En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Force de Lorentz Mécanique 1 (PCSI)/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Force de Lorentz », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne ; de plus, sauf avis contraire, nous supposons l'espace physique orienté à droite[1] et y choisissons une base directe[2].
Toute distribution de charges électriques « globalement immobiles »[3] est source de champ électrique ; on distingue
les distributions réelles qui sont « discrètes » un échantillon solide chargé contient des ions immobiles et des porteurs de charge mobiles que l’on suppose sans mouvement d’ensemble, cette distribution est donc bien constituée de charges quasi ponctuelles séparées de régions vides d'où « une distribution réelle de charges est bien un ensemble constitué d’un nombre fini mais usuellement très grand de charges quasi ponctuelles » de
leurs modélisations qui sont « continues » un échantillon d’échelle mésoscopique dont chaque dimension est de l’ordre du [4] contient beaucoup de charges ponctuelles séparées par du vide correspondant à une structure discontinue à l’échelle microscopique de dimension de l’ordre du [4] mais souhaitant faire disparaître cette discontinuité à l’échelle mésoscopique[4], on réalise une modélisation continue de la distribution c'est-à-dire que l’on remplace la distribution réelle discrète de charges de l’échantillon mésoscopique[4] par un « fonds » continue de charges respectant la conservation de la charge totale de l’échantillon.
Modélisation en distribution continue volumiquemodifier
Schéma définissant une distribution continue volumique de charges d'extension finie
On considère une expansion tridimensionnelle contenant un grand nombre de charges ponctuelles, ensemble définissant une distribution discrète de charges, On considère un point quelconque de cette expansion et un volume élémentaire [5] entourant le point ;
ce volume élémentaire d’échelle mésoscopique[4] contient un nombre « suffisant »[6] de charges permettant l’utilisation de la « statistique »[7] ;
à cette échelle mésoscopique[4] il est donc possible, si on ne s’intéresse pas aux propriétés microscopiques[8], de remplacer la distribution discrète de charges dans le volume élémentaire [5] entourant le point par une distribution continue de charges réparties en volume en conservant la charge totale du volume élémentaire[5]la distribution continue volumique de charges étant notée ;
pour cela on définit la « densité volumique de charge exprimée en » dans laquelle est la charge totale contenue dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire c'est-à-dire «», la « densité volumique de charge ainsi définie » étant une fonction « continue de » , avec la connaissance de , définissant la modélisation en distribution continue volumique de la distribution discrète de charges initiale ;
remarque : en dehors de la distribution volumique , la densité volumique de charge est nulle, il est alors possible qu’il y ait discontinuité de 1ère espèce[9] de lors du passage de à son extérieur, ceci se produisant si ne s’annule pas sur les « bords de » bien entendu la question ne se pose que si n'est pas d'extension infinie de façon à ce que l’extérieur de existe.
Conclusion : La caractérisation de la distribution continue volumique de charges nécessite la connaissance de la densité volumique de charge en tout point de l'expansion tridimensionnelle de la distribution , Conclusion : la charge contenue dans le volume élémentaire [5] entourant le point s'écrivant alors «», Conclusion : cette charge «», considérée comme « quasi ponctuelle à l’échelle macroscopique[4] »[10], Conclusion : cette charge « dq », est la « source centrée en du champ électrique créé par cette dernière en tout point de l'espace ».
Modélisation en distribution continue surfaciquemodifier
Schéma définissant une distribution continue volumique de charges d'extension finie modélisable en distribution continue surfacique Schéma définissant une distribution continue surfacique de charges d'extension finie à partir d'une distribution continue volumique dont la dimension «»[11] est petite devant les deux autres « et »
Une distribution continue volumique de charges peut être modélisée en distribution continue surfacique quand l'une des dimensions de la distribution volumique est petite par rapport aux deux autres sur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et c'est la dimension d'épaisseur «»[11] qui est devant les deux autres « et » :
considérons une distribution continue volumique d'extension finie de densité volumique de charge d'expansion tridimensionnelle de dimension «»[11] devant «» ainsi que devant «» et notons le projeté de sur l’une des surfaces limitant la distribution volumique suivant la dimension «»[11]surface de dimensions « et » et projection parallèlement à la direction transversale voir ci-contre ;
réaliser la modélisation surfacique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que les charges, au lieu d’être localisées dans l'expansion tridimensionnelle de hauteur «»[11] dont est l’une des bases, le sont sur et en particulier la charge élémentaire «» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant de volume [11] étant l'aire de la surface élémentaire entourant se retrouve intégralement, dans la distribution surfacique associée que l'on notera , sur la surface élémentaire entourant d'aire voir le schéma ci-dessous à droite ;
pour réaliser la modélisation surfacique , on définit la « densité surfacique de charge exprimée en » dans laquelle est la charge totale contenue dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire [11] c'est-à-dire «»[11], la « densité surfacique de charge ainsi définie » étant une fonction « continue de » , avec la connaissance de , définissant la modélisation en distribution continue surfacique de la distribution continue volumique de charges initiale de densité volumique selon «»[11] ;
remarque : en dehors de la distribution surfacique ou pour être plus précis[12], la densité surfacique de charge étant nulle, on peut envisager deux façons d'aborder une éventuelle discontinuité suivant que l'extérieur de la distribution surfacique [12] est remarque : le sous-ensemble tridimensionnel obtenu en se déplaçant perpendiculairement à ou remarque : le sous-ensemble bidimensionnel obtenu en se déplaçant perpendiculairement à courbe fermée limite de dans « la surface d'extension infinie contenant » vers l'extérieur de défini dans ;
remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution surfacique à son extérieur tridimensionnel , il y a, a priori, discontinuité de 1ère espèce[9] de dans la mesure où [13] ;
remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution surfacique à son extérieur bidimensionnel , il y a, a priori, discontinuité de 1ère espèce[9] de dans la mesure où , courbe fermée limite de dans « la surface d'extension infinie contenant » bien entendu la question de cette discontinuité éventuelle ne se pose que si n'est pas d'extension infinie de façon à ce que existe.
Conclusion : La caractérisation de la distribution continue surfacique de charge nécessite la connaissance de la densité surfacique de charge en tout point de l'expansion bidimensionnelle de la distribution , Conclusion : la charge contenue dans la surface élémentaire d'aire entourant le point s'écrivant alors «», Conclusion : cette charge «», considérée comme « quasi ponctuelle à l’échelle macroscopique[4] »[10], Conclusion : cette charge « dq », est la « source centrée en du champ électrique créé par cette dernière en tout point de l'espace ».
Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues surfaciques : dans la mesure où une distribution continue volumique de densité volumique de charge est telle qu'il existe une des coordonnées de par exemple pour laquelle ne varie pas avec les deux autres coordonnées et , Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues surfaciques : on peut considérer comme une juxtaposition de distributions continues volumiques élémentaires pour lesquelles la coordonnée est figée à près, les deux autres coordonnées étant quelconques et Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues surfaciques : on peut modéliser chaque distribution continue volumique élémentaire par une distribution continue surfacique de « densité surfacique de charge »[14]correspondant effectivement à la dimension d'une densité surfacique de charge .
Modélisation en distribution continue linéiquemodifier
Schéma définissant une distribution continue volumique de charges d'extension finie modélisable en distribution continue linéique Schéma définissant une distribution continue linéique de charges d'extension finie à partir d'une distribution continue volumique dont les dimensions «»[11] et «» sont petites devant la 3ème «»
Une distribution continue volumique de charges peut être modélisée en distribution continue linéique quand deux des dimensions de la distribution volumique sont petites par rapport la 3èmesur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et ce sont les dimensions «[11] et » dites transversales qui sont devant la 3ème «» dite longitudinale :
considérons une distribution continue volumique d'extension finie de densité volumique de charge d'expansion tridimensionnelle de dimensions transversales «[11] et » devant la dimension longitudinale «» et notons le projeté de sur l’une des courbes de dimension «» générant transversalement la distribution volumique la projection se faisant parallèlement à toute section transversale voir ci-contre ;
réaliser la modélisation linéique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que les charges, au lieu d’être localisées dans l'expansion tridimensionnelle de section droite « x »[11] dont est l’une des courbes génératrices, le sont sur et en particulier la charge élémentaire «» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant de volume [11] étant la longueur de la portion de courbe élémentaire entourant se retrouve intégralement, dans la distribution linéique associée que l'on notera , sur la portion de courbe élémentaire entourant de longueur voir le schéma ci-dessous à droite ;
pour réaliser la modélisation linéique , on définit la « densité linéique de charge exprimée en » dans laquelle est la charge totale contenue dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire [11] c'est-à-dire «»[11], la « densité linéique de charge ainsi définie » étant une fonction « continue de » , avec la connaissance de , définissant la modélisation en distribution continue linéique de la distribution continue volumique de charges initiale de densité volumique selon «»[11] ;
remarque : en dehors de la distribution linéique ou pour être plus précis[15], la densité linéique de charge étant nulle, on peut envisager deux façons d'aborder une éventuelle discontinuité suivant que l'extérieur de la distribution linéique [15] est remarque : le sous-ensemble tridimensionnel obtenu en se déplaçant perpendiculairement à ou remarque : le sous-ensemble unidimensionnel obtenu en se déplaçant à travers ou extrémités de dans « la courbe d'extension infinie contenant » vers l'extérieur de défini dans ;
remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution linéique à son extérieur tridimensionnel , il y a, a priori, discontinuité de 1ère espèce[9] de dans la mesure où [16] ;
remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution linéique à son extérieur unidimensionnel , il y a, a priori, discontinuité de 1ère espèce[9] de dans la mesure où , extrémités de dans « la courbe d'extension infinie contenant » bien entendu la question de cette discontinuité éventuelle ne se pose que si n'est pas d'extension infinie de façon à ce que existe.
Conclusion : La caractérisation de la distribution continue linéique de charge nécessite la connaissance de la densité linéique de charge en tout point de l'expansion unidimensionnelle de la distribution , Conclusion : la charge contenue dans la portion de courbe élémentaire de longueur entourant le point s'écrivant alors «», Conclusion : cette charge «», considérée comme « quasi ponctuelle à l’échelle macroscopique[4] »[10], Conclusion : cette charge « dq », est la « source centrée en du champ électrique créé par cette dernière en tout point de l'espace ».
Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues linéiques : dans la mesure où une distribution continue volumique de densité volumique de charge est telle qu'il existe deux des coordonnées de par exemple et pour laquelle ne varie pas avec la 3ème coordonnée , Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues linéiques : on peut considérer comme une juxtaposition de distributions continues volumiques élémentaires pour lesquelles les coordonnées et sont figées respectivement à et près, l'autre coordonnée étant quelconque et Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues linéiques : on peut modéliser chacune des distributions continues volumiques élémentaires précédemment définies par une distribution continue linéique de « densité linéique de charge »[17]correspondant effectivement à la dimension d'une densité linéique de charge .
Toute distribution de charges électriques « globalement mobiles »[18] dans un référentiel d’étude est source de champ magnétique dans ce référentiel, ce peut être :
un conducteur immobile relativement au référentiel d’étude traversé par un courant,
un corps « chargé »[19] se déplaçant dans le référentiel d’étude,
de la matière « aimantée » c'est-à-dire des aimants[21] ;
en conclusion, à l’aide des remarques faites dans les notes « 19, 20 et 21 » plus haut dans ce chapitre, nous constatons qu’« une source de champ magnétique peut être considérée comme la circulation d’un courant dans le référentiel où on étudie le champ magnétique ».
un faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes, chaque particule se déplaçant à la même vitesse moyenne dans sans interagir avec ses plus proches voisines ce qui nécessite que la distance minimale séparant deux particules distinctes soit toujours à , le débit instantané des particules du faisceau en chaque point de ce dernier c'est-à-dire successivement ou à l'échelle microscopique de temps[22] pouvant être remplacé, à l'échelle mésoscopique de temps[22], par un débit particulaire moyen exprimé en , ceci correspond, là encore, à une modélisation mais en gardant le caractère particulaire du faisceau[23].
Modélisation en distribution continue volumiquemodifier
Remarque préliminaire : Nous n'insisterons pas sur la justification du caractère continu de la distribution volumique de charges mobiles ni sur l'éventuelle discontinuité aux frontières de cette distribution, sachez que tout ce qui a été exposé dans le paragraphe étudiant les sources de champ électrique « modélisation en distribution continue volumique (remarque) » plus haut dans ce chapitre, peut être répété dans ce paragraphe et ses sous paragraphes.
On considère une expansion tridimensionnelle contenant un ensemble de charges ponctuelles définissant une distribution discrète de charges mobiles dans le référentiel d'étude , On considère un point quelconque de cette expansion et un volume élémentaire [5] entourant le point ;
ce volume élémentaire d’échelle mésoscopique[4] contient un nombre « suffisant »[6] de charges mobiles permettant l’utilisation de la « statistique »[7] ;
à cette échelle mésoscopique[4] il est donc possible, si on ne s’intéresse pas aux propriétés microscopiques[8], de remplacer la distribution discrète de charges mobiles dans le volume élémentaire [5] entourant le point par une distribution continue de charges mobiles réparties en volume en conservant le nombre total de porteurs de charge mobiles de chaque type du volume élémentaire[5]la distribution continue volumique de charges mobiles étant notée ;
pour cela on définit la « densité volumique de porteurs de charge mobiles du type [24] exprimée en » dans laquelle est le nombre total moyen de porteurs de charge mobiles de type [24] contenus dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire nombre fluctuant à une échelle de temps microscopique[22],[25] devenant constant par introduction d'une moyenne à une échelle de temps mésoscopique[22], la « densité volumique de porteurs de charge mobiles du type [24] ainsi définie » étant une fonction « continue de » étant la modélisation en distribution continue volumique de la distribution discrète de charges mobiles initiale, la définition de de tous les types de porteurs de charge mobiles étant nécessaire à la caractérisation de sans qu'elle soit suffisante ;
en notant «» la charge d’un porteur de type [24], la « densité volumique de charge des porteurs de type [24] dans l’échantillon mésoscopique centré en la distribution volumique continue de charges mobiles» à savoir «» s'écrit selon « exprimée en »[26].
Conclusion : La caractérisation de la distribution continue volumique de charges mobiles nécessite, non seulement la connaissance de la densité volumique de charge des porteurs de charge mobiles de chaque différent type [24] «» en tout point de l'expansion tridimensionnelle de la distribution la charge des porteurs de charge mobiles de type [24] contenue dans le volume élémentaire [5] entourant le point s'écrivant alors «», Conclusion : La caractérisation de la distribution continue volumique de charges mobiles Dm nécessite, mais aussi celle du vecteur vitesse moyen des porteurs de charge mobiles de chaque différent type [24] en tout point de l'expansion tridimensionnelle de la distribution dans le référentiel d'étude «»[27], Conclusion : toutes les charges mobiles «», considérées comme « quasi ponctuelles à l’échelle macroscopique[4] »[10] de vecteur vitesse «» dans le référentiel d'étude Conclusion : toutes les charges mobiles « dqk », sont les « sources centrées en du champ magnétique créé par ces dernières en tout point de l'espace » ; Conclusion : remarque : tous les porteurs de charge mobiles d’un même type [24] ayant un même vecteur vitesse moyen[27] dans le référentiel d'étude en traversant l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire centrée en , on peut remplacer « le déplacement des porteurs de ce type »[28] par un « courant »[29] associé à ce type, Conclusion : remarque : ce remplacement entraînant l'introduction d'autant de « courants » qu’il y a de « types de porteurs de charge mobiles »
Notion de vecteur densité volumique de courant associé à un type de porteurs de charge mobiles défini en un point d'une distribution continue volumiquemodifier
Vecteur densité volumique de courant associé à un type de porteurs de charge mobiles défini en un point P d'une distribution continue volumique
Le vecteur densité volumique de courant associé à un type [24] de porteurs de charge mobiles défini en tout point de la distribution continue volumique est le champ vectoriel «»
de direction à celle de le vecteur vitesse d'entraînement du porteur de charge mobile de type [24] en [30],
de sens identique au sens de pour des porteurs de charge mobiles de type [24] dont la charge individuelle est de sens contraire au sens de pour des porteurs de charge mobiles de type [24] dont la charge individuelle est ,
de norme égale à la quantité d'électricité[31] des porteurs de charge mobiles de type [24] traversant par et par de section droite, s'exprime donc en «» ;
le sens de définit le sens du courant associé aux porteurs de charge mobiles de type [24].
Lien entre le vecteur densité volumique de courant associé à un type de porteur de charge mobile et le vecteur vitesse d'ensemble de ce typemodifier
Schéma de définition du vecteur densité volumique de courant en , associé à un type de porteurs de charge mobiles d'une distribution continue volumique dans le but d'établir son lien avec le vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteurs[30] dans le référentiel d'étude
Le vecteur densité volumique de courant associé à un type [24] de porteurs de charge mobiles défini en tout point de la distribution continue volumique «» est lié
au vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur défini au même point de la même distribution continue volumique «» de norme «» notée simplement «» sur le schéma ci-contre et
à la densité volumique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en de «»
par la relation suivante à retenir et à savoir retrouver
Démonstration : Les porteurs de charge mobiles de type [24] qui traversent une section droite élémentaire centrée en surface hachurée sur le schéma ci-contre, d’aire , entre et , se trouvaient, à l’instant dans le cylindre de même section droite et de longueur cylindre matérialisé sur le schéma ci-dessus à droite ;
Démonstration : la densité volumique de porteurs de charge mobiles de type [24] étant «» au point , le nombre de porteurs de charge mobiles de type [24] traversant la section droite élémentaire centrée en , d’aire , entre et , est donc «[33] » et Démonstration : en notant la charge d'un porteur de charge mobile de type [24], la charge traversant la même section droite élémentaire centrée en , d’aire , entre et , est égale à «» ou encore, Démonstration : en introduisant la densité volumique de charge des porteurs de charge mobiles de type [24] au point «», «» ;
Démonstration : la quantité d’électricité associée aux porteurs de charge mobiles de type [24] traversant entre et «» étant, par définition, la valeur absolue de la charge associée aux mêmes porteurs traversant la même section pendant la même durée «» est donc «» et Démonstration : la norme du vecteur densité volumique de courant associé aux porteurs de charge mobiles de type [24] «» étant la quantité d’électricité traversant par de section droite centrée en et par , on en déduit «» soit finalement
«» ;
Démonstration : sachant que, par définition, la direction de est celle de , on en déduit que «» et Démonstration : sachant que, par définition, le sens de est celui de si est et contraire à celui de si est , on en déduit :
Généralisation de la notion de vecteur densité volumique de courant au cas de plusieurs types de porteurs de charge mobilesmodifier
Le vecteur densité volumique de courant en un point d'une distribution continue volumique «» dans laquelle il y a plusieurs types [24] de porteurs de charge mobiles est la somme des Le vecteurs densités volumiques de courant associés à chaque type [24] de porteurs de charge mobiles définis au même point de «» pour lesquels
avec «» la densité volumique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en de et avec «» le vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur[30] défini au même point de , d'où la relation déduite de la définition du vecteur densité volumique de courant en un point de la distribution continue volumique à plusieurs types [24] de porteurs de charge mobiles
«» avec le nombre de types de porteurs de charge mobiles de .
Remarque : Le sens du vecteur densité volumique de courant en un point d'une distribution continue volumique à savoir le sens dedéfinit le sensconventionneldu courant en , c'est aussi le sens de déplacement des porteurs de charge mobiles de charge positive et le sens contraire de déplacement des porteurs de charge mobiles de charge négative.
