Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion

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Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion
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Recherche de la trajectoire d'un point matériel ayant un mouvement à force centrale conservative de loi de force connue à conditions initiales fixées modifier

     On considère un point matériel   de masse   soumis de la part d'un centre attractif   à une force centrale conservative du type «  avec   constante   caractérisant la nature de l'interaction » et « »,   étant le vecteur unitaire radial lié à   dans son repérage sphérique de pôle   et   la coordonnée radiale de   dans ce repérage[1].

     Les conditions initiales de lancement du point matériel  , dans le référentiel d'étude   galiléen, sont telles que son vecteur vitesse initiale   est   à son vecteur position initiale   et son énergie mécanique initiale   est nulle  dans l'hypothèse où la référence de l'énergie potentielle de  [2] dans le champ de force force centrale conservative   est choisie à l'infini .

Détermination des équations différentielles du 1er ordre en t(r) et θ(r) du mouvement du point M modifier

      Vérifier que la force « » s'exerçant sur   est effectivement conservative et

           déterminer l'énergie potentielle « » du point   dont « dérive » la force en choisissant la référence de  [2] à l'infini.

      Vérifier que le mouvement de   est effectivement « à force centrale » et

           déterminer la constante des aires   de son mouvement dans les conditions initiales de lancement précédemment imposées.

      Définir l'énergie potentielle effective   du point   dans le champ de force centrale conservative « » et

           expliciter l'intégrale 1re énergétique de   utilisant cette énergie potentielle effective.

      Déduire de cette intégrale 1re énergétique, l'équation différentielle du 1er ordre en   du mouvement du point   dans le champ de force centrale conservative « » puis

           Déduire de cette équation différentielle en   associée à la loi des aires, l'équation différentielle du 1er ordre en  .

Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point M dans les cas particuliers considérés modifier

     Résoudre l'équation différentielle du 1er ordre en   du mouvement du point   soumis à la force centrale conservative « » avec les C.I[10]. de lancement imposées dans les cas particuliers de    dans chaque cas, préciser l'allure de la trajectoire et indiquer, si possible, sa nature .

Notes et références modifier

  1. Voir le paragraphe « repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  2. 2,0 2,1 et 2,2 C.-à-d. l'endroit où elle est choisie nulle.
  3. Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  4. Voir les paragraphes « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » et « conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  5. Condition(s) Nécessaire(s).
  6. Voir le paragraphe « définition (d'une forme différentielle de trois variables indépendantes) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  7. En effet le travail élémentaire se réécrivant « » l'« égalité des dérivées croisées »   est réalisée, la 3ème se réécrivant   l'étant évidemment, la 1re et la 2nde traduisant respectivement l'indépendance de « » par rapport à   et à  .
  8. Condition(s) Suffisante(s).
  9. En effet le domaine de définition du travail élémentaire étant « » un ouvert   de   ne peut être étoilé que s'il est d'expansion suffisamment restreinte de façon qu'il existe au moins un point   de   tel que pour tout point   de   le segment   soit inclus dans    à défaut, les coordonnées angulaires   du repérage sphérique d'un point quelconque variant respectivement dans les intervalles  , pour tout   de  , il y a au moins un point   de   tel que le segment   passe par le point   situé hors de   d'où le caractère non étoilé d'un tel ouvert .
  10. 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14 et 10,15 Conditions Initiales.
  11. Voir le paragraphe « définition de la constante des aires C (détermination de la constante des aires dans le cas où elle n'est pas nulle) » du chap.  de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  12. Voir le paragraphe « définition d'un mouvement conservatif » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  13. Voir le paragraphe « intégrale 1re énergétique d'un point matériel à mouvement conservatif » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  14. 14,0 14,1 14,2 14,3 et 14,4 Voir le paragraphe « méthode pratique de résolution sur l'exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. Voir les paragraphes « exemple d'utilisation de la formule de Binet relative à l'accélération radiale » du chap.  de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que « équation polaire d'une ellipse, d'une parabole et de la branche d'hyperbole contournant le foyer choisi comme pôle » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  16. 16,0 16,1 16,2 et 16,3 Voir le paragraphe fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  en général on utilise « » comme primitive de « »  voir le paragraphe fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus du même chap.  de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » .
  17. 17,0 17,1 et 17,2 Le choix de « » étant fait au lieu de « » pour obtenir plus rapidement le résultat attendu, les deux primitives se déduisant l'une de l'autre par la relation « »  voir le paragraphe fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus (relation entre les fonctions trigonométriques inverses arcsinus et arccosinus) du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » .
  18. Condition(s) Au(x) Limite(s).
  19. En effet nous obtenons l'équation cartésienne de cette trajectoire à partir de son équation polaire « » en multipliant les deux membres par     « » ou     se réécrivant « » c'est-à-dire l'équation cartésienne du cercle de centre   et de rayon  .
  20. Jacques Bernoulli (1654 - 1705) mathématicien et physicien suisse, à qui on doit de nombreuses découvertes dont la lemniscate de Bernoulli en   ; entre   et   il publia cinq traités sur les séries infinies, on lui doit aussi des découvertes en géométrie dont l'établissement de l'équation différentielle non linéaire du 1er ordre suivie par la courbe isochrone en  , équation différentielle connue sous le nom d'équation différentielle de Bernoulli qu'il résolut en   et quelques travaux sur la théorie des probabilités dont émergea la notion de processus de Bernoulli ; enfin il découvrit la constante mathématique « » comme « limite de la série   quand  ».