Mécanique 1 (PCSI)/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme

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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme, mise en équation par application de la r.f.d.n. : mouvement à vecteur accélération constant

     Une particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ placée dans un espace champ électrostatique uniforme de vecteur champ $\;{\vec {E}}\;$ étant soumis à une force électrique «$\;{\vec {F}}_{\text{élec}}=q\;{\vec {E}}\;$ constante » a un mouvement de vecteur accélération constante en absence d'autre force $\;{\big [}$en particulier l'influence éventuelle du poids de la particule dans le cas où l'expérience se passe sur Terre est négligeable, voir le paragraphe « comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de nrome modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre » du chap.$21$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$, en effet

     l'application de la r.f.d.n. à la particule chargée de masse $\;m\;$ dans le référentiel liée à la source du champ électrostatique, référentiel supposé galiléen nous conduisant à $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ avec $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ le vecteur accélération de la particule chargée à l'instant $\;t$, nous en déduisons «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {F}}_{\text{élec}}}{m}}={\dfrac {q}{m}}\;{\vec {E}}\;$ constant » $\;{\big [}$voir l'étude générale d'un tel mouvement dans le chap.$3$ « description et paramétrage du mouvement d'un point : mouvement de vecteur accélération constant » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$.

Exemple de l’oscilloscope cathodique, détermination de la déflexion électrique

Schéma expliquant la déviation électronique entre les plaques horizontales d'un tube cathodique

     Déjà traité au paragraphe « déviation électronique dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation » du chap.$16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans l'exemple d'un électron $\;M\left(-e\right)\;$ de masse $\;m_{e}\;$ entrant dans l’espace champ électrostatique uniforme de vecteur champ $\;{\vec {E}}\;$ existant entre plaques parallèles de déviation d'un oscilloscope cathodique, avec une « vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\perp \;$ au champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$», les principaux résultats étant rappelés ci-dessous $\;{\big \{}$voir le choix du repère $\;\left[O,\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\right]\;$ associé au référentiel lié aux plaques de déviation sur le schéma ci-contre${\big \}}$ :

• le vecteur accélération de $\;M\;$ déduit de la r.f.d.n. «$\;{\vec {a}}_{M}=-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;{\vec {E}}\;$» projeté sur les axes $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}=0\\a_{y}=-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;E_{y}\\a_{z}=0\end{array}}\right\rbrace$,
• son vecteur vitesse obtenu par intégration avec C.I. «$\;{\vec {V}}_{\!M}=-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;{\vec {E}}\;t+{\vec {V}}_{0}\;$» $\;{\big [}$loi horaire vectorielle de vitesse de $\;M{\big ]}\;$ projeté sur les axes $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}=V_{0}\\V_{y}=-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;E_{y}\;t\\V_{z}=0\end{array}}\right\rbrace$ $\;{\big [}$les trois lois horaires scalaires de vitesse de $\;M{\big ]}\;$ et
• son vecteur position obtenu par nouvelle intégration avec C.I. «$\;{\overrightarrow {OM}}=-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;{\vec {E}}\;{\dfrac {t^{2}}{2}}+{\vec {V}}_{0}\;t\;$» $\;{\big [}$loi horaire vectorielle de position de $\;M{\big ]}\;$ projeté sur les axes $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=V_{0}\;t\\y=-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;E_{y}\;{\dfrac {t^{2}}{2}}\\z=0\end{array}}\right\rbrace$ $\;{\big [}$les trois lois horaires scalaires de position de $\;M{\big ]}$ ;

     $\;\succ \;$entre les deux plaques de déviation de l'oscilloscope cathodique la cinématique de l'électron est donc tel que

• son mouvement est plan, le plan $\;\perp \;$ aux plaques de déviation $\;{\big [}$donc $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {E}}{\big ]}\;$ passant par la position initiale $\;O\;$ de l'électron et contenant le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de ce dernier, le plan $\;xOy\;$ du schéma,
• le mouvement de son projeté $\;M_{x}\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}$, $\;\parallel \;$ aux plaques de déviation, est uniforme de vitesse $\;V_{0}\;$ et
• le mouvement de son projeté $\;M_{y}\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}$, $\;\perp \;$ aux plaques de déviation, est uniformément varié d'accélération $\;-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;E_{y}\;$ et de vitesse initiale nulle ;

     $\;\succ \;$les trois lois horaires scalaires de position de $\;M\;$ étant aussi les trois équations paramétriques de sa trajectoire, nous obtenons les deux équations cartésiennes de celle-ci en éliminant le paramètre $\;t$, soit

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}z=0\\y=-{\dfrac {e\;E_{y}}{2\;m_{e}\;V_{0}^{2}}}\;x^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» équations d'une parabole de sommet $\;O$, de tangente au sommet $\;Ox\;$ et de direction asymptotique $\;Oy$ ;

           l'équation de la parabole dans le plan $\;xOy\;$ peut être réécrite en fonction de la tension $\;U\;$ imposée aux bornes des deux plaques de déviation distantes de $\;d\;$ selon «$\;y={\dfrac {e\;U}{2\;d\;m_{e}\;V_{0}^{2}}}\;x^{2}\;$» $\;{\bigg \{}$en effet, si «$\;U\;$ est $\;>0$, $\;E_{y}\;$ est $\;<0\;$» $\;{\big (}$le champ électrique étant dans le sens des potentiels $\;\searrow {\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;E_{y}=-{\dfrac {U}{d}}\;$» $\;{\big [}$voir le paragraphe « énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme (parallèlement …) » du chap.$16$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}{\bigg \}}$ ;

     $\;\succ \;$à la sortie de l’espace champ, l’électron n’est plus soumis à « aucune force » et par suite a un mouvement rectiligne uniforme de direction tangente à la parabole et de vitesse égale à celle en $\;S\;$ $\;{\big (}$point de sortie de l’espace${\big )}$ ; il a alors un impact $\;I$ $\;{\big (}$d’ordonnée $\;Y{\big )}\;$ sur un écran situé à $\;D\;$ du centre $\;J\;$ de l’espace champ ;

           la trajectoire de l'électron dans l'interface entre les plaques de déviation étant une parabole et celle à la sortie de l’espace champ étant la tangente à cette parabole au point de sortie, nous en déduisons que la trajectoire à la sortie de l'espace champ passe par le centre $\;J\;$ de l’espace champ d'où $\;\tan(\alpha )={\dfrac {Y}{D}}\;$ dont on tire $\;Y=D\;\tan(\alpha )$ ;

           la détermination de $\;\tan(\alpha )\;$ peut se faire de la même façon en utilisant $\;y_{S}={\dfrac {e\;U}{2\;d\;m_{e}\;v_{0}^{2}}}\;l^{2}\;$ d'où $\;\tan(\alpha )={\dfrac {y_{S}}{\dfrac {l}{2}}}={\dfrac {e\;l}{m_{e}\;v_{0}^{2}\;d}}\;U\;$ que l'on reporte dans $\;Y=D\;\tan(\alpha )\;$ pour obtenir

«$\;Y={\dfrac {e}{m_{e}\;v_{0}^{2}}}\;{\dfrac {l\;D}{d}}\;U\;$» c'est-à-dire une déflexion électrique $\;\propto \;$ à la tension $\;U\;$ imposée,
sa mesure permettant de déterminer la valeur de $\;U$ $\;{\big (}$principe de l'oscilloscope analogique${\big )}$.

Intégrale 1^ère du mouvement : conservation de l’énergie mécanique de la particule chargée dans le champ électrostatique

     La particule chargée $\;M\left(q\right)$ $\;{\big (}$de masse $\;m{\big )}\;$ dans l’espace champ électrostatique de vecteur champ en la position $\;P\;$ «$\;{\vec {E}}(P)\;$ » étant soumise à la seule force électrostatique conservative «$\;{\vec {F}}_{\text{élec}}=$ $q\;{\vec {E}}(P)\;$» laquelle « dérive » de l’énergie potentielle électrostatique «$\;{\mathcal {E}}_{\text{élec}}(M)=q\;V(M)\;$» avec «$\;V(P)\;$» le potentiel électrostatique en la position $\;P\;$ dont « dérive » le champ électrostatique $\;{\vec {E}}(P)\;$ $\;{\big (}$la référence de l’énergie potentielle étant la même que celle du potentiel${\big )}$,

     l’énergie mécanique de la particule dans le champ électrostatique définie dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à ce dernier «$\;{\mathcal {E}}_{m}(M)=K_{M}+{\mathcal {E}}_{\text{élec}}(M)\;$» dans laquelle $\;K_{M}\;$ est l'énergie cinétique de la particule dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est conservée, ce qui se réécrit, dans le cadre de la dynamique classique, selon

«$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}+q\;V(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}+q\;V_{0}\;$»
avec $\;{\vec {V}}_{\!M}\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$,
$\;V_{0}\;$ étant le potentiel électrostatique quand $\;M\;$ est lancé de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$,
cette équation constituant l’intégrale 1^ère énergétique de la particule.