Exemples : Un 1er exemple reprend celui cité en note « 26 (dans une solution aqueuse électrolytique) » plus haut dans ce chapitre à savoir une solution aqueuse décimolaire de chlorure cuivrique contenant deux types de porteurs de charge mobiles « des anions » et « des cations » Exemples : Un 1er exemple de charge et de densité volumique de charge respectives « avec » et « avec », Exemples : Un 1er exemple la densité volumique en anions et en cations se déduisant de la « concentration volumique molaire [36] de la solution aqueuse de » associée à la « réaction de dissolution du soluté » soit « et »[36] dans lesquelles est la constante d'Avogadro[37] la densité volumique en anions s'évalue par «» et celle en cations par «» soit finalement Exemples : Un 1er exemple les densités volumiques de charge respectives «» et «» les densités volumiques de charge de chaque type de porteurs de charge mobiles sont opposées en accord avec l'électroneutralité de la solution ; Exemples : Un 1er exemple notant et les vecteurs vitesse d'entraînement[30] respectifs des anions et des cations dans la solution aqueuse décimolaire de chlorure cuivrique plongée dans un électrolyseur aux bornes duquel on impose une tension électrique pour engendrer un courant étant de direction et de sens du champ électrique local imposé de l'extérieur et de direction mais de sens contraire à ce champ électrique local[38], ces deux vecteurs vitesse ont même direction mais sont de sens contraire soit, en notant le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local, «» et «», Exemples : Un 1er exemple la densité volumique de courant associée aux anions de la solution aqueuse décimolaire de plongée dans un champ électrique extérieur s'écrit ou «» dans le sens du champ électrique local c'est-à-dire le sens des potentiels [39], Exemples : Un 1er exemple celle associée aux cations de la même solution aqueuse décimolaire de plongée dans un même champ électrique extérieur s'écrit ou «» également dans le sens du champ électrique local c'est-à-dire le sens des potentiels [39], d'où Exemples : Un 1er exemple la densité volumique de courant circulant dans la solution aqueuse décimolaire de plongée dans un champ électrique «» s'écrivant finalement, en notant « la valeur commune de »,
« le vecteur densité volumique de courant étant de norme exprimée en et les vitesses en avec le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local, « est dans le sens du champ électrique local » c'est-à-dire le sens des potentiels [39].
Exemples : 2ème exemple : une solution aqueuse décimolaire de sulfate d'ammonium dont l'acidité a été renforcée par ajout d'un même volume d'une solution aqueuse décimolaire d'acide sulfurique contient trois types de porteurs de charge mobiles « des anions » et « deux cations différents et » Exemples : 2ème exemple : de charge et de densité volumique de charge respectives « avec » ainsi que « avec » et « avec », Exemples : 2ème exemple : la densité volumique en anions ainsi qu'en cations et se déduisant des « concentrations volumiques molaires dans le mélange étudié[36],[40] de la solution aqueuse de et de celle de » Exemples : 2ème exemple : associée aux « réactions de dissolution de chaque soluté et » ainsi qu'à Exemples : 2ème exemple : « la réaction acido-basique de Brønsted-Lowry[41],[42]» de constante d'équilibre égale à la constante d'acidité de l'acide «», valeur faible autorisant une réaction très peu avancée hypothèse à valider d'où Exemples : 2ème exemple : une concentration volumique molaire d'ammoniac devant celle en ammonium dont on déduit, en utilisant le caractère total de la réaction , ou [36] dont on tire la densité volumique en cations «»[43] soit «» et Exemples : 2ème exemple : une concentration volumique molaire en ion hydrogène hydraté fourni par la réaction devant celle en ion hydrogène hydraté fourni par la réaction dont on déduit la valeur, en utilisant le caractère total de la réaction , d'où ou [36] dont on tire la densité volumique en cations «»[43] soit «», enfin Exemples : 2ème exemple : la concentration volumique molaire en ion sulfate hydraté résultant des deux réactions totales et , on en déduit ou [36] dont on tire la densité volumique en anions «»[43] soit «», au final Exemples : 2ème exemple : les densités volumiques de charge respectives «», «» et «» la somme des densités volumiques de charge en chaque type de cations est opposée à la densité volumique de charge en anions en accord avec l'électroneutralité de la solutionavant de poursuivre on valide l'hypothèse de réaction très peu avancée c'est-à-dire qu'on doit valider en utilisant et la constante d'acidité de soit [44][44] soit numériquement effectivement devant C.Q.F.V[45]. ; Exemples : 2ème exemple : notant , et les vecteurs vitesse d'entraînement[30] respectifs des anions ainsi que des cations et dans le mélange à volume égal de deux solutions aqueuses décimolaires de sulfate d'ammonium et d'acide sulfurique plongé dans un électrolyseur aux bornes duquel on impose une tension électrique pour engendrer un courant et étant de direction et de sens du champ électrique local imposé de l'extérieur et de direction mais de sens contraire à ce champ électrique local[38], les vecteurs vitesse des anions et ceux des cations ont même direction mais sont de sens contraire soit, en notant le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local, «», «» et «», Exemples : 2ème exemple la densité volumique de courant associée aux anions du mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de et d' plongé dans un champ électrique extérieur s'écrit ou «» dans le sens du champ électrique local c'est-à-dire le sens des potentiels [39], Exemples : 2ème exemple celle associée aux cations du même mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de et d' plongé dans un même champ électrique extérieur s'écrit ou «» également dans le sens du champ électrique local c'est-à-dire le sens des potentiels [39] ainsi que Exemples : 2ème exemple celle associée aux cations du même mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de et d' plongé dans un même champ électrique extérieur s'écrit ou «» également dans le sens du champ électrique local c'est-à-dire le sens des potentiels [39], d'où Exemples : 2ème exemple la densité volumique de courant circulant dans le mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de et d' plongé dans un champ électrique «» soit, en notant « la valeur commune de »,
« le vecteur densité volumique de courant étant de norme exprimée en et les vitesses en avec le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local, « est dans le sens du champ électrique local » c'est-à-dire le sens des potentiels [39].
Notion de vecteur élément de courant en un point P de la distribution continue volumique de charges mobiles, source du champ magnétique en tout point M de l'espacemodifier
Vecteur élément de courant en un point d'une distribution continue volumique de charges mobiles
Le vecteur élément de courant défini en un point quelconque de la distribution continue volumique de charges mobiles est le champ vectoriel élémentaire
«»
dans lequel « est le vecteur densité volumique de courant défini en » et « le volume d'une expansion tridimensionnelle élémentaire centrée en » ; la norme du vecteur élément de courant «» défini en s'exprime en «».
Conséquence : L'ensemble des vecteurs élément de courant «» défini en chaque point est la source du champ magnétique créé par en un point quelconque de l'espace ; Conséquence : «» est, en tant que source du champ magnétique créé par une distribution continue volumique de charges mobiles , l’analogue de Conséquence : «», est, en tant que source du champ électrique créé par une distribution continue volumique de charges , Conséquence : la densité volumique de charge de «» traduisant la répartition volumique de la source de champ électrique créé par et Conséquence : la densité volumique de courant de «» la répartition volumique de la source de champ magnétique créé par , Conséquence : on peut donc affirmer que l'analogue de «»[46] est «»[46], ce qui justifie le nom de « densité volumique de courant donné à ».
1ère définition de l'intensité algébrique d'un courant traversant une surfacemodifier
Surface ouverte , plane ou non, limitée par un contour fermé et orientation de par un vecteur unitaire normal défini en tout point de la surface
1ère définition de l'intensité algébrique d'un courant traversant une surface ouverte
L'intensité algébriqued'un courant traversant une surface ouverte orientée en tout point par un vecteur unitaire normal de sens choisi arbitrairement pour un point de référence et par continuité pour les autres points, le sens de définissant le sens de traversée de la surface en est la charge traversant cette surface, dans le sens +[47]par s ou, mathématiquement,
«»
avec la charge totale des porteurs de charge mobiles traversant dans le sens [47] pendant la durée élémentaire .
Remarque : Pour simplifier l'énoncé de la définition de l'intensité algébrique d'un courant traversant une surface ouverte orientée, nous n'avons pas fait référence à la notion de temps mais, sauf dans le cas d'un régime permanent de courant, la charge traversant la surface dans le sens [47] par dépend de l'instant de traversée et par suite l'intensité du courant en dépendant aussi doit être notée «».
Lignes de courant d'une distribution continue volumique de charges mobiles
La ligne de courant issue d'un point quelconque d'une distribution continue volumique de charges mobiles est la courbe issue de , « tangente au vecteur densité volumique de courant de la distribution en chacun de ses points » et orientée « dans le sens de ».
2ème définition de l'intensité algébrique d'un courant traversant une surface (en fonction du vecteur densité volumique de courant en tout point de cette surface)modifier
Schéma de définition de l'intensité algébrique d'un courant à travers une surface ouverte orientée[48], le courant étant de vecteur densité volumique de courant connu
2ème définition (équivalente) de l'intensité algébrique du courant d'une distribution continue volumique de charges mobiles traversant une surface ouverte
L'intensité algébriquedu courant d'une distribution continue volumique de charges mobilestraversant une surface élémentaire, d'aire , centrée en un point , de vecteur surface élémentaire «» étant un vecteur unitaire normal à la surface élémentaire de sens choisi arbitrairement, avec caractérisée, en tout point , par son vecteur densité volumique de courant en «», est le flux élémentaire[49] deà travers la surface élémentaire de vecteur surface élémentaire«» ou, mathématiquement,
L'intensité algébriquedu courant de la même distribution continue volumique de charges mobilestraversant une surface ouverte, limitée par la courbe fermée , orientée en tout point par «» étant de sens choisi arbitrairement pour un point de référence et par continuité pour les autres points, le sens de définissant le sens de traversée de la surface en , étant toujours caractérisée par le vecteur densité volumique de courant en «», est le flux[51] deà travers la surface ouverte orientée localement par le vecteur surface élémentaire «» ou, mathématiquement,
Schéma d'établissement de l'intensité algébrique d'un courant à travers une surface élémentaire centrée en P (courant associé à un type de porteurs de charge mobiles d'une distribution continue volumique), comme le flux élémentaire du vecteur densité volumique de courant en P à travers cette surface élémentaire
Démonstrations directe et réciproque : démontrer la 2ème définition à partir de la 1ère : pour simplifier supposons un seul type [24] de porteurs de charge mobiles de charge de la distribution continue volumique étudiée, type de porteur se déplaçant dans le « sens indiqué ci-contre » avec un vecteur vitesse d'entraînement [30], en direction de la surface élémentaire centrée en de vecteur surface élémentaire voir schéma ci-contre, les porteurs de charge mobiles de type [24] arrivant sur la surface élémentaire en faisant l'angle aigu [53] ;
Démonstrations directe et réciproque : pour démontrer cette implication, commençons par nous demander « où se trouvaient, à l'instant , les porteurs de charge mobiles de type [24] qui ont traversé la surface élémentaire entre et ? », réponse « ils se trouvaient dans le cylindre oblique de longueur et de section oblique d'aire » voir schéma ci-contre ;
Démonstrations directe et réciproque : la charge «[54] » des porteurs de charge mobiles de type [24] traversant la surface élémentaire d'aire sur l’intervalle est donc
«» où
Démonstrations directe et réciproque : « est le volume du cylindre oblique représenté ci-contre » et « la densité volumique de charge des porteurs de charge de type [24] définie au point » soit, Démonstrations directe et réciproque : avec «»[55], Démonstrations directe et réciproque : «» ou, avec « le vecteur densité volumique de courant associé aux porteurs de charge mobiles de type [24] de en »
Démonstrations directe et réciproque : du fait que cette charge traverse la surface élémentaire étudiée dans le sens , on en déduit l’intensité algébrique du courant associé aux porteurs de charge mobiles de type [24] traversant cette surface élémentaire par «»[57] soit finalement, en se limitant à un seul type de porteurs de charge mobiles, la 2ème définition de l'intensité algébrique d'un courant traversant une surface élémentaire définition indépendante du signe de la charge du porteur de charge mobile[57] ; Démonstrations directe et réciproque : remarque : dans le cas où les porteurs de charge mobiles de la distribution continue volumique sont de plusieurs types [24], la charge des porteurs de charge mobiles de chaque type [24] de charge traversant la surface élémentaire d'aire sur l’intervalle dans le sens étant équivalente à la charge opposée traversant dans le sens , nous en déduisons que la charge des porteurs de charge mobiles de tous les types [24] traversant la surface élémentaire étudiée sur l’intervalle de temps envisagé dans le sens s'écrit «» soit encore, avec «» et «»[56], «» traversant la surface élémentaire étudiée sur l’intervalle de temps envisagé dans le sens d'où «» ou, en faisant une factorisation scalaire par [58], «» ou «» compte tenu de la définition du vecteur densité volumique de courant en C.Q.F.D[34]..
Démonstrations directe et réciproque : démontrer la 1ère définition à partir de la 2ème : la 2ème définition l'intensité algébrique du courant de la distribution continue volumique traversant la surface élémentaire centrée en de vecteur surface élémentaire s'écrit «» avec « le vecteur densité volumique de courant en » ; Démonstrations directe et réciproque : pour en déduire la 1ère définition il suffit de reprendre la démonstration directe en sens inverse et de la remonter jusqu'à son point de départ : Démonstrations directe et réciproque : de avec le vecteur densité de courant associé aux porteurs de charge mobiles de type [24] et de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[59] on tire «» ou «» avec « l'intensité du courant associé aux porteurs de charge mobiles de type [24] traversant la surface élémentaire centrée en de vecteur surface élémentaire » ; Démonstrations directe et réciproque : on distingue alors les porteurs de charge mobiles de type [24] dont la charge est de ceux de type [24] dont la charge est :
Démonstrations directe et réciproque : pour les 1ers pour lesquels nous supposerons arbitrairement «» les porteurs de charge mobiles de type [24] se déplacent dans le sens avec d'où «» soit Démonstrations directe et réciproque : pour les 1ersune charge «» traversant, dans le sens , la surface élémentaire considérée pendant , charge égale à «» où «» avec s'identifiant au volume du cylindre oblique de longueur , de section oblique d'aire et de génératrices inclinées de relativement «» justifiant que cette charge s'identifie à celle des porteurs de charge mobiles de type [24] traversant la surface élémentaire considérée dans le sens pendant d'où, en divisant par la 1ère définition en ce qui concerne ces 1ers types de porteurs à C.Q.F.P.D[60]. ;
Démonstrations directe et réciproque : pour les 2nds pour lesquels nous avons aussi «» les vecteurs densité volumique de courant associés à tous les types de porteurs de charge mobiles étant dans le même sens les porteurs de charge mobiles de type [24] étant se déplacent dans le sens avec «» étant , est bien de sens contraire à c'est-à-dire dans le sens d'où «» soit Démonstrations directe et réciproque : pour les 2ndsune quantité d'électricité «» traversant, dans le sens , la surface élémentaire considérée pendant , quantité d'électricité égale à «» où «» avec obtus s'identifiant à l'opposé du volume du cylindre oblique de longueur , de section oblique d'aire et de génératrices inclinées de relativement à «» traversant la surface élémentaire considérée pendant dans le sens ce qui est équivalent à la charge » traversant la surface élémentaire considérée pendant dans le sens , justifiant que cette charge s'identifie à celle des porteurs de charge mobiles de type [24] traversant la surface élémentaire considérée dans le sens pendant d'où, en divisant par la quantité d'électricité , la 1ère définition en ce qui concerne ces 2nds types de porteurs à C.Q.R.D[61]..
Tube de courant s'appuyant sur un contour fermé, conservation de l'intensité (algébrique) traversant une section quelconque du tube en A.R.Q.S. et conséquence sur le vecteur densité volumique de courant en A.R.Q.S.modifier
Schéma d'un tube de courant s'appuyant sur un contour fermé
Tube de courant s'appuyant sur un contour fermé
Un tube de courant s’appuyant sur un contour fermé est l’ensemble des lignes de courant coupant la surface intérieure à ;
le tube de courant s'appuyant sur le contour fermé est donc limité « latéralement » par l’ensemble des lignes de courant coupant la courbe fermée , cet ensemble de lignes de courant constituant la surface latérale du tube de courant voir ci-contre.
Remarque : Aucune ligne de courant du tube de courant s'appuyant sur le contour fermé ne peut sortir du tube en coupant la surface latérale de ce dernier.
Schéma d'un tube de courant et l'orientation de ses sections et , conservation de l'intensité du courant traversant chacune de ses sections
1ère propriété : Soit le tube de courant représenté ci-contre et deux sections quelconques de ce tube et orientées dans le même sens de façon à ce que l'intensité du courant transporté par le tube et traversant chaque section soit positive ;
1ère propriété : en « A.R.Q.S. »[62], il y a conservation de la charge de tous les porteurs de charge mobiles contenue dans la portion de tube de courant limitée par les deux sections et cela signifiant qu’il n’y a ni création de nouveaux porteurs de charge mobiles, ni capture d'anciens porteurs de charge mobiles dans le conducteur constitué du tube de courant limité par les deux sections et par suite, 1ère propriété : en « A.R.Q.S. » la charge des porteurs de charge mobiles entrant, par la section , dans la portion de tube de courant considérée entre et «» charge traversant dans le sens d'orientation de cette dernière est égale à 1ère propriété : en « A.R.Q.S. » la charge des porteurs de charge mobiles sortant, par la section , de la portion de tube de courant considérée entre et «» charge traversant dans le sens d'orientation de cette dernière soit mathématiquement
«» ;
1ère propriété : en « A.R.Q.S. » compte tenu de la 1ère définition de l’intensité algébrique du courant traversant «» et 1ère propriété : en « A.R.Q.S. » compte tenu de la 1ère définitionde celle de l'intensité algébrique du courant traversant «», on en déduit
«» ;
1ère propriété : en conclusion, l’intensité algébrique du courant traversant une section quelconque d’un tube de courant est, en « A.R.Q.S. »[62], indépendante de cette section ; aussi parlera-t-on simplement d’« intensité algébrique du courant transporté par le tube de courant », sans préciser la section traversée.
Tube de courant et matérialisation d'une surface fermée constituée de la surface latérale du tube limitée par deux de ses sections, orientation de cette surface fermée vers l'extérieur et nullité de l'intensité sortant de cette surface fermée
2ème propriété : Soit la surface fermée , orientée vers l'extérieur voir schéma ci-contre, l'orientation vers l'extérieur y étant repérée par l'ajout de «» à chaque vecteur surface élémentaire, constituée 2ème propriété : de « la surface latérale de la portion de tube de courant limitée par les deux sections de ce tube et » le vecteur surface élémentaire « étant à la surface latérale » ainsi que 2ème propriété : de ces « deux sections et » l'orientation vers l'extérieur conserve l'orientation précédente de «» mais inverse celle de «» ;
2ème propriété : le flux du vecteur densité volumique de courant transporté par le tube de courant à travers la surface fermée s'évalue par «»[52],[63] ou étant à ou encore «» car «» et «» soit finalement
«» ;
2ème propriété : en conclusion le flux du vecteur densité volumique de courant transporté par le tube de courant à travers la surface fermée particulière est, en « A.R.Q.S. »[62], nul, 2ème propriété : en conclusion cette propriété étant généralisable, en « A.R.Q.S. »[62], à toute surface fermée généralisation admise soit « fermée », nous pouvons préciser la 2ème propriété recherchée
Vecteur densité volumique de courant d'une distribution continue volumique en A.R.Q.S. : champ vectoriel à flux conservatif
Dans le cadre de l'« A.R.Q.S. »[62], le vecteur densité volumique de courant d'une distribution continue volumique de charges mobiles est un champ vectoriel à flux conservatif car les énoncés ci-dessous étant équivalents[64]
son flux à travers une surface fermée quelconque d'orientation arbitraire[65] est nul[66] ou
son flux à travers une surface ouverte s'appuyant sur une courbe fermée orientée[67] est indépendant de la surface ouverte[68].
