757cb35fee721d5367ff42af0a98c03a95c8)
![{\displaystyle q\;B\,\left\lbrace V_{M,\,x}(t)\,\left[{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{z}\right]+V_{M,\,y}(t)\,\left[{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c79ad98d17af482c0937c6d54b20740eb9a2e96)
![{\displaystyle \;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)-i\;\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)=-i\;\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)-i^{2}\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)=-i\;\omega _{c}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8694e59fc7d5193034ec41d0a1c2aeba0fb05e6b)
![{\displaystyle \;{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79634e22a2bf06d24ba771c50d827aa73a4c7eb0)
![{\displaystyle \;x_{M}(\theta )=R\,\left[\theta -\sin \!\left(\theta \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c1b61ffade4372eb717b4fa5e365d50031e478)
![{\displaystyle \;y_{M}(\theta )=R\,\left[1-\cos \!\left(\theta \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f539db0b4c515b2c288de3de096b1d4a807fa428)
![{\displaystyle \;X_{P}(t)\;{\widehat {=}}\;R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\,t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea1ef2c18ba7ee30487f7e51a8c98ec98829a23)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dy}{dt}}(t_{0})=0{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f3e852563a4e849922688b345a09facb9a7bbe)
![{\displaystyle \;y''(t_{0}^{+})\;x''(t_{0}^{-})\neq y''(t_{0}^{-})\;x''(t_{0}^{+}){\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfdb17c2add6e07fa35bc348e52b013f4384e1a)
![{\displaystyle \;y_{M}(\theta )=-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\theta \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d149484b2d47327bb449fdc18f91d52e1acabda)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {y_{M}+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)}{{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R}}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {x_{M}-R\;\theta }{{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R}}\right)^{\!\!2}=1\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2087c5bc190b3345a629757406d4076a0d624776)
![{\displaystyle \;\left[y_{M}+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\right]^{2}+\left(x_{M}-R\;\theta \right)^{2}=\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)^{\!2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3802cab5fe723fcacb884ad4d322a1a2163c56)
![{\displaystyle \;y_{M}(t)=-{\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\searrow \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c9f9a3b2125e26e8130d677495067704b4b8aa)
![{\displaystyle \;W_{1\,\rightarrow \,2}(q\;{\vec {E}})=\displaystyle \int \limits _{M_{1}\,\rightarrow \,M_{2}}q\;{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \int \limits _{M_{1}\,\rightarrow \,M_{2}}-q\;d\Pi =q\,\left[\Pi (M_{1})-\Pi (M_{2})\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb2149f4b577d3da4909d8c79f5759652b8e0d7)
![{\displaystyle \;W_{1\,\rightarrow \,2}(q\;{\vec {E}})=q\,\left[U_{m}\right]=\vert q\vert \;U_{m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d303cf7de8a891a85d0e864c2e62220c6091fe5)
![{\displaystyle \;W_{1\,\rightarrow \,2}(q\;{\vec {E}})=q\,\left[\Pi (M_{1})-\Pi (M_{2})\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa4107c66eda4f9e32793ca3ac5e5bc7991f5a8)
![{\displaystyle \;W_{1\,\rightarrow \,2}(q\;{\vec {E}})=q\,\left[-U_{m}\right]=\vert q\vert \;U_{m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ac3551e835f780a70dccfc7ad897762e43c985)
![{\displaystyle q\,\left[\Pi (M_{2})-\Pi (M_{3})\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f7fd9846d55bd5703bbd3913d56387f091c313)
![{\displaystyle \;W_{2\,\rightarrow \,3}(q\;{\vec {E}})=q\,\left[U_{m}\right]=\vert q\vert \;U_{m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b27f99f2350159a2fb140147d626a39ff11d72f)
![{\displaystyle \;W_{2\,\rightarrow \,3}(q\;{\vec {E}})=q\,\left[\Pi (M_{2})-\Pi (M_{3})\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591eba431711359e46d434e762f19a96f1522e97)