     Cas particulier de vitesse initiale nulle : Si $\;{\vec {V}}_{0}={\vec {0}}$, l'intégrale 1^ère énergétique de la particule se réécrit «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}=-q\;U\;$» avec «$\;U=V(M)-V_{0}\;$ la tension $\;{\big (}$ou d.d.p.${\big )}\;$ définie par rapport au position initiale de la particule » et le mouvement de la particule chargée démarre tangentiellement aux lignes de champ ;

                        Cas particulier de vitesse initiale nulle : , dans le cas où le champ électrostatique est uniforme, les lignes de champ étant des droites parallèles, le mouvement de la particule chargée se poursuit rectilignement en suivant la ligne de champ passant par la position initiale de la particule ;

                        Cas particulier de vitesse initiale nulle : , dans le cas où le champ électrostatique n’est pas uniforme, le mouvement ne peut pas se poursuivre en suivant les lignes de champ car celles-ci n’étant pas des droites possèdent un rayon de courbure fini $\;{\mathcal {R}}_{c}(P)\;$ en chacun de leurs points $\;P\;$ usuellement « réguliers » et par suite, si la particule poursuivait son mouvement en suivant la ligne de champ passant par sa position initiale, elle aurait une « accélération normale » $\;a_{n}(M)={\dfrac {v_{M}^{2}}{{\mathcal {R}}_{c}(M)}}\;$ non nulle, incompatible avec le fait que la force électrostatique s’exerçant sur elle étant tangente à cette ligne de champ, le vecteur accélération de la particule au même instant lui est aussi tangent par application de la r.f.d.n. à la particule, donc sans accélération normale $\;\ldots$

Exemple du canon à électrons

Schéma expliquant le fonctionnement d'un canon à électrons

     Déjà traité au paragraphe « canon à électrons » du chap.$16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le principe de fonctionnement étant rappelé ci-dessous ;

     dans un canon à électrons, des électrons sont émis par « effet thermoélectronique » provenant d'une électrode $\;(K)\;$ dans le voisinage d'un filament métallique chauffé, l'énergie cinétique d'éjection des électrons de $\;(K)\;$ restant très faible, ils ne quittent pas spontanément son voisinage et forme autour d'elle une charge d'espace négative qui s'oppose à la poursuite de l'effet thermoélectronique ;

     le but poursuivi étant de créer un faisceau d'électrons, on accélère les électrons arrachés en imposant une d.d.p. $\;U_{\text{accél}}\;$ entre cette électrode $\;(K)\;$ et l'électrode de sortie $\;(A)\;$ du canon à électrons, $\;U_{\text{accél}}\;$ étant positive, $\;(K)\;$ est appelée « cathode » et $\;(A)\;$ « anode » ;

     souhaitant créer un faisceau d'électrons quasi homocinétiques à la sortie du canon, on accélère ces derniers à l'aide d'un champ électrique $\;{\vec {E}}_{\text{accél}}\;$ imposé entre la cathode $\;(K)\;$ et l'anode $\;(A)$, de sens de $\;(A)\;$ vers $\;(K)$ $\;{\big [}$dans l'interface l'électron $\;M\;$ n'est soumis qu'à la force électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)=-e\;{\vec {E}}_{\text{accél}}(M)\;$ de sens de $\;(K)\;$ vers $\;(A)$, donc l'accélérant effectivement${\big ]}$, la force électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)=-e\;{\vec {E}}_{\text{accél}}(M)\;$ conservative « dérivant » de l'énergie potentielle électrique «$\;{\mathcal {E}}_{p}(M)=-e\;V(M)\;$», avec $\;V(P)\;$ le potentiel électrique de l'espace champ électrique dans l'interface du canon à électrons en la position $\;P$, la référence de l'énergie potentielle de l'électron étant la même que celle du potentiel électrique, on peut donc appliquer l'intégrale 1^ère énergétique à l'électron entre $\;(K)\;$ et $\;(A)\;$ selon «$\;{\mathcal {E}}_{m}(A)={\mathcal {E}}_{m}(K)\;$» et, dans la mesure où l'énergie cinétique de l'électron lors de son extraction de $\;(K)\;$ est considérée comme négligeable $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {E}}_{m}(K)\simeq 0-e\;V_{K}$, $\;{\mathcal {E}}_{m}(A)\;$ étant $\;={\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;{\vec {V}}_{0}^{2}-e\;V_{A}$, on en déduit $\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;{\vec {V}}_{0}^{2}\simeq e\left(V_{A}-V_{K}\right)\;$ soit «$\;{\dfrac {1}{2}}\,m_{e}\,{\vec {V}}_{0}^{2}\simeq e\;U_{\text{accél}}\;$» ;

     A.N. : $\;e=1,602\;10^{-19}\;C$, $\;m_{e}=0,91\;10^{-30}\;kg\;$ et $\;U_{\text{accél}}=500\;V\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;{\vec {V}}_{0}^{2}=500\;eV\;$ dont on tire $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert ={\sqrt {\dfrac {2\;e\;U_{\text{accél}}}{m_{e}}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\times \left(1,602\;10^{-19}\right)\times 500}{0,91\;10^{-30}}}}\simeq 1,33\;10^{7}\;m\cdot s^{-1}\;$ ou encore $\;13300\;km\cdot s^{-1}\;$ soit $\;4,4\;\%\;$ de la vitesse de la lumière justifiant le caractère non relativiste.

En complément, 1^ères notion d’optique électronique

Réfraction électronique créée par un déplacement d’électrons entre deux grilles parallèles à des potentiels différents respectivement V₁ et V₂, la référence des potentiels étant choisies à l’entrée du canon à électrons

     Considérons un canon à électrons accélérant les électrons avant la 1^ère grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ de façon à leur communiquer, au niveau de cette grille, un vecteur vitesse de norme $\;\Vert {\vec {V}}_{1}\Vert \;$ notée $\;v_{1}\;$ à partir d’une cathode de potentiel nul où leur énergie cinétique est supposée nulle $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;v_{1}^{2}+q_{e}\;V_{1}=0\;$ » $\;{\big (}$avec $\;q_{e}=-e\;$ la charge d'un électron, $\;m_{e}\;$ sa masse et $\;V_{1}\;$ le potentiel de l'anode du canon qui est aussi celui de la 1^ère grille${\big )}\;$ ou encore «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;v_{1}^{2}=-q_{e}\;V_{1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;v_{1}={\sqrt {\dfrac {-2\;q_{e}\;V_{1}}{m_{e}}}}\;$».

Cas où V₂ est supérieur à V₁

Schéma présentant une réfraction électronique d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, le dioptre plan faisant passer le « rayon » électronique d'une région de potentiel $\;V_{1}\;$ à une région de potentiel $\;V_{2}>V_{1}\;$

     Considérons d'abord que l'espace champ électrostatique uniforme entre les grilles planes $\;\parallel$ $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ est tel que le potentiel électrique $\;\nearrow \;$ de la grille d'entrée vers la grille de sortie c'est-à-dire $\;V_{2}>V_{1}$ $\;{\big (}$la référence des potentiels étant toujours la cathode du canon à électrons${\big )}$ $\;{\big [}$voir schéma ci-contre${\big ]}$ :

     chaque électron $\;M\;$ sortant du canon à électrons avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{1}\;$ de norme $\;v_{1}={\sqrt {\dfrac {-2\;q_{e}\;V_{1}}{m_{e}}}}\;$ et faisant l'angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{1}={\widehat {\left({\vec {n}}_{1}\,,\,{\vec {V}}_{1}\right)}}\;$ avec $\;{\vec {n}}_{1}\;$ le vecteur unitaire normal à la grille d'entrée au point d'injection $\;{\big [}$les angles du plan d'incidence $\;{\big (}$c'est-à-dire du plan $\;\perp \;$ à la grille d'entrée contenant le faisceau d'électrons sortant du canon à électrons${\big )}\;$ étant compté positivement dans le sens horaire${\big ]}\;$ uniquement soumis à une force électrostatique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)=$ $q_{e}\;{\vec {E}}\;$ constante, de sens contraire à celui du champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ existant entre les deux grilles, c.-à-.d dans le sens $\;\nearrow \;$ des potentiels,
         chaque électron M suit une trajectoire parabolique inscrite dans le plan d'incidence et tangente à la trajectoire rectiligne qu'il avait avant de traverser la grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ tel que son angle d'émergence $\;{\mathit {i}}_{2}={\widehat {\left({\vec {n}}_{2}\,,\,{\vec {V}}_{2}\right)}}>0$ $\;{\Big (}{\vec {n}}_{2}\;$ étant le vecteur unitaire normal à la grille de sortie au point d'éjection et $\;{\vec {V}}_{2}\;$ le vecteur vitesse de sortie de l'électron${\Big )}\;$ est $\;<\;$ à son angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{1}$ ;