Autre expression du vecteur élément de courant en un point P de la distribution continue volumique (source du champ magnétique en tout point M), en considérant un vecteur longueur élémentaire d’un tube élémentaire de courant d’intensité connuemodifier
Schéma de définition du vecteur élément de courant défini en un point , à savoir [69], d'un tube élémentaire de courant
Soit un tube élémentaire de courant passant par un point quelconque d'une distribution continue volumique de charges mobiles voir schéma ci-contre, ce tube étant, au point ,
de section droite de vecteur surface élémentaire «» étant le vecteur unitaire orientant la ligne de courant passant par et l'aire élémentaire de la section droite du tube en et
de vecteur densité volumique de courant «» avec donc ;
considérant une longueur élémentaire à partir du point du tube de courant élémentaire, longueur comptée dans le sens de la ligne de courant en , on définit ainsi une expansion tridimensionnelle élémentaire de la distribution de volume «» auquel on associe le vecteur élément de courant défini en
définissant le vecteur élément de longueur du tube de courant élémentaire en selon «» et l'intensité algébrique du courant transporté en par le tube élémentaire de courant dans le sens de selon «», nous pouvons réécrire le vecteur élément de courant défini en selon «»[69] ou, en utilisant l'associativité de la multiplication de scalaires par un vecteur, «»[69] soit finalement
«»[69]expressions à retenir avec «» et «», « et étant colinéaires et de même sens ».
Modélisation en distribution continue surfaciquemodifier
Remarque préliminaire : Nous n'insisterons pas sur la justification du caractère continu de la distribution surfacique de charges mobiles ni sur l'éventuelle discontinuité aux frontières de cette distribution, sachez que tout ce qui a été exposé dans le paragraphe étudiant les sources de champ électrique « modélisation en distribution continue surfacique (remarque) » ainsi que dans la note « 13 » plus haut dans ce chapitre, peut être répété dans ce paragraphe.
Schéma définissant une distribution continue volumique de charges mobiles d'extension finie modélisable en distribution continue surfacique Schéma définissant une distribution continue surfacique de charges mobiles d'extension finie à partir d'une distribution continue volumique dont la dimension «»[11] est petite devant les deux autres « et »
Une distribution continue volumique de charges mobiles peut être modélisée en distribution continue surfacique quand l'une des dimensions de la distribution volumique est petite par rapport aux deux autres sur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et c'est la dimension d'épaisseur «»[11] qui est devant les deux autres « et » :
considérons une distribution continue volumique de charges mobiles d'extension finie de densité volumique de courant d'expansion tridimensionnelle de dimension «»[11] devant «» ainsi que devant «» et notons le projeté de sur l’une des surfaces limitant la distribution volumique suivant la dimension «»[11]surface de dimensions « et » et projection parallèlement à la direction transversale et plus particulièrement
considérons le tube de courant élémentaire de cette distribution passant par l'ensemble des lignes de courant de l'une ou l'autre face du tube située sur les surfaces limites de la distribution suivant la dimension [11] définit chacun une nappe de courant élémentaire[70]voir ci-contre ;
réaliser la modélisation surfacique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que les vecteurs élément de courant de chaque tube de courant élémentaire, au lieu d’être localisés dans l'expansion tridimensionnelle de hauteur «»[11] dont est l’une des bases, le sont sur et en particulier le vecteur élément de courant «» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant de volume [11] étant l'aire de la surface élémentaire entourant se retrouve intégralement, dans la distribution surfacique associée que l'on notera , sur la surface élémentaire entourant d'aire voir le schéma ci-contrepar cette modélisation, le tube de courant élémentaire passant par de la distribution tridimensionnelle est intégralement transformé en nappe de courant élémentaire passant par de la distribution surfacique ;
pour réaliser la modélisation surfacique , on définit le « vecteur densité surfacique de courant exprimée en » dans laquelle est le vecteur élément de courant de l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire [11] c'est-à-dire «»[11], la « densité surfacique de courant ainsi définie » étant une fonction « continue de » , avec la connaissance de , définissant la modélisation en distribution continue surfacique de la distribution continue volumique de charges mobiles initiale de densité volumique selon «»[11] ;
dans la nappe de courant élémentaire passant par « de largeur locale », les porteurs de charge mobiles se déplacent perpendiculairement à cette dernière en restant sur support de la distribution continue surfacique tout comme, dans la distribution continue volumique initiale, le tube de courant élémentaire passant par « de section droite locale de vecteur surface élémentaire [71] étant l'aire de la section droite élémentaire et [71] le vecteur unitaire normal à cette dernière orientant le sens de traversée des porteurs» transporte les porteurs de charge mobiles perpendiculairement à cette section droite ou encore parallèlement à ;
remarque : de façon à conserver une unité de traitement entre les distributions continues surfacique et volumique de charges mobiles, il est possible d'associer à la largeur locale de la nappe de courant élémentaire passant par un vecteur largeur élémentaire «»[72] dans lequel [72] est le vecteur unitaire normal à cette largeur orientant le sens de traversée des porteurs perpendiculairement à cette largeur la notion de « vecteur largeur élémentaire » n'étant pas normalisée, elle ne peut être utilisée qu'en rappelant sa définition et avec prudence ;
en utilisant cette remarque il est possible de redéfinir ou de définir, en procédant par analogie,
le « vecteur densité surfacique de courant en associé à un type [24] de porteurs de charge mobiles »,
son « lien avec le vecteur vitesse d'entraînement [30] et la densité surfacique de charges mobiles des porteurs de ce type »,
la « généralisation à une distribution continue surfacique ayant plusieurs types de porteurs de charge mobiles »,
« l'intensité algébrique du courant de cette distribution continue surfacique traversant une courbe ouverte en A.R.Q.S[62]. »,
le « vecteur élément de courant en en fonction du vecteur longueur élémentaire d’une nappe élémentaire de courant d’intensité connue, vecteur élément de courant noté [73] ».
Vecteur densité surfacique de courant associé à un type de porteurs de charge mobiles défini en un point P d'une distribution continue surfacique
Le vecteur densité surfacique de courant associé à un type [24] de porteurs de charge mobiles défini en tout point de la distribution continue surfacique est le champ vectoriel «»
de direction à celle de le vecteur vitesse d'entraînement du porteur de charge mobile de type [24] en [30],
de sens identique au sens de pour des porteurs de charge mobiles de type [24] dont la charge individuelle est de sens contraire au sens de pour des porteurs de charge mobiles de type [24] dont la charge individuelle est ,
de norme égale à la quantité d'électricité[31] des porteurs de charge mobiles de type [24] traversant par et par de « largeur droite »[74], s'exprime donc en «» ;
le sens de définit le sens du courant associé aux porteurs de charge mobiles de type [24].
Lien entre le vecteur densité surfacique de courant associé à un type de porteurs de charge mobiles, le vecteur vitesse d'entraînement et la densité surfacique de charge de ces derniers : le vecteur densité surfacique de courant associé à un type [24] de porteurs de charge mobiles défini en tout point de la distribution continue surfacique «» est lié
au vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur défini au même point de la même distribution continue surfacique «» et
à la densité surfacique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en de «» s'exprimant en cette dernière se définissant de la même façon que celle exposée dans le paragraphe « modélisation en distribution continue surfacique (d'une distribution continue volumique de charges, source de champ électrique) » plus haut dans ce chapitre le fait que les porteurs de charge soient ici mobiles et sources de champ magnétique ne changeant rien, dans lequel « la charge des porteurs de charge mobiles présent à l'instant considéré dans l'expansion tridimensionnelle centrée en de volume [11] à savoir étant la densité volumique de charge en porteurs de charge mobiles définie en de la distribution continue volumique initiale se retrouve intégralement dans la surface élémentaire centrée en d'aire » soit finalement le lien entre densités surfacique de et volumique de la distribution volumique initiale à modéliser «» en accord avec une analyse dimensionnelle «»
Généralisation à une distribution continue surfacique ayant plusieurs types de porteurs de charge mobiles : le vecteur densité surfacique de courant en un point d'une distribution continue surfacique «» dans laquelle il y a plusieurs types [24] de porteurs de charge mobiles est la somme des vecteurs densités surfaciques de courant associés à chaque type [24] de porteurs de charge mobiles définis au même point de «» pour lesquels
«»
avec «» la densité surfacique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en de et avec «» le vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur[30] défini au même point de , d'où la relation déduite de la définition du vecteur densité surfacique de courant en un point de la distribution continue surfacique à plusieurs types [24] de porteurs de charge mobiles
«» avec le nombre de types de porteurs de charge mobiles de .
1ère définition de l'intensité algébrique d'un courant d'une distribution continue surfacique de charges mobiles traversant une courbe ouverte
L'intensité algébriqued'un courant d'une distribution continue surfacique de charges mobilestraversant une courbe ouverte située sur le support de , avec une orientation de la perpendiculaire située dans en chaque point par un vecteur unitaire normal de sens choisi arbitrairement pour un point de référence et par continuité pour les autres points, le sens de définissant le sens de traversée de la courbe en est la charge traversant cette courbedans le sens +[47]par s ou, mathématiquement,
«»
avec la charge totale des porteurs de charge mobiles traversant dans le sens [47] pendant la durée élémentaire .
Remarque : Pour simplifier l'énoncé de la définition de l'intensité algébrique d'un courant d'une distribution continue surfacique de charges mobiles traversant une courbe ouverte à normale orientée située sur le support de la distribution, nous n'avons pas fait référence à la notion de temps mais, sauf dans le cas d'un régime permanent de courant, la charge traversant la courbe dans le sens [47] par dépend de l'instant de traversée et par suite l'intensité du courant en dépendant aussi doit être notée «».
2ème définition (équivalente) de l'intensité algébrique du courant d'une distribution continue surfacique de charges mobiles traversant une courbe ouverte
L'intensité algébriquedu courant d'une distribution continue surfacique de charges mobilestraversant une portion élémentaire de courbe, de largeur , centrée en un point , sur lequel on définit le vecteur «» qu'on appellera pour la suite « vecteur largeur élémentaire » étant un vecteur unitaire situé dans le support de , normal à la portion élémentaire de courbe, de sens choisi arbitrairement, avec caractérisée, en tout point , par son vecteur densité surfacique de courant en «», est le produit scalaire depar le vecteur largeur élémentaire de la portion de courbe ouverte «» ou, mathématiquement,
«»[76],[77] dans lequel «» définit le « vecteur largeur élémentaire ».
L'intensité algébriquedu courant de la même distribution continue surfacique de charges mobilestraversant une courbe ouvertele support de entre les points et de , la normale dans à la courbe en tout point étant orientée par de sens choisi arbitrairement pour un point de référence et par continuité pour les autres points, le sens de définissant le sens de traversée de la courbe en , étant toujours caractérisée en par son vecteur densité surfacique de courant «», est la « somme continue »[78]des intensités algébriques du courant de la distribution traversant chaque portion élémentaire centrée en de « vecteur largeur élémentaire » de la courbe , c'est-à-dire l'intégrale curviligne[79] sur la courbe de «» ou, mathématiquement,
Remarque : Là encore, pour simplifier l'énoncé de la définition de l'intensité algébrique d'un courant d'une distribution continue surfacique de charges mobiles traversant une courbe ouverte à normale orientée située sur le support de la distribution, nous n'avons pas fait référence à la notion de temps mais, sauf dans le cas d'un régime permanent de courant, l'intensité du courant traversant la courbe ouverte dans le sens [47] dépend de l'instant de traversée et par suite doit être notée «».
Vecteur élément de courant d'une longueur élémentaire de nappe élémentaire de courant défini en un point P d'une distribution continue surfacique de charges mobiles : Soit une nappe élémentaire de courant passant par un point quelconque d'une distribution continue surfacique de charges mobiles , cette nappe étant, au point ,
de largeur droite[74] de vecteur largeur élémentaire «» avec le vecteur unitaire orientant la ligne de courant passant par et la largeur élémentaire de la largeur droite[74] de la nappe en [81] et
de vecteur densité surfacique de courant «» avec donc ;
Vecteur élément de courant d'une longueur élémentaire de nappe élémentaire de courant défini en un point P d'une distribution continue surfacique de charges mobiles : considérant une longueur élémentaire à partir du point de la nappe de courant élémentaire, longueur comptée dans le sens de la ligne de courant en , on définit ainsi une expansion surfacique élémentaire de la distribution d'aire «» auquel on associe le vecteur élément de courant défini en
Vecteur élément de courant d'une longueur élémentaire de nappe élémentaire de courant défini en un point P d'une distribution continue surfacique de charges mobiles : définissant le vecteur élément de longueur de la nappe de courant élémentaire en selon «» et l'intensité algébrique du courant transporté en par la nappe élémentaire de courant dans le sens de selon «», nous pouvons réécrire le vecteur élément de courant défini en selon «»[73] ou, en utilisant l'associativité de la multiplication de scalaires par un vecteur, «»[73] soit finalement
«»[73]expressions à retenir avec «» et «», « et étant colinéaires et de même sens ».
Modélisation en distribution continue linéiquemodifier
Remarque préliminaire : Nous n'insisterons pas sur la justification du caractère continu de la distribution linéique de charges mobiles ni sur l'éventuelle discontinuité aux frontières de cette distribution, sachez que tout ce qui a été exposé dans le paragraphe étudiant les sources de champ électrique « modélisation en distribution continue linéique (remarque) » ainsi que dans la note « 16 » plus haut dans ce chapitre, peut être répété dans ce paragraphe.
Schéma définissant une distribution continue volumique de charges mobiles d'extension finie modélisable en distribution continue linéique Schéma définissant une distribution continue linéique de charges mobiles d'extension finie à partir d'une distribution continue volumique dont les dimensions «»[11] et «» sont petites devant la 3ème «»
Une distribution continue volumique de charges mobiles peut être modélisée en distribution continue linéique quand deux des dimensions de la distribution volumique sont petites par rapport à la 3èmesur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et ce sont les dimensions d'épaisseur «»[11] et «» qui sont devant la 3ème «» :
considérons une distribution continue volumique de charges mobiles d'extension finie de densité volumique de courant d'expansion tridimensionnelle de dimension «»[11] et «» devant «» et notons le projeté de sur l’une des courbes génératrices de la surface latérale limitant la distribution volumique courbe de dimension « et projection parallèlement à la direction transversale et
remarquons que le tube de courant de cette distribution de dimensions transversales petites devant la dimension longitudinale peut être considéré comme un tube de courant élémentaire élémentaire en cela que le vecteur densité volumique de courant défini en tout point de la section droite passant par ne dépend pas, en 1ère approximation, de ;
réaliser la modélisation linéique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que le vecteur élément de courant du tube de courant élémentaire passant par , au lieu d’être localisé dans l'expansion tridimensionnelle de dimensions transversales «»[11] et «», l'est sur l’une des courbes génératrices de la surface latérale limitant la distribution volumique par cette modélisation, le tube de courant élémentaire passant par de la distribution tridimensionnelle initiale est intégralement transformé en la ligne de courant passant par de la distribution linéique obtenue , cette dernière, ne comprenant qu'une seule ligne de courant, est alors encore appelée « circuit filiforme »[82]voir le schéma ci-contre ;
tous les porteurs de charges mobiles du tube de courant élémentaire de la distribution continue volumique initiale traversant la section droite passant par dans le « sens pour les porteurs de charge mobiles de charge individuelle » et dans le « sens pour ceux de charge individuelle » sur l'intervalle se retrouvant passant par sans changer de sens en suivant le « circuit filiforme »[82] sur le même intervalle de temps, nous définissons l'intensité algébrique du courant circulant, à l'instant , sur le circuit filiforme orienté le sens au point étant défini par le vecteur unitaire tangentiel à la courbe génératrice de la surface latérale limitant la distribution volumique choisie pour faire la modélisation linéique «» en l'identifiant à l'intensité algébrique du courant circulant, à l'instant , dans le tube de courant élémentaire de la distribution continue volumique initiale cette définition justifiant celle donnée au paragraphe « notion de courant électrique et définition du courant en un point du circuit filiforme » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
le vecteur élément de courant «» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant de volume [11] étant la longueur élémentaire de la portion de tube de courant élémentaire à partir de la section droite passant par s'écrivant encore «»[83]avec le vecteur élément de longueur du tube en , étant le vecteur unitaire tangentiel orientant la ligne de courant en se retrouve intégralement, dans la distribution linéique associée , sur la portion de courbe élémentaire entourant de longueur voir le schéma ci-dessus à droite, celle-ci étant traversée, en , par la même intensité algébrique «» que celle traversant la section droite du tube en «» d'où et par suite
le vecteur élément de courant en du circuit filiforme orienté par le vecteur unitaire tangentiel à , source de champ magnétique en tout point de l'espace tridimensionnel, est défini par «» avec l'intensité algébrique du courant circulant dans le circuit filiforme[82] et le vecteur élément de longueur de la portion de circuit filiforme[82] considérée.
Remarques : Pour simplifier la présentation l'intensité algébrique du courant transporté par un circuit filiforme[82] dans le cadre de l'A.R.Q.S[62]. a simplement été notée sans référence à la notion de temps mais, sauf dans le cas d'un régime permanent de courant, elle dépend de l'instant considéré et doit être notée «».
Remarques : Par analogie aux traitements des distributions continues volumique et surfacique, on aurait pu introduire, dans l'étude d'une distribution continue linéique de support orienté en par le vecteur unitaire tangentiel , la notion de vecteur densité linéique de courant de la distribution en «» lié au vecteur élément de courant de la portion de circuit filiforme centrée en de longueur élémentaire traversée par un courant d'intensité algébrique «» selon «» soit finalement
«» avec l'intensité algébrique du courant et définissant la direction et le sens de ce dernier ;
Remarques : poursuivant dans cette introduction, nous obtiendrions un lien entre ce vecteur densité linéique de courant de la distribution en dans le cas d'un seul type de porteurs de charge mobiles [24] «», le vecteur vitesse d'entraînement[30] et la densité linéique de charge des porteurs de charge mobiles de ce type «»[84], puis, dans le cas de plusieurs types de porteurs de charge mobiles «» avec le nombre de types de porteurs de charge mobiles différents circulant dans ;
Remarques : toutefois s'il y a une ressemblance de traitement dans le lien entre vecteur densité volumique ou surfacique de courant et intensité algébrique du courant à travers une surface ou une largeur élémentaire dans les distributions continue volumique ou surfacique « flux élémentaire de à travers » ou « pseudo-flux élémentaire de à travers »[76], le lien entre vecteur densité de courant linéique et intensité algébrique du courant à travers le point d'une distribution continue linéique peut difficilement être considéré comme un flux ou un « pseudo-flux »[76] car «» à moins de considérer que la multiplication scalaire d'un champ vectoriel par un vecteur unitaire définisse un pseudo-flux à travers un point, ce que nous ferons pas car n'ayant vraiment aucun autre intérêt qu'une analogie de traitement ;
Remarques : finalement introduire un vecteur densité linéique de courant en tout point de la distribution continue linéique selon «» n'injectant aucune grandeur physique qui n'ait déjà été introduite, il n'y a donc aucun intérêt à l'utiliser car si nous en avons besoin il suffira d'écrire «» à la place de «»
Il s'agit ici de revenir sur les sources de champ magnétique ou électrique en mettant en évidence l'intervention du temps.