![{\displaystyle \;W_{2\,\rightarrow \,3}(q\;{\vec {E}})=q\,\left[-U_{m}\right]=\vert q\vert \;U_{m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9908a36fcbd8dd7de16e6d135edd8f8ec73c901a)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int \limits _{M_{p}\,\rightarrow \,M_{p+1}}-q\;d\Pi =q\,\left[\Pi (M_{p})-\Pi (M_{p+1})\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b610e36ceb05dc7aba6f1c98de73b67ac43670)
![{\displaystyle \;W_{p\,\rightarrow \,(p+1)}(q\;{\vec {E}})=q\,\left[U_{m}\right]=\vert q\vert \;U_{m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedf10ba3123b55efdf416042021d131a10fba9a)
![{\displaystyle \;W_{p\,\rightarrow \,(p+1)}(q\;{\vec {E}})=q\,\left[\Pi (M_{p})-\Pi (M_{p+1})\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cd271fc2b80bb127f17c65a0f87b38d89ba633)
![{\displaystyle \;W_{p\,\rightarrow \,(p+1)}(q\;{\vec {E}})=q\,\left[-U_{m}\right]=\vert q\vert \;U_{m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2830d402555d847f3234549cd588e6a875e907ff)
![{\displaystyle \;z\in \left]0\,,\,e\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc31ac0abdca882a471080504643b9d39bd739d)
![{\displaystyle \;1\,St=10^{-4}\,m^{2}\cdot s^{-1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae736743e1975814ef637d7246c8b9c7188d332)
![{\displaystyle \;{\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,y}(t)-i\;{\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,x}(t)=-i\;{\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,x}(t)-i^{2}\;{\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,y}(t)=-i\;{\overline {\omega }}_{c}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46cc312806cde04e172eaf37f4a6a831769d426f)
![{\displaystyle \;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)-{\overline {\xi }}\;\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)={\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}}\;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)-{\dfrac {\overline {\xi }}{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}}\;\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5be1acb3ca2d050ba38893d6a7cee07686d4e43)
![{\displaystyle \;{\overline {\xi }}\;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)+\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)={\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[{\dfrac {\overline {\xi }}{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}}\;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)+{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}}\;\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37f789ef394976d85d9443afd752d8ea459b1f0)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)={\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af6d121e2772923268772245d292a85ff7bfe44)
![{\displaystyle \;y_{M}(t)=-{\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[\tau \;\omega _{c}-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7091bd8bdee74373a9a58651d9960fa7954c7e)
![{\displaystyle \;x_{M}(t)={\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left(-\omega _{c}\;t-\varphi \right)\right]={\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e84134cc2a79732d07f2670f53d2a0b93f2ca2)
![{\displaystyle -{\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[-\tau \;\omega _{c}-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(-\omega _{c}\;t-\varphi \right)\right]={\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[\tau \;\omega _{c}-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024cdc943bd56fb5d1e3389a69e31c4cdf19eeca)
![{\displaystyle B\;{\vec {u}}_{y}\wedge \left[{\dot {x}}_{M}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {z}}_{M}(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]=B\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\dot {x}}_{M}(t)\;{\vec {u}}_{x}+B\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\dot {z}}_{M}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061366699b567a741b3eea5001b4c910721a7636)
![{\displaystyle B\,\left\lbrace {\dot {x}}_{M}(t)\,\left[{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{x}\right]+{\dot {z}}_{M}(t)\,\left[{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3d8a611f66a686f37528275a07971ffa44ddb8)
![{\displaystyle \;2\;\sigma \;\omega _{0}\;V_{M,\,z}(t)-2\;i\;\sigma \;\omega _{0}\;V_{M,\,x}(t)=-2\;i\;\sigma \;\omega _{0}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,z}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f3dd9cfaffe1567362fd3f1a9133828b97f430)