         chaque électron M le mouvement du projeté de $\;M\;$ sur les grilles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ étant uniforme $\;{\big (}$la force électrostatique étant $\;\perp \;$ aux grilles, il en est de même du vecteur accélération de $\;M{\big )}$, nous en déduisons $\;V_{x}(M)=cste\;$ en notant $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ l'axe $\;\parallel \;$ aux grilles, orienté vers la droite, dans le plan d'incidence de chaque électron et par suite, en explicitant $\;V_{x}\;$ sur chacune des grilles «$\;v_{1}\;\sin({\mathit {i}}_{1})=v_{2}\;\sin({\mathit {i}}_{2}),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» avec $\;v_{2}=\Vert {\vec {V}}_{2}\Vert$ ;

         chaque électron M comme il y a aussi conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;v_{2}^{2}+q_{e}\;V_{2}=0\;$ » soit «$\;v_{2}={\sqrt {\dfrac {-2\;q_{e}\;V_{2}}{m_{e}}}}\;$» et

         chaque électron M le report des expressions de $\;v_{1}\;$ et $\;v_{2}\;$ en fonction des potentiels dans la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ nous conduit, après simplification évidente, à

«$\;{\sqrt {V_{1}}}\;\sin({\mathit {i}}_{1})={\sqrt {V_{2}}}\;\sin({\mathit {i}}_{2}),\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$».

     Commentaires : Cette relation est analogue à la 2^ème loi de réfraction optique de Snell-Descartes «$\;n_{1}\;\sin({\mathit {i}}_{1})=n_{2}\;\sin({\mathit {i}}_{2})\;$» lors de la traversée d'un dioptre d'un milieu d'indice $\;n_{1}\;$ vers un milieu d'indice $\;n_{2}$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « 2^ème loi de Snell-Descartes de la réfraction » du chap.$11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}$, l'indice $\;n\;$ des milieux optiques devant être remplacé par la racine carré du potentiel électrostatique $\;{\sqrt {V}}\;$ des milieux avant et après la réfraction électronique ;

     Commentaires : de cette relation nous concluons qu’une réfraction électronique vers une zone à plus haut potentiel est l’analogue du passage d’un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, c'est-à-dire que le « rayon » électronique se rapproche de la normale.

     Remarque : Une différence fondamentale avec l’optique géométrique est que, dans cette dernière, le changement de direction se fait sur une surface « le dioptre » alors qu’en optique électronique il se fait entre l’entrée et la sortie du volume « compris entre les deux grilles » $\;\ldots$

Cas où V₂ positif est inférieur à V₁

Schéma présentant une réfraction électronique d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, le dioptre plan faisant passer le « rayon » électronique d'une région de potentiel $\;V_{1}>0\;$ à une région de potentiel $\;V_{2}>0\;$ mais $\;<\;$ à $\;V_{1}\;$

     Considérons ensuite que l'espace champ électrostatique uniforme entre les grilles planes $\;\parallel$ $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ est tel que le potentiel électrique $\;\searrow \;$ de la grille d'entrée vers la grille de sortie en restant $\;>0\;$ c'est-à-dire $\;0<V_{2}<V_{1}$ $\;{\big (}$la référence des potentiels étant toujours la cathode du canon à électrons${\big )}$ $\;{\big [}$voir schéma ci-contre${\big ]}$ :

     chaque électron $\;M\;$ sortant du canon à électrons avec un même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{1}\;$ que précédemment, de norme $\;v_{1}={\sqrt {\dfrac {-2\;q_{e}\;V_{1}}{m_{e}}}}\;$ et faisant l'angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{1}={\widehat {\left({\vec {n}}_{1}\,,\,{\vec {V}}_{1}\right)}}$ $\;{\big [}$avec les mêmes définitions que dans le paragraphe précédent${\big ]}$, uniquement soumis à une force électrostatique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)=$ $q_{e}\;{\vec {E}}\;$ constante, de sens contraire à celui du champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ existant entre les deux grilles, c.-à-.d dans le sens $\;\nearrow \;$ des potentiels,
         chaque électron M suit une trajectoire parabolique inscrite dans le plan d'incidence et tangente à la trajectoire rectiligne qu'il avait avant de traverser la grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ tel que, dans la mesure où l'électron atteint la grille de sortie, son angle d'émergence $\;{\mathit {i}}_{2}={\widehat {\left({\vec {n}}_{2}\,,\,{\vec {V}}_{2}\right)}}>0$ $\;{\big [}$avec les mêmes définitions que dans le paragraphe précédent${\big ]}\;$ est $\;>\;$ à son angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{1}$ ;

         chaque électron M le mouvement du projeté de $\;M\;$ sur les grilles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ étant uniforme $\;{\big (}$la force électrostatique étant $\;\perp \;$ aux grilles, il en est de même du vecteur accélération de $\;M{\big )}$, nous en déduisons $\;V_{x}(M)=cste$ $\;{\big [}$avec les mêmes définitions que dans le paragraphe précédent${\big ]}$ et par suite, en explicitant $\;V_{x}\;$ sur chacune des grilles «$\;v_{1}\;\sin({\mathit {i}}_{1})=v_{2}\;\sin({\mathit {i}}_{2}),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» avec $\;v_{2}=\Vert {\vec {V}}_{2}\Vert$ ;

         chaque électron M comme il y a toujours conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;v_{2}^{2}+q_{e}\;V_{2}=0\;$ » soit «$\;v_{2}={\sqrt {\dfrac {-2\;q_{e}\;V_{2}}{m_{e}}}}\;$» et

         chaque électron M le report des expressions de $\;v_{1}\;$ et $\;v_{2}\;$ en fonction des potentiels dans la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ nous conduit, après simplification évidente, à

«$\;{\sqrt {V_{1}}}\;\sin({\mathit {i}}_{1})={\sqrt {V_{2}}}\;\sin({\mathit {i}}_{2}),\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$».

     Commentaires : C'est la même relation que celle du paragraphe précédent, analogue à la 2^ème loi de réfraction optique de Snell-Descartes «$\;n_{1}\;\sin({\mathit {i}}_{1})=n_{2}\;\sin({\mathit {i}}_{2})\;$» lors de la traversée d'un dioptre d'un milieu d'indice $\;n_{1}\;$ vers un milieu d'indice $\;n_{2}$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « 2^ème loi de Snell-Descartes de la réfraction » du chap.$11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}$, l'indice $\;n\;$ des milieux optiques devant être remplacé par la racine carré du potentiel électrostatique $\;{\sqrt {V}}\;$ des milieux avant et après la réfraction électronique ;

     Commentaires : de cette relation nous concluons qu’une réfraction électronique vers une zone à plus bas potentiel est l’analogue du passage d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, c'est-à-dire que le « rayon » électronique s'éloigne de la normale et que, dans la mesure où l'angle d'incidence n'est pas trop grand, le « rayon » électronique émerge par la grille de sortie $\;{\Bigg [}$c'est-à-dire qu'il y a réfraction effective et pour cela il faut que $\;{\sqrt {V_{1}}}\;\sin({\mathit {i}}_{1})\;$ soit $\;<\;$ à $\;{\sqrt {V_{2}}}\;$ soit $\;{\mathit {i}}_{1}<\arcsin \!\left({\sqrt {\dfrac {V_{2}}{V_{1}}}}\right){\Bigg ]}$.