Distribution de courant permanent dans des conducteurs « immobiles » d'un référentiel d’étudemodifier
Une distribution de courant permanent dans des conducteurs « immobiles » d'un référentiel d’étude est source de « champ magnétique stationnaire »[85] encore appelé « champ magnétostatique ».
Distribution de courant de l’A.R.Q.S. dans des conducteurs non nécessairement « immobiles » d'un référentiel d’étude ou distribution de courant permanent dans des conducteurs « mobiles » d'un référentiel d’étudemodifier
Une distribution de courant de l'A.R.Q.S[62]. dans des conducteurs non nécessairement « immobiles » d'un référentiel d’étude ou
une distribution de courant permanent dans des conducteurs « mobiles » d'un référentiel d’étude
Une distribution de courant de l'A.R.Q.S. dans des conducteurs non nécessairement « immobiles » d'un référentiel d’étude ou sont sources de « champ magnétique dépendant du temps » ;
une distribution de courant permanent dans des conducteurs « mobiles » d'un référentiel d’étude en plus elles sont également sources de « champ électrique dépendant du temps »[86], c'est-à-dire d'un « champ électrique » dit d’« induction »[87],[88].
Distribution de charges statiques dans des corps « immobiles » dans le référentiel d’étudemodifier
Une distribution de charges statiques dans des corps « immobiles » d'un référentiel d’étude est source de « champ électrique stationnaire »[85] encore appelé « champ électrostatique ».
Distribution de charges statiques dans des corps « mobiles » dans le référentiel d’étudemodifier
Une distribution de charges statiques dans des corps « mobiles » d'un référentiel d’étude est source de « champ électrique dépendant du temps » ; Une distribution de charges statiques dans des corps en plus elle peut être également source de « champ magnétique dépendant du temps » si la fréquence est « très élevée »[89].
Méthode pour déterminer expérimentalement la présence d'un champ électrique stationnaire (ou champ électrostatique)modifier
Placer une charge ponctuelle « témoin » «»[90] à l'endroit «» où on souhaite mettre en évidence le vecteur champ électrique stationnaire «» que la distribution de charges est « supposée créer »[91] au point ,
déterminer le vecteur force électrostatique «» que la distribution de charges est « supposée exercer »[91] sur la charge témoin «»[90] par « modification de l’équilibre de cette dernière en »[92] et
en déduire le vecteur champ électrostatique «» que la distribution de charges est « supposée créer »[91]en fait qu'elle crée réellement dans la mesure où une force «» a été déterminée au point par «» «» sa norme s'exprimant en en particulier la direction de est celle de et le sens de celui de mais uniquement si la charge témoin est positive.
En complément, « champ électrostatique créé en M par une charge ponctuelle qO placée en O » (expression de Coulomb du champ électrostatique)modifier
Schéma décrivant , le vecteur champ électrostatique créé par une charge ponctuelle en tout point , en utilisant le repérage sphérique de pôle [93]
Considérant une charge ponctuelle «», celle-ci crée autour d'elle un espace champ électrostatique et nous nous proposons de déterminer le vecteur champ électrostatique créé par cette charge ponctuelle en tout point «» en utilisant le repérage sphérique de pôle du point [93] de coordonnées sphériques et de base locale sphérique voir ci-contre ;
pour cela on place en une charge ponctuelle témoin , celle-ci subit de la part de la charge ponctuelle une force d'interaction électrostatique suivant la « loi de Coulomb »[94] «»[95]appelée force de Coulomb[94] dans laquelle « est la permittivité diélectrique du vide »[96] de valeur telle que [97] ;
on en déduit le vecteur champ électrostatique créé par la charge ponctuelle en «» d'où l’expression de Coulomb[94] du vecteur champ électrostatique créé par la charge ponctuelle en avec base liée à
Ce vecteur champ électrostatique en est central, plus exactement Ce vecteur champ électrostatique en M est centrifuge pour voir cas de figure et Ce vecteur champ électrostatique en M est centripète pour .
En complément, « champ électrostatique créé en M par une distribution discrète ou continue (volumique, surfacique ou linéique) de charges (intégrale de Coulomb du champ électrostatique) »modifier
On admet l’applicabilité du théorème de superposition[98] à l’évaluation du vecteur champ électrostatique créé par une distribution discrète ou continue de charges c'est-à-dire que le vecteur champ créé en un point par un ensemble discret ou continu de charges est la somme discrète ou continue[78] des vecteurs champs créés en par chaque charge ponctuelle ou pseudo-ponctuelle individuelle.
Distribution discrète de charges (ou source composée d'un nombre fini de charges ponctuelles)modifier
Le vecteur champ électrostatique créé par l'« ensemble des charges ponctuelles » en « tout point » étant la somme discrète des vecteurs « champ électrostatique créé au point par la charge ponctuelle prise individuellement » dans lequel « et »[99][100]
Distribution continue volumique de charges d'extension finie ou infinie et champ électrostatique crée en tout point M intérieur ou extérieur à la distributionmodifier
Le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue volumique de charge d'extension finie ou infinie caractérisée par la densité volumique de charge » en « tout point extérieur à l'expansion tridimensionnelle de » étant la somme continue[78] des vecteurs « champ électrostatique créé au point par la charge quasi-ponctuelle, centrée en , d'expansion tridimensionnelle de volume [101] prise individuellement » dans lequel « et »[102][100] s'obtient, pour extérieur à , sous la forme de l'« intégrale volumique »[103] « propre »[104] ou « généralisée pour d'extension infinie»[105], «» soit
Remarque : Bien qu'il soit impossible de déterminer physiquement le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue volumique de charge d'extension finie ou infinie caractérisée par la densité volumique de charge » en « tout point intérieur à l'expansion tridimensionnelle de » car il serait impossible d'y placer une charge témoin pour évaluer la force de Coulomb[94] «» que exercerait sur elle, Remarque : Bien qu’il est possible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale volumique[103] définissant à savoir diverge quand pénètre », « l'intégrale volumique étant une boule de centre et de rayon converge quand admis», la limite définissant l'intégrale volumique « généralisée pour d'extension finie[106], extension qui peut aussi être infinie[105]».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ électrostatique créé par « d'extension finie ou infinie caractérisée par la densité volumique de charge » en « tout point intérieur à » s'obtient sous la forme de l'« intégrale volumique généralisée pour d'extension finie[106], extension qui peut aussi être infinie[105]»
Distribution continue surfacique de charges d'extension finie ou infinie et champ électrostatique crée en tout point M extérieur à la distributionmodifier
Le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue surfacique de charge d'extension finie ou infinie caractérisée par la densité surfacique de charge » en « tout point extérieur à l'expansion surfacique de » étant la somme continue[78] des vecteurs « champ électrostatique créé au point par la charge quasi-ponctuelle, centrée en , d'expansion surfacique d'aire [101] prise individuellement » dans lequel « et »[102][100] s'obtient, pour extérieur à , sous la forme de l'« intégrale surfacique »[52] « propre »[104] ou « généralisée pour d'extension infinie»[108], «» soit
Remarque : S'il est impossible de déterminer physiquement le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue surfacique de charge d'extension finie ou infinie caractérisée par la densité surfacique de charge » en « tout point intérieur à l'expansion surfacique de » car il serait impossible d'y placer une charge témoin pour évaluer la force de Coulomb[94]«» que exercerait sur elle, Remarque : S’il est aussi impossible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale surfacique[52] définissant à savoir diverge quand pénètre », « l'intégrale surfacique étant un pseudo-disque de centre et de rayon [109] diverge plus précisément n'admet pas de limite finie quand admis», l'absence de limite empêchant de définir une intégrale surfacique « généralisée pour d'extension finie[110], même si l'extension est aussi infinie[108]».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ électrostatique créé par « d'extension finie ou infinie caractérisée par la densité surfacique de charge » en « tout point intérieur à » n'est pas définissable, toutefois En conclusion de la remarque précédente, à partir d'un point « quelconque » et en définissant « la perpendiculaire à en orientée par le vecteur unitaire », En conclusion de la remarque précédente, les « vecteurs champs électrostatiques créés paren tout point mais de » sont continus à l'exception deen accord avec l'impossibilité de définir le champ en où on observe une discontinuité de 1ère espèce[9]de saut fini «» admis[111].
Distribution continue linéique de charges d'extension finie ou infinie et champ électrostatique crée en tout point M extérieur à la distributionmodifier
Le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue linéique de charge d'extension finie ou infinie caractérisée par la densité linéique de charge » en « tout point extérieur à l'expansion curviligne de » étant la somme continue[78] des vecteurs « champ électrostatique créé au point par la charge quasi-ponctuelle, centrée en , d'expansion curviligne de longueur [101] prise individuellement » dans lequel « et »[102][100] s'obtient, pour extérieur à , sous la forme de l'« intégrale curviligne »[79] « propre »[104] ou « généralisée pour d'extension infinie»[112], «» soit
Remarque : S'il est impossible de déterminer physiquement le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue linéique de charge d'extension finie ou infinie caractérisée par la densité linéique de charge » en « tout point intérieur à l'expansion curviligne de » car il serait impossible d'y placer une charge témoin pour évaluer la force de Coulomb[94]«» que exercerait sur elle, Remarque : S’il est aussi impossible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale curviligne[79] définissant à savoir diverge quand pénètre », « l'intégrale curviligne étant un pseudo-segment de centre et de demi-largeur [113] diverge plus précisément n'admet pas de limite finie quand admis», l'absence de limite finie empêchant de définir une intégrale curviligne « généralisée pour d'extension finie[114], même si l'extension est aussi infinie[112]».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ électrostatique créé par « d'extension finie ou infinie caractérisée par la densité linéique de charge » en « tout point intérieur à » n'est pas définissable, plus particulièrement En conclusion de la remarque précédente, à partir d'un point « quelconque » et en définissant « l'ensemble des demi-droites issues de perpendiculaires à en », En conclusion de la remarque précédente, les « vecteurs champs électrostatiques créés paren tout point mais de » sont continus à l'exception deen accord avec l'impossibilité de définir le champ en où on observe une limite infinieadmis[115].
Méthode pour déterminer expérimentalement la présence d'un champ magnétique stationnaire (ou champ magnétostatique)modifier
Faire passer une charge ponctuelle « témoin » «»[118] à l'endroit «» où on souhaite mettre en évidence le vecteur champ magnétique stationnaire «» que la distribution de charges mobiles est « supposée créer »[91] au point , avec un vecteur vitesse connu,
déterminer le vecteur force magnétique «» que la distribution de charges mobiles est « supposée exercer »[91] sur la charge témoin mobile «»[118] par « modification du mouvement de cette dernière à partir de » en fait connaissant à l'instant d'injection de la charge témoin mobile et déterminant que sa modification locale à savoir aux instants immédiatement postérieurs à nous en déduisons le vecteur accélération à ainsi que «» à à partir de la r.f.d.n[119]. et du bilan de forces appliquées et
en déduire les 1ères informations sur le vecteur champ magnétostatique «» que la distribution de charges mobiles est « supposée créer »[91]en fait qu'elle crée réellement dans la mesure où l'action d'une force magnétique «» a été observée au point par utilisation de l'expression de la force magnétique de Lorentz[116] «»[117]ce ne sont que des 1ères informations car la connaissance de «» et de «» est insuffisante pour déduire «» de façon unique, il faut donc obtenir d’autres informations c'est-à-dire que la direction du vecteur champ magnétostatique «» est dans le plan passant par et à la force magnétique «»[117] ;
à ce stade nous constatons qu'une seule expérience de ce type est insuffisante pour déterminer le vecteur champ magnétostatique «» ;
faire passer la même charge ponctuelle « témoin » «»[118] au même endroit «» où on souhaite mettre en évidence le vecteur champ magnétique stationnaire «» que la distribution de charges mobiles est « supposée créer »[91] au point , avec un autre vecteur vitesse connu,
déterminer le nouveau vecteur force magnétique «» que la distribution de charges mobiles est « supposée exercer »[91] sur la charge témoin mobile «»[118] par « modification du mouvement de cette dernière à partir de » en fait connaissant à l'instant d'injection de la charge témoin mobile et déterminant que sa modification locale à savoir aux instants immédiatement postérieurs à nous en déduisons le vecteur accélération à ainsi que «» à à partir de la r.f.d.n[119]. et du bilan de forces appliquées et
en déduire les 2èmes informations sur le vecteur champ magnétostatique «» que la distribution de charges mobiles est « supposée créer »[91]en fait qu'elle crée réellement dans la mesure où l'action d'une force magnétique «» a été observée au point par utilisation de l'expression de la force magnétique de Lorentz[116] «»[117]ce sont des 2èmes informations car la connaissance de «» et de «» insuffisante pour déduire «» de façon unique s'ajoute aux 1ères informations déjà obtenues c'est-à-dire que la direction du vecteur champ magnétostatique «» est dans le plan passant par et à la force magnétique «»[117] ;
regroupant les deux informations sur la direction du vecteur champ magnétostatique «» que la distribution de charges mobiles crée au point , nous en déduisons que celle-ci est l'intersection des deux plans dans lesquels elle a été déterminée précédemment à savoir puis
nous déterminons la norme de «» par «»[117],[120] s'exprimant en [121].
Remarque : Cette façon de mettre en évidence la présence du champ magnétostatique en un point donné est formelle et est en fait peu utilisable, heureusement il existe d'autres méthodes, non exposables pour l'instant, plus pratiques[122]
En complément, « champ magnétostatique créé en M par un vecteur élément de courant placé en P » (expression de Biot et Savart du champ magnétostatique)modifier
Le vecteur champ magnétostatique créé en un point de l'espace par un vecteur élément de courant permanent centré en d'une distribution discrète ou continue de charges mobiles «» se détermine par l'expression de Biot et Savart[123],[124]
Remarque : Le vecteur élément de courant «» n’ayant de signification qu’en tant que « portion de tube de courant » fermé sur lui-même, le vecteur champ magnétostatique «» ne peut jamais être considéré isolément, il doit être nécessairement accompagné des vecteurs champs créés par tous les autres vecteurs éléments de courant du tube de courant ; Remarque : en conclusion ne jamais oublier que le vecteur champ magnétostatique «» isolé étant sans signification, son introduction ne constitue qu'une étape mathématique dans l'évaluation du vecteur champ magnétostatique créé par le tube de courant entier au point , le seul à avoir une signification physique
En complément, « champ magnétostatique créé en M par une distribution discrète de porteurs de charge mobiles ou continue (volumique, surfacique ou linéique) de courants (intégrale de Biot et Savart du champ magnétostatique) »modifier
On admet l’applicabilité du théorème de superposition[98] à l’évaluation du vecteur champ magnétostatique créé par une distribution discrète de porteurs de charges mobiles ou continue de courants c'est-à-dire que le vecteur champ créé en un point par un ensemble discret de charges mobiles ou continu de courants est la somme discrète ou continue[78] des vecteurs champs créés en par chaque porteur de charge mobile ou chaque vecteur élément de courant individuels.
Distribution réelle discrète de porteurs de charge mobilesmodifier
Comme cela a été évoqué au paragraphe « distribution réelle discrète (de porteurs de charge mobiles, source de champ magnétique) » plus haut dans ce chapitre, sur les deux exemples cités,
le 2ème à savoir « un faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes , chaque particule se déplaçant à la même vitesse moyenne dans sans interagir avec ses plus proches voisines ce qui nécessite que la distance minimale séparant deux particules distinctes soit toujours à » étant modélisé à l'échelle mésoscopique de temps[22] en introduisant un débit particulaire moyen exprimé en mais en gardant le caractère particulaire du faisceau bien que ce cas ne se présente que rarement dans la pratique, nous donnerons ci-après, quelques éléments pour évaluer le vecteur champ magnétostatique créé par le faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes en tout point par lequel le faisceau ne passe pas : tout d'abord, si les dimensions transversales du faisceau sont d'échelle mésoscopique[4], on le modélise en circuit filiforme de support la trajectoire moyenne de ses porteurs de charge mobiles, puis, à l'échelle de temps mésoscopique[22], on définit l'intensité moyenne algébrisée du courant transporté par dans le sens le sens de selon «» étant la charge individuelle d'un porteur de charge mobile et le débit particulaire moyen défini en n'importe quel point du faisceau[126], ensuite, on définit le vecteur élément de courant centré en correspondant à la longueur élémentaire par «» dans lequel est le vecteur unitaire tangentiel à en choisi dans le sens le sens de , ou encore «»[127], suivi de l'utilisation de l'expression de Biot et Savart[123],[124] «» pour évaluer le vecteur champ magnétostatique créé par le vecteur élément de courant centré en correspondant à la longueur élémentaire en tout point [128] et enfin on applique le théorème de superposition[98] à l’évaluation du vecteur champ magnétostatique créé par le faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes modélisé par le circuit filiforme soit «»[79] en tout point hors du faisceau.
Distribution continue volumique de courants d'extension finie ou infinie et champ magnétostatique créé en tout point M intérieur ou extérieur à la distributionmodifier
Le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue volumique de charge mobiles d'extension finie ou infinie caractérisée par le vecteur densité volumique de courant» en « tout point extérieur à l'expansion tridimensionnelle de » étant la somme continue[78] des vecteurs « champ magnétostatique créé au point par le vecteur élément de courant, centrée en , d'expansion tridimensionnelle de volume pris individuellement » dans lequel « et »[102][128] s'obtient, pour extérieur à , sous la forme de l'« intégrale volumique »[103] « propre »[104] ou « généralisée pour d'extension infinie»[105], «» soit
Remarque : Bien qu'il soit impossible de déterminer physiquement le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue volumique de charges mobiles d'extension finie ou infinie caractérisée par le vecteur densité volumique de courant » en « tout point intérieur à l'expansion tridimensionnelle de » car il serait impossible d'y placer une charge témoin mobile pour évaluer la force magnétique de Lorentz[116] «» que exercerait sur elle, Remarque : Bien qu’il est possible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale volumique[103] définissant à savoir diverge quand pénètre », « l'intégrale volumique étant une boule de centre et de rayon converge quand admis», la limite définissant l'intégrale volumique « généralisée pour d'extension finie[106], extension qui peut aussi être infinie[105]».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ magnétostatique créé par « d'extension finie ou infinie caractérisée par le vecteur densité volumique de courant » en « tout point intérieur à » s'obtient sous la forme de l'« intégrale volumique généralisée pour d'extension finie[106], extension qui peut aussi être infinie[105]»
Distribution continue surfacique de courants d'extension finie ou infinie et champ magnétostatique créé en tout point M extérieur à la distributionmodifier
Le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue surfacique de charges mobiles d'extension finie ou infinie caractérisée par le vecteur densité surfacique de courant» en « tout point extérieur à l'expansion surfacique de » étant la somme continue[78] des vecteurs « champ magnétostatique créé au point par le vecteur élément de courant, centrée en , d'expansion surfacique d'aire pris individuellement » dans lequel « et »[102][128] s'obtient, pour extérieur à , sous la forme de l'« intégrale surfacique »[52] « propre »[104] ou « généralisée pour d'extension infinie»[108], «» soit
Remarque : S'il est impossible de déterminer physiquement le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue surfacique de charges mobiles d'extension finie ou infinie caractérisée par le vecteur densité surfacique de courant » en « tout point intérieur à l'expansion surfacique de » car il serait impossible d'y placer une charge témoin mobile pour évaluer la force magnétique de Lorentz[116] «» que exercerait sur elle, Remarque : S’il est aussi impossible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale surfacique[52] définissant à savoir diverge quand pénètre », « l'intégrale surfacique étant un pseudo-disque de centre et de rayon [109] diverge plus précisément n'admet pas de limite finie quand admis», l'absence de limite empêchant de définir une intégrale surfacique « généralisée pour d'extension finie[110], même si l'extension est aussi infinie[108]».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ magnétostatique créé par « d'extension finie ou infinie caractérisée par le vecteur densité surfacique de courant » en « tout point intérieur à » n'est pas définissable, toutefois En conclusion de la remarque précédente, à partir d'un point « quelconque » et en définissant « la perpendiculaire à en orientée par le vecteur unitaire », En conclusion de la remarque précédente, les « vecteurs champs magnétostatiques créés paren tout point mais de » sont continus à l'exception deen accord avec l'impossibilité de définir le champ en où on observe une discontinuité de 1ère espèce[9]de saut fini «» admis[129].
Distribution continue linéique de courants d'extension finie ou infinie et champ magnétostatique créé en tout point M extérieur à la distributionmodifier
Le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue linéique de charges mobiles d'extension finie ou infinie caractérisée par l'intensité algébrique de courant dans le sens , ce dernier étant défini par le vecteur unitaire » en « tout point extérieur à l'expansion curviligne de » étant la somme continue[78] des vecteurs « champ magnétostatique créé au point par le vecteur élément de courant, centrée en , d'expansion curviligne de longueur pris seul »[130]dans lequel « et »[102][128] s'obtient, pour extérieur à , sous la forme de l'« intégrale curviligne »[79] « propre »[104] ou « généralisée pour d'extension infinie»[112], «» soit
Remarque : S'il est impossible de déterminer physiquement le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue linéique de charges mobiles d'extension finie ou infinie caractérisée par l'intensité algébrique de courant dans le sens , ce dernier étant défini par le vecteur unitaire » en « tout point intérieur à l'expansion curviligne de » car il serait impossible d'y placer une charge témoin mobile pour évaluer la force magnétique de Lorentz[116] «» que exercerait sur elle, Remarque : S’il est aussi impossible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale curviligne[79] définissant à savoir diverge quand pénètre », « l'intégrale curviligne [130] étant un pseudo-segment de centre et de demi-largeur [113] diverge plus précisément n'admet pas de limite finie quand admis», l'absence de limite finie empêchant de définir une intégrale curviligne « généralisée pour d'extension finie[114], même si l'extension est aussi infinie[112]».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ magnétostatique créé par « d'extension finie ou infinie caractérisée par l'intensité algébrique de courant dans le sens , ce dernier étant défini par le vecteur unitaire » en « tout point intérieur à » n'est pas définissable, plus particulièrement En conclusion de la remarque précédente, à partir d'un point « quelconque » et en définissant « l'ensemble des demi-droites issues de perpendiculaires à en », En conclusion de la remarque précédente, les « vecteurs champs magnétostatiques créés paren tout point mais de » sont continus à l'exception deen accord avec l'impossibilité de définir le champ en où on observe une limite infinieadmis[131].
Force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle mobile de vecteur vitesse connu placée dans un champ électromagnétique donnémodifier
Force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle mobile de vecteur vitesse connu dans un espace champ électromagnétique donné
Un point «» chargé, de charge «», se déplaçant relativement au référentiel d’étude avec le vecteur vitesse, à l'instant , «» dans un espace champ électromagnétique dont les composantes vectorielles électrique et magnétique sont respectivement, en la position et la date , « et » Un point M chargé, subit, de la part de ces champs électrique et magnétique, une force électromagnétique «» appelée « force de Lorentz[116],[132] » et égale à
Si le champ électromagnétique se réduit, dans le référentiel d’étude , à sa seule composante vectorielle électrique «», la force de Lorentz[116] agissant sur un point «» chargé, de charge «»se déplaçant relativement à avec le vecteur vitesse, à l'instant , «» se limitant à sa seule composante électrique «» est simplement appelée
« force électrique » et notée «» ;
si le champ électromagnétique se réduit, dans le référentiel d’étude , à sa seule composante vectorielle magnétique «», la force de Lorentz[116] agissant sur un point «» chargé, de charge «»se déplaçant relativement à avec le vecteur vitesse, à l'instant , «» se limitant à sa seule composante magnétique «» est simplement appelée
« force magnétique de Lorentz »[116] et notée «» « force magnétique de Lorentz » ou notée «» s'il n'y a pas d'ambiguïté.
Ordre de grandeur des forces électriques comparé aux forces gravitationnellesmodifier
Comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de norme modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestremodifier
Soit un proton de charge [133] et de masse [134] placé dans un champ électrostatique uniforme de norme modérée [135] et dans le champ de pesanteur terrestre localement uniforme de norme usuellement notée , nous nous proposons de comparer les normes des deux forces appliquées sur le proton dans le contexte précédemment évoqué, à savoir :
la force électrique «» de norme en soit «» et
le poids «» de norme en soit «».
Conclusion : La force électrique s'exerçant sur un proton dans un champ électrique de norme modérée «»[135] étant de norme « fois » la norme du poids du proton, nous pouvons conclure que la norme du poids du proton sera toujours négligeable relativement à celle de la force électrique pourvu que « la norme du champ électrique ne soit pas divisée par un facteur à »[136].
Conclusion : Remarque : Si les vecteurs champs électrique et de pesanteur sont de même direction, il est légitime de négliger le poids devant la force électrique dans les conditions usuelles de valeur de champ électrique mais Conclusion : Remarque : s'ils sont de directions différentes, leur effet individuel ne se faisant pas sentir sur une même direction, ce n'est que l'action du poids sur une durée finie qui peut être négligée devant celle de la force électrique sur la même durée et non le poids négligé devant la force électrique même si c'est fréquemment affirmé par abus, ceci signifiant qu'il est inutile de tenir compte du poids dans les conditions usuelles de valeur de champ électrique
Comparaison de la force électrique exercée sur l'électron dans le champ électrique créé par le proton de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental à la force de gravitation exercée sur cet électron dans le champ de gravitation du proton du même atome d'hydrogènemodifier
Soit un atome d'hydrogène dans son état fondamental, traité dans le cadre de la mécanique newtonienne c'est-à-dire en considérant un électron ponctuel de charge [133], de masse [137] tournant autour d'un proton de charge [133], de masse [134] dans le référentiel « protocentrique »[138] suivant un mouvement circulaire, de centre , de rayon «»[139], nous nous proposons de comparer les normes des deux forces appliquées sur l'électron dans le contexte précédemment évoqué, à savoir :
la force électrostatique «» dans lequel est le vecteur champ électrostatique créé par le proton en tout point [100] étant la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial de dans son repérage sphérique de pôle [102] avec «»[97], « étant la permittivité diélectrique duvide »[96] de norme en soit «» et
la force de gravitation «» dans lequel est le vecteur champ gravitationnel créé par le proton en tout point [140] étant la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial de dans son repérage sphérique de pôle [102] avec «»[97], la constante de gravitation universelle » de norme en soit «».
Conclusion : La force électrostatique s'exerçant sur l'électron dans le champ électrostatique créé par le proton d'un atome d'hydrogène dans son état fondamental étant de norme « fois » la norme de la force gravitationnelle s'exerçant sur l'électron dans le champ gravitationnel créé par le proton d'un même atome d'hydrogène dans son état fondamental, nous pouvons conclure que la norme de la force gravitationnelle sera toujours largement négligeable relativement à celle de la force électrostatique à portée identique des vecteurs champs électrostatique et gravitationnel[141].
Conclusion : Remarque : Les vecteurs champs électrostatique et gravitationnel de même source ponctuelle étant de même direction, il est toujours légitime de négliger la force de gravitation devant la force électrostatique
Ordre de grandeur des forces magnétiques comparé aux forces gravitationnellesmodifier
Comparaison de la force magnétique exercée sur un proton lancé à une vitesse de norme modérée perpendiculairement dans un champ magnétique de norme de même ordre de grandeur que le champ magnétique terrestre au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestremodifier
Soit un proton de charge [133], de masse [134], lancé dans un champ magnétostatique uniforme de norme modérée [142] avec un vecteur vitesse, dans le référentiel d'étude , , de norme petite [143], de direction à celle d'un champ magnétostatique et dans le champ de pesanteur terrestre localement uniforme de norme usuellement notée , nous nous proposons de comparer les normes des deux forces appliquées sur le proton dans le contexte précédemment évoqué, à savoir :
la force magnétique de Lorentz[116] à l'instant initial de pénétration dans l'espace champ magnétostatique «» à l'instant initial car la force à l'instant est a priori différente de norme [117] en soit «» et
le poids «» de norme en soit «».
Conclusion : La force magnétique de Lorentz[116] initiale s'exerçant sur un proton lancé initialement dans une direction à un champ magnétostatique de norme modérée «»[142] avec une vitesse initiale de norme petite [143] étant « fois » la norme du poids du proton, nous pouvons conclure que la norme du poids du proton sera toujours négligeable relativement à celle de la force magnétique initiale de Lorentz[116] pourvu que « la norme du vecteur vitesse initiale ne soit pas divisée par un facteur à [144], à norme de champ magnétostatique conservée[145] ».
Conclusion : Remarque : Si les vecteurs force magnétique de Lorentz[116] initiale et de pesanteur sont de même direction, il est légitime de négliger le poids devant la force magnétique de Lorentz[116] initiale dans les conditions usuelles de valeurs de champ magnétique et de vitesse initiale mais Conclusion : Remarque : s'ils sont de directions différentes, d'une part leur effet individuel ne se faisant pas sentir sur une même direction et d'autre part la force magnétique de Lorentz[116] n'étant pas constante, ce n'est que l'action du poids sur une durée finie qui peut être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz[116] sur la même durée et non le poids négligé devant la force magnétique même si c'est fréquemment affirmé par abus, ceci signifiant qu'il est inutile de tenir compte du poids dans les conditions usuelles de valeurs de champ magnétique et de vitesse initiale
Comparaison de la force magnétique exercée sur un des deux électrons d'un atome d'hélium pris à son état fondamental dans le champ magnétique créé par la rotation de l'autre électron autour du noyau de cet atome d'hélium à la force de gravitation exercée sur le 1er électron dans le champ de gravitation du noyau de ce même atome d'héliummodifier
Soit un atome d'hélium dans son état fondamental, traité dans le cadre de la mécanique newtonienne c'est-à-dire en considérant deux électrons ponctuels et de même charge [133], de même masse [137] tournant autour d'un noyau de charge [133], de masse [134] dans le référentiel « nucléocentrique »[146] suivant tous deux un mouvement circulaire, de même centre , de même rayon «»[139], nous nous proposons de comparer les normes de deux des forces appliquées sur l'électron en tenant compte de « l'interaction de gravitation avec le noyau et de l'interaction magnétique avec l'électron »[147], à savoir :
la force magnétique de Lorentz[116] «» dans lequel est le « vecteur champ magnétostatique créé en par l'électron en mouvement circulaire, de centre , de rayon et de vitesse », vecteur champ dont la détermination en un point quelconque n'étant pas pratiquement réalisable se limitera à l'évaluation au centre de la trajectoire de , de norme donnant un ordre de grandeur de la norme du vecteur champ en tout point intérieur à la trajectoire hors proximité de celle-ci[148] soit « avec le vecteur unitaire normal au plan du cercle décrit par , définissant le sens de rotation sur le cercle et l'intensité moyenne du courant résultant de la rotation de autour de cette intensité moyenne peut être estimée par «» dans laquelle «» est la « période moyenne » de révolution de l'électron [149] sur sa trajectoire[150], cette dernière étant liée à la « vitesse moyenne » de révolution de l'électron [151] sur sa trajectoire «» par «», «» s'obtenant par application de la r.f.d.n[119]. à dans le référentiel nucléocentrique [146] supposé galiléen et en supposant que n'est soumis qu'à la force d'interaction électrique avec [151] «» «[152] » «» et finalement «»»[153] d'où «» dont on déduit un ordre de grandeur de soit «» un ordre de grandeur de la norme de la force magnétique «»[117] soit, en majorant la valeur absolue du sinus, «» en utilisant [154]« en » en utilisant [97], « étant la permittivité diélectrique du vide »[96] et [97], « étant la perméabilité magnétique du vide »[125] soit finalement «» numériquement on trouve une vitesse moyenne commune «», une intensité moyenne «» et une norme de champ magnétique dont l'«»[155] et
la force de gravitation «» dans lequel est le vecteur champ gravitationnel créé par le noyau en tout point [140] étant la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial de dans son repérage sphérique de pôle [102] avec «»[97], la constante de gravitation universelle » de norme en soit «».
Conclusion : La force magnétique de Lorentz[116] s'exerçant sur un des deux électrons d'un atome d'hélium dans son état fondamental dans le champ magnétique créé par le mouvement de révolution de l'autre électron autour du noyau d'hélium étant de norme d'ordre de grandeur « fois » la norme de la force gravitationnelle s'exerçant sur le 1er électron dans le champ gravitationnel créé par le noyau du même atome d'hélium dans son état fondamental, nous pouvons conclure que la norme de la force gravitationnelle sera pratiquement toujours négligeable[156]relativement à celle de la force magnétique de Lorentz[116]toutefois cette force magnétique de Lorentz[116] appliquée à l'électron étant de norme négligeable devant celle de la force électrostatique que le noyau exerce sur le même électron , c'est uniquement cette dernière qui est utilisée pour déterminer le mouvement de dans le référentiel nucléocentrique [146].
Conclusion : Remarque : Usuellement Les vecteurs force magnétique de Lorentz[116] et gravitationnelle ne sont pas de même direction, leur effet individuel ne se faisant pas sentir sur une même direction, on peut affirmer que l'action de la force gravitationnelle sur une durée finie peut être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz[116] sur la même durée et non que la force gravitationnelle est négligeable devant la force magnétique même si c'est fréquemment affirmé par abus, ceci signifiant qu'il est inutile de tenir compte de la force gravitationnelle et, compte-tenu de la petitesse de la norme de cette force, cela restera applicable même aux instants où la force magnétique de Lorentz serait nulle
Conclusion, possibilité de négliger les forces de gravitation s'exerçant sur un point devant les forces électriques ou magnétiques exercées sur ce même pointmodifier
Dans le domaine des distances microscopiques[4] la norme des forces de gravitation étant toujours excessivement petite « de l’ordre de dans le domaine atomique »[157], les forces gravitationnelles auront toujours une action négligeable sur une durée finie devant celle des forces électriques ou magnétiques[158]et usuellement les forces électriques dans les atomes étant de norme d'ordre de grandeur nettement plus grande que celle des forces magnétiques créées par le mouvement relatif des particules entre elles d'ordre de grandeur , l'action de ces dernières est toujours considérée négligeable relativement à celle des forces électriques.
Dans le domaine des distances mésoscopiques[4] la norme des forces de pesanteur terrestre étant toujours excessivement petite « de l’ordre de à suivant que l'on considère un électron ou un ion polyatomique », les forces de pesanteur auront toujours une action négligeable sur une durée finie devant celle des forces électriques ou magnétiquesde norme d'ordre de grandeur respectivement et ne diminuant guère quand elles ne sont pas nulles par colinéarité des vecteurs vitesse et champ magnétique au-dessous de [159].
↑ Il s’agit d’immobilité de charges sur une échelle de temps mésoscopique , car sur une échelle de temps microscopique on observe une agitation thermique des charges voir le paragraphe « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique du temps » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » Toutefois on se place dans le cas où la moyenne des vecteurs vitesse d’une charge que l’on suit sur une durée mésoscopique est «» d’où l’« immobilité » des charges à l’échelle mésoscopique.
↑ 5,05,15,25,35,45,55,6 et 5,7 Par la suite on tolérera, à certains moments, l'abus consistant à confondre l'expansion tridimensionnelle et le volume exprimant quantitativement son étendue.
↑ 6,06,1 et 6,2 La densité volumique de porteurs de charge mobiles
dans un semi-conducteur dopé ou , est de l’ordre voir la note « 18 » et « 19 » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » contient porteurs de charge,
dans un semi-conducteur intrinsèque est de l’ordre pour chaque type de porteurs de charge mobiles voir la note « 17 » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » contient porteur de charge mobiles de chaque type.
↑ 7,07,1 et 7,2 Nous admettrons que nous pouvons appliquer la statistique si le volume élémentaire contient au moins particules chargées et, d’après la note « 6 » précédente cela est possible pour tout échantillon mésoscopique métallique ou électrolytique ; en ce qui concerne un échantillon de de semi-conducteur dopé ou , le nombre de porteurs étant suffisamment grand pour autoriser l'application de la statistique même si notre critère n'est pas atteint et par suite de considérer l'échantillon comme mésoscopique ; en ce qui concerne un échantillon de d'eau pure, le nombre de porteurs de chaque type n'étant que , il conviendrait, pour obtenir une applicabilité raisonnable de la statistique, par exemple de multiplier les dimensions linéiques d'un facteur un volume de d'eau pure contenant porteurs de charge mobiles de chaque type autorisant d'appliquer la statistique même si notre critère n'est pas atteint et par suite de considérer l'échantillon comme mésoscopique ; en ce qui concerne un échantillon de de semi-conducteur intrinsèque, le nombre de porteurs de chaque type n'étant que , il est indispensable, pour obtenir une applicabilité raisonnable de la statistique, de multiplier les dimensions linéiques d'un facteur à un volume de à de semi-conducteur intrinsèque contenant à porteurs de charge mobiles de chaque type autorisant d'appliquer la statistique même si notre critère n'est pas atteint et par suite de considérer l'échantillon comme mésoscopique.
↑ 8,0 et 8,1 Les propriétés microscopiques étant les seules à utiliser le caractère discret de la distribution de charges.
↑ 10,010,110,2 et 10,3 Une charge quasi ponctuelle à l'échelle macroscopique est une charge ayant une expansion tridimensionnelle surfacique ou linéique à l'échelle mésoscopique mais dont on peut négliger son expansion à l'échelle macroscopique.
↑ 12,0 et 12,1 L'extérieur de la distribution surfacique d'extension finie par le fait que la surface soit dans une surface plus grande d'extension infinie suivant les deux directions possibles de la surface par exemple est un « disque de rayon chargé en surface » dans le « plan où est tracé le disque » contient deux sous-ensembles disjoints :
un 1er tridimensionnel s'obtenant en partant d'un point quelconque de et en se déplaçant perpendiculairement à cette surface de chaque côté de celle-ci,
un 2ème bidimensionnel s'obtenant en partant d'un point quelconque de la courbe fermée limitant dans et en se déplaçant perpendiculairement à cette courbe vers l'extérieur de défini dans .
↑ de la distribution surfacique ayant une valeur finie non nulle pour et « représentant » dans la distribution volumique avec aplatissement de l'épaisseur c'est-à-dire un passage à la limite «», de la discontinuité de 1ère espèce de lors du passage de à son extérieur tridimensionnel réalisé perpendiculairement à on induit une discontinuité de 2ème espèce de lors du même passage, « la valeur de pour appartenant à la distribution volumique aplatie sur son épaisseur étant infinie », plus précisément étant un pic de Dirac d'impulsion centré sur , en effet, si au lieu de considérer pour une valeur moyenne mésoscopique sur toute l'épaisseur , on adoptait une valeur locale microscopique pour chaque point de cette épaisseur on devrait identifier «» à «» d'où, en passant à la limite «» et en simplifiant par , «» «» avec un pic de Dirac d'impulsion unité soit encore, sachant que et doivent évidemment s'identifier à la limite «»,
est un pic de Dirac d'impulsion centré sur
voir le paragraphe « discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ». Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XXème siècle qui reçut, pour sa théorie des distributions, la médaille Fields en . Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantiqueconnu sous le nom de mécanique ondulatoire ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en et connue sous le nom chat de Schrödinger. Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique. Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en pour la création d'une forme de mécanique quantiqueconnue sous le nom de mécanique matricielle, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue.