     Remarque : Nous constatons évidemment la même différence fondamentale avec l’optique géométrique et l'optique électronique, le changement de direction dans la 1^ère se faisant sur une surface « le dioptre » alors que, dans la 2^ème il se fait entre l’entrée et la sortie du volume « compris entre les deux grilles » $\;\ldots$

Cas où V₂ positif est inférieur à V₁ avec un angle d'incidence d'injection tel qu'il y ait réflexion totale

Schéma présentant une réflexion électronique totale d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, le dioptre plan reliant une région de potentiel $\;V_{1}>0\;$ à une région de potentiel $\;V_{2}>0\;$ mais $\;<\;$ à $\;V_{1}$, avec un angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{i}>\;$ à l'angle limite

     Considérons enfin que l'espace champ électrostatique uniforme entre les grilles planes $\;\parallel$ $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ est toujours tel que le potentiel électrique $\;\searrow \;$ de la grille d'entrée vers la grille de sortie en restant $\;>0\;$ c'est-à-dire $\;0<V_{2}<V_{1}$ $\;{\big (}$la référence des potentiels étant toujours la cathode du canon à électrons${\big )}$ mais avec une inclinaison du faisceau électronique suffisante pour que ce dernier n'atteigne pas la grille de sortie $\;{\big [}$voir schéma ci-contre${\big ]}$ :

     chaque électron $\;M\;$ sortant du canon à électrons avec un même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{1}\;$ que précédemment, de norme $\;v_{1}={\sqrt {\dfrac {-2\;q_{e}\;V_{1}}{m_{e}}}}\;$ et faisant l'angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{1}={\widehat {\left({\vec {n}}_{1}\,,\,{\vec {V}}_{1}\right)}}>\arcsin \!\left({\sqrt {\dfrac {V_{2}}{V_{1}}}}\right)$ $\;{\big [}$avec les mêmes définitions que dans les deux paragraphes précédents${\big ]}$, uniquement soumis à une force électrostatique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)=$ $q_{e}\;{\vec {E}}\;$ constante, de sens contraire à celui du champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ existant entre les deux grilles, c.-à-.d dans le sens $\;\nearrow \;$ des potentiels,
         chaque électron M suit une trajectoire parabolique inscrite dans le plan d'incidence et tangente à la trajectoire rectiligne qu'il avait avant de traverser la grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avec, dans la mesure où l'angle d'incidence ne vérifie pas la condition pour que le faisceau d'électrons atteigne la grille de sortie $\;{\big [}$voir le paragraphe « cas où V₂ positif est inférieur à V₁ (commentaires 2) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, un sommet $\;S\;$ se situant avant la grille de sortie ;

         chaque électron M le mouvement du projeté de $\;M\;$ sur les grilles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ étant uniforme $\;{\big (}$la force électrostatique étant $\;\perp \;$ aux grilles, il en est de même du vecteur accélération de $\;M{\big )}$, nous en déduisons $\;V_{x}(M)=cste$ $\;{\big [}$avec les mêmes définitions que dans les deux paragraphes précédents${\big ]}$ et par suite, en explicitant $\;V_{x}\;$ sur la grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et au somment $\;S\;$ «$\;v_{1}\;\sin({\mathit {i}}_{1})=v_{S},\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» avec $\;v_{S}=\Vert {\vec {V}}_{S}\Vert$ ;

         chaque électron M comme il y a toujours conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;v_{S}^{2}+q_{e}\;V_{S}=0\;$ » soit «$\;v_{S}={\sqrt {\dfrac {-2\;q_{e}\;V_{S}}{m_{e}}}}\;$» et

         chaque électron M le report des expressions de $\;v_{1}\;$ et $\;v_{S}\;$ en fonction des potentiels dans la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ nous conduit, après simplification évidente, à

«$\;{\sqrt {V_{1}}}\;\sin({\mathit {i}}_{1})={\sqrt {V_{S}}}\;$» dont nous déduisons le plan équipotentiel contenant $\;S\;$
par le potentiel de l'espace champ entre les deux grilles où l'électron fait demi-tour.

         chaque électron M le mouvement de l'électron $\;M\;$ étant antisymétrique relativement à l'axe de la parabole, nous en déduisons, d'une part, que le point de sortie de $\;M\;$ à travers la grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ est le symétrique de son point d'entrée à travers la même grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, d'autre part, que le vecteur vitesse de sortie $\;{{\vec {V}}'}_{1}\;$ à travers la grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ est l'antisymétrique du vecteur vitesse d'entrée $\;{\vec {V}}_{1}\;$ à travers la même grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et par suite que l'angle d'émergence $\;{{\mathit {i}}\,'}_{1}={\widehat {\left({{\vec {n}}'}_{1}\,,\,{{\vec {V}}'}_{1}\right)}}$ $\;{\Big (}{{\vec {n}}'}_{1}\;$ étant le vecteur unitaire normal à la grille d'entrée au point d'éjection orienté dans le sens retour c'est-à-dire $\;{{\vec {n}}'}_{1}=-{\vec {n}}_{1}{\Big )}\;$ est l'opposé de l'angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{1}={\widehat {\left({\vec {n}}_{1}\,,\,{\vec {V}}_{1}\right)}}\;$ soit «$\;{{\mathit {i}}\,'}_{1}=-{\mathit {i}}_{1}\;$».

     Commentaires : Cette relation est analogue à la 2^ème loi de réflexion optique de Snell-Descartes «$\;{{\mathit {i}}\,'}_{1}=-{\mathit {i}}_{1}\;$» lors de la réflexion totale sur un dioptre séparant un milieu d'entrée plus réfringent d'indice $\;n_{1}\;$ d'un milieu moins réfringent d'indice $\;n_{2}\;$ avec un angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{1}\;$ de valeur absolue plus grande que l'angle limite $\;{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {n_{2}}{n_{1}}}\right)$ $\;{\big [}$voir les paragraphes « 2^ème loi de Snell-Descartes de la réflexion » et « cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction dans le cas d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent (remarque) » du chap.$11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}$, l'indice $\;n\;$ des milieux optiques devant être, pour définir l'angle limite, remplacé par la racine carré du potentiel électrostatique $\;{\sqrt {V}}\;$ des milieux précédant la grille $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et suivant la grille $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$ ;

     Commentaires : de cette relation nous concluons qu’une réflexion totale électronique sur une zone à potentiel décroissant lorsque l'angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{1}\;$ est tel que $\;\vert {\mathit {i}}_{1}\vert >{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\sqrt {\dfrac {V_{2}}{V_{1}}}}\right)\;$ est l’analogue d’une réflexion totale sur un dioptre d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent quand l'angle d'incidence $\;{\mathit {i}}_{1}\;$ est tel que $\;\vert {\mathit {i}}_{1}\vert >{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {n_{2}}{n_{1}}}\right)$.

     Remarque : Nous constatons évidemment la même différence fondamentale avec l’optique géométrique et l'optique électronique, la réflexion totale dans la 1^ère se faisant sur une surface « le dioptre » alors que, dans la 2^ème elle se fait entre l’entrée et la sortie du volume « compris entre les deux grilles » $\;\ldots$

Évocation des prolongements possibles : dioptre et lentille sphérique

     Nous avons vu précédemment l'analogie existant entre la réfraction et la réflexion en optique géométrique et celle en optique électronique, le dioptre plan séparant deux milieux d'indices différents étant remplacé par l'espace champ électrostatique uniforme entre deux grilles planes parallèles à des potentiels électrostatiques différents, la référence des potentiels étant choisie à la cathode du canon à électrons ;

     nous pouvons, sans difficulté insurmontable, prolonger cette analogie en introduisant, en optique électronique, les notions analogues à celle de dioptre sphérique et de lentille sphérique $\;\ldots$

     $\;\succ \;$Pour obtenir l'analogue en optique électronique du dioptre sphérique séparant deux milieux d'indices différents de l'optique géométrique, on considère l'espace champ électrostatique entre deux grilles sphériques concentriques à des potentiels électrostatiques différents, la référence des potentiels étant toujours choisie à la cathode $\;\left(K\right)\;$ du canon à électrons, le champ électrostatique entre les deux grilles en un point $\;P\;$ à la distance $\;r\;$ de $\;\left(K\right)\;$ étant radial, isotrope et de norme $\;\propto \;$ à $\;r^{-2}$, l'indice $\;n\;$ étant toujours remplacé par la racine carré des potentiels $\;{\sqrt {V}}$ $\;\ldots$

     $\;\succ \;$Pour obtenir l'analogue en optique électronique d'une lentille sphérique plongée dans un même milieu de l'optique géométrique, on considère la succession de deux espaces champs électrostatiques entre des grilles sphériques concentriques, le 1^er espace champ étant entre deux grilles sphériques de même centre $\;C_{e}\;$ à des potentiels électrostatiques différents $\;V_{1}\;$ et $\;V_{2}$, la référence des potentiels étant toujours choisie à la cathode $\;\left(K\right)\;$ du canon à électrons, le 2^ème espace champ étant entre deux autres grilles sphériques de même centre $\;C_{s}\;$ aux potentiels électrostatiques $\;V_{2}\;$ et $\;V_{1}$ ; comme en optique géométrique le stigmatisme et l'aplanétisme du système étudié ne sont, dans le cas général, qu'approchés et les conditions pour qu'ils soient réalisés sont analogues aux conditions de Gauss $\;\ldots$

Rappel de la r.f.d.r. (relation fondamentale de la dynamique relativiste) et application à l’exemple de l’oscilloscope cathodique

Rappel de la r.f.d.r. (relation fondamentale de la dynamique relativiste)

Début d’un théorème

Relation fondamentale de la dynamique relativiste (r.f.d.r.)