↑ En accord avec l'identification «» établie plus haut dans ce paragraphe.
↑ 15,0 et 15,1 L'extérieur de la distribution linéique d'extension finie par le fait que la courbe soit dans une courbe plus grande d'extension infinie suivant la seule direction de la courbe par exemple est un « segment de longueur chargé curvilignement » dans la « droite sur laquelle est tracé le segmant » contient deux sous-ensembles disjoints :
un 1er tridimensionnel s'obtenant en partant d'un point quelconque de et en se déplaçant perpendiculairement à cette courbe dans toutes les deux directions possibles,
un 2ème unidimensionnel s'obtenant en partant d'un des deux points ou limitant dans et en se déplaçant le long de cette courbe vers l'extérieur de défini dans .
↑ de la distribution linéique ayant une valeur finie non nulle pour et « représentant » dans la distribution volumique avec réduction de la section droite x à un point c'est-à-dire un passage à la limite «», de la discontinuité de 1ère espèce de lors du passage de à son extérieur tridimensionnel réalisé perpendiculairement à on induit une double discontinuité de 2ème espèce de lors du même passage, « la valeur de pour appartenant à la distribution volumique de section droite réduite à un point étant infinie », plus précisément étant le produit de deux pics de Dirac d'impulsion individuelle centrés sur , en effet, si au lieu de considérer pour une valeur moyenne mésoscopique sur toute la section droite x , on adoptait une valeur locale microscopique pour chaque point de cette section droite on devrait identifier «» à «» d'où, en passant à la limite «» et en simplifiant par , on obtiendrait «» «» «» avec et deux pics de Dirac d'impulsion unité respectivement centrés sur et soit encore, sachant que et doivent évidemment s'identifier à la limite «»,
est le produit de par deux pics de Dirac d'impulsion unité centrés sur
voir le paragraphe « discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ». Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XXème siècle qui reçut, pour sa théorie des distributions, la médaille Fields en . Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantiqueconnu sous le nom de mécanique ondulatoire ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en et connue sous le nom chat de Schrödinger. Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique. Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en pour la création d'une forme de mécanique quantiqueconnue sous le nom de mécanique matricielle, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue.
↑ En accord avec l'identification «» établie plus haut dans ce paragraphe.
↑ Il s’agit de mobilité de charges sur une échelle de temps mésoscopique , car sur une échelle de temps microscopique on observe une agitation thermique des charges voir le paragraphe « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique du temps » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » Toutefois on se place dans le cas où la moyenne des vecteurs vitesse d’une charge que l’on suit sur une durée mésoscopique il s’agit donc d’une vitesse d’ensemble des charges est «» d’où la « mobilité » des charges à l’échelle mésoscopique.
↑ À charges globalement immobiles relativement au corps ainsi le corps est aussi source de champ électrique dans le référentiel où il est au repos ; dans le référentiel d’étude chaque particule a la vitesse de déplacement du corps, on peut donc se ramener à un courant circulant dans le référentiel d’étude.
↑ Faisceau dont chaque particule se déplace dans le référentiel d’étude, bien souvent avec une même vitesse d’ensemble le faisceau est alors dit « homocinétique » ; là encore, on peut se ramener à la circulation d’un courant mais ce dernier circule dans le vide et non dans un conducteur.
↑ Il est possible d'interpréter que les aimants sont sources de champ magnétique à l’aide de boucles de courant circulant dans la matière aimantée, boucles que l’on appelle « courants ampériens » mais cette notion sort du cadre de cette étude.
↑ À partir de la densité volumique de porteurs de charge mobiles dans différents types de matériaux conducteurs ou semi-conducteurs rappelée dans la note « 6 » plus haut dans ce chapitre on peut en déduire l'ordre de grandeur de la densité volumique de charge d'un échantillon par type de porteurs de charge mobiles suivant le matériau considéré :
dans un métal avec des électrons de conduction comme porteurs de charge mobiles, soit ou encore «» ;
dans un semi-conducteur dopé ou avec respectivement des électrons ou des trous , soit ou ou soit finalement de même signe que celui de la charge du porteur de charge mobile telle que «» en gros fois plus faible que celle des électrons de conduction dans un métal ;
dans une solution aqueuse électrolytique décimolaire pour chaque type de porteurs de charge mobiles à condition qu'ils soient de même charge en valeur absoluecation et anion, par exemple dans une solution aqueuse de chlorure cuivrique avec des anions et des cations de charge respective et et en effet il y a une densité volumique particulaire de deux fois plus grande que celle de compte-tenu de l'électroneutralité de la solution soit finalement une densité volumique de charge des différents types d'ions de même signe que celui de la charge de l'ion et de même valeur absolue pour une solution aqueuse électrolytique décimolaire ;
dans l'eau pure peu ionisée pour chaque type de porteurs de charge mobiles cation et anion de charge respective et et en effet il y a une densité volumique particulaire de égale à celle de compte-tenu de l'électroneutralité de l'eau pure soit finalement une densité volumique de charge des différents types d'ions de même signe que celui de la charge de l'ion et de même valeur absolue dans l'eau pure ;
dans un semi-conducteur intrinsèque pour chaque type de porteurs de charge mobiles électron ou trou de charge respective et et en effet il y a une densité volumique particulaire d'électrons égale à celle de trous compte-tenu de l'électroneutralité du semi-conducteur intrinsèque soit finalement une densité volumique de charge des électrons et des trous de même signe que celui de la charge du porteur et de même valeur absolue .
↑ 27,0 et 27,1 En faisant la moyenne spatiale des vecteurs vitesse de tous les porteurs de charge mobiles du type considéré de l'expansion tridimensionnelle élémentaire de volume centrée en à l'instant considéré.
↑ Le déplacement de porteurs de charge mobiles traversant un point donné avec un même vecteur vitesse moyen correspond à une circulation de particules chargées séparées par du vide tout comme le passage de voitures à l'entrée d'un tunnel avec un même vecteur vitesse moyen correspond à une circulation de voitures espacées entre elles.
↑ C.-à-d. une grandeur chargée continue caractérisant le déplacement des porteurs de charge mobiles associé à leur vitesse tout comme la circulation autoroutière à l'entrée d'un tunnel considérée comme continue vue de satellites car caractérisant le déplacement de voitures « non repérables » associé à leur vitesse d'ensemble.
↑ 30,0030,0130,0230,0330,0430,0530,0630,0730,08 et 30,09 Ou vecteur vitesse moyen des porteurs de charge mobiles du type considéré lors de leur passage en à l'instant considéré voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre représentant encore le « vecteur vitesse d'ensemble des porteurs de charge mobiles du type considéré lors de leur passage en à l'instant considéré ».
↑ 31,0 et 31,1 On rappelle qu'une quantité d’électricité étant une charge en valeur absolue est toujours positive.
↑ On vérifie aisément la justesse du point de vue dimensionnel s'exprimant en qui est l'unité du S.I. dans laquelle s'exprime .
↑ «» étant le volume du cylindre de section droite «» et de longueur «».
↑ 36,036,136,236,336,4 et 36,5 La concentration volumique molaire est une notion utilisée en chimie s'exprimant en ; pour qu’il n’y ait pas de confusion avec la grandeur correspondante à utiliser en physique qui doit être exprimée en , nous appellerons la grandeur utilisée en physique « densité volumique molaire » bien qu'il ne s'agisse que d'un changement d'unité d'une même grandeur et la noterons , son lien avec la concentration volumique molaire étant «».
↑Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémontrégion actuelle de l'Italie à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en et proposée indépendamment par Ampère en , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules » ; André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
↑ Lorsqu'on ajoute deux volumes identiques de deux solutions aqueuses d'espèces différentes, la concentration volumique molaire de chaque espèce dans le mélange obtenu est la moitié de la concentration volumique molaire de l'espèce dans la solution avant mélange.
↑Joannes Nicolaus Brønsted (1879 - 1947) est un chimiste danois essentiellement connu par la formulation en de sa théorie sur les acides étendant la théorie d'Arrhenius, théorie qu'il formula indépendamment de Thomas Lowry ; Svante August Arrhenius (1859 - 1927) est un chimiste suédois ayant été pionnier dans de nombreux domaines, on lui doit une théorie d'Arrhenius sur les acides-bases en solution aqueuse énoncée en , la loi d'Arrhenius décrivant la loi de variation de la vitesse d'une réaction chimique en fonction de la température énoncée en et la théorie de l'effet de serre formulée en , il reçut le prix Nobel de chimie en pour les services extraordinaires rendus à l'avancement de la chimie par sa théorie de la dissociation des électrolytes.
↑ 44,0 et 44,1 Dans le développement de la constante d'acidité il faudrait mettre l'activité des espèces égale, quand ces dernières sont en solution aqueuse, au quotient de leur concentration volumique molaire sur une concentration volumique molaire de référence égale à , mais ceci n'est pratiquement jamais fait d'où l'abus d'écriture dans le développement de la constante d'acidité sans unité entraînant une impossibilité de vérification d'homogénéité de la formule.
↑ 46,0 et 46,1 Attention ce n'est pas la dérivée d'une grandeur dépendant de il n'existe pas de grandeur ou mais d'un quotient d'une quantité élémentaire par un volume élémentaire ; sans doute serait-il préférable d'écrire ou mais la notation initialement donnée est celle qui est usuellement utilisée, alors ne la changeons pas !
↑ 47,047,147,247,347,447,5 et 47,6 C.-à-d. suivant la direction et le sens de ; si le vecteur vitesse de déplacement de la charge fait l'angle avec , seule sa composante sur est à prendre en compte un cœfficient multiplicateur égal à .
↑ Sur le schéma l'orientation est choisie en accord avec l'orientation de la courbe fermée voir la note « 4 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais ceci n'est pas nécessaire pour la définition donnée ci-contre.
↑ On pourrait prendre un seul type de porteurs de charge mobiles de charge de la distribution continue volumique étudiée, à condition de le considérer se déplaçant en sens contraire du sens indiqué, sous cette condition le vecteur vitesse d'entraînement se dirigerait vers la surface élémentaire centrée en de vecteur surface élémentaire inchangé, en venant de la droite, en faisant l'angle obtus .
↑ Nous l'avions notée «» dans le paragraphe « lien entre le vecteur densité volumique de courant associé à un type de porteur de charge mobile et le vecteur vitesse d'ensemble de ce type (démonstration) » plus haut dans ce chapitre, ici nous adoptons une autre notation en utilisant un opérateur différentiel d'ordre un « noté » à appliquer à une fonction dépendant de la seule variable mais à l'élément différentiel à savoir « la charge traversant la surface élémentaire sur l'intervalle » peut-être aurait-il été préférable de noter l'opérateur différentiel d'ordre un «» mais à condition de noter la charge traversant la surface élémentaire sur l'intervalle «» mais la notation aurait été « au lieu de » ce qui semble inutilement compliqué.
↑ Dans le cas où le type de porteurs de charge mobiles est de charge , nous avons vu dans la note « 53 » plus haut dans ce chapitre, que ces porteurs se déplacent en sens contraire du sens indiqué, leur vecteur vitesse d'entraînement venant de la droite, l'angle qu'il fait avec le vecteur surface élémentaire étant donc obtus ; l'évaluation du volume du cylindre oblique lequel est le symétrique par rapport au point de celui représenté sur le schéma donne «» car est obtus soit finalement «».
↑ 56,0 et 56,1 Dans le cas où le type de porteurs de charge mobiles est de charge , nous avons établi dans la note « 55 » plus haut dans ce chapitre, que le volume du cylindre oblique lequel est le symétrique par rapport au point de celui représenté sur le schéma vaut «» ; nous en déduisons donc que la charge «» des porteurs de charge mobiles de type traversant la surface élémentaire d'aire sur l’intervalle s'évalue selon «» et, sachant que la relation «» est indépendante du signe de la charge du porteur «».
↑ 57,0 et 57,1 Dans le cas où le type de porteurs de charge mobiles est de charge , nous avons établi dans la note « 56 » plus haut dans ce chapitre, que la charge «» des porteurs de charge mobiles de type traversant la surface élémentaire d'aire sur l’intervalle s'évalue selon «» ; cette charge traversant la surface élémentaire étudiée dans le sens étant équivalente à une charge opposée traversant dans le sens on en déduit l’intensité algébrique du courant associé à ces porteurs de charge mobiles de type de charge traversant cette surface élémentaire par «» c'est-à-dire la même relation finale que pour un porteur de charge mobile de charge positive.
↑ Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Quand l'intégration surfacique se fait une surface fermée on note cette intégrale surfacique en ajoutant un sur l'intégrale double la notation est identique pour une intégrale curviligne sur une courbe fermée .
↑ Même si l'orientation de la surface fermée peut être quelconque dans le cas où elle est faite vers l'extérieur il s'agit d'un flux « sortant » et si l'orientation est faite vers l'intérieur le flux est qualifié d'« entrant », elle est faite usuellement vers l'extérieur car il n'y a qu'avec cette orientation que le « théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence) » « paragraphe » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » est applicable. George Green (1793 - 1841) physicien britannique à qui on doit, entre autres, un Essai sur l'application de l'analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme paru en , dans lequel on trouve le théorème de Green-Riemann, cas particulier du théorème de Stokes, ainsi que l'idée des fonctions de Green ; Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration et à la géométrie différentielle partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de fluorescence ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1ère démonstration de ce théorème fut donnée en par Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky. Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe province de l'Ukraine à qui on doit, entre autres, le théorème de flux-divergence portant partiellement son nom ainsi que celui de George Green qui l'établit indépendamment de lui mais aussi le théorème de Stokes qu'il démontra en avant George Gabriel Stokes.
↑ 69,069,169,269,3 et 69,4 Nous l'avions notée «» dans le paragraphe « notion de vecteur élément de courant en un point P de la distribution continue volumique de charges mobiles, source du champ magnétique en tout point M de l'espace » plus haut dans ce chapitre, ici nous adoptons une autre notation en utilisant le préfixe mathématique «» pour traduire que la grandeur préfixée est aux deux éléments différentiels et cette notation a un côté arbitraire car elle ne fait référence qu'au nombre d'éléments différentiels et nullement à l'ordre de chacun d'eux dans la mesure où ils sont reliés dimensionnellement ce qui conduirait à considérer et comme des éléments différentiels respectivement d'ordre deux et d'ordre un et par suite à les noter et
↑ Une nappe de courant est l'analogue de dimension deux de ce qu'est un tube de courant en dimension trois.
↑ 71,0 et 71,1 Sur le 1er schéma de ce paragraphe n'est pas indiqué car il s'identifie à le vecteur unitaire colinéaire et de même sens à .
↑ 72,0 et 72,1 Sur le 2ème schéma de ce paragraphe n'est pas indiqué car il s'identifie à le vecteur unitaire colinéaire et de même sens à .
↑ 73,073,173,273,3 et 73,4 Nous l'avions notée «» plus haut dans ce paragraphe, ici nous adoptons une autre notation en utilisant le préfixe mathématique «» pour traduire que la grandeur préfixée est aux deux éléments différentiels et bien que cette notation ait un côté arbitraire car ne faisant référence qu'au nombre d'éléments différentiels et nullement à l'ordre de chacun d'eux dans la mesure où ils sont reliés dimensionnellement il se trouve ici que les éléments différentiels et étant de même ordre un, le préfixe mathématique «» traduit aussi l'ordre deux de la grandeur considérée.
↑ 74,074,1 et 74,2 C.-à-d. la largeur considérée perpendiculaire au déplacement des porteurs, cette appellation étant le prolongement en dimension deux de la notion de section droite en dimension trois.
↑ On vérifie aisément la justesse du point de vue dimensionnel s'exprimant en qui est l'unité du S.I. dans laquelle s'exprime .
↑ 76,076,1 et 76,2 Par analogie avec la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une surface élémentaire voir le paragraphe « définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » la grandeur d'un espace à deux dimensions pour laquelle définit le « vecteur largeur élémentaire » d'une portion de courbe élémentaire de largeur élémentaire avec le vecteur unitaire normal à la portion définissant le sens de traversée de la portion de courbe en , pourrait être appelée « pseudo-flux élémentaire du champ vectoriel à travers la portion de courbe élémentaire de vecteur largeur élémentaire » mais l'intérêt de ceci est trop limité pour être effectivement introduit.
↑ « s’exprimant en » et « en », le « produit scalaire de par s’exprime en », il est donc bien homogène à une intensité.
↑ 78,078,178,278,378,478,578,678,7 et 78,8 C.-à-d. résultant d'une intégration sur un segment, ou une courbe, ou une surface ou une expansion tridimensionnelle.
↑ Par analogie avec la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte voir le paragraphe « définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'intégrale curviligne dans un espace à deux dimensions de sur une courbe ouverte pour laquelle définit le « vecteur largeur élémentaire » de la portion de courbe élémentaire centrée en de cette courbe ouverte, de largeur élémentaire avec le vecteur unitaire normal à la portion définissant le sens de traversée de la portion de courbe en , pourrait être appelée « pseudo-flux du champ vectoriel à travers la courbe ouverte » mais l'intérêt de ceci est trop limité pour être effectivement introduit.
↑ On rappelle qu'on associe à la largeur locale de la nappe de courant élémentaire passant par un vecteur qu'on appelle « vecteur largeur élémentaire » «» dans lequel est le vecteur unitaire normal à cette largeur orientant le sens de traversée des porteurs perpendiculairement à cette largeur et comme, dans le cas d'une « largeur droite » définie en , cette dernière est à la ligne de courant passant par , s'identifie au vecteur unitaire orientant la ligne de courant passant par ; la notion de « vecteur largeur élémentaire » n'étant pas normalisée, elle ne peut être utilisée qu'en rappelant sa définition et avec prudence
↑ Pour établir ce lien, on part de la correspondance entre distribution continue volumique d'origine et distribution continue linéique par identification du vecteur élément de courant des deux distributions «» égal à «» «» puis Pour établir ce lien, on rappelle le lien entre le vecteur densité volumique de courant de la distribution continue volumique en dans le cas d'un seul type de porteurs de charge mobiles «», le vecteur vitesse d'entraînement et la densité volumique de charge des porteurs de charge mobiles de ce type à savoir «» que l'on reporte dans «» ce qui donne «» et finalement Pour établir ce lien, en utilisant de nouveau la correspondance entre distribution continue volumique d'origine et distribution continue linéique par identification de la charge élémentaire des porteurs de charge mobiles de type sur la longueur élémentaire des deux distributions «» égal à «» «» d'où, en reportant dans «» la relation cherchée «».
↑ Un champ électrique dépendant du temps existe dès lors qu’un champ magnétique dépendant du temps se manifeste mais il est usuellement inobservable à l’exception de sa manifestation dans une bobine
dans laquelle le champ magnétique est créé par un courant de l’A.R.Q.S. dont l'intensité varie suffisamment rapidement ou
baignant dans le champ magnétique créé par un courant permanent circulant dans un conducteur en mouvement suffisamment rapide relativement à la bobine.
par la circulation dans ce circuit d'un courant d'intensité dépendant du temps ou
par le déplacement au regard de ce circuit d'un autre circuit dans lequel circule un courant d'intensité dépendant ou non du temps ;
la composante du champ électromoteur «» est dite « de Lorentz », elle nécessite la mobilité du circuit soumis à un vecteur champ magnétique dépendant ou non du temps si le champ magnétique dépend du temps il faut également tenir compte de la composante de Neumann du champ électromoteur. Franz Ernst Neumann (1798 - 1895) est un minéralogiste, physicien et mathématicien allemand qui a excellé dans de nombreux domaines dont celui de l'électrodynamique dans lequel il découvrit en et les lois de l'induction. Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) est un physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en ; Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en . Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ Remarque : un 1er champ électrique dit « extérieur » est nécessaire pour qu’il y ait « courant » le champ électrique extérieur est donc la cause du courant et non l’effet de ce dernier ; Remarque : mais un courant étant la cause du champ magnétique et ce dernier, dans la mesure où l'intensité du courant dépend de , la cause d'un 2ème champ électrique dit d’« induction », on en déduit, par transitivité, que le courant est la cause du 2ème champ électrique dit d’« induction » ; Remarque : en conclusion toujours distinguer « cause » et « effet ».
↑ Mais alors la fréquence est si élevée que nous sortons du cadre de l’A.R.Q.S. voir le paragraphe « notion d'A.R.Q.S. et condition d'application en fonction de la taille du circuit et de la fréquence » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », une fréquence minimale de conduisant à une taille maximale de pour que l'A.R.Q.S. reste applicable En effet le vecteur champ magnétique induit par la variation temporelle du champ électrique est déterminé par l'équation de Maxwell-Ampère en absence de courant inducteur «» le seul 2ème membre si le corps chargé n'est pas conducteur le 2ème terme avec la perméabilité magnétique du vide et le vecteur densité volumique de courant n'existe pas dans un corps non conducteur dans laquelle est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide soit, en supposant que le champ électrique soit sinusoïdal du temps à la fréquence selon avec vecteur unitairec'est-à-dire « l'amplitude de » est à «» « celle de » à «» d'où l'amplitude de «» nécessairement petite sauf si la fréquence devient suffisamment grande ; En effet pour avoir un ordre de grandeur de la fréquence minimale permettant d'observer un champ magnétique induit, on se place dans un corps chargé conducteur de conductivité électrique «» permettant d'appliquer la loi locale d'Ohm «», le vecteur champ magnétique induit sera alors observable si « l'amplitude de » avec un champ électrique sinusoïdal du temps de fréquence n'est pas petite par rapport à « celle de » c.à-d. «» soit «» ou, en utilisant un matériau mauvais conducteur de c'est-à-dire fois moins bon conducteur qu'un métal, «» en accord avec «» James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur. André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
↑ 90,0 et 90,1 Le signe de la charge témoin n’est pas une exigence mais cela permet d’avoir les vecteurs force et champ électrostatiques dans le même sens.
↑ On peut, par exemple, placer un pendule électrostatique c'est-à-dire une petite boule conductrice «» chargée positivement suspendue à une potence par un fil isolant tel que coïncide avec la charge «» de la petite boule conductrice «» étant la charge témoin et, de son équilibre, on peut déterminer la force électrostatique «» que la distribution de charges est « supposée exercer » sur en fait qu'elle exerce réellement si on observe que la direction du pendule électrostatique n'indique pas la verticale locale comme c'est le cas quand le pendule est éloigné de le bilan des forces s'exerçant sur est « son poids » avec la masse de la boule et le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme, « la tension du fil » dont la direction doit changer en translatant le point d'attache du fil isolant s'il y a effectivement une 3ème force et « l’éventuelle force électrostatique »
↑ 94,094,194,294,394,4 et 94,5Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
↑ 96,096,196,296,396,496,596,696,7 et 96,8 La permittivité diélectrique du videplus généralement d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du vide ou celle du milieu isolant à l'action d'un champ électrique plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.
↑ 98,098,1 et 98,2 Le théorème de superposition s'applique à la physique linéaire, son énoncé est : « soit un ensemble de sources indépendantes pour lesquelles chaque source se manifeste par un effet de même nature , cet ensemble de sources se manifeste par l'effet ».
↑ 101,0101,1 et 101,2 La charge d'expansion tridimensionnelle ou surfacique ou linéique élémentaire centrée en , de volume ou d'aire ou de longueur , est dite quasi-ponctuelle car, à l'échelle mésoscopique, elle se comporte comme une charge ponctuelle.
↑ 104,0104,1104,2104,3104,4 et 104,5 Une intégrale est dite « propre » si la fonction à intégrer ne diverge pas c'est-à-dire ne devient pas infinie pour une valeur du domaine de définition et que le domaine d’intégration est d’extension finie dans le cas contraire et sous réserve d'existence l'intégrale est dite « impropre » ou « généralisée ».
↑ 109,0 et 109,1 On appelle pseudo-disque de centre et de rayon la portion de surface incluse dans limitée par le contour fermé inclus dans telle que la longueur de l'arc le plus court séparant d'un point quelconque de soit constante et égale à si était plan, cela définirait effectivement un disque.
↑ Plus exactement on démontre que avec la demi-droite entièrement située du même côte que et Plus exactement on démontre que avec la demi-droite entièrement située du même côte que .
↑ 113,0 et 113,1 On appelle pseudo-segment de centre et de demi-largeur la portion de courbe incluse dans limitée par les points de telle que la longueur de l'arc séparant de ou soit constante et égale à si était rectiligne, cela définirait effectivement un segment.
↑ 118,0118,1118,2 et 118,3 Le signe de la charge témoin n’est pas une exigence mais cela permet d’avoir des informations sur les vecteurs force magnétique et champ magnétostatique sans avoir à penser au signe de la charge.
↑ 119,0119,1 et 119,2 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
↑ 120,0 et 120,1 Ou en utilisant la 2ème expérience.
↑ L'unité du système international de champ magnétique est le « tesla » de symbole «» ; Nikola Tesla (1856 - 1943) est un inventeur, ingénieur américain d'origine serbe de Croatie essentiellement connu pour sa participation au développement et l'adoption du courant alternatif dans le transport et la distribution de l'électricité, c'est lui qui a mis au point les 1ersalternateurs en
↑ 123,0 et 123,1Jean-Baptiste Biot (1774 – 1862) physicien, astronome et mathématicien français, pionnier de l’utilisation de la lumière polarisée pour l’étude des solutions, il fut l’un des 1ers étudiants de l’École centrale des travaux publics connue actuellement sous le nom d’École Polytechnique à son ouverture en décembre au Palais Bourbonoù siège actuellement l’Assemblée Nationale alors qu’il avait intégré l’École des ponts et chaussées en janvier ; il devint, à l’âge de ans, professeur de physique mathématique au Collège de France et enseigna également l’astronomie puis l’acoustique, le magnétisme et l’optique à la Faculté des sciences de Paris dont il devint le doyen à partir de apparemment un professeur éminent ; il formula en , avec Félix Savart, la loi donnant la valeur du champ magnétique produit en un point de l’espace par un courant électrique en fonction de la distance de ce point au conducteur.
↑ 124,0 et 124,1Félix Savart (1791 – 1841) médecin chirurgien et physicien français, inventeur du « sonomètre » instrument destiné à mesurer le niveau de la pression acoustique en , titulaire de la chaire de physique générale et expérimentale au Collège de France à partir de ; il étudia les propriétés des cordes vibrantes et construisit, vers , un violon de forme trapézoïdale toujours conservé dans la collection de l’École Polytechnique son nom a été donné à une unité de mesure des intervalles musicaux : l’intervalle entre deux sons de fréquences et avec est égal à «», le savart étant approximativement le plus petit intervalle décelable par un auditeur entraîné, il y a «» dans une octave intervalle tel que «» mais usuellement on retient « dans une octave » ; il formula en , avec Jean-Baptiste Biot, la loi donnant la valeur du champ magnétique produit en un point de l’espace par un courant électrique en fonction de la distance de ce point au conducteur.
↑ Considérant la ligne de courant centrale d'un faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes et notant la distance moyenne séparant deux particules voisines de à l'échelle mésoscopique d'espace de cette dernière, nous en déduisons qu'à cette même échelle mésoscopique d'espace le long de il y a particule en moyenne sur une longueur soit, comme les particules se déplacent sur à la vitesse moyenne , il passe en moyenne particule en un point fixé de en une durée d'où un débit moyen particulaire sur égal à et, en supposant qu'il y ait en moyenne particules traversant chaque section transversale du faisceau, le « débit moyen particulaire du faisceau s'écrit » à ; sachant que les particules d'un faisceau monocinétique de particules chargées et identiques sont considérées comme indépendantes si, à l'échelle mésoscopique d'espace le long de , est à , nous en déduisons que le « débit particulaire moyen du faisceau » valeur maximale au-delà de laquelle les particules ne pourront plus être considérées comme indépendantes
↑ Ayant établi dans la note 126 plus haut dans ce chapitre que le « débit particulaire moyen du faisceau s'écrit dans lequel est le nombre moyen de particules traversant chaque section transversale du faisceau, la distance moyenne séparant deux particules voisines de et la norme du vecteur vitesse moyen des particules du faisceau », nous en déduisons une forme équivalente du vecteur élément de courant centré en correspondant à la longueur élémentaire , «» ou encore «» ; sachant que les particules d'un faisceau monocinétique de particules chargées et identiques sont considérées comme indépendantes si, à l'échelle mésoscopique d'espace le long de , est à , nous en déduisons que «» doit être de norme «» valeur maximale au-delà de laquelle les particules ne pourront plus être considérées comme indépendantes
↑ Plus exactement on démontre que avec la demi-droite entièrement située du même côte que et Plus exactement on démontre que avec la demi-droite entièrement située du même côte que .
↑ 130,0130,1 et 130,2 Où définit le vecteur élément de longueur en .
↑ Plus exactement on démontre que pour n'importe quelle valeur de .
↑ À la note 116 plus haut dans ce chapitre présentant les grandes lignes de la « vie de Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais », on peut ajouter qu'il s'est illustré pour ses travaux théoriques sur la nature de la lumière et la constitution de la matière ; il a, entre autres, laissé son nom à la médaille Lorentz délivrée tous les par l’Académie royale des arts et des sciences néerlandaise « KNAW » à un chercheur du domaine de la physique théorique on y trouve des lauréats célèbres dont le 1er fût,
en , Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947) physicien allemand à qui on doit principalement, vers , la théorie des quanta, théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en , les derniers à ce jour étant,
en , Michael Berry (né en 1941) physicien théoricien britannique notamment reconnu pour ses travaux sur les phases géométriquesnombre complexe de module unité par lequel est multipliée la fonction d'onde d'un système physique dont on a fait varier un paramètre de façon « adiabatique » selon un circuit fermé de l'espace des paramètres de la mécanique quantique,
Gerard't Hooft (né en 1946) physicien néerlandais ayant été colauréat avec Martinus J. G. Veltman (né en 1931) également physicien néerlandais, du prix Nobel de physique en pour leurs travaux sur la structure quantique servant en physique des particules. Leonard Susskind (né en 1940) physicien américain, considéré comme l'un des pères de la théorie des cordes, ayant en particulier introduit dans cette théorie, en , la notion de « paysage de théories » en effet il n'existe pas une seule théorie des cordes mais théories possibles d'où la notion de « paysage de théories ».
↑ 133,0133,1133,2133,3133,4 et 133,5 La charge élémentaire étant le quantum de charge des particules libres c'est-à-dire hors particules participant à la constitution des nucléons de noyau atomique.
↑ 134,0134,1134,2 et 134,3 L'« unité de masse atomique unifiée » de symbole «» est une unité de mesure standard remplaçant l'« unité de masse atomique » de symbole « uma » représentant « de la masse d'un atome de », unité devenue obsolète, utilisée pour exprimer la masse des atomes et des ions monoatomiques elle peut aussi l'être pour exprimer la masse des molécules et des ions polyatomiques mais les valeurs étant alors plus grandes, le faire est nettement moins intéressant ; «» étant définie comme « de la masse d'un atome de » et cette dernière se calculant à partir de la masse molaire atomique du «» par «» dans laquelle est la constante d'Avogadrodécision de la Conférence Générale des Poids et Mesuresou CGPM valable à partir du d'où ; l'atome de contenant nucléons protons et neutrons, les protons étant de masse voisine de celle des neutrons, nous en déduisons en négligeant le défaut de masse du noyau dans la masse de ce dernier que «» est approximativement la masse d'un nucléon et que la masse d'une particule contenant nucléons est approximativement «». Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémontrégion actuelle de l'Italie à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en et proposée indépendamment par Ampère en , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules » ; André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
↑ 135,0 et 135,1 Que l'on peut obtenir entre les armatures d'un condensateur plan voir le paragraphe « définition d'un condensateur parfait (ou idéal) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le caractère « plan » correspondant à des armatures planes et en imposant, aux bornes de ce dernier, une tension électrique de , les armatures du condensateur étant écartées de .
↑ La norme du champ électrique divisée par un facteur à conduit à un champ électrique de très petite norme «c'est-à-dire le champ dans un condensateur plan à armatures séparées de «» aux bornes desquelles on impose une tension de et une force électrique de norme correspondant à une prédominance limite de la norme de la force électrique alors que le champ électrique est de norme excessivement petite.
↑ 137,0 et 137,1 Ou, exprimée en « unité de masse atomique unifiée » de symbole «» on rappelle que est approximativement la masse d'un nucléon voir la note « 134 » plus haut dans ce chapitre, «» ou, en fonction de la masse du proton , «».
↑ C.-à-d. le référentiel lié au proton en translation relativement au référentiel du laboratoire.
↑ 139,0 et 139,1 L'angström «» est une unité bien adaptée aux dimensions de l'atome, cette unité a été choisie pour rendre hommage à « Anders Jonas Ångström (1814 - 1874), astronome et physicien suédois du XIXème siècle, un des fondateurs de la spectroscopie » ; de nos jours les physiciens non atomistes préfèrent utiliser le nanomètre de symbole tel que .
↑ C.-à-d. la même distance séparant l'objet subissant l'action de la source la créant.
↑ 142,0 et 142,1 Par comparaison, la norme du champ magnétique terrestre à Paris vaut «» et sa composante horizontale celle qui agit sur les boussoles «».
↑ 143,0 et 143,1 En effet cette vitesse de proton peut être considérée comme petite dans la mesure où il suffirait de lui imposer une tension de à partir d'un état de vitesse nulle pour l'obtenir.
↑ La norme du vecteur vitesse initiale divisée par un facteur à conduit à imposer une tension divisée par un facteur à par rapport à celle d'origine soit une tension de à partir d'un état de vitesse nulle pour l'obtenir une force magnétique de Lorentz initiale de norme correspondant à une prédominance limite de la norme de la force magnétique de Lorentz initiale alors que la vitesse initiale est de norme excessivement petite.
↑ Si l'expérience est faite sur Terre, il faut tenir compte du champ magnétique terrestre il est difficile d'obtenir un champ de norme à à défaut de compensation ; en divisant la norme du champ magnétique initial d'un facteur et celle du vecteur vitesse initiale d'un facteur ce qui est réalisé en imposant, à partir d'un état de vitesse nulle, une tension divisée par un facteur par rapport à celle d'origine soit une tension de une force magnétique de Lorentz initiale de norme correspondant à une prédominance limite de la norme de la force magnétique de Lorentz initiale alors que la vitesse initiale est encore de norme très petite.
↑ 146,0146,1 et 146,2 C.-à-d. le référentiel lié au noyau en translation relativement au référentiel du laboratoire.
↑ On cherche à comparer ces deux interactions secondaires en mettant les deux autres interactions principales de côté à savoir les interactions électriques de l'électron avec le noyau et l'autre électron
↑ En fait si nous tenons compte des deux interactions principales agissant sur l'électron à savoir ses interactions électriques avec le noyau et l'autre électron , le mouvement n'est pas périodique à cause de la distance variable séparant les deux électrons ; nous supposerons que ce mouvement est quasi-périodique d'où l'expression de « période moyenne » dans la mesure où l'électron reste toujours plus éloigné de l'électron que du noyau ce qui se traduit en ne tenant compte que de son interaction électrique avec ce dernier.
↑ En effet l'électron passe une seule fois en chaque point de sa trajectoire toutes les périodes moyennes de révolution .
↑ 151,0 et 151,1 Comme nous l'avons exposé en note « 149 » plus haut dans ce chapitre, le mouvement de n'est pas régulier à cause de la distance variable séparant les deux électrons ; nous supposons que ce mouvement devient régulier d'où l'expression de « vitesse moyenne » dans la mesure où l'électron reste toujours plus éloigné de l'électron que du noyau ce qui se traduit en ne tenant compte que de son interaction électrique avec ce dernier.
↑ Voir la note « 152 » plus haut dans ce chapitre, les électrons et jouant des rôles identiques relativement au noyau .
↑ Grande valeur de champ magnétique que l’on ne peut pas obtenir au niveau macroscopique ou mésoscopique, le champ magnétique mésoscopique maximal que l'on peut obtenir est de l’ordre de .
↑ Sauf bien sûr si les conditions sont telles que le vecteur vitesse de l'objet est colinéaire au vecteur champ magnétique créé par la source sur l'objet la nullité de la force magnétique de Lorentz
↑ Dans le domaine nucléaire, d'une part la distance séparant les particules étant divisée par un facteur entraîne une multiplication de la norme des forces gravitationnelles d’un facteur et d'autre part la masse d’un nucléon étant fois la masse d’un électron entraîne une nouvelle multiplication de la norme des forces gravitationnelles d'un nucléon relativement au reste du noyau d’un facteur soit au total une multiplication de la norme des forces gravitationnelles d’un facteur conduisant à un ordre de grandeur de ces dernières de «N ».
↑ Dans le domaine nucléaire comme cela a été vu dans la note « 157 » plus haut dans ce chapitre, les forces gravitationnelles de norme d'ordre de grandeur auront une action négligeable sur une durée finie devant celle des forces d'interaction nucléaire forte résiduellevoir quelques notions sur cette interaction dans la note « 43 » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », les forces d'interaction nucléaire forte résiduelle ayant d'ailleurs une action prépondérante devant celle de toutes les autres forces.