      Dans un référentiel galiléen la somme des forces appliquées «$\;\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\;$» à un point matériel «$\;M\left(m\right)\;$» à l'instant $\;t\;$ est liée à sa quantité de mouvement «$\;{\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» au même instant $\;t\;$ par la r.f.d. «$\;\sum _{k}{\vec {F}}_{k}={\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» $\;{\big (}$applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste${\big )}\;$ ;
     en cinétique relativiste la quantité de mouvement de $\;M\left(m\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ est liée à sa vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ par «$\;{\vec {p}}_{\!M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$» avec $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\left[{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t$.

Fin du théorème

     Remarque : Un problème de dynamique relativiste du point place la quantité de mouvement de ce dernier au centre de la résolution, son explication en fonction du vecteur vitesse n'étant quasiment jamais réalisée $\;{\big (}$sauf bien sûr si la nécessité s'en fait sentir${\big )}$.

Application à l’« exemple de l’oscilloscope cathodique »

Schéma expliquant la déviation électronique entre les plaques horizontales d'un tube cathodique dans le cadre de la dynamique relativiste

     La différence fondamentale par rapport au traitement du paragraphe « exemple de l'oscilloscope cathodique, détermination de la déflexion électrique » plus haut dans ce chapitre est que l'électron $\;M\left(m_{e}\right)\;$ injecté dans l'espace champ électrostatique créé entre les plaques parallèles de déviation d'un oscilloscope cathodique l'étant avec une vitesse initiale de norme $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \gtrsim {\dfrac {c}{10}}$, le traitement doit être fait dans le cadre de la dynamique relativiste c'est-à-dire en introduisant, à la place de la vitesse initiale d'injection de l'électron, sa quantité de mouvement initiale d'injection $\;{\vec {p}}_{0}=$ $\gamma _{0}\;m_{e}\;{\vec {V}}_{0}\;$ avec $\;\gamma _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\left[{\vec {V}}_{0}\right]^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz initial $\;{\big [}$voir schéma ci-contre${\big ]}$ :

     L'application à l'électron $\;M\left(m_{e}\right)$, de charge $\;q_{e}=-e\;$, de la r.f.d.r. dans le référentiel supposé galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la source du champ électrostatique existant entre les plaques de déviation de l'oscilloscope cathodique, le vecteur champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ y étant uniforme, nous conduit, sachant que l'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique «$\;{\vec {F}}_{\text{élec}}=q_{e}\;{\vec {E}}\;$» $\;{\big [}$l'influence éventuelle du poids de l'électron dans le cas où l'expérience se passe sur Terre étant négligeable, voir le paragraphe « comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de nrome modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre » du chap.$21$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$, à

«$\;q_{e}\;{\vec {E}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ est la quantité de mouvement de l'électron à l'instant $\;t\;$» ;

Diagramme horaire de vitesse d'un électron selon Ox après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox

Diagramme horaire de vitesse d'un électron selon Oy après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox

     loi(s) horaire(s) de quantité de mouvement de l'électron : intégrant cette équation avec l'utilisation de la « C.I. $\;{\vec {p}}_{\!M}(0)={\vec {p}}_{0}\;$», nous obtenons la loi horaire vectorielle de la quantité de mouvement de l'électron «$\;{\vec {p}}_{\!M}(t)=q_{e}\;{\vec {E}}\;t+{\vec {p}}_{0}\;$» ce qui donne, en projetant sur chacun des axes du schéma ci-dessus, les trois lois horaires scalaires de quantité de mouvement de l'électron «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p_{x,\,M}(t)=p_{0}\\p_{y,\,M}(t)=q_{e}\;E_{y}\;t\\p_{z,\,M}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, avec $\;E_{y}=-{\dfrac {U}{d}}\;$ et $\;q_{e}=-e\;$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p_{x,\,M}(t)=p_{0}\\p_{y,\,M}(t)={\dfrac {e\;U}{d}}\;t\\p_{z,\,M}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     expression instantanée de l'énergie totale de l'électron : l'énergie totale de l'électron à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {E}}_{M}(t)\;$» $\;{\big [}$c'est-à-dire la somme de son énergie cinétique «$\;K_{M}(t)\;$» et de son énergie de masse «$\;E^{\,0}=$ $m_{e}\;c^{2}\;$»${\big ]}\;$ étant liée à sa quantité de mouvement au même instant $\;t\;$ selon «$\;{\mathcal {E}}_{M}(t)=K_{M}(t)+E^{\,0}={\sqrt {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}+\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}\;$», nous obtenons ici «$\;{\mathcal {E}}_{M}(t)={\sqrt {\left(q_{e}\;{\vec {E}}\;t+{\vec {p}}_{0}\right)^{\!2}\;c^{2}+\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}\;$» soit, en développant et en tenant compte que $\;{\vec {p}}_{0}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {E}}$, «$\;{\mathcal {E}}_{M}(t)={\sqrt {q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}\;t^{2}+{\vec {p}}_{0}^{\,2}\;c^{2}+\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}\;$» ou, en introduisant l'« énergie totale initiale de l'électron $\;{\mathcal {E}}_{0}={\sqrt {{\vec {p}}_{0}^{\,2}\;c^{2}+\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}\;$», «$\;{\mathcal {E}}_{M}(t)=$ ${\sqrt {q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}\;t^{2}+{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}}\;$» soit enfin, avec $\;E_{y}=-{\dfrac {U}{d}}\;$ et $\;q_{e}=-e\;$, «$\;{\mathcal {E}}_{M}(t)$ $={\sqrt {e^{2}\;{\dfrac {U^{2}}{d^{2}}}\,c^{2}\;t^{2}+{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}}\;$» ;