↑ Vérifier que l'action des forces de pesanteur est négligeable devant celle des forces électriques ou magnétiques est d'ailleurs une justification fréquemment demandée
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![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;{\mathcal {D}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff0a60f95142367738b84e7be8ea49d1826ae97)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;P{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc1bf94c8b51801a3a406b85bdbdaecce5e8c15)
![{\displaystyle \;{\mathcal {D}}_{\left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a158b0916eb918e29ca46adf1c86a8479b54e9)
![{\displaystyle \;\left(C\cdot m^{-3}\right)\times m=C\cdot m^{-2}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bd15e2ba636cfefc6ff24adc03864ea07b6742)
![{\displaystyle \;{\mathcal {D}}_{\left\lbrace \left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]\times \left[x_{2}\,,\,x_{2}+dx_{2}\right]\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c752487e6639fa79abcb35596fb06cc20a8827)
![{\displaystyle \;\left(C\cdot m^{-3}\right)\times m\times m=C\cdot m^{-1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77556d4318650555a18623a3a35f8ad6b58ab9dd)
![{\displaystyle \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56dae5f449babacdea9f237d98f332dcfb37b282)
![{\displaystyle \;N_{V,\,m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}\simeq 6,02\;10^{23}\times \left[2\times \left(1000\times 10^{-1}\right)\right]\simeq 12\;10^{25}\;m^{-3}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f9082304cdd990a608dc8e37aedcac01397b47)
![{\displaystyle \rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\;{\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}=-\vert \rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\vert \left[-\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2e1c83e7f879acc4bbf6dea4b58a823f285336)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;{\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\vert \rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\vert \left[\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e171aea1b1a577a60d23de897346cb7e22d60682)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}}=\vert \rho _{m}\vert \,\left[\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}\simeq 1,9\;10^{7}\,\left[\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d140b58cd5ffcb609be335a46dfc7d253c46bce8)
![{\displaystyle \;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab24da720b0b222108b4b42e98ebd6ace8c95101)
![{\displaystyle \;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;{\overset {H_{2}O}{\;\rightarrow \;}}\;2\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}+\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707e7d97135b338f416fe06d8f39c2a73c56675e)
![{\displaystyle \;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\ll \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b109d575512e59fe390d2a570314a95df860b6)
![{\displaystyle \;\left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c8528aaca51f736bc02c30764fda7255b96087)
![{\displaystyle \;\left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\simeq 2\times 5\;10^{-2}=10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db44898eaabe4ca126b71161d03c2b651d469a4e)
![{\displaystyle \;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {c}}\right)}\ll \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36592c676b09a5f705a6bff43ace4d31c1c986a7)
![{\displaystyle \;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade717c25f44144eecb0bd05628b8d32febd4a28)
![{\displaystyle \;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}=2\times 5\;10^{-2}\;mol\cdot L^{-1}=10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b142a999a87f89a3de15592a4eff8fd167fcfa40)
![{\displaystyle \;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]=\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}\;{\cancel {+\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {c}}\right)}}}\simeq 10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed952ca361d3ccbb7b004c4e0ccd0f5a19830d5)
![{\displaystyle \;\left[\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\right]=\left[\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\right]_{\left({\mathfrak {a}}\right)}+\left[\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}\simeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dcbd5ba09899e8815993a3813f2f44d877647ad)
![{\displaystyle \;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\ll \left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\simeq 10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7659004885d8e341ee73a62b72bee6552d08de)
![{\displaystyle \;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]\simeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099a90b9d0c8d299f5ed890fe424caec218cf7d)
![{\displaystyle \;K_{a}={\dfrac {\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\times \left[H_{\text{aq}}^{+}\right]}{\left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1f678afd0294582a71423278c5e6e503be6c12)
![{\displaystyle \;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]={\dfrac {K_{a}\times \left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]}{\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43435990f1334b5bdbf951bb5e5d36b807d8283)
![{\displaystyle \;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\simeq 10^{-9,25}\;mol\cdot L^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acf3c3792447d41abcbcaa5ed573588058eaa03)
![{\displaystyle \;10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\simeq \left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176e8d061b245646461006dc49118d0276734b0c)
![{\displaystyle \rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;{\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=-\vert \rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\vert \left[-\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e54b0118692422b3c54267f2ca64ebd06d1046d)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;{\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\vert \left[\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cf589715cb662381f780cb2e06449c93d6c727)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{H_{\text{aq}}^{+}}=\rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\;{\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\vert \left[\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51626f6efc15bd4ac4fe2781380f16e938321a4)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\,\cup \,\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}}={\vec {j}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}+{\vec {j}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}+{\vec {j}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505edfb28d08dbd1fe28cb051e66a0b6293d2e9b)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\,\cup \,\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}}=\vert \rho _{m}\vert \,\left[2\;\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}\simeq 9,6\;10^{6}\,\left[2\;\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8abd8730f266e1e66fa6436c831880516c95bee)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\,\cup \,\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31e8e8674a316cbcb083f27ab331a7a3f45c5ea)
![{\displaystyle \;di=\delta \Phi \!\left[{\vec {j}}(P)\right]={\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b73084892fa4788c478f4e38550a0b821ad51e)
![{\displaystyle \;P{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d782e9ea14734a4d014538aacf6a4e3b75d76e76)
![{\displaystyle \;i_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\Phi _{\left({\mathcal {S}}\right)}\!\left[{\vec {j}}(P)\right]=\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705e2cbf9b4dedf3548842f759b9c985bad95b14)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c47511ca837e2cb016cfa099d0b0d321cb9dde)
![{\displaystyle \;d\tau =dS_{P}\;dh=dS_{P}\left[\Vert {\vec {V}}_{k}(P)\Vert \;dt\;\cos(\alpha )\right]={\overrightarrow {dS}}_{P}\cdot {\vec {V}}_{k}(P)\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1937a819bfcfa76b93eb4e2bd698b76a380c047)
![{\displaystyle \;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\overrightarrow {dS}}_{P}\cdot {\vec {V}}_{k}(P)\;dt=\left[\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\right]\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a4c6d6b9408d31018cb261e1f7dd332fd3a0b9)
![{\displaystyle \;di_{dS_{P}}=\left[\sum \limits _{k}{\vec {j}}_{k}(P)\right]\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35edcb85f350e63f3d9138c2626a33d7b6992228)
![{\displaystyle \;di_{dS_{P}}=\sum \limits _{k}\left[{\vec {j}}_{k}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b414f165c0a1a1673c4aa4a269256bd4d82eae7)
![{\displaystyle \rho _{m,\,_{k}}(P)\left[{\vec {V}}_{k}(P)\;dt\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf1ad6ba3f783ef84a5fef9a54d23d0ab241b19)
![{\displaystyle \;\alpha ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {dS}}_{P}\,,\,{\vec {V}}_{k}(P)\right\rbrace }}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b985480f5b9664359e7acbaf5dc949a08a218a)
![{\displaystyle \;-{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756a60d2a64b4c16da97d27c0d91914bd87deb5e)
![{\displaystyle \rho _{m,\,_{\mathit {l}}}(P)\left[{\vec {V}}_{\mathit {l}}(P)\;dt\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7cbbbeda3713d174e979220dd9ee46d191a89d)
![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
![{\displaystyle \;\Phi _{\left(\Sigma \right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=\displaystyle \oiint _{\left(\Sigma \right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {d\Sigma '}}_{P}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1999aa5bd718615a9b7a7f232814e013f81be1fa)
![{\displaystyle \;\Phi _{\left(\Sigma \right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{2}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS'}}_{2,\,P}+\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{1}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS'}}_{1,\,P}\;{\cancel {+\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{\text{lat}}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS'}}_{{\text{lat}},\,P}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdd5c6d9aa208c381dac8dbe3fdbcfbbb8d4544)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dS'}}_{{\text{lat}},\,P}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85103c1f0c7e62465cacfee154cab28582a1afca)
![{\displaystyle \;\Phi _{\left(\Sigma \right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{2}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{2,\,P}-\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{1}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{1,\,P}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cbfd1178790261bc52b8e0d5c6cb5b8a770b7b)
![{\displaystyle \;\Phi _{\left(\Sigma \right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=i_{({\mathcal {S}}_{2})}(t)-i_{({\mathcal {S}}_{1})}(t)=0\;\;\forall \;t\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867665f020fe287db83b7cac065999c8570a2f52)
![{\displaystyle \;\left.{\begin{array}{c}\\\Phi _{\left(S\right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=\displaystyle \oiint _{\left(S\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS'}}_{P}=0\;\;\forall \;\left(S\right)\\\\\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c5b1352baa660a76bd7a8a8be2c23e3f944d36)
![{\displaystyle \;P{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229362fc6ad96525016567735b024261431e8c41)
![{\displaystyle \;>0{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c62dd883547dc943eb678b482b6a44103fd8e6)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)=\left[j(P)\;{\vec {u}}_{P}\right]\,dS_{P}\;d{\mathit {l}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9237f2214fd88beb35c839fdb70a132560cff5c)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)=\left[j(P)\;dS_{P}\right]\,\left[d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8908ad1eb65a40e60746b997a3130eb396c3ff)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dS}}_{P'}{\Big )}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52659b98b7c83a916442141d42578b5438c2683)
![{\displaystyle \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ca62296c35443d958b75fa3362d1071e2eab22)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)=\left[j_{s}(P)\;{\vec {u}}_{P}\right]\,dL_{P}\;d{\mathit {l}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72edc706db54bfb93b92aa3e9a9239a87378848)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)=\left[j_{s}(P)\;dL_{P}\right]\,\left[d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f2e9314e3cf273fc08ebc80d6758ecee63923c)
![{\displaystyle \;P'{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a55a2bb09f43131df01e31c987a0d66bb83260)
![{\displaystyle \;P'{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751d05266b8367bfa346d577bad0a2e8936c3a98)
![{\displaystyle \;\left(\Gamma \right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab586be813d650f9a8cc176e59eb112abfcfb030)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{P}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c4a27090cc5bfa57b12e56502cb881f487320a)
![{\displaystyle \;di={\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}={\vec {j}}(P)\cdot \left[dS\;{\vec {u}}_{P}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e01f278d1d030f7174e5d87cb3a676293235eef)
![{\displaystyle \;di={\vec {j}}_{s}(P)\cdot {\overrightarrow {dL}}_{P}={\vec {j}}_{s}(P)\cdot \left[dL\;{\vec {u}}_{P}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82dbc37f264cae70f0473a45a5ea76f1cec63a50)
![{\displaystyle {\big )}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58173aa89bd742cddd3b7fbde02d5a0db86dec8)
![{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465141ffbd18135c9bb8c542c7fa61fb9163ccc3)
![{\displaystyle \;M{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f93f9657f29526adcf2d86ed64bd1d90385b8cc)
![{\displaystyle \;M\neq O_{k}\;\;\forall \;k\;\in \;\left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bb7977f1ea284679495c883e9ea9f135072f61)
![{\displaystyle {\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fec8b8fd9f86cffa472e3222e479a5bb62de37f)
![{\displaystyle \;\rho (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82696098780eaf66327df93eab6ac1c79635fd3e)
![{\displaystyle \;\eta {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe23496b2898ba104a24fe0dbae3d9cf754e3e9)
![{\displaystyle \;\sigma (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2294e36a08589ad8bb876c641e11911f42a1463)
![{\displaystyle \;\lambda (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f39dd81b490a3e5295818204b35cd528692d43)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \Delta _{P_{0},\,\alpha }\right\rbrace _{\alpha \,\in \,\left]-\pi \,,\,+\pi \right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfc4c666469dbe5c281f2a754c8508549b5a924)
![{\displaystyle \;M\;\in \;\left\lbrace \Delta _{P_{0},\,\alpha }\right\rbrace _{\alpha \,\in \,\left]-\pi \,,\,+\pi \right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3544663925b807f548f61508d08c987207405bf0)
![{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eca9ba2f8b061bf30de6d809bbb72d785d366b)
![{\displaystyle \;{\Big \Vert }{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M){\Big \Vert }={\Big \Vert }q\;{\vec {V}}_{M}{\Big \Vert }\;{\Big \Vert }{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M){\Big \Vert }\;{\bigg \vert }\sin \!\left\lbrace {\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{M}\,,\,{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\right]}}\right\rbrace {\bigg \vert }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55448f472a6c1c1fada6c1b9f676617046ecd73)
![{\displaystyle \;{\Big \Vert }{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M){\Big \Vert }={\dfrac {{\Big \Vert }{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M){\Big \Vert }}{{\Big \Vert }q\;{\vec {V}}_{M}{\Big \Vert }\;{\bigg \vert }\sin \!\left\lbrace {\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{M}\,,\,{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\right]}}\right\rbrace {\bigg \vert }}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a454e93421b25fe101b8e754b50680d4509a7b)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}(P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378882ba5060e7879c62d0b4488b3cb1d2b35f82)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{s}(P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8df283a0d5b98c2caa6139238c7f713fb9b66d5)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{s}(P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bc6a9e29b88cdf4629800f65bedc4979e9b605)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{P}\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398e52ea71221f01b50573ec03e9c377dc2a9e4d)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M,\,t)=q\,\left[{\vec {E}}(M,\,t)+{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {B}}(M,\,t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9283081dfef34e8d0ad76c6f39efe03c85ab6031)
![{\displaystyle \;\Vert {\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P,\,0)\Vert =e\;\Vert {\vec {V}}_{P}(0)\Vert \;\Vert {\vec {B}}\Vert \;{\bigg \vert }\sin \!\left[{\widehat {\left\lbrace q_{p}\;{\vec {V}}_{P}(0)\,,\,{\vec {B}}\right\rbrace }}\right]{\bigg \vert }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61af958c4978a8f7b3bd97acf481f0746f5a2d1)
![{\displaystyle \;{\text{ordre de grandeur de}}\!\left[\Vert {\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(El_{2})\Vert \right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843500976f6437ae42f517e3da563673d3afb131)
![{\displaystyle e\;v_{El_{2}}\;\Vert {\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(El_{2})\Vert \;{\Bigg \vert }\sin \!\left[{\widehat {\left\lbrace q_{e}\;{\vec {V}}_{El_{2}}\,,\,{\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(El_{2})\right\rbrace }}\right]{\Bigg \vert }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed85fe102bcbd4244a90a2ebbaacda9dc039f7f)
![{\displaystyle \;{\text{ordre de grandeur de}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{mag. de Lor}},\,El_{2}\,\leftarrow \,El_{1}}(El_{2})\right]\lesssim e\;{\sqrt {\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}}}}\;{\dfrac {\mu _{0}\;e^{2}}{2\;\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{5}}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a7b9cfe604a58c5255900dc54c9a6f28bd9ccc)
![{\displaystyle \;{\text{ordre de grandeur de}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{mag. de Lor}},\,El_{2}\,\leftarrow \,El_{1}}(El_{2})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9e2c2f7c1f4bbb7dd33ea0b2b97becea155239)
![{\displaystyle \;{\text{ordre de grandeur de}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{mag. de Lor}},\,El_{2}\,\leftarrow \,El_{1}}(El_{2})\right]\lesssim }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79bb2ce8a5218308d357feb65d45c2c865fddcf)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;10^{-19}\;N{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9b97fc45a93f8d78d3a301aa4d888304527a66)
![{\displaystyle {\big ]}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828cb9abbd5e4c112be21be50459d8f6d2131bcf)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a034fcc6c80b600edbfced2889da54722687c9)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{x=0^{-}}^{x=0^{+}}\left[\displaystyle \int _{y=0^{-}}^{y=0^{+}}\rho _{\text{mic}}(x,\,y)\;dy\right]dx\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ceb51348b4a13bfc2ba9942927dee83109b4a4)
![{\displaystyle \;HO_{\text{aq}}^{-}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66a125681ab307d72acdf5da554d3b28fe97c41)
![{\displaystyle \;p{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5f5fd24f92b14d07b0dacbeb557ee8fd159bea)
![{\displaystyle \;{\vec {C}}(P){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834c99d3dd1059a63302257e314c6d21353ede11)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2882bb87c93fbfb6011acf575a3c2f8b7d3e5f6)
![{\displaystyle \;d\!\left[\delta q_{dS_{P},\,_{k}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f5260a462c4d6b95cdb2f2d64ef741f7cd4b2a)
![{\displaystyle \;d\tau =dS_{P}\;dh=dS_{P}\left[-\Vert {\vec {V}}_{k}(P)\Vert \;dt\;\cos(\alpha )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72816d5024fc05cd88aea5a0a5bf4f94cd951b5e)
![{\displaystyle \;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;d\tau =\rho _{m,\,_{k}}(P)\left[-{\overrightarrow {dS}}_{P}\cdot {\vec {V}}_{k}(P)\;dt\right]=-\left[\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\right]\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8105378f255ac773a98de2973bcb049abdfffd19)
![{\displaystyle \oint {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46279eb695716bbc88e26eb33a8b3c004948374f)
![{\displaystyle \;d{\mathit {l}}{\big )}{\big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47fc2a592f8415f3a43b6f64b0de16e82de4674)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{{\mathit {l}},_{k}}(P)=\left[\rho _{m,\,_{k}}(P')\;{\vec {V}}_{k}(P')\right]\,e\;e'=\left[\rho _{m,\,_{k}}(P')\;e\;e'\right]\,{\vec {V}}_{k}(P')\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5074a62565fb978f609755c550b9244dfa2b9b25)
![{\displaystyle \;{\vec {j}}_{{\mathit {l}},_{k}}(P)=\left[\rho _{m,\,_{k}}(P')\;e\;e'\right]\,{\vec {V}}_{k}(P')\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e97b05dfbcabc5c172ecb267fd988dd2d998e7)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f94c86278337ff8bfb320496c4a4aaf84e260b3)
![{\displaystyle 1886{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f056cb5e0634141126aab0838aae5d8bc568344b)
={\dfrac {1}{c^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)_{\!\!M}(M,\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c485ce14ccd658ef79c29426df85cbe96b31390)
![{\displaystyle \;{\vec {E}}(M,\,t)=E_{m}\;\cos \!\left[2\;\pi \;f\;t+\varphi _{M}\right]\;{\vec {u}}_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f833186c06c6e184d2e8bcb893d16a7e59d7eb)
![{\displaystyle -E_{m}\;2\;\pi \;f\;\sin \!\left[2\;\pi \;f\;t+\varphi _{M}\right]\;{\vec {u}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c758e9cdd4d9b75a91c35bb155983eebbb1e84)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea6506dae1219fb8cc0de5bb0dcd070de72d903)
![{\displaystyle {\big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f179fa3058bae27e8b4bb7aa7b060cdf6d862a)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{M\,\rightarrow \,P_{0}^{+}}\left[{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\in \Delta _{P_{0}}^{+})\right]={\dfrac {\sigma (P_{0})}{2\;\varepsilon _{0}}}\;{\vec {n}}_{P_{0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca90bcb50b8d1ab8d939a319096c298c4e2e40e)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{M\,\rightarrow \,P_{0}^{-}}\left[{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\in \Delta _{P_{0}}^{-})\right]=-{\dfrac {\sigma (P_{0})}{2\;\varepsilon _{0}}}\;{\vec {n}}_{P_{0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e514f606991d8c3883ced7d6e9ccbe8a3dfd4458)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{M\,\rightarrow \,P_{0}}\left[{\Big \Vert }{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\in \Delta _{P_{0},\,\alpha }){\Big \Vert }\right]=+\infty \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d68318f8556f031deba31a823b5f85661b2ac50)
![{\displaystyle \;\alpha \,\in \,\left]-\pi \,,\,+\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3f5571b5a249f846cafa7a71d6c9d48e1913a4)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{M\,\rightarrow \,P_{0}^{+}}\left[{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\in \Delta _{P_{0}}^{+})\right]={\dfrac {\mu _{0}\;{\vec {j}}_{s}(P_{0})}{2}}\wedge {\vec {n}}_{P_{0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c3c1fd7e2a51ac76df7a43e6b4ec8bb35e7453)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{M\,\rightarrow \,P_{0}^{-}}\left[{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\in \Delta _{P_{0}}^{-})\right]=-{\dfrac {\mu _{0}\;{\vec {j}}_{s}(P_{0})}{2}}\wedge {\vec {n}}_{P_{0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0186bcff788545dba8a08ae98c56c992f5f71f2)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{M\,\rightarrow \,P_{0}}\left[{\Big \Vert }{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\in \Delta _{P_{0},\,\alpha }){\Big \Vert }\right]=+\infty \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c9aaeb5ff6f33056806a7f9d4a7e2708b835db)
![{\displaystyle \;1918{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a7acfe91e40d4823a4b6b6092db6d125a44b71)
![{\displaystyle \;1995{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5e6a395bdce5f179b9046023a421f2e25846fb)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb4c3d7025b909a7ea0c2918eb8a91f6954ae68)
![{\displaystyle \;20\;mai\;2019{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5de5d1d1f3e90f2e7ea145b6e9f7cc0cd667f36)
![{\displaystyle \;\parallel {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89c8da6e36dea1e841f140c30b9ae99d6fb7bd5)