     loi(s) horaire(s) de vitesse de l'électron : le vecteur vitesse de l'électron $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ étant lié à son vecteur quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ et à son énergie totale $\;{\mathcal {E}}_{M}(t)\;$ par «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}(t)\;c^{2}}{{\mathcal {E}}_{M}(t)}}\;$» nous en déduisons ici la loi horaire vectorielle de vitesse de l'électron «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)=$ ${\dfrac {q_{e}\;{\vec {E}}\;c^{2}\;t+{\vec {p}}_{0}\;c^{2}}{\sqrt {q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}\;t^{2}+{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}}}\;$» ce qui donne, en projetant sur chacun des axes du schéma de début de paragraphe, les trois lois horaires scalaires de vitesse de l'électron «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,M}(t)={\dfrac {p_{0}\;c^{2}}{\sqrt {q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}\;t^{2}+{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}}}\\V_{y,\,M}(t)={\dfrac {q_{e}\;E_{y}\;c^{2}\;t}{\sqrt {q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}\;t^{2}+{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}}}\\V_{z,\,M}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» ou «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,M}(t)={\dfrac {p_{0}\;c^{2}}{\sqrt {e^{2}\;{\dfrac {U^{2}}{d^{2}}}\;c^{2}\;t^{2}+{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}}}\\V_{y,\,M}(t)={\dfrac {e\;U\;c^{2}\;t}{d\;{\sqrt {e^{2}\;{\dfrac {U^{2}}{d^{2}}}\;c^{2}\;t^{2}+{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}}}}\\V_{z,\,M}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» avec $\;E_{y}=-{\dfrac {U}{d}}\;$ et $\;q_{e}=-e\;$ soit, en mettant l'énergie totale initiale $\;{\mathcal {E}}_{0}\;$ en facteur dans le dénominateur des deux 1^ères composantes de façon à faire apparaître des fractions sans dimension ou homogène à une vitesse, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l r}V_{x,\,M}(t)&=&{\dfrac {p_{0}\;c}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;{\dfrac {c}{\sqrt {1+\left({\dfrac {e\;U}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;{\dfrac {c\;t}{d}}\right)^{\!\!2}}}}\\V_{y,\,M}(t)&=&{\dfrac {e\;U}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;{\dfrac {c\;t}{d}}\;{\dfrac {c}{\sqrt {1+\left({\dfrac {e\;U}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;{\dfrac {c\;t}{d}}\right)^{\!\!2}}}}\\V_{z,\,M}(t)&=&0\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \end{array}}\right\rbrace \;$» ;
     ci-dessus à droite les diagrammes horaires de vitesse de l'électron selon $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}$, l'électron pénétrant en $\;O\;$ dans l'espace champ électrostatique de vecteur champ $\;{\vec {E}}\;$ uniforme $\;\parallel \;$ et de sens contraire à $\;{\overrightarrow {Oy}}$ $\;{\big [}$sa norme valant $\;1\;MV\cdot m^{-1}{\big ]}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}$ $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel qu'il soit relativiste $\;{\bigg [}$sa norme étant égale à $\;{\dfrac {c}{2}}\simeq 1,5\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}{\bigg ]}$ ;
     ci-dessus à droite on constate que $\;V_{y,\,M}$, la composante de vitesse de l'électron parallèlement au champ électrique $\;{\vec {E}}$, $\;\nearrow \;$ à partir de $\;0\;$ en s'approchant asymptotiquement de la vitesse limite $\;c$ $\;{\big [}$après $\;5\;ns\;$ la composante vaut $\;\simeq 2,8\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ donc $\;\lesssim c\;$ mais à moins de $\;10\;\%\;$ près${\big ]}$, avec pour conséquence
     ci-dessus à droite on constate que $\;V_{x,\,M}$, la composante de vitesse de l'électron parallèlement à sa vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}$, $\;\searrow \;$ à partir de $\;{\dfrac {c}{2}}\;$ en s'approchant asymptotiquement de $\;0$ $\;{\big [}$après $\;5\;ns\;$ la composante vaut $\;\simeq 5,5\;10^{7}\;m\cdot s^{-1}\;$ donc a déjà été divisée par $\;\simeq 3$, la $\;\searrow \;$ s'accélérant par la suite${\big ]}$
     ci-dessus à droite on constate${\Big \{}$la raison étant que $\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}\Vert ={\sqrt {V_{x,\,M}^{\,2}+V_{y,\,M}^{\,2}}}\;$ ne pouvant dépasser $\;c\;$ alors que la dynamique de l'électron fait $\;\nearrow V_{y,\,M}\;$ jusqu'à $\;c$, $\;V_{x,\,M}\;$ doit $\;\searrow \;$ jusqu'à $\;0\;$${\Big \}}$ ;

Diagramme horaire de position d'un électron selon Ox après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox

Diagramme horaire de position d'un électron selon Oy après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox

     loi(s) horaire(s) de position de l'électron : le vecteur position de l'électron $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ étant lié à son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ par «$\;{\dot {\overrightarrow {OM}}}(t)=$ ${\vec {V}}_{\!M}(t)\;$», on obtiendra le 1^er en intégrant l'expression du 2^nd «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\dfrac {q_{e}\;{\vec {E}}\;c^{2}\;t}{\sqrt {q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}\;t^{2}+{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}}}+{\dfrac {{\vec {p}}_{0}\;c^{2}}{\sqrt {q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}\;t^{2}+{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}}}\;$» par rapport à $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;{\dot {\overrightarrow {OM}}}(t)={\dfrac {q_{e}\;{\vec {E}}\;c^{2}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c}}\;{\dfrac {t}{\sqrt {t^{2}+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}}+{\dfrac {{\vec {p}}_{0}\;c^{2}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c}}\;{\dfrac {1}{\sqrt {t^{2}+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}}\;$»,
     loi(s) horaire(s) de position de l'électron : le 1^er terme du 2^ème membre ayant pour primitive «$\;{\dfrac {q_{e}\;{\vec {E}}\;c^{2}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c}}\;{\sqrt {t^{2}+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}+{\overrightarrow {cste}}=$ $c\;{\vec {u}}_{y}\;{\sqrt {t^{2}+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}+{\overrightarrow {cste}}\;$» et
     loi(s) horaire(s) de position de l'électron : le 2^nd terme du 2^ème membre ayant pour primitive «$\;{\dfrac {{\vec {p}}_{0}\;c^{2}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c}}\;\mathrm {argsinh} \!\left({\dfrac {t}{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c}}}\right)+{\overrightarrow {cste'}}$ $={\dfrac {{\vec {p}}_{0}\;c}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\;\mathrm {argsinh} \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c\;t}{{\mathcal {E}}_{0}}}\right)+{\overrightarrow {cste'}}\;$» $\Rightarrow$
     loi(s) horaire(s) de position de l'électron : en tenant compte de la position initiale de l'électron choisie pour origine du repérage $\;M(0)=O$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=$ $\left[c\;{\vec {u}}_{y}\;{\sqrt {{t'}^{2}+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}\right]_{0}^{t}+\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{0}\;c}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\;\mathrm {argsinh} \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c\;t'}{{\mathcal {E}}_{0}}}\right)\right]_{0}^{t}$» soit la loi horaire vectorielle de position de l'électron «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=$ $\left[c\;{\vec {u}}_{y}\;{\sqrt {t^{2}+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}-{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}\;{\vec {u}}_{y}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\right]+{\dfrac {{\vec {p}}_{0}\;c}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\;\mathrm {argsinh} \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c\;t}{{\mathcal {E}}_{0}}}\right)\;$» ce qui donne, en projetant sur chacun des axes du schéma de début de paragraphe, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\dfrac {p_{0}\;c}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\;\mathrm {argsinh} \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c\;t}{{\mathcal {E}}_{0}}}\right)\\y_{M}(t)=c\;{\sqrt {t^{2}+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}-{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\\z_{M}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire les trois lois horaires scalaires de position de l'électron ou, avec $\;E_{y}=-{\dfrac {U}{d}}\;$ et $\;q_{e}=-e\;$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l r}x_{M}(t)&=&d\;{\dfrac {p_{0}\;c}{e\;U}}\;\mathrm {argsinh} \!\left({\dfrac {e\;U}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;{\dfrac {c\;t}{d}}\right)\\y_{M}(t)&=&{\sqrt {c^{2}\;t^{2}+d^{2}\;{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{e^{2}\;U^{2}}}}}-d\;{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{e\;U}}\\z_{M}(t)&=&0\qquad \qquad \qquad \end{array}}\right\rbrace \;$» ;
     ci-dessus à droite les diagrammes horaires de position de l'électron selon $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}$, l'électron pénétrant en $\;O\;$ dans l'espace champ électrostatique de vecteur champ $\;{\vec {E}}\;$ uniforme $\;\parallel \;$ et de sens contraire à $\;{\overrightarrow {Oy}}$ $\;{\big [}$sa norme valant $\;1\;MV\cdot m^{-1}{\big ]}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}$ $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel qu'il soit relativiste $\;{\Bigg [}$sa norme étant égale à $\;{\dfrac {c}{2}}\simeq 1,5\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ $\Rightarrow$ un facteur de Lorentz $\;\gamma _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {1}{2}}\right)^{\!\!2}}}}=$ ${\dfrac {2}{\sqrt {3}}}\simeq 1,155{\Bigg ]}\;$ correspondant à une « énergie totale initiale $\;{\mathcal {E}}_{0}=\gamma _{0}\;E^{\,0}\;$» avec $\;E^{\,0}=m_{e}\;c^{2}\;$ l'énergie de masse de l'électron $\;{\big [}E^{\,0}\simeq 0,511\;MeV\;$ d'où $\;{\mathcal {E}}_{0}\simeq 1,155\times 0,511\simeq 0,590\;MeV{\big ]}$ et une « norme de quantité de mouvement initiale $\;p_{0}=\gamma _{0}\;m_{e}\;V_{0}\;$» ou «$\;p_{0}=\gamma _{0}\;{\dfrac {E^{\,0}}{c}}\;{\dfrac {V_{0}}{c}}\;$» $\;{\bigg [}$soit numériquement $\;p_{0}\simeq 1,155\times 0,511\times {\dfrac {1}{2}}\;$ en $\;MeV\cdot c^{-1}\;$ ou $\;p_{0}\simeq 0,295\;MeV\cdot c^{-1}{\bigg ]}$ ;
     ci-dessus à droite on constate que $\;y_{M}(t)$, la coordonnée de l'électron parallèlement au champ électrique $\;{\vec {E}}$, $\;\nearrow \;$ à partir de $\;0\;$ selon une branche hyperbolique $\;{\big [}$après $\;5\;ns\;$ la variation temporelle de $\;y_{M}(t)\;$ est quasiment linéaire, ceci correspondant à la confusion de la branche hyperbolique avec son asymptote quand $\;t\rightarrow +\infty \;$${\big ]}$,
     ci-dessus à droite on constate que $\;x_{M}(t)$, la coordonnée de l'électron perpendiculairement au champ électrique $\;{\vec {E}}$, $\;\nearrow \;$ à partir de $\;0\;$ selon un sinus hyperbolique inverse $\;{\Bigg [}$à l'instant $\;t=5\;ns$, «$\;x_{M}(t)=$ ${\dfrac {p_{0}\;c}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\;\mathrm {argsinh} \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \times 0,3\;t_{{\text{en }}ns}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\right)\;$» donne «$\;x_{M,\,{\text{en }}m}\simeq {\dfrac {0,295}{1,0}}\;\mathrm {argsinh} \!\left({\dfrac {1,0\times 0,3\times 5}{0,590}}\right)\simeq 0,49\;m{\Bigg ]}$ ;

Trajectoire d'un électron après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox

     trajectoire de l'électron : le mouvement de l'électron étant plan, dans le plan $\;\perp \;$ aux plaques de déviation contenant le vecteur quantité de mouvement initial $\;{\vec {p}}_{0}\;$ c'est-à-dire le plan $\;z=0$, les deux équations paramétriques de sa trajectoire dans le plan $\;xOy\;$ étant aussi les deux lois horaires scalaires de position «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\dfrac {p_{0}\;c}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\;\mathrm {argsinh} \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c\;t}{{\mathcal {E}}_{0}}}\right)\\y_{M}(t)=c\;{\sqrt {t^{2}+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}-{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\end{array}}\right\rbrace \;$» nous obtenons son équation cartésienne dans ce plan en éliminant le paramètre $\;t\;$ entre les deux équations paramétriques selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t={\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert \;c}}\;\sinh \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }{p_{0}\;c}}\;x_{M}\right)\\y_{M}(t)=c\;{\sqrt {t^{2}+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}-{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où, par report de «$\;t=t(x_{M})\;$» dans «$\;y_{M}=y_{M}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;y_{M}=c\;{\sqrt {{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}\;\sinh ^{2}\!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }{p_{0}\;c}}\;x_{M}\right)+{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}^{\,2}}{q_{e}^{2}\;{\vec {E}}^{\,2}\,c^{2}}}}}-{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}=$ ${\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\left[{\sqrt {\sinh ^{2}\!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }{p_{0}\;c}}\;x_{M}\right)+1}}-1\right]\;$» soit finalement «$\;y_{M}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\left[\cosh \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }{p_{0}\;c}}\;x_{M}\right)-1\right]\;$ » ;
     ci-dessus à droite la trajectoire de l'électron dans l'interface entre les plaques de déviation, l'électron pénétrant en $\;O\;$ dans l'espace champ électrostatique de vecteur champ $\;{\vec {E}}\;$ uniforme $\;\parallel \;$ et de sens contraire à $\;{\overrightarrow {Oy}}$ $\;{\big [}$sa norme valant $\;1\;MV\cdot m^{-1}{\big ]}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}$ $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel qu'il soit relativiste $\;{\Bigg [}$sa norme étant égale à $\;{\dfrac {c}{2}}\simeq 1,5\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ $\Rightarrow$ un facteur de Lorentz $\;\gamma _{0}=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {1}{2}}\right)^{\!\!2}}}}={\dfrac {2}{\sqrt {3}}}\simeq 1,155{\Bigg ]}\;$ correspondant à une « énergie totale initiale $\;{\mathcal {E}}_{0}=\gamma _{0}\;E^{\,0}\;$» avec $\;E^{\,0}=m_{e}\;c^{2}\;$ l'énergie de masse de l'électron $\;{\big [}E^{\,0}\simeq 0,511\;MeV\;$ d'où $\;{\mathcal {E}}_{0}\simeq 0,590\;MeV{\big ]}$ et une « norme de quantité de mouvement initiale $\;p_{0}=\gamma _{0}\;m_{e}\;V_{0}\;$» $\;{\bigg [}$soit numériquement $\;p_{0}=\gamma _{0}\;{\dfrac {E^{\,0}}{c}}\;{\dfrac {V_{0}}{c}}\simeq 0,295\;MeV\cdot c^{-1}{\bigg ]}$ ;
     ci-dessus à droite on constate que la trajectoire de l'électron relativiste dans l'interface entre les plaques de déviation est une « chaînette » $\;{\big (}$alors que celle d'un électron classique dans la même situation est une parabole${\big )}$ $\;{\bigg [}$si les plaques de déviation sont longues de $\;{\mathit {l}}=48\;cm$, distantes de $\;d=2\;m\;$ et soumises à une tension $\;U=2\;MV$, l'électron sort de l'interface en $\;S\;$ en frôlant la plaque supérieure, ses coordonnées sont $\;\left(x_{S}={\mathit {l}}=48\;cm\,,\,y_{S}\simeq 97\;cm<{\dfrac {d}{2}}=1\;m\right)\;$, au début de la trajectoire $\;{\big (}$jusqu'à l'abscisse $\;39\;cm{\big )}\;$ l'électron est un peu plus proche de l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ que le traitement en dynamique classique dans les mêmes conditions ne l'aurait positionné alors qu'en fin de trajectoire $\;{\big (}$à partir de l'abscisse $\;39\;cm{\big )}\;$ il en est plus éloigné et d'autant plus qu'il se rapproche de $\;S{\bigg ]}$ ;

     angle de déflexion électrique à la sortie de l'interface entre les plaques de déviation $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {V}}_{0}\,,{\vec {V}}_{S}\right)}}$ : l'angle de déflexion du mouvement de l'électron se détermine par «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {dy}{dx}}(x_{S}={\mathit {l}})\;$» avec $\;{\dfrac {dy}{dx}}(x)={\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }}\;{\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }{p_{0}\;c}}\;\sinh \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }{p_{0}\;c}}\;x\right)={\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{p_{0}\;c}}\;\sinh \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }{p_{0}\;c}}\;x\right)\;$ d'où «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{p_{0}\;c}}\;\sinh \!\left({\dfrac {\vert q_{e}\vert \;\Vert {\vec {E}}\Vert }{p_{0}\;c}}\;{\mathit {l}}\right)\;$» ou, avec $\;\Vert {\vec {E}}\Vert ={\dfrac {U}{d}}\;$ et $\;\vert q_{e}\vert =e\;$, le lien entre la pente de l'angle de déflexion électrique à la sortie de l'interface entre les plaques de déviation et la tension imposée aux bornes de ces dernières «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}}{p_{0}\;c}}\;\sinh \!\left({\dfrac {e\;U}{p_{0}\;c\;d}}\;{\mathit {l}}\right)\;$ non $\;\propto \;$ à $\;U$ $\;{\big (}$contrairement au résultat pour des électrons non relativistes${\big )}\;$» $\;{\bigg \{}$numériquement «$\;\tan(\alpha )\simeq {\dfrac {0,590}{0,295}}\times \sinh \!\left({\dfrac {U_{{\text{en }}MV}}{0,295\times 2,0}}\times 0,48\right)\simeq 2,0\times \sinh \!\left(0,814\times U_{{\text{en }}MV}\right)\;$» soit, pour $\;\tan \!\left[\alpha _{\,(U_{2}=2\;MV)}\right]\simeq 4,90\;$ alors que $\;\tan \!\left[\alpha _{\,(U_{1}=1\;MV)}\right]\simeq 1,81\;$ d'où «$\;U_{2}=2\;U_{1}\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan \!\left[\alpha _{\,(U_{2})}\right]\simeq 2,7\;\tan \!\left[\alpha _{\,(U_{1})}\right]\;$», cette absence de linéarité entre angle de déflexion et tension rend l'utilisation de l'oscilloscope cathodique dans le domaine relativiste inopérante $\;{\big (}$à ajouter au fait que le canon à électrons susceptible de créer le faisceau d'électrons avant pénétration dans l'interface entre les plaques de déviation devrait être très long pour que les électrons soient relativistes${\big )}{\bigg \}}$.

Rappel de la conservation de l’énergie mécanique relativiste et application à l’exemple du canon à électrons

Généralisation de la notion de mouvement conservatif d'un point matériel en dynamique relativiste

     Cette notion de mouvement conservatif d'un point matériel introduite en dynamique newtonienne $\;{\big [}$voir le paragraphe « définition d'un mouvement conservatif » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}\;$ reste applicable en dynamique relativiste, ce qui s'énonce ainsi :

     « Dans le cadre de la dynamique relativiste, un point matériel $\;M\;$ a un mouvement conservatif dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou si les éventuelles forces non conservatives ne travaillent pas ».

Généralisation de la conservation de l’énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif en dynamique relativiste

     Cette propriété de conservation de l’énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif introduite en dynamique newtonienne $\;{\big [}$voir le paragraphe « intégrale 1^ère énergétique d'un point matériel à mouvement conservatif » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}\;$ reste applicable en dynamique relativiste, ce qui s'énonce ainsi :

Début d’un théorème

Intégrale 1^ère énergétique d'un point matériel à mouvement relativiste conservatif

     Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ et dans le cadre de la dynamique relativiste, « l'énergie mécanique relativiste d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à mouvement conservatif $\;E_{m,\,M}=K_{M}+U(M)$ ${\big [}K_{M}\;$ étant l'énergie cinétique relativiste du point et $\;U(M)\;$ son énergie potentielle${\big ]}\;$ est conservée », l'énergie cinétique relativiste du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'explicitant, dans $\;{\mathcal {R}}$, selon «$\;K_{M}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]\,E^{\,0}\;$» avec $\;E^{\,0}=m\;c^{2}\;$ l'énergie de masse du point et $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{_{,}2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ son facteur de Lorentz dans $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$, $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ étant son vecteur vitesse au même instant dans le même référentiel ;
     cela constitue l'intégrale 1^ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif dans le cadre de la dynamique relativiste.

Fin du théorème

     Commentaire : En dynamique relativiste la conservation de l'énergie mécanique du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à mouvement conservatif «$\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U(M_{t})=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]\,E^{\,0}+U(M_{t})\;$» est usuellement avantageusement remplacée par la conservation de l'énergie mécanique totale du point «$\;{\mathcal {E}}_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M}(t)+E^{\,0}=K_{M}(t)+U(M_{t})+E^{\,0}=\gamma _{M}(t)\;E^{\,0}+U(M_{t})\;$».

Application à l’« exemple du canon à électrons »

Schéma expliquant le fonctionnement d'un canon à électrons dans le cadre de la dynamique relativiste

     La différence fondamentale par rapport au traitement du paragraphe « exemple du canon à électrons (en dynamique newtonienne) » plus haut dans ce chapitre est que l'électron $\;M\left(m_{e}\right)\;$ éjecté de l'espace champ électrostatique créé dans le canon à électrons l'étant avec une vitesse de norme $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \gtrsim {\dfrac {c}{10}}$, le traitement doit être fait dans le cadre de la dynamique relativiste c'est-à-dire en introduisant, à la place de la vitesse d'éjection de l'électron, sa quantité de mouvement d'éjection $\;{\vec {p}}_{0}=$ $\gamma _{0}\;m_{e}\;{\vec {V}}_{0}\;$ avec $\;\gamma _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\left[{\vec {V}}_{0}\right]^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz d'éjection $\;{\big [}$voir schéma ci-contre${\big ]}$ :

     l'énergie cinétique d'éjection des électrons émis par « effet thermoélectronique » d'une électrode $\;(K)\;$ dans le voisinage d'un filament métallique chauffé, étant très faible, peut être considérée comme nulle, les électrons arrachés sont alors accélérés en imposant une d.d.p. $\;U_{\text{accél}}>0\;$ entre la cathode $\;(K)\;$ et l'anode de sortie $\;(A)\;$ du canon à électrons ;

     la force électrique agissant sur chaque électron $\;M\left(m_{e}\right)\;$ de charge $\;q_{e}=-e\;$ à l'intérieur du canon $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)=-e\;{\vec {E}}_{\text{accél}}(M)\;$ conservative « dérivant » de l'énergie potentielle électrique «$\;{\mathcal {E}}_{p}(M)=$ $-e\;V(M)\;$», avec $\;V(P)\;$ le potentiel électrique de l'espace champ électrique dans l'interface du canon à électrons en la position $\;P$, la référence de l'énergie potentielle de l'électron étant la même que celle du potentiel électrique, on peut donc appliquer l'intégrale 1^ère énergétique à l'électron entre $\;(K)\;$ et $\;(A)\;$ selon «$\;{\mathcal {E}}_{m}(A)={\mathcal {E}}_{m}(K)\;$» soit, avec $\;{\mathcal {E}}_{m}(K)\simeq E^{\,0}-e\;V_{K}\;$ ainsi que $\;{\mathcal {E}}_{m}(A)={\mathcal {E}}_{0}-e\;V_{A}\;$ avec $\;{\mathcal {E}}_{0}\;$ l'énergie totale d'éjection de l'électron, son énergie totale initiale étant son énergie de masse $\;E^{\,0}=m_{e}\;c^{2}$, on en déduit $\;{\mathcal {E}}_{0}-E^{\,0}\simeq e\left(V_{A}-V_{K}\right)\;$ soit «$\;{\mathcal {E}}_{0}-E^{\,0}\simeq e\;U_{\text{accél}}\;$» ou, le lien entre énergie totale $\;{\mathcal {E}}\;$ et quantité de mouvement $\;p=\Vert {\vec {p}}\Vert \;$ étant $\;{\mathcal {E}}={\sqrt {p^{2}\;c^{2}+\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}\;$, «$\;{\sqrt {p_{0}^{2}\;c^{2}+\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}\simeq E^{\,0}+e\;U_{\text{accél}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;p_{0}\;c\simeq {\sqrt {\left(E^{\,0}+e\;U_{\text{accél}}\right)^{\!2}-\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}\;$» soit finalement

«$\;p_{0}\;c\simeq {\sqrt {e\;U_{\text{accél}}\left(2\;E^{\,0}+e\;U_{\text{accél}}\right)}}\;$» ;

     A.N. : sachant que $\;E^{\,0}=m_{e}\;c^{2}\simeq 0,511\;MeV\;$ et souhaitant obtenir un faisceau d'électrons éjecté par le canon à électron avec une quantité de mouvement $\;p_{0}\simeq 0,295\;MeV\cdot c^{-1}$, la tension accélératrice $\;U_{\text{accél}}\;$ à imposer entre $\;\left(K\right)\;$ et $\left(A\right)\;$ doit être telle que «$\;e\;U_{\text{accél}}\left(2\;E^{\,0}+e\;U_{\text{accél}}\right)-\left(p_{0}\;c\right)^{2}=0\;$» ou «$\;\left(e\;U_{\text{accél}}\right)^{\!2}+2\;E^{\,0}\,\left(e\;U_{\text{accél}}\right)-\left(p_{0}\;c\right)^{2}=0\;$» équation algébrique du 2^ème degré en $\;e\;U_{\text{accél}}\;$ de discriminant réduit $\;\Delta '=\left(E^{\,0}\right)^{2}+\left(p_{0}\;c\right)^{2}\simeq (0,511)^{2}+(0,295)^{2}\simeq 0,348\;MeV^{2}\simeq \left(0,590\;MeV\right)^{2}\;$ d'où, en gardant la solution positive $\;\left(e\;U_{\text{accél}}\right)\simeq -0,511+0,590\;$ en $\;MeV\;$ ou $\;\left(e\;U_{\text{accél}}\right)\simeq 0,079\;MeV$ correspondant à une tension accélératrice de $\;U_{\text{accél}}\simeq 79\;kV\;$ $\;{\bigg [}$nous pouvons vérifier que cette quantité de mouvement $\;p_{0}\simeq 0,295\;MeV\cdot c^{-1}\;$ correspond effectivement à un électron relativiste en évaluant sa vitesse, l'énergie totale de l'électron valant $\;{\mathcal {E}}_{0}={\sqrt {p_{0}^{2}\;c^{2}+\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}\simeq {\sqrt {(0,295)^{2}+\left(0,511\right)^{2}}}\simeq 0,590\;MeV\;$ et sa vitesse relative $\;\beta _{0}={\dfrac {p_{0}\;c}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;$ de valeur numérique $\;\beta _{0}\simeq {\dfrac {0,295}{0,590}}\simeq 0,5\;$ soit une vitesse $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \simeq 0,5\;c\simeq 1,5\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\gtrsim {\dfrac {c}{10}}\;$ justifiant le caractère relativiste${\bigg ]}$.